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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Medium Level 16

एक विद्यार्थी ने लिखा: यदि \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), जहाँ \(a\) और \(b\) सह-अभाज्य हैं, तो \(a^2=3b^2\)। उसने निष्कर्ष निकाला कि 3, \(b\) को विभाजित करता है। इस निष्कर्ष में त्रुटि क्या है?

A student writes: If \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), where \(a\) and \(b\) are coprime, then \(a^2=3b^2\). The student concludes that 3 divides \(b\). What is the error in this conclusion?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. समीकरण से पहले 3, \(a\) को विभाजित करता है, \(b\) को नहींThe equation first shows that 3 divides \(a\), not \(b\)

Explanation

Simple Explanation

\(a^2=3b^2\) से 3, \(a^2\) को विभाजित करता है; 3 अभाज्य होने से 3, \(a\) को विभाजित करेगा। फिर \(a=3k\) रखने पर 3, \(b\) को भी विभाजित करता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: पहले अंश पर निष्कर्ष लिखें। / From \(a^2=3b^2\), 3 divides \(a^2\), so since 3 is prime, it divides \(a\) first. Put \(a=3k\); then 3 also divides \(b\), contradicting coprimality. Exam tip: track the numerator first.

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एक विद्यार्थी ने लिखा: यदि \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), जहाँ \(a\) और \(b\) सह-अभाज्य हैं, तो \(a^2=3b^2\)। उसने निष्कर्ष निकाला कि 3, \(b\) को विभाजित करता है। इस निष्कर्ष में त्रुटि क्या है? / A student writes: If \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), where \(a\) and \(b\) are coprime, then \(a^2=3b^2\). The student concludes that 3 divides \(b\). What is the error in this conclusion?

Correct Answer: A. समीकरण से पहले 3, \(a\) को विभाजित करता है, \(b\) को नहीं / The equation first shows that 3 divides \(a\), not \(b\). Explanation: \(a^2=3b^2\) से 3, \(a^2\) को विभाजित करता है; 3 अभाज्य होने से 3, \(a\) को विभाजित करेगा। फिर \(a=3k\) रखने पर 3, \(b\) को भी विभाजित करता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: पहले अंश पर निष्कर्ष लिखें। / From \(a^2=3b^2\), 3 divides \(a^2\), so since 3 is prime, it divides \(a\) first. Put \(a=3k\); then 3 also divides \(b\), contradicting coprimality. Exam tip: track the numerator first.