Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
B. \(\sqrt{2}\) परिमेय है/\(\sqrt{2}\) is rational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास विधि में पहले उल्टा मानते हैं कि \(\sqrt{2}\) परिमेय है। बाद में यही मान्यता गलत सिद्ध होती है। / In contradiction method we first assume the opposite that \(\sqrt{2}\) is rational. Later this assumption is shown false.
परिमेय मानने पर \(\sqrt{3}\) को \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जाता है। यहाँ (p) और (q) पूर्णांक होते हैं। / When assumed rational, \(\sqrt{3}\) is written as \(\frac{p}{q}\). Here (p) and (q) are integers.
सरलतम रूप में अंश और हर का सामान्य गुणनखंड केवल (1) होता है। यही सहभाज्य होने का अर्थ है। / In lowest form, the numerator and denominator have only (1) as common factor. This means they are coprime.
D. क्योंकि शून्य से भाग परिभाषित नहीं है/Because division by zero is not defined
Explanation
Simple Explanation
भिन्न में हर शून्य नहीं हो सकता। इसलिए \(\frac{a}{b}\) में \(b\neq0\) जरूरी है। / The denominator of a fraction cannot be zero. Therefore \(b\neq0\) is necessary in \(\frac{a}{b}\).
पूर्णांक का वर्ग सम हो तो वह पूर्णांक भी सम होता है। यह \(\sqrt{2}\) के प्रमाण का मुख्य तथ्य है। / If an integer has an even square, the integer is also even. This is the key fact in the proof of \(\sqrt{2}\).
अभाज्य गुणनखंड (3) वर्ग को विभाजित करे तो संख्या को भी विभाजित करता है। इसलिए (x) (3) से विभाज्य है। / If prime factor (3) divides a square, it divides the number too. Therefore (x) is divisible by (3).
(3) से विभाज्य संख्या (3) के गुणज के रूप में लिखी जाती है। इसलिए (r=3t) लिखा जाता है। / A number divisible by (3) is written as a multiple of (3). So (r=3t) is written.
\(n^2\) सम है इसलिए (n) भी सम होगा। इससे अंश और हर दोनों सम हो जाते हैं। / Since \(n^2\) is even, (n) is also even. Thus both numerator and denominator become even.
\(s^2\) (3) से विभाज्य है इसलिए (s) भी (3) से विभाज्य होगा। यही अंतिम विरोधाभास की ओर ले जाता है। / Since \(s^2\) is divisible by (3), (s) is also divisible by (3). This leads to the final contradiction.
A. वे सहभाज्य नहीं रह सकते/They cannot remain coprime
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम होने पर (2) सामान्य गुणनखंड होता है। यह सहभाज्य मान्यता से विरोधाभास है। / If both are even, (2) is a common factor. This contradicts the coprime assumption.
C. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{2}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
परिमेय मान्यता से विरोधाभास मिला। इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / The rational assumption led to a contradiction. Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational.
D. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{3}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
परिमेय मान्यता से सहभाज्य शर्त टूटती है। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय सिद्ध होता है। / The rational assumption breaks the coprime condition. Therefore \(\sqrt{3}\) is proved irrational.
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में समता और (2) के गुणनखंड का उपयोग होता है। इसलिए (2) मुख्य है। / The proof of \(\sqrt{2}\) uses evenness and factor (2). Therefore (2) is central.
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (3) से विभाज्यता का उपयोग होता है। इसलिए (3) मुख्य है। / The proof of \(\sqrt{3}\) uses divisibility by (3). Therefore (3) is central.
C. विरोधाभास दिखाने के लिए/To show a contradiction
Explanation
Simple Explanation
उल्टी मान्यता से असंभव स्थिति निकाली जाती है। इससे मूल कथन सिद्ध होता है। / An impossible situation is derived from the opposite assumption. This proves the original statement.
परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखी जा सकती है। इसलिए \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\) परिमेय मान्यता है। / A rational number can be written as a ratio of two integers. So \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\) is a rational assumption.
यदि कोई संख्या \(\frac{r}{s}\) के रूप में लिखी जाए तो वह परिमेय मानी जा रही है। यही प्रमाण की प्रारंभिक मान्यता है। / If a number is written as \(\frac{r}{s}\), it is being assumed rational. This is the initial assumption of the proof.
C. ताकि सहभाज्य शर्त से विरोधाभास दिखे/So contradiction with coprime condition can be shown
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में (m) और (n) सहभाज्य होते हैं। दोनों सम निकलना इसी बात से टकराता है। / In lowest form (m) and (n) are coprime. Both becoming even contradicts this.
D. सहभाज्य मान्यता से विरोधाभास दिखाना/To show contradiction with coprime assumption
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में (r) और (s) सहभाज्य होते हैं। दोनों का (3) से विभाज्य होना इसी से विरोधाभास देता है। / In lowest form (r) and (s) are coprime. Both being divisible by (3) gives a contradiction.
A. परिमेय मानना फिर वर्ग करना फिर दोनों सम का विरोधाभास/Assume rational then square then contradiction of both even
Explanation
Simple Explanation
पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानते हैं। फिर वर्ग करके दोनों सम होने का विरोधाभास मिलता है। / First \(\sqrt{2}\) is assumed rational. Then squaring gives the contradiction that both are even.
