Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
B. \(\sqrt{2}\) परिमेय है/\(\sqrt{2}\) is rational
Step 1
Concept
In contradiction method we first assume the opposite that \(\sqrt{2}\) is rational. Later this assumption is shown false.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(\sqrt{2}\) परिमेय है / \(\sqrt{2}\) is rational. In contradiction method we first assume the opposite that \(\sqrt{2}\) is rational. Later this assumption is shown false.
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास विधि में पहले उल्टा मानते हैं कि \(\sqrt{2}\) परिमेय है। बाद में यही मान्यता गलत सिद्ध होती है।
In lowest form, the numerator and denominator have only (1) as common factor. This means they are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वे सहभाज्य होते हैं / They are coprime. In lowest form, the numerator and denominator have only (1) as common factor. This means they are coprime.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप में अंश और हर का सामान्य गुणनखंड केवल (1) होता है। यही सहभाज्य होने का अर्थ है।
D. क्योंकि शून्य से भाग परिभाषित नहीं है/Because division by zero is not defined
Step 1
Concept
The denominator of a fraction cannot be zero. Therefore \(b\neq0\) is necessary in \(\frac{a}{b}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. क्योंकि शून्य से भाग परिभाषित नहीं है / Because division by zero is not defined. The denominator of a fraction cannot be zero. Therefore \(b\neq0\) is necessary in \(\frac{a}{b}\).
Step 3
Exam Tip
भिन्न में हर शून्य नहीं हो सकता। इसलिए \(\frac{a}{b}\) में \(b\neq0\) जरूरी है।
D. \(r^2\) (3) से विभाज्य है/\(r^2\) is divisible by (3)
Step 1
Concept
The right side has factor (3). Therefore \(r^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \(r^2\) (3) से विभाज्य है / \(r^2\) is divisible by (3). The right side has factor (3). Therefore \(r^2\) is divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
दाएँ पक्ष में (3) का गुणनखंड है। इसलिए \(r^2\) (3) से विभाज्य है।
Since \(s^2\) is divisible by (3), (s) is also divisible by (3). This leads to the final contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (s) (3) से विभाज्य है / (s) is divisible by (3). Since \(s^2\) is divisible by (3), (s) is also divisible by (3). This leads to the final contradiction.
Step 3
Exam Tip
\(s^2\) (3) से विभाज्य है इसलिए (s) भी (3) से विभाज्य होगा। यही अंतिम विरोधाभास की ओर ले जाता है।
A. वे सहभाज्य नहीं रह सकते/They cannot remain coprime
Step 1
Concept
If both are even, (2) is a common factor. This contradicts the coprime assumption.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वे सहभाज्य नहीं रह सकते / They cannot remain coprime. If both are even, (2) is a common factor. This contradicts the coprime assumption.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होने पर (2) सामान्य गुणनखंड होता है। यह सहभाज्य मान्यता से विरोधाभास है।
C. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
The rational assumption led to a contradiction. Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{2}\) is irrational. The rational assumption led to a contradiction. Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
परिमेय मान्यता से विरोधाभास मिला। इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
D. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
The rational assumption breaks the coprime condition. Therefore \(\sqrt{3}\) is proved irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{3}\) is irrational. The rational assumption breaks the coprime condition. Therefore \(\sqrt{3}\) is proved irrational.
Step 3
Exam Tip
परिमेय मान्यता से सहभाज्य शर्त टूटती है। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय सिद्ध होता है।
C. विरोधाभास दिखाने के लिए/To show a contradiction
Step 1
Concept
An impossible situation is derived from the opposite assumption. This proves the original statement.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. विरोधाभास दिखाने के लिए / To show a contradiction. An impossible situation is derived from the opposite assumption. This proves the original statement.
Step 3
Exam Tip
उल्टी मान्यता से असंभव स्थिति निकाली जाती है। इससे मूल कथन सिद्ध होता है।
A rational number can be written as a ratio of two integers. So \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\) is a rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. उसे परिमेय मानना / Assuming it rational. A rational number can be written as a ratio of two integers. So \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\) is a rational assumption.
Step 3
Exam Tip
परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखी जा सकती है। इसलिए \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\) परिमेय मान्यता है।
If a number is written as \(\frac{r}{s}\), it is being assumed rational. This is the initial assumption of the proof.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. उसे परिमेय मानना / Assuming it rational. If a number is written as \(\frac{r}{s}\), it is being assumed rational. This is the initial assumption of the proof.
