Why is it necessary to take (\frac{p}{q}) in lowest form in the proof of (\sqrt{3})?(\sqrt{3}) के प्रमाण में (\frac{p}{q}) को सरलतम रूप में लेना क्यों जरूरी है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: So contradiction with coprime assumption can be shownताकि सहभाज्य मान्यता से विरोधाभास दिख सके
In the standard contradiction proof, assume that \(\sqrt{3}=p/q\), where \(p\) and \(q\) are integers and the fraction is in lowest form. Lowest form means that \(p\) and \(q\) have no common factor. Squaring gives \(p^2=3q^2\). This shows that 3 divides \(p^2\), and therefore 3 divides \(p\). Writing \(p=3k\) then shows that 3 also divides \(q\).
That conclusion contradicts the original statement that \(p/q\) was in lowest form. The contradiction proves that \(\sqrt{3}\) cannot be rational. Thus option B is correct. Without the coprime assumption, finding a common factor would not create a contradiction, so taking lowest form is essential. The supplied explanation is accurate.विरोधाभास द्वारा प्रमाण में पहले माना जाता है कि \(\sqrt{3}=p/q\), जहाँ \(p\) और \(q\) पूर्णांक हैं तथा भिन्न सरलतम रूप में है। सरलतम रूप का अर्थ है कि दोनों में कोई समान गुणनखंड नहीं है। वर्ग करने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है। इससे 3, \(p^2\) को विभाजित करता है और इसलिए 3, \(p\) को भी विभाजित करता है। फिर \(p=3k\) रखने पर पता चलता है कि 3, \(q\) को भी विभाजित करता है।
यह निष्कर्ष इस प्रारंभिक शर्त का विरोध करता है कि \(p\) और \(q\) सहभाज्य हैं। यही विरोधाभास सिद्ध करता है कि \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं हो सकता। इसलिए विकल्प B सही है। यदि भिन्न सरलतम रूप में न ली जाए, तो समान गुणनखंड मिलना विरोधाभास नहीं बनेगा। दी गई व्याख्या सही है।
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