Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. \(\sqrt{2}\) परिमेय है/\(\sqrt{2}\) is rational
Step 1
Concept
In contradiction method we first assume \(\sqrt{2}\) is rational. Then a contradiction is obtained from this assumption.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}\) परिमेय है / \(\sqrt{2}\) is rational. In contradiction method we first assume \(\sqrt{2}\) is rational. Then a contradiction is obtained from this assumption.
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास विधि में पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानते हैं। फिर इसी मान्यता से विरोधाभास निकाला जाता है।
A rational number is written in lowest form as \(\frac{p}{q}\). So (p) and (q) are assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. वे सहभाज्य हों / They are coprime. A rational number is written in lowest form as \(\frac{p}{q}\). So (p) and (q) are assumed coprime.
Step 3
Exam Tip
परिमेय संख्या को न्यूनतम रूप में \(\frac{p}{q}\) लिखा जाता है। इसलिए (p) और (q) सहभाज्य माने जाते हैं।
Since \(p^2\) has factor (2), \(p^2\) is even. Recognising evenness is a key step in this proof.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \(p^2\) सम है / \(p^2\) is even. Since \(p^2\) has factor (2), \(p^2\) is even. Recognising evenness is a key step in this proof.
Step 3
Exam Tip
क्योंकि \(p^2\) में (2) का गुणनखंड है इसलिए \(p^2\) सम है। समता पहचानना इस प्रमाण का मुख्य चरण है।
If the square of a number is even then the number is also even. This fact is used in the proof for \(\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (p) सम है / (p) is even. If the square of a number is even then the number is also even. This fact is used in the proof for \(\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
यदि किसी संख्या का वर्ग सम है तो वह संख्या भी सम होती है। यही तथ्य \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में उपयोग होता है।
A. (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं/Both (p) and (q) become even
Step 1
Concept
At the start (p) and (q) were assumed coprime. Both becoming even contradicts that assumption.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं / Both (p) and (q) become even. At the start (p) and (q) were assumed coprime. Both becoming even contradicts that assumption.
Step 3
Exam Tip
शुरू में (p) और (q) सहभाज्य माने गए थे। दोनों का सम निकलना इसी मान्यता से विरोधाभास है।
In this proof the opposite is assumed first and a contradiction is shown at the end. So it is contradiction method.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. विरोधाभास विधि / Contradiction method. In this proof the opposite is assumed first and a contradiction is shown at the end. So it is contradiction method.
Step 3
Exam Tip
इस प्रमाण में पहले उल्टा मानकर अंत में विरोधाभास दिखाते हैं। इसलिए यह विरोधाभास विधि है।
C. \(\sqrt{3}\) परिमेय है/\(\sqrt{3}\) is rational
Step 1
Concept
For contradiction \(\sqrt{3}\) is first assumed rational. Then this assumption is shown false.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(\sqrt{3}\) परिमेय है / \(\sqrt{3}\) is rational. For contradiction \(\sqrt{3}\) is first assumed rational. Then this assumption is shown false.
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास के लिए पहले \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानते हैं। फिर यह मान्यता गलत सिद्ध होती है।
If the square of a number is divisible by (3), the number is also divisible by (3). This uses prime factor property.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (a) (3) से विभाज्य है / (a) is divisible by (3). If the square of a number is divisible by (3), the number is also divisible by (3). This uses prime factor property.
Step 3
Exam Tip
यदि किसी संख्या का वर्ग (3) से विभाज्य है तो वह संख्या भी (3) से विभाज्य होती है। यह अभाज्य गुणनखंड का उपयोग है।
Since \(b^2\) is divisible by (3), (b) is also divisible by (3). This creates the contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (b) (3) से विभाज्य है / (b) is divisible by (3). Since \(b^2\) is divisible by (3), (b) is also divisible by (3). This creates the contradiction.
Step 3
Exam Tip
\(b^2\) (3) से विभाज्य है इसलिए (b) भी (3) से विभाज्य होगा। यही विरोधाभास पैदा करता है।
A. (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं/Both (a) and (b) become divisible by (3)
Step 1
Concept
At the start (a) and (b) were coprime. Both being divisible by (3) contradicts this.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं / Both (a) and (b) become divisible by (3). At the start (a) and (b) were coprime. Both being divisible by (3) contradicts this.
Step 3
Exam Tip
शुरू में (a) और (b) सहभाज्य थे। दोनों का (3) से विभाज्य होना इस बात से विरोधाभास है।
A. उन्हें पहले परिमेय मानते हैं/They are first assumed rational
Step 1
Concept
Both proofs use contradiction method. So they are first assumed rational and then examined.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. उन्हें पहले परिमेय मानते हैं / They are first assumed rational. Both proofs use contradiction method. So they are first assumed rational and then examined.
Step 3
Exam Tip
दोनों प्रमाणों में विरोधाभास विधि इस्तेमाल होती है। इसलिए पहले परिमेय मानकर आगे चलते हैं।
A. क्योंकि शून्य से भाग परिभाषित नहीं है/Because division by zero is not defined
Step 1
Concept
The denominator of a fraction cannot be zero. So \(q\neq0\) is necessary in rational form.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि शून्य से भाग परिभाषित नहीं है / Because division by zero is not defined. The denominator of a fraction cannot be zero. So \(q\neq0\) is necessary in rational form.
