Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. \(\sqrt{2}\) परिमेय है/\(\sqrt{2}\) is rational
Step 1
Concept
First we assume the opposite that \(\sqrt{2}\) is rational. Then a contradiction is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}\) परिमेय है / \(\sqrt{2}\) is rational. First we assume the opposite that \(\sqrt{2}\) is rational. Then a contradiction is obtained.
Step 3
Exam Tip
पहले उल्टा मानते हैं कि \(\sqrt{2}\) परिमेय है। फिर इसी से विरोधाभास मिलता है।
B. \(\sqrt{3}\) परिमेय है/\(\sqrt{3}\) is rational
Step 1
Concept
In contradiction method \(\sqrt{3}\) is first assumed rational. Later this assumption is shown false.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(\sqrt{3}\) परिमेय है / \(\sqrt{3}\) is rational. In contradiction method \(\sqrt{3}\) is first assumed rational. Later this assumption is shown false.
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास विधि में पहले \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानते हैं। बाद में यह मान्यता गलत सिद्ध होती है।
A rational number is written in lowest form. So (a) and (b) are coprime and \(b\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. सहभाज्य और \(b\neq0\) / Coprime and \(b\neq0\). A rational number is written in lowest form. So (a) and (b) are coprime and \(b\neq0\).
Step 3
Exam Tip
परिमेय संख्या को सरलतम रूप में लिखा जाता है। इसलिए (a) और (b) सहभाज्य तथा \(b\neq0\) होते हैं।
D. क्योंकि शून्य से भाग परिभाषित नहीं है/Because division by zero is not defined
Step 1
Concept
The denominator of a fraction cannot be zero. Therefore \(n\neq0\) is necessary.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. क्योंकि शून्य से भाग परिभाषित नहीं है / Because division by zero is not defined. The denominator of a fraction cannot be zero. Therefore \(n\neq0\) is necessary.
Step 3
Exam Tip
भिन्न का हर शून्य नहीं हो सकता। इसलिए \(n\neq0\) जरूरी है।
D. \(p^2\) (3) से विभाज्य है/\(p^2\) is divisible by (3)
Step 1
Concept
The right side has factor (3). Therefore \(p^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \(p^2\) (3) से विभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (3). The right side has factor (3). Therefore \(p^2\) is divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
दाएँ पक्ष में (3) का गुणनखंड है। इसलिए \(p^2\) (3) से विभाज्य है।
If the square of an integer is even then the integer is also even. This is the key fact in the proof of \(\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (a) सम है / (a) is even. If the square of an integer is even then the integer is also even. This is the key fact in the proof of \(\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
किसी पूर्णांक का वर्ग सम हो तो वह पूर्णांक भी सम होता है। यह \(\sqrt{2}\) के प्रमाण का मुख्य तथ्य है।
If prime factor (3) divides the square then it also divides the number. This is used in the proof of \(\sqrt{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (p) (3) से विभाज्य है / (p) is divisible by (3). If prime factor (3) divides the square then it also divides the number. This is used in the proof of \(\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
अभाज्य गुणनखंड (3) यदि वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है। यही \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में लगता है।
Since \(q^2\) is divisible by (3), (q) is also divisible by (3). This creates the contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (q) (3) से विभाज्य है / (q) is divisible by (3). Since \(q^2\) is divisible by (3), (q) is also divisible by (3). This creates the contradiction.
Step 3
Exam Tip
\(q^2\) (3) से विभाज्य है इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य होगा। यही विरोधाभास बनाता है।
A. क्योंकि दोनों का सामान्य गुणनखंड (2) है/Because both have common factor (2)
Step 1
Concept
If both are even, (2) divides both. Therefore they cannot be coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि दोनों का सामान्य गुणनखंड (2) है / Because both have common factor (2). If both are even, (2) divides both. Therefore they cannot be coprime.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होने पर (2) दोनों को विभाजित करता है। इसलिए वे सहभाज्य नहीं रह सकते।
A. क्योंकि उससे असंभव स्थिति मिलती है/Because it leads to an impossible situation
Step 1
Concept
When an assumption leads to contradiction, that assumption is false. This proves irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि उससे असंभव स्थिति मिलती है / Because it leads to an impossible situation. When an assumption leads to contradiction, that assumption is false. This proves irrationality.
Step 3
Exam Tip
जब मान्यता से विरोधाभास मिलता है तो वह मान्यता गलत होती है। इसी से अपरिमेयता सिद्ध होती है।
A. यदि \(a^2\) सम है तो (a) सम है/If \(a^2\) is even then (a) is even
Step 1
Concept
This is a necessary fact in the proof. It shows (a) and later (b) are both even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यदि \(a^2\) सम है तो (a) सम है / If \(a^2\) is even then (a) is even. This is a necessary fact in the proof. It shows (a) and later (b) are both even.
