यदि \(p^2=3q^2\) और (p=3k) है तो (q) (3) से विभाज्य क्यों होगा?

Correct Answer: A. क्योंकि प्रतिस्थापन करने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है, अतः \(q^2\) 3 से विभाज्य है / Because substitution gives \(q^2=3k^2\), so \(q^2\) is divisible by 3. Explanation: दिया है \(p=3k\)। इसे \(p^2=3q^2\) में रखने पर \((3k)^2=3q^2\), अर्थात \(9k^2=3q^2\) मिलता है। 3 से भाग देने पर \(q^2=3k^2\) प्राप्त होता है, इसलिए \(q^2\) 3 से विभाज्य है। चूँकि 3 एक अभाज्य संख्या है, यदि किसी संख्या का वर्ग 3 से विभाज्य हो, तो वह संख्या स्वयं भी 3 से विभाज्य होती है। अतः \(q\) 3 से विभाज्य है। परीक्षा टिप: अभाज्य संख्या \(r\) के लिए \(r\mid n^2\) होने पर \(r\mid n\) होता है। / Given \(p=3k\), substitute it into \(p^2=3q^2\): \((3k)^2=3q^2\), so \(9k^2=3q^2\). Dividing by 3 gives \(q^2=3k^2\); hence \(q^2\) is divisible by 3. Since 3 is prime, if the square of an integer is divisible by 3, then the integer itself is divisible by 3. Therefore, \(q\) is divisible by 3. Exam tip: for a prime \(r\), \(r\mid n^2\) implies \(r\mid n\).