Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Easy Level 21

रीमा कहती है, “ \(\sqrt{3}\) का दशमलव प्रसार अनंत है, इसलिए यह अपरिमेय है।” उसके तर्क में क्या कमी है?

Reema says, “The decimal expansion of \(\sqrt{3}\) is infinite, so it is irrational.” What is the flaw in her reasoning?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. केवल अनंत दशमलव प्रसार अपरिमेयता सिद्ध नहीं करता; प्रसार आवर्ती भी हो सकता है, जैसे \(13 / An infinite decimal expansion alone does not prove irrationality; it may be recurring, as in \(1

Explanation

Simple Explanation

अनंत दशमलव प्रसार मात्र से संख्या अपरिमेय नहीं होती, क्योंकि \(1/3=0.333\ldots\) परिमेय है। \(\sqrt{3}\) के लिए मानते हैं \(p/q\) सरलतम रूप में है; तब 3 से \(p\) और \(q\) दोनों विभाज्य निकलते हैं, जो विरोधाभास है। परीक्षा टिप: “अनंत” और “अनावर्ती” में अंतर याद रखें। / An infinite decimal alone does not imply irrationality: \(1/3=0.333\ldots\) is rational. For \(\sqrt{3}\), assume \(p/q\) is in lowest terms; the proof shows that both \(p\) and \(q\) are divisible by 3, a contradiction. Exam tip: distinguish non-terminating recurring decimals from non-recurring decimals.

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रीमा कहती है, “ \(\sqrt{3}\) का दशमलव प्रसार अनंत है, इसलिए यह अपरिमेय है।” उसके तर्क में क्या कमी है? / Reema says, “The decimal expansion of \(\sqrt{3}\) is infinite, so it is irrational.” What is the flaw in her reasoning?

Correct Answer: A. केवल अनंत दशमलव प्रसार अपरिमेयता सिद्ध नहीं करता; प्रसार आवर्ती भी हो सकता है, जैसे \(1 / 3\) / An infinite decimal expansion alone does not prove irrationality; it may be recurring, as in \(1. Explanation: अनंत दशमलव प्रसार मात्र से संख्या अपरिमेय नहीं होती, क्योंकि \(1/3=0.333\ldots\) परिमेय है। \(\sqrt{3}\) के लिए मानते हैं \(p/q\) सरलतम रूप में है; तब 3 से \(p\) और \(q\) दोनों विभाज्य निकलते हैं, जो विरोधाभास है। परीक्षा टिप: “अनंत” और “अनावर्ती” में अंतर याद रखें। / An infinite decimal alone does not imply irrationality: \(1/3=0.333\ldots\) is rational. For \(\sqrt{3}\), assume \(p/q\) is in lowest terms; the proof shows that both \(p\) and \(q\) are divisible by 3, a contradiction. Exam tip: distinguish non-terminating recurring decimals from non-recurring decimals.