Step 3
Exam Tip
यह प्रमाण का जरूरी तथ्य है। इससे (a) और बाद में (b) दोनों सम सिद्ध होते हैं।
B. यदि \(p^2\) (3) से विभाज्य है तो (p) (3) से विभाज्य है/If \(p^2\) is divisible by (3) then (p) is divisible by (3)
Step 1
Concept
If prime (3) divides the square, it divides the number too. This is the main step in the proof.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. यदि \(p^2\) (3) से विभाज्य है तो (p) (3) से विभाज्य है / If \(p^2\) is divisible by (3) then (p) is divisible by (3). If prime (3) divides the square, it divides the number too. This is the main step in the proof.
Step 3
Exam Tip
अभाज्य (3) वर्ग को विभाजित करे तो वह संख्या को भी विभाजित करता है। यही प्रमाण में मुख्य कदम है।
A. \(\sqrt{2}\) परिमेय नहीं है/\(\sqrt{2}\) is not rational
Step 1
Concept
The contradiction proves the rational assumption false. So \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}\) परिमेय नहीं है / \(\sqrt{2}\) is not rational. The contradiction proves the rational assumption false. So \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास से परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है। इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
B. \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं है/\(\sqrt{3}\) is not rational
Step 1
Concept
The rational assumption leads to contradiction. Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं है / \(\sqrt{3}\) is not rational. The rational assumption leads to contradiction. Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
परिमेय मान्यता से विरोधाभास मिलता है। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
A. \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) मानना/Assuming \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\)
Step 1
Concept
First \(\sqrt{2}\) is assumed in lowest rational form. Then squaring gives \(a^2=2b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) मानना / Assuming \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\). First \(\sqrt{2}\) is assumed in lowest rational form. Then squaring gives \(a^2=2b^2\).
Step 3
Exam Tip
पहले \(\sqrt{2}\) को सरलतम परिमेय रूप में मानते हैं। फिर वर्ग करने पर \(a^2=2b^2\) मिलता है।
B. \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानना/Assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\)
Step 1
Concept
First \(\sqrt{3}\) is assumed rational and written as \(\frac{p}{q}\). Then squaring gives \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानना / Assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\). First \(\sqrt{3}\) is assumed rational and written as \(\frac{p}{q}\). Then squaring gives \(p^2=3q^2\).
Step 3
Exam Tip
पहले \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) रूप में लिखा जाता है। फिर वर्ग करने पर \(p^2=3q^2\) बनता है।
A. दोनों का सामान्य गुणनखंड केवल (1) है/Their only common factor is (1)
Step 1
Concept
Coprime means no common factor except (1). This later creates the contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों का सामान्य गुणनखंड केवल (1) है / Their only common factor is (1). Coprime means no common factor except (1). This later creates the contradiction.
Step 3
Exam Tip
सहभाज्य का अर्थ है कोई सामान्य गुणनखंड (1) के अलावा न हो। यही बाद में विरोधाभास बनाता है।
B. दोनों का सामान्य गुणनखंड केवल (1) है/Their only common factor is (1)
Step 1
Concept
Coprime numbers have no common factor except (1). Both becoming divisible by (3) clashes with this.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. दोनों का सामान्य गुणनखंड केवल (1) है / Their only common factor is (1). Coprime numbers have no common factor except (1). Both becoming divisible by (3) clashes with this.
Step 3
Exam Tip
सहभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा कोई सामान्य गुणनखंड नहीं होता। दोनों का (3) से विभाज्य निकलना इसी से टकराता है।
A. परिमेय मानना फिर वर्ग करना फिर दोनों सम का विरोधाभास/Assume rational then square then contradiction of both even
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{2}\), it is first assumed rational. Then squaring gives the contradiction of both even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. परिमेय मानना फिर वर्ग करना फिर दोनों सम का विरोधाभास / Assume rational then square then contradiction of both even. In the proof of \(\sqrt{2}\), it is first assumed rational. Then squaring gives the contradiction of both even.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में पहले परिमेय मानते हैं। फिर वर्ग करके दोनों सम का विरोधाभास मिलता है।
B. परिमेय मानना फिर वर्ग करना फिर दोनों (3) से विभाज्य का विरोधाभास/Assume rational then square then contradiction of both divisible by (3)
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{3}\), it is first assumed rational. Then a divisibility by (3) contradiction is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. परिमेय मानना फिर वर्ग करना फिर दोनों (3) से विभाज्य का विरोधाभास / Assume rational then square then contradiction of both divisible by (3). In the proof of \(\sqrt{3}\), it is first assumed rational. Then a divisibility by (3) contradiction is obtained.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में पहले परिमेय मानते हैं। फिर (3) से विभाज्यता का विरोधाभास मिलता है।
C. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय सिद्ध हुआ/\(\sqrt{2}\) is proved irrational
Step 1
Concept
The rational assumption leads to contradiction. So the correct conclusion is that \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय सिद्ध हुआ / \(\sqrt{2}\) is proved irrational. The rational assumption leads to contradiction. So the correct conclusion is that \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
