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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 65

एक विद्यार्थी दावा करता है कि यदि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, तो \(p^2=2q^2\) से केवल \(p\) सम होने का निष्कर्ष निकलता है; \(q\) के बारे में कुछ नहीं कहा जा सकता। विद्यार्थी के तर्क में क्या त्रुटि है?

A student claims that if \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers, then \(p^2=2q^2\) implies only that \(p\) is even; nothing can be concluded about \(q\). What is the error in the student's reasoning?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

B. \(p=2k\) रखने पर \(4k^2=2q^2\), अतः \(q^2=2k^2\) और \(q\) भी सम है; इसलिए \(p\) तथा \(q\) सह-अभाज्य नहीं हो सकते।On putting \(p=2k\), \(4k^2=2q^2\), so \(q^2=2k^2\) and \(q\) is also even; hence \(p\) and \(q\) cannot be coprime.

Explanation

Simple Explanation

\(p\) सम होने पर \(p=2k\) लिखते हैं। तब \(4k^2=2q^2\Rightarrow q^2=2k^2\), इसलिए \(q\) भी सम है। दोनों में 2 सामान्य गुणनखंड होना सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में वर्ग की समता से संख्या की समता निष्कर्षित करें। / If \(p\) is even, write \(p=2k\). Then \(4k^2=2q^2\Rightarrow q^2=2k^2\), so \(q\) is also even. Thus both have factor 2, contradicting coprimality. Exam tip: use the fact that an even square has an even root.

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एक विद्यार्थी दावा करता है कि यदि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, तो \(p^2=2q^2\) से केवल \(p\) सम होने का निष्कर्ष निकलता है; \(q\) के बारे में कुछ नहीं कहा जा सकता। विद्यार्थी के तर्क में क्या त्रुटि है? / A student claims that if \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers, then \(p^2=2q^2\) implies only that \(p\) is even; nothing can be concluded about \(q\). What is the error in the student's reasoning?

Correct Answer: B. \(p=2k\) रखने पर \(4k^2=2q^2\), अतः \(q^2=2k^2\) और \(q\) भी सम है; इसलिए \(p\) तथा \(q\) सह-अभाज्य नहीं हो सकते। / On putting \(p=2k\), \(4k^2=2q^2\), so \(q^2=2k^2\) and \(q\) is also even; hence \(p\) and \(q\) cannot be coprime.. Explanation: \(p\) सम होने पर \(p=2k\) लिखते हैं। तब \(4k^2=2q^2\Rightarrow q^2=2k^2\), इसलिए \(q\) भी सम है। दोनों में 2 सामान्य गुणनखंड होना सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में वर्ग की समता से संख्या की समता निष्कर्षित करें। / If \(p\) is even, write \(p=2k\). Then \(4k^2=2q^2\Rightarrow q^2=2k^2\), so \(q\) is also even. Thus both have factor 2, contradicting coprimality. Exam tip: use the fact that an even square has an even root.