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A. \(\sqrt{2}\) परिमेय है/\(\sqrt{2}\) is rational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास विधि में पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानते हैं। फिर इसी मान्यता से विरोधाभास निकाला जाता है। / In contradiction method we first assume \(\sqrt{2}\) is rational. Then a contradiction is obtained from this assumption.
परिमेय संख्या को न्यूनतम रूप में \(\frac{p}{q}\) लिखा जाता है। इसलिए (p) और (q) सहभाज्य माने जाते हैं। / A rational number is written in lowest form as \(\frac{p}{q}\). So (p) and (q) are assumed coprime.
क्योंकि \(p^2\) में (2) का गुणनखंड है इसलिए \(p^2\) सम है। समता पहचानना इस प्रमाण का मुख्य चरण है। / Since \(p^2\) has factor (2), \(p^2\) is even. Recognising evenness is a key step in this proof.
यदि किसी संख्या का वर्ग सम है तो वह संख्या भी सम होती है। यही तथ्य \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में उपयोग होता है। / If the square of a number is even then the number is also even. This fact is used in the proof for \(\sqrt{2}\).
\(q^2\) सम है इसलिए (q) भी सम होगा। यह (p) और (q) दोनों को सम बना देता है। / Since \(q^2\) is even, (q) is also even. This makes both (p) and (q) even.
A. (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं/Both (p) and (q) become even
Explanation
Simple Explanation
शुरू में (p) और (q) सहभाज्य माने गए थे। दोनों का सम निकलना इसी मान्यता से विरोधाभास है। / At the start (p) and (q) were assumed coprime. Both becoming even contradicts that assumption.
इस प्रमाण में पहले उल्टा मानकर अंत में विरोधाभास दिखाते हैं। इसलिए यह विरोधाभास विधि है। / In this proof the opposite is assumed first and a contradiction is shown at the end. So it is contradiction method.
C. \(\sqrt{3}\) परिमेय है/\(\sqrt{3}\) is rational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास के लिए पहले \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानते हैं। फिर यह मान्यता गलत सिद्ध होती है। / For contradiction \(\sqrt{3}\) is first assumed rational. Then this assumption is shown false.
यदि किसी संख्या का वर्ग (3) से विभाज्य है तो वह संख्या भी (3) से विभाज्य होती है। यह अभाज्य गुणनखंड का उपयोग है। / If the square of a number is divisible by (3), the number is also divisible by (3). This uses prime factor property.
(3) से विभाज्य संख्या को (3) के गुणज के रूप में लिखते हैं। इसलिए (a=3k) रखा जाता है। / A number divisible by (3) is written as a multiple of (3). So (a=3k) is taken.
\(b^2\) (3) से विभाज्य है इसलिए (b) भी (3) से विभाज्य होगा। यही विरोधाभास पैदा करता है। / Since \(b^2\) is divisible by (3), (b) is also divisible by (3). This creates the contradiction.
A. (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं/Both (a) and (b) become divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
शुरू में (a) और (b) सहभाज्य थे। दोनों का (3) से विभाज्य होना इस बात से विरोधाभास है। / At the start (a) and (b) were coprime. Both being divisible by (3) contradicts this.
A. उन्हें पहले परिमेय मानते हैं/They are first assumed rational
Explanation
Simple Explanation
दोनों प्रमाणों में विरोधाभास विधि इस्तेमाल होती है। इसलिए पहले परिमेय मानकर आगे चलते हैं। / Both proofs use contradiction method. So they are first assumed rational and then examined.
A. क्योंकि शून्य से भाग परिभाषित नहीं है/Because division by zero is not defined
Explanation
Simple Explanation
भिन्न में हर शून्य नहीं हो सकता। इसलिए परिमेय रूप में \(q\neq0\) जरूरी है। / The denominator of a fraction cannot be zero. So \(q\neq0\) is necessary in rational form.
