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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Medium Level 16

एक विद्यार्थी मानता है कि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। \(p^2=2q^2\) प्राप्त होने पर, निम्नलिखित में से कौन-सा निष्कर्ष इस मान्यता में विरोधाभास उत्पन्न करता है?

A student assumes that \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers. After obtaining \(p^2=2q^2\), which conclusion creates a contradiction in this assumption?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(p\) और \(q\) दोनों सम हैंBoth \(p\) and \(q\) are even

Explanation

Simple Explanation

\(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है, इसलिए \(p\) सम होगा। \(p=2k\) रखने पर \(q^2=2k^2\), अतः \(q\) भी सम है। दोनों में 2 उभयनिष्ठ गुणनखंड होना सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: सम वर्ग से संख्या सम सिद्ध होती है। / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even, so \(p\) is even. Put \(p=2k\); then \(q^2=2k^2\), making \(q\) even too. Thus both share factor 2, contradicting coprimality. Exam tip: an even square implies the number itself is even.

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एक विद्यार्थी मानता है कि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। \(p^2=2q^2\) प्राप्त होने पर, निम्नलिखित में से कौन-सा निष्कर्ष इस मान्यता में विरोधाभास उत्पन्न करता है? / A student assumes that \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers. After obtaining \(p^2=2q^2\), which conclusion creates a contradiction in this assumption?

Correct Answer: A. \(p\) और \(q\) दोनों सम हैं / Both \(p\) and \(q\) are even. Explanation: \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है, इसलिए \(p\) सम होगा। \(p=2k\) रखने पर \(q^2=2k^2\), अतः \(q\) भी सम है। दोनों में 2 उभयनिष्ठ गुणनखंड होना सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: सम वर्ग से संख्या सम सिद्ध होती है। / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even, so \(p\) is even. Put \(p=2k\); then \(q^2=2k^2\), making \(q\) even too. Thus both share factor 2, contradicting coprimality. Exam tip: an even square implies the number itself is even.