Step 3
Exam Tip
यदि कोई संख्या \(\frac{r}{s}\) के रूप में लिखी जाए तो वह परिमेय मानी जा रही है। यही प्रमाण की प्रारंभिक मान्यता है।
C. ताकि सहभाज्य शर्त से विरोधाभास दिखे/So contradiction with coprime condition can be shown
Step 1
Concept
In lowest form (m) and (n) are coprime. Both becoming even contradicts this.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. ताकि सहभाज्य शर्त से विरोधाभास दिखे / So contradiction with coprime condition can be shown. In lowest form (m) and (n) are coprime. Both becoming even contradicts this.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप में (m) और (n) सहभाज्य होते हैं। दोनों सम निकलना इसी बात से टकराता है।
D. सहभाज्य मान्यता से विरोधाभास दिखाना/To show contradiction with coprime assumption
Step 1
Concept
In lowest form (r) and (s) are coprime. Both being divisible by (3) gives a contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. सहभाज्य मान्यता से विरोधाभास दिखाना / To show contradiction with coprime assumption. In lowest form (r) and (s) are coprime. Both being divisible by (3) gives a contradiction.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप में (r) और (s) सहभाज्य होते हैं। दोनों का (3) से विभाज्य होना इसी से विरोधाभास देता है।
A. परिमेय मानना फिर वर्ग करना फिर दोनों सम का विरोधाभास/Assume rational then square then contradiction of both even
Step 1
Concept
First \(\sqrt{2}\) is assumed rational. Then squaring gives the contradiction that both are even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. परिमेय मानना फिर वर्ग करना फिर दोनों सम का विरोधाभास / Assume rational then square then contradiction of both even. First \(\sqrt{2}\) is assumed rational. Then squaring gives the contradiction that both are even.
Step 3
Exam Tip
पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानते हैं। फिर वर्ग करके दोनों सम होने का विरोधाभास मिलता है।
B. परिमेय मानना फिर वर्ग करना फिर दोनों (3) से विभाज्य का विरोधाभास/Assume rational then square then contradiction of both divisible by (3)
Step 1
Concept
For \(\sqrt{3}\), after the rational assumption we square. Then both numbers becoming divisible by (3) gives a contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. परिमेय मानना फिर वर्ग करना फिर दोनों (3) से विभाज्य का विरोधाभास / Assume rational then square then contradiction of both divisible by (3). For \(\sqrt{3}\), after the rational assumption we square. Then both numbers becoming divisible by (3) gives a contradiction.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{3}\) में परिमेय मान्यता के बाद वर्ग करते हैं। फिर दोनों संख्याओं का (3) से विभाज्य होना विरोधाभास देता है।
D. (m) और (n) दोनों सम हैं/Both (m) and (n) are even
Step 1
Concept
In lowest form both should not have a common factor. If both are even, (2) becomes common.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (m) और (n) दोनों सम हैं / Both (m) and (n) are even. In lowest form both should not have a common factor. If both are even, (2) becomes common.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप में दोनों का सामान्य गुणनखंड नहीं होना चाहिए। दोनों सम हों तो (2) सामान्य हो जाएगा।
A. (r) और (s) दोनों (3) से विभाज्य हैं/Both (r) and (s) are divisible by (3)
Step 1
Concept
Both being divisible by (3) gives common factor (3). This is against lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (r) और (s) दोनों (3) से विभाज्य हैं / Both (r) and (s) are divisible by (3). Both being divisible by (3) gives common factor (3). This is against lowest form.
Step 3
Exam Tip
दोनों का (3) से विभाज्य होना सामान्य गुणनखंड (3) देता है। यह सरलतम रूप के विरुद्ध है।
B. क्योंकि प्रमाण विभाज्यता और विरोधाभास पर आधारित है/Because the proof is based on divisibility and contradiction
Step 1
Concept
This proof uses evenness and the coprime condition instead of decimals. This is what should be written in exams.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. क्योंकि प्रमाण विभाज्यता और विरोधाभास पर आधारित है / Because the proof is based on divisibility and contradiction. This proof uses evenness and the coprime condition instead of decimals. This is what should be written in exams.