परिमेय मान्यता से विरोधाभास आता है। इसलिए सही निष्कर्ष \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
D. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
The rational assumption breaks the coprime condition. Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{3}\) is irrational. The rational assumption breaks the coprime condition. Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
परिमेय मान्यता से सहभाज्य शर्त टूटती है। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
For integers, evenness of the square is linked with evenness of the number. If the square is not even, the number is not even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. विषम / Odd. For integers, evenness of the square is linked with evenness of the number. If the square is not even, the number is not even.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक के लिए वर्ग की समता संख्या की समता से जुड़ी होती है। वर्ग सम न हो तो संख्या सम नहीं होगी।
A. ताकि सहभाज्य मान्यता से विरोधाभास दिख सके/So contradiction with coprime assumption can be shown
Step 1
Concept
In lowest form (a) and (b) are coprime. Later both becoming even contradicts this.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ताकि सहभाज्य मान्यता से विरोधाभास दिख सके / So contradiction with coprime assumption can be shown. In lowest form (a) and (b) are coprime. Later both becoming even contradicts this.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप में (a) और (b) सहभाज्य होते हैं। बाद में दोनों सम निकलना इसी से विरोधाभास देता है।
B. ताकि सहभाज्य मान्यता से विरोधाभास दिख सके/So contradiction with coprime assumption can be shown
Step 1
Concept
In lowest form (p) and (q) are coprime. Both being divisible by (3) contradicts this.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. ताकि सहभाज्य मान्यता से विरोधाभास दिख सके / So contradiction with coprime assumption can be shown. In lowest form (p) and (q) are coprime. Both being divisible by (3) contradicts this.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप में (p) और (q) सहभाज्य होते हैं। दोनों का (3) से विभाज्य होना इसी से विरोधाभास देता है।
A. \(\sqrt{2}\) परिमेय है/\(\sqrt{2}\) is rational
Step 1
Concept
The contradiction proves only the rational assumption false. Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}\) परिमेय है / \(\sqrt{2}\) is rational. The contradiction proves only the rational assumption false. Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास केवल परिमेय मान्यता को गलत सिद्ध करता है। इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
B. \(\sqrt{3}\) परिमेय है/\(\sqrt{3}\) is rational
Step 1
Concept
The contradiction makes the rational assumption false. Therefore \(\sqrt{3}\) is proved irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(\sqrt{3}\) परिमेय है / \(\sqrt{3}\) is rational. The contradiction makes the rational assumption false. Therefore \(\sqrt{3}\) is proved irrational.
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास से परिमेय मान्यता गलत होती है। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय सिद्ध होता है।
After assuming rationality, the number is written in lowest fraction form. This gives the coprime condition.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सरलतम भिन्न के रूप में / In lowest fraction form. After assuming rationality, the number is written in lowest fraction form. This gives the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
परिमेय मानकर संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है। इसी से सहभाज्य शर्त मिलती है।
A. दोनों में विरोधाभास विधि है/Both use contradiction method
Step 1
Concept
Both proofs first assume rationality. Then a contradiction with coprime condition is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों में विरोधाभास विधि है / Both use contradiction method. Both proofs first assume rationality. Then a contradiction with coprime condition is obtained.
Step 3
Exam Tip
दोनों प्रमाणों में पहले परिमेय मानते हैं। फिर सहभाज्य शर्त से विरोधाभास मिलता है।
A. \(\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में था/\(\frac{a}{b}\) was in lowest form
Step 1
Concept
If both are even, the fraction cannot be in lowest form. So the first conclusion should not be taken.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में था / \(\frac{a}{b}\) was in lowest form. If both are even, the fraction cannot be in lowest form. So the first conclusion should not be taken.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम हों तो भिन्न सरलतम रूप में नहीं रह सकती। इसलिए पहला निष्कर्ष नहीं लेना चाहिए।
A. यह दिखाना कि इन्हें सरलतम परिमेय भिन्न में नहीं लिखा जा सकता/To show they cannot be written as lowest rational fractions
Step 1
Concept
An irrational number cannot be written as a ratio of two integers. Both proofs establish this fact.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह दिखाना कि इन्हें सरलतम परिमेय भिन्न में नहीं लिखा जा सकता / To show they cannot be written as lowest rational fractions. An irrational number cannot be written as a ratio of two integers. Both proofs establish this fact.
Step 3
Exam Tip
अपरिमेय संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात में नहीं लिखा जा सकता। दोनों प्रमाण यही बात सिद्ध करते हैं।
A. यह दिखाना कि (q) भी (3) से विभाज्य है/To show that (q) is also divisible by (3)
Step 1
Concept
Taking (p=3r) gives \(q^2=3r^2\) next. This proves (q) is also divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह दिखाना कि (q) भी (3) से विभाज्य है / To show that (q) is also divisible by (3). Taking (p=3r) gives \(q^2=3r^2\) next. This proves (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
(p=3r) रखने पर आगे \(q^2=3r^2\) मिलता है। इससे (q) भी (3) से विभाज्य सिद्ध होता है।