Step 3
Exam Tip
भिन्न में हर शून्य नहीं हो सकता। इसलिए परिमेय रूप में \(q\neq0\) जरूरी है।
A. क्योंकि भिन्न को न्यूनतम रूप में लिखा जाता है/Because the fraction is written in lowest form
Step 1
Concept
A rational number can be written in lowest fractional form. So (a) and (b) are assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि भिन्न को न्यूनतम रूप में लिखा जाता है / Because the fraction is written in lowest form. A rational number can be written in lowest fractional form. So (a) and (b) are assumed coprime.
Step 3
Exam Tip
परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जा सकता है। इसलिए (a) और (b) सहभाज्य माने जाते हैं।
The square of an even number is also even. In the proof of \(\sqrt{2}\), this idea is also used in reverse direction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. सम / Even. The square of an even number is also even. In the proof of \(\sqrt{2}\), this idea is also used in reverse direction.
Step 3
Exam Tip
सम संख्या का वर्ग भी सम होता है। \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में यह विचार उल्टी दिशा में भी प्रयोग होता है।
A. वह (3) से विभाज्य होगा/It will be divisible by (3)
Step 1
Concept
If a number has factor (3), its square also has factor (3). This is useful in the proof of \(\sqrt{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वह (3) से विभाज्य होगा / It will be divisible by (3). If a number has factor (3), its square also has factor (3). This is useful in the proof of \(\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
यदि संख्या में (3) का गुणनखंड है तो उसके वर्ग में भी (3) का गुणनखंड होगा। यह \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में उपयोगी है।
A. यदि \(n^2\) सम है तो (n) सम है/If \(n^2\) is even then (n) is even
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{2}\), (p) is concluded even from \(p^2\) being even. This is the main argument.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यदि \(n^2\) सम है तो (n) सम है / If \(n^2\) is even then (n) is even. In the proof of \(\sqrt{2}\), (p) is concluded even from \(p^2\) being even. This is the main argument.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2\) सम होने से (p) सम निकाला जाता है। यह मुख्य तर्क है।
A. यदि \(n^2\) (3) से विभाज्य है तो (n) (3) से विभाज्य है/If \(n^2\) is divisible by (3) then (n) is divisible by (3)
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{3}\), divisibility of (a) by (3) is concluded from \(a^2\). This is the key fact.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यदि \(n^2\) (3) से विभाज्य है तो (n) (3) से विभाज्य है / If \(n^2\) is divisible by (3) then (n) is divisible by (3). In the proof of \(\sqrt{3}\), divisibility of (a) by (3) is concluded from \(a^2\). This is the key fact.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(a^2\) से (a) के (3) से विभाज्य होने का निष्कर्ष लिया जाता है। यही मुख्य तथ्य है।
A. \(\sqrt{2}\) परिमेय नहीं है/\(\sqrt{2}\) is not rational
Step 1
Concept
The contradiction proves the rational assumption false. Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}\) परिमेय नहीं है / \(\sqrt{2}\) is not rational. The contradiction proves the rational assumption false. Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास से परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है। इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
B. \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं है/\(\sqrt{3}\) is not rational
Step 1
Concept
The rational assumption leads to a contradiction. Therefore \(\sqrt{3}\) is proved irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं है / \(\sqrt{3}\) is not rational. The rational assumption leads to a contradiction. Therefore \(\sqrt{3}\) is proved irrational.
Step 3
Exam Tip
परिमेय मान्यता से विरोधाभास मिलता है। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय सिद्ध होता है।
If both are even, they have common factor (2). So they cannot remain coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वे सहभाज्य नहीं हो सकते / They cannot be coprime. If both are even, they have common factor (2). So they cannot remain coprime.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होने पर उनका सामान्य गुणनखंड (2) होता है। इसलिए वे सहभाज्य नहीं रह सकते।
A. प्रारंभिक मान्यता को गलत दिखाना/To show the initial assumption is false
Step 1
Concept
In contradiction method the assumption leads to an impossible situation. This proves the initial assumption false.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. प्रारंभिक मान्यता को गलत दिखाना / To show the initial assumption is false. In contradiction method the assumption leads to an impossible situation. This proves the initial assumption false.
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास विधि में मान्यता से असंभव स्थिति बनती है। इससे शुरुआती मान्यता गलत सिद्ध होती है।
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
Assuming \(\sqrt{2}\) rational gives a contradiction. Therefore it is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{2}\) is irrational. Assuming \(\sqrt{2}\) rational gives a contradiction. Therefore it is irrational.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\) को परिमेय मानने पर विरोधाभास मिलता है। इसलिए यह अपरिमेय है।
B. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
Assuming \(\sqrt{3}\) rational makes both (a) and (b) divisible by (3). This is a contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{3}\) is irrational. Assuming \(\sqrt{3}\) rational makes both (a) and (b) divisible by (3). This is a contradiction.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानने से (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं। यह विरोधाभास है।
A. यह \(p^2\) को सम दिखाता है/It shows \(p^2\) is even
Step 1
Concept
The right side has (2), so \(p^2\) is even. This further gives (p) even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह \(p^2\) को सम दिखाता है / It shows \(p^2\) is even. The right side has (2), so \(p^2\) is even. This further gives (p) even.