Step 3
Exam Tip
इस प्रमाण में दशमलव की जगह समता और सहभाज्य शर्त का उपयोग होता है। यही परीक्षा में लिखना चाहिए।
The proof of \(\sqrt{3}\) does not use decimal approximation. It uses divisibility by (3) and contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. दशमलव अनुमान / Decimal approximation. The proof of \(\sqrt{3}\) does not use decimal approximation. It uses divisibility by (3) and contradiction.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{3}\) का प्रमाण दशमलव अनुमान से नहीं होता। इसमें (3) से विभाज्यता और विरोधाभास का उपयोग होता है।
C. \(\sqrt{2}\) परिमेय है/\(\sqrt{2}\) is rational
Step 1
Concept
The contradiction makes only the rationality assumption false. Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(\sqrt{2}\) परिमेय है / \(\sqrt{2}\) is rational. The contradiction makes only the rationality assumption false. Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास केवल परिमेय होने की मान्यता को गलत करता है। इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
D. \(\sqrt{3}\) परिमेय है/\(\sqrt{3}\) is rational
Step 1
Concept
The rational assumption leads to a contradiction. Therefore \(\sqrt{3}\) is not rational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \(\sqrt{3}\) परिमेय है / \(\sqrt{3}\) is rational. The rational assumption leads to a contradiction. Therefore \(\sqrt{3}\) is not rational.
Step 3
Exam Tip
परिमेय मान्यता से विरोधाभास आता है। इसलिए \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं है।
B. \(r^2\) (3) से विभाज्य है/\(r^2\) is divisible by (3)
Step 1
Concept
In \(r^2=3s^2\), the right side has factor (3). Therefore \(r^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(r^2\) (3) से विभाज्य है / \(r^2\) is divisible by (3). In \(r^2=3s^2\), the right side has factor (3). Therefore \(r^2\) is divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
\(r^2=3s^2\) में दाएँ पक्ष में (3) का गुणनखंड है। इसलिए \(r^2\) (3) से विभाज्य है।
A. (m) और (n) का सहभाज्य होना/(m) and (n) being coprime
Step 1
Concept
If both are even, they have common factor (2). Therefore they cannot remain coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (m) और (n) का सहभाज्य होना / (m) and (n) being coprime. If both are even, they have common factor (2). Therefore they cannot remain coprime.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम हों तो उनका सामान्य गुणनखंड (2) होगा। इसलिए वे सहभाज्य नहीं रह सकते।
C. दिखाना कि वे दो पूर्णांकों के अनुपात में नहीं लिखे जा सकते/To show they cannot be written as a ratio of two integers
Step 1
Concept
An irrational number cannot be written as a ratio of two integers. These proofs establish exactly that.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. दिखाना कि वे दो पूर्णांकों के अनुपात में नहीं लिखे जा सकते / To show they cannot be written as a ratio of two integers. An irrational number cannot be written as a ratio of two integers. These proofs establish exactly that.
Step 3
Exam Tip
अपरिमेय संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात में नहीं लिखा जा सकता। ये प्रमाण यही सिद्ध करते हैं।
Assuming either \(\sqrt{2}\) or \(\sqrt{3}\) rational gives a contradiction. Therefore both are irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. दोनों अपरिमेय हैं / Both are irrational. Assuming either \(\sqrt{2}\) or \(\sqrt{3}\) rational gives a contradiction. Therefore both are irrational.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\) दोनों के परिमेय मानने से विरोधाभास मिलता है। इसलिए दोनों अपरिमेय हैं।
A. (m) और (n) को पहले से दोनों सम मान लेना/Assuming (m) and (n) both even from the start
Step 1
Concept
Both being even is the contradiction derived at the end. It should not be assumed at the start.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (m) और (n) को पहले से दोनों सम मान लेना / Assuming (m) and (n) both even from the start. Both being even is the contradiction derived at the end. It should not be assumed at the start.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होना प्रमाण के अंत में निकाला गया विरोधाभास है। इसे शुरुआत में नहीं मानना चाहिए।
C. (r) और (s) को शुरुआत से ही (3) से विभाज्य मानना/Assuming (r) and (s) divisible by (3) from the start
Step 1
Concept
Both being divisible by (3) is derived later in the proof. At the start they are only assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (r) और (s) को शुरुआत से ही (3) से विभाज्य मानना / Assuming (r) and (s) divisible by (3) from the start. Both being divisible by (3) is derived later in the proof. At the start they are only assumed coprime.
Step 3
Exam Tip
दोनों का (3) से विभाज्य होना प्रमाण में बाद में निकाला जाता है। शुरुआत में केवल सहभाज्य माना जाता है।