A. क्योंकि भिन्न को न्यूनतम रूप में लिखा जाता है/Because the fraction is written in lowest form
Explanation
Simple Explanation
परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जा सकता है। इसलिए (a) और (b) सहभाज्य माने जाते हैं। / A rational number can be written in lowest fractional form. So (a) and (b) are assumed coprime.
सम संख्या का वर्ग भी सम होता है। \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में यह विचार उल्टी दिशा में भी प्रयोग होता है। / The square of an even number is also even. In the proof of \(\sqrt{2}\), this idea is also used in reverse direction.
A. वह (3) से विभाज्य होगा/It will be divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
यदि संख्या में (3) का गुणनखंड है तो उसके वर्ग में भी (3) का गुणनखंड होगा। यह \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में उपयोगी है। / If a number has factor (3), its square also has factor (3). This is useful in the proof of \(\sqrt{3}\).
A. यदि \(n^2\) सम है तो (n) सम है/If \(n^2\) is even then (n) is even
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2\) सम होने से (p) सम निकाला जाता है। यह मुख्य तर्क है। / In the proof of \(\sqrt{2}\), (p) is concluded even from \(p^2\) being even. This is the main argument.
A. यदि \(n^2\) (3) से विभाज्य है तो (n) (3) से विभाज्य है/If \(n^2\) is divisible by (3) then (n) is divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(a^2\) से (a) के (3) से विभाज्य होने का निष्कर्ष लिया जाता है। यही मुख्य तथ्य है। / In the proof of \(\sqrt{3}\), divisibility of (a) by (3) is concluded from \(a^2\). This is the key fact.
A. \(\sqrt{2}\) परिमेय नहीं है/\(\sqrt{2}\) is not rational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास से परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है। इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / The contradiction proves the rational assumption false. Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational.
B. \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं है/\(\sqrt{3}\) is not rational
Explanation
Simple Explanation
परिमेय मान्यता से विरोधाभास मिलता है। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय सिद्ध होता है। / The rational assumption leads to a contradiction. Therefore \(\sqrt{3}\) is proved irrational.
दोनों सम होने पर उनका सामान्य गुणनखंड (2) होता है। इसलिए वे सहभाज्य नहीं रह सकते। / If both are even, they have common factor (2). So they cannot remain coprime.
A. प्रारंभिक मान्यता को गलत दिखाना/To show the initial assumption is false
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास विधि में मान्यता से असंभव स्थिति बनती है। इससे शुरुआती मान्यता गलत सिद्ध होती है। / In contradiction method the assumption leads to an impossible situation. This proves the initial assumption false.
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{2}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) को परिमेय मानने पर विरोधाभास मिलता है। इसलिए यह अपरिमेय है। / Assuming \(\sqrt{2}\) rational gives a contradiction. Therefore it is irrational.
B. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{3}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानने से (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं। यह विरोधाभास है। / Assuming \(\sqrt{3}\) rational makes both (a) and (b) divisible by (3). This is a contradiction.
A. यह \(a^2\) को (3) से विभाज्य दिखाता है/It shows \(a^2\) is divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
दाएँ पक्ष में (3) है इसलिए \(a^2\) (3) से विभाज्य है। आगे इससे (a) भी (3) से विभाज्य मिलता है। / The right side has (3), so \(a^2\) is divisible by (3). Then (a) is also divisible by (3).
A. उनका कोई सामान्य गुणनखंड (1) के अलावा नहीं है/They have no common factor except (1)
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में अंश और हर सहभाज्य होते हैं। यही प्रमाण में विरोधाभास दिखाने के लिए जरूरी है। / In lowest form the numerator and denominator are coprime. This is needed to show contradiction in the proof.
दोनों सम होने से सामान्य गुणनखंड (2) मिलता है। यह सहभाज्य होने की शर्त को तोड़ता है। / Both being even gives common factor (2). This breaks the coprime condition.
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड होगा। यह सहभाज्य होने की शर्त से विरोधाभास है। / Both will have common factor (3). This contradicts the coprime condition.
