Which order is correct in the proof of irrationality of (\sqrt{2})?(\sqrt{2}) की अपरिमेयता के प्रमाण में कौन-सा क्रम सही है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Assume rational then square then contradictionपरिमेय मानना फिर वर्ग करना फिर विरोधाभास
The direct answer is Option C: assume rationality, square, and then obtain a contradiction. The proof uses contradiction. First suppose that √2 is rational, so it can be written as a/b, where a and b are coprime integers and b is not zero. Squaring gives 2 = a²/b², so a² = 2b². Thus a² is even, so a is even; write a = 2r. Substitution then shows b² = 2r², so b is also even. This contradicts that a and b were coprime. Option C is correct. Option A reverses the logical order because a = 2r is obtained after proving a is even. Option B is not a complete proof; a decimal representation does not by itself establish the required contradiction. Option D simply asserts the result without proof. Exam cue: contradiction proofs usually follow assume, transform, contradiction, conclude.सीधा उत्तर विकल्प C है: पहले परिमेय मानना, फिर वर्ग करना और अंत में विरोधाभास प्राप्त करना। यह प्रमाण विरोधाभास की विधि से होता है। पहले मानते हैं कि √2 परिमेय है, इसलिए उसे a/b के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ a और b सहभाज्य पूर्णांक हैं तथा b शून्य नहीं है। वर्ग करने पर 2 = a²/b² मिलता है, इसलिए a² = 2b²। अतः a² सम है और a भी सम होगा; इसलिए a = 2r लिखते हैं। रखने पर b² = 2r² मिलता है, इसलिए b भी सम है। यह इस शर्त का विरोधाभास है कि a और b सहभाज्य थे। विकल्प C सही है। विकल्प A गलत क्रम देता है, क्योंकि a = 2r तभी लिखते हैं जब a के सम होने का प्रमाण मिल जाए। विकल्प B केवल दशमलव निकालना है और पूरा विरोधाभास नहीं दिखाता। विकल्प D बिना प्रमाण के निष्कर्ष लिख देता है। परीक्षा संकेत: विरोधाभास प्रमाण का क्रम याद रखें—मान्यता, रूपांतरण, विरोधाभास, निष्कर्ष।
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