B. परिमेय मानना फिर वर्ग करना फिर दोनों (3) से विभाज्य का विरोधाभास/Assume rational then square then contradiction of both divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) में परिमेय मान्यता के बाद वर्ग करते हैं। फिर दोनों संख्याओं का (3) से विभाज्य होना विरोधाभास देता है। / For \(\sqrt{3}\), after the rational assumption we square. Then both numbers becoming divisible by (3) gives a contradiction.
दोनों सम होने का अर्थ है कि दोनों (2) से विभाज्य हैं। इसलिए सामान्य गुणनखंड (2) है। / Both being even means both are divisible by (2). Therefore the common factor is (2).
दोनों का (3) से विभाज्य होना सामान्य गुणनखंड (3) दिखाता है। यह सहभाज्य मान्यता से विरोधाभास है। / Both being divisible by (3) shows common factor (3). This contradicts the coprime assumption.
सहभाज्य संख्याओं का सामान्य गुणनखंड केवल (1) होता है। इसलिए उनका महत्तम समापवर्तक (1) है। / Coprime numbers have only (1) as common factor. Therefore their highest common factor is (1).
D. (m) और (n) दोनों सम हैं/Both (m) and (n) are even
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में दोनों का सामान्य गुणनखंड नहीं होना चाहिए। दोनों सम हों तो (2) सामान्य हो जाएगा। / In lowest form both should not have a common factor. If both are even, (2) becomes common.
A. (r) और (s) दोनों (3) से विभाज्य हैं/Both (r) and (s) are divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
दोनों का (3) से विभाज्य होना सामान्य गुणनखंड (3) देता है। यह सरलतम रूप के विरुद्ध है। / Both being divisible by (3) gives common factor (3). This is against lowest form.
B. क्योंकि प्रमाण विभाज्यता और विरोधाभास पर आधारित है/Because the proof is based on divisibility and contradiction
Explanation
Simple Explanation
इस प्रमाण में दशमलव की जगह समता और सहभाज्य शर्त का उपयोग होता है। यही परीक्षा में लिखना चाहिए। / This proof uses evenness and the coprime condition instead of decimals. This is what should be written in exams.
\(\sqrt{3}\) का प्रमाण दशमलव अनुमान से नहीं होता। इसमें (3) से विभाज्यता और विरोधाभास का उपयोग होता है। / The proof of \(\sqrt{3}\) does not use decimal approximation. It uses divisibility by (3) and contradiction.
C. \(\sqrt{2}\) परिमेय है/\(\sqrt{2}\) is rational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास केवल परिमेय होने की मान्यता को गलत करता है। इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / The contradiction makes only the rationality assumption false. Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational.
D. \(\sqrt{3}\) परिमेय है/\(\sqrt{3}\) is rational
Explanation
Simple Explanation
परिमेय मान्यता से विरोधाभास आता है। इसलिए \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं है। / The rational assumption leads to a contradiction. Therefore \(\sqrt{3}\) is not rational.
B. \(r^2\) (3) से विभाज्य है/\(r^2\) is divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
\(r^2=3s^2\) में दाएँ पक्ष में (3) का गुणनखंड है। इसलिए \(r^2\) (3) से विभाज्य है। / In \(r^2=3s^2\), the right side has factor (3). Therefore \(r^2\) is divisible by (3).
A. (m) और (n) का सहभाज्य होना/(m) and (n) being coprime
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम हों तो उनका सामान्य गुणनखंड (2) होगा। इसलिए वे सहभाज्य नहीं रह सकते। / If both are even, they have common factor (2). Therefore they cannot remain coprime.
C. दिखाना कि वे दो पूर्णांकों के अनुपात में नहीं लिखे जा सकते/To show they cannot be written as a ratio of two integers
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेय संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात में नहीं लिखा जा सकता। ये प्रमाण यही सिद्ध करते हैं। / An irrational number cannot be written as a ratio of two integers. These proofs establish exactly that.
\(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\) दोनों के परिमेय मानने से विरोधाभास मिलता है। इसलिए दोनों अपरिमेय हैं। / Assuming either \(\sqrt{2}\) or \(\sqrt{3}\) rational gives a contradiction. Therefore both are irrational.
A. (m) और (n) को पहले से दोनों सम मान लेना/Assuming (m) and (n) both even from the start
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम होना प्रमाण के अंत में निकाला गया विरोधाभास है। इसे शुरुआत में नहीं मानना चाहिए। / Both being even is the contradiction derived at the end. It should not be assumed at the start.
C. (r) और (s) को शुरुआत से ही (3) से विभाज्य मानना/Assuming (r) and (s) divisible by (3) from the start
Explanation
Simple Explanation
दोनों का (3) से विभाज्य होना प्रमाण में बाद में निकाला जाता है। शुरुआत में केवल सहभाज्य माना जाता है। / Both being divisible by (3) is derived later in the proof. At the start they are only assumed coprime.
परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखी जाती है। इसलिए (m) और (n) पूर्णांक माने जाते हैं। / A rational number is written as a ratio of two integers. Therefore (m) and (n) are assumed integers.
परिमेय संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखा जाता है। इसलिए (r) और (s) पूर्णांक माने जाते हैं। / A rational number is written as a ratio of two integers. Therefore (r) and (s) are assumed integers.
