In the proof of √3, after both p and q become divisible by 3, what is the final conclusion?√3 के प्रमाण में p और q दोनों 3 से विभाज्य निकलने के बाद अंतिम निष्कर्ष क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: √3 is irrational√3 अपरिमेय है
Assume for contradiction that √3 = p/q, where p and q are integers, q ≠ 0, and the fraction is in lowest terms. Squaring gives p² = 3q². This implies that 3 divides p², and therefore 3 divides p; writing p = 3k then gives q² = 3k², so 3 also divides q. Thus p and q have the common factor 3, contradicting the assumption that p/q was in lowest terms. The contradiction does not make √3 an integer, rational, or zero. Instead, it disproves the rational assumption. Therefore √3 is irrational, and option C is the correct final conclusion.विरोधाभास द्वारा मानें कि √3 = p/q है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं, q ≠ 0 है और भिन्न सरलतम रूप में है। वर्ग करने पर p² = 3q² मिलता है। इससे 3, p² को विभाजित करता है और इसलिए 3, p को भी विभाजित करता है। p = 3k रखने पर q² = 3k² प्राप्त होता है, इसलिए 3, q को भी विभाजित करता है। इस प्रकार p और q दोनों में 3 सामान्य गुणनखंड है, जो p/q के सरलतम रूप में होने की शर्त का विरोधाभास है। इससे √3 पूर्णांक, परिमेय या शून्य नहीं सिद्ध होता; बल्कि परिमेय होने की मान्यता गलत सिद्ध होती है। अतः √3 अपरिमेय है और विकल्प C सही है।
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