In both proofs in what form is the number first written?दोनों प्रमाणों में संख्या को पहले किस रूप में लिखा जाता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: In lowest fraction formसरलतम भिन्न के रूप में
To prove that a square root such as \(\sqrt{2}\) or \(\sqrt{3}\) is irrational, the proof begins by assuming the opposite: that the number is rational. Every rational number can be written as a fraction \(\frac{m}{n}\), where m and n are integers, n is nonzero, and the fraction is in lowest terms. The lowest-terms condition means m and n have no common factor.
This form is essential because the later argument shows that both m and n must be divisible by the same number, usually 2 for \(\sqrt{2}\) or 3 for \(\sqrt{3}\). That contradicts their being coprime. A decimal or percentage form does not provide this useful coprime condition. Therefore option A, the simplest fraction form, is correct.\(\sqrt{2}\) या \(\sqrt{3}\) को अपरिमेय सिद्ध करने के लिए प्रमाण की शुरुआत इसके विपरीत मानने से होती है कि संख्या परिमेय है। प्रत्येक परिमेय संख्या को \(\frac{m}{n}\) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ m और n पूर्णांक हैं, n शून्य नहीं है, और भिन्न सरलतम रूप में है। सरलतम रूप का अर्थ है कि m और n में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
यह शर्त बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि आगे प्रमाण में दिखाया जाता है कि m और n दोनों किसी एक संख्या से विभाज्य होने चाहिए—\(\sqrt{2}\) के लिए प्रायः 2 और \(\sqrt{3}\) के लिए 3। इससे वे सहभाज्य होने की धारणा का विरोधाभास उत्पन्न करते हैं। दशमलव या प्रतिशत रूप ऐसी उपयोगी शर्त नहीं देता। इसलिए विकल्प A सही है।
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