परिमेय संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) मानना उसे परिमेय मानना है। / A rational number can be written as a ratio of two integers. So assuming \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) means assuming it rational.
किसी परिमेय संख्या को \(\frac{a}{b}\) रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए यह परिमेय मान्यता है। / A rational number can be written in the form \(\frac{a}{b}\). So this is a rational assumption.
A. क्योंकि (a) (3) से विभाज्य सिद्ध होता है/Because (a) is proved divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
\(a^2\) (3) से विभाज्य होने से (a) भी (3) से विभाज्य होता है। इसलिए (a=3k) लिखा जाता है। / Since \(a^2\) is divisible by (3), (a) is also divisible by (3). So (a=3k) is written.
\(p^2=2q^2\) से (p) सम मिलता है। फिर (q) भी सम निकलता है और विरोधाभास बनता है। / From \(p^2=2q^2\), (p) becomes even. Then (q) also becomes even and a contradiction is formed.
\(a^2=3b^2\) से (a) (3) से विभाज्य मिलता है। फिर (b) भी (3) से विभाज्य निकलता है। / From \(a^2=3b^2\), (a) becomes divisible by (3). Then (b) also becomes divisible by (3).
A. परिमेय मानना फिर वर्ग करना फिर विरोधाभास/Assume rational then square then contradiction
Explanation
Simple Explanation
सही प्रमाण में पहले परिमेय मानते हैं। फिर वर्ग करके समता से विरोधाभास दिखाते हैं। / In the correct proof first rationality is assumed. Then squaring and evenness lead to contradiction.
A. परिमेय मानना फिर वर्ग करना फिर (3) से विभाज्यता फिर विरोधाभास/Assume rational then square then divisibility by (3) then contradiction
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में वर्ग के बाद (3) से विभाज्यता का उपयोग होता है। अंत में सहभाज्य मान्यता से विरोधाभास मिलता है। / In the proof of \(\sqrt{3}\), divisibility by (3) is used after squaring. Finally the coprime assumption is contradicted.
A. क्योंकि परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखी जाती है/Because a rational number is written as a ratio of two integers
Explanation
Simple Explanation
परिमेय संख्या का सामान्य रूप \(\frac{p}{q}\) होता है जहाँ (p) और (q) पूर्णांक होते हैं। यही प्रमाण की शुरुआत है। / The general form of a rational number is \(\frac{p}{q}\) where (p) and (q) are integers. This starts the proof.
A. क्योंकि भिन्न का हर शून्य नहीं हो सकता/Because the denominator of a fraction cannot be zero
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{a}{b}\) में हर शून्य हो तो भिन्न परिभाषित नहीं रहती। इसलिए \(b\neq0\) जरूरी है। / If the denominator in \(\frac{a}{b}\) is zero, the fraction is not defined. So \(b\neq0\) is necessary.
पहले (p) सम निकलता है और बाद में (q) सम निकलता है। यही विरोधाभास को पूरा करता है। / First (p) becomes even and later (q) becomes even. This completes the contradiction.
A. (3) से विभाज्यता का निष्कर्ष/Conclusion of divisibility by (3)
Explanation
Simple Explanation
पहले (a) (3) से विभाज्य मिलता है और फिर (b) भी (3) से विभाज्य मिलता है। इससे विरोधाभास बनता है। / First (a) is found divisible by (3), and then (b) is also found divisible by (3). This creates the contradiction.
A. दोनों में सहभाज्य भिन्न की मान्यता से विरोधाभास मिलता है/Both get contradiction from coprime fraction assumption
Explanation
Simple Explanation
दोनों प्रमाण परिमेय मान्यता और सहभाज्य भिन्न से शुरू होते हैं। अंत में सामान्य गुणनखंड मिलकर विरोधाभास देता है। / Both proofs start with rational assumption and a coprime fraction. Finally a common factor gives contradiction.
