Which conclusion is correct in the proof that √2 is irrational?√2 के अपरिमेय होने के प्रमाण में कौन-सा निष्कर्ष सही है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: √2 is irrational√2 अपरिमेय है
The standard proof uses contradiction. Assume that √2 is rational and write √2=p/q, where p and q are coprime integers and q≠0. Squaring gives p²=2q². Thus p² is even, which means p is even; let p=2k. Substitution gives 4k²=2q², so q²=2k², and q is also even. This contradicts the assumption that p and q have no common factor. Therefore the assumption is false and √2 is irrational. Option C states this conclusion. Options A and B conflict with the contradiction proof, and √2 is clearly not zero because its square is 2.√2 की अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए विरोधाभास विधि अपनाई जाती है। मान लें कि √2 परिमेय है, अर्थात √2=p/q, जहाँ p और q सहभाज्य पूर्णांक हैं तथा q≠0। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर p²=2q² मिलता है। इससे p² सम और इसलिए p सम होगा; p=2k लिखें। रखने पर 4k²=2q², अतः q²=2k² और q भी सम होगा। इस प्रकार p और q दोनों में 2 समान गुणनखंड है, जो उनके सहभाज्य होने की शर्त का विरोध करता है। इसलिए प्रारम्भिक मान्यता गलत है और √2 अपरिमेय है। अतः विकल्प C सही है; A और B प्रमाण के निष्कर्ष के विपरीत हैं तथा √2 शून्य भी नहीं है।
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