Step 3
Exam Tip
दाएँ पक्ष में (2) है इसलिए \(p^2\) सम है। आगे इससे (p) सम मिलता है।
A. यह \(a^2\) को (3) से विभाज्य दिखाता है/It shows \(a^2\) is divisible by (3)
Step 1
Concept
The right side has (3), so \(a^2\) is divisible by (3). Then (a) is also divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह \(a^2\) को (3) से विभाज्य दिखाता है / It shows \(a^2\) is divisible by (3). The right side has (3), so \(a^2\) is divisible by (3). Then (a) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
दाएँ पक्ष में (3) है इसलिए \(a^2\) (3) से विभाज्य है। आगे इससे (a) भी (3) से विभाज्य मिलता है।
A. उनका कोई सामान्य गुणनखंड (1) के अलावा नहीं है/They have no common factor except (1)
Step 1
Concept
In lowest form the numerator and denominator are coprime. This is needed to show contradiction in the proof.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. उनका कोई सामान्य गुणनखंड (1) के अलावा नहीं है / They have no common factor except (1). In lowest form the numerator and denominator are coprime. This is needed to show contradiction in the proof.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप में अंश और हर सहभाज्य होते हैं। यही प्रमाण में विरोधाभास दिखाने के लिए जरूरी है।
A rational number can be written as a ratio of two integers. So assuming \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) means assuming it rational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. उसे परिमेय मानना / Assuming it rational. A rational number can be written as a ratio of two integers. So assuming \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) means assuming it rational.
Step 3
Exam Tip
परिमेय संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) मानना उसे परिमेय मानना है।
A rational number can be written in the form \(\frac{a}{b}\). So this is a rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. उसे परिमेय मानना / Assuming it rational. A rational number can be written in the form \(\frac{a}{b}\). So this is a rational assumption.
Step 3
Exam Tip
किसी परिमेय संख्या को \(\frac{a}{b}\) रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए यह परिमेय मान्यता है।
A. क्योंकि (a) (3) से विभाज्य सिद्ध होता है/Because (a) is proved divisible by (3)
Step 1
Concept
Since \(a^2\) is divisible by (3), (a) is also divisible by (3). So (a=3k) is written.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि (a) (3) से विभाज्य सिद्ध होता है / Because (a) is proved divisible by (3). Since \(a^2\) is divisible by (3), (a) is also divisible by (3). So (a=3k) is written.
Step 3
Exam Tip
\(a^2\) (3) से विभाज्य होने से (a) भी (3) से विभाज्य होता है। इसलिए (a=3k) लिखा जाता है।
A. परिमेय मानना फिर वर्ग करना फिर विरोधाभास/Assume rational then square then contradiction
Step 1
Concept
In the correct proof first rationality is assumed. Then squaring and evenness lead to contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. परिमेय मानना फिर वर्ग करना फिर विरोधाभास / Assume rational then square then contradiction. In the correct proof first rationality is assumed. Then squaring and evenness lead to contradiction.
Step 3
Exam Tip
सही प्रमाण में पहले परिमेय मानते हैं। फिर वर्ग करके समता से विरोधाभास दिखाते हैं।
A. परिमेय मानना फिर वर्ग करना फिर (3) से विभाज्यता फिर विरोधाभास/Assume rational then square then divisibility by (3) then contradiction
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{3}\), divisibility by (3) is used after squaring. Finally the coprime assumption is contradicted.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. परिमेय मानना फिर वर्ग करना फिर (3) से विभाज्यता फिर विरोधाभास / Assume rational then square then divisibility by (3) then contradiction. In the proof of \(\sqrt{3}\), divisibility by (3) is used after squaring. Finally the coprime assumption is contradicted.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में वर्ग के बाद (3) से विभाज्यता का उपयोग होता है। अंत में सहभाज्य मान्यता से विरोधाभास मिलता है।
A. क्योंकि परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखी जाती है/Because a rational number is written as a ratio of two integers
Step 1
Concept
The general form of a rational number is \(\frac{p}{q}\) where (p) and (q) are integers. This starts the proof.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखी जाती है / Because a rational number is written as a ratio of two integers. The general form of a rational number is \(\frac{p}{q}\) where (p) and (q) are integers. This starts the proof.
Step 3
Exam Tip
परिमेय संख्या का सामान्य रूप \(\frac{p}{q}\) होता है जहाँ (p) और (q) पूर्णांक होते हैं। यही प्रमाण की शुरुआत है।
A. क्योंकि भिन्न का हर शून्य नहीं हो सकता/Because the denominator of a fraction cannot be zero
Step 1
Concept
If the denominator in \(\frac{a}{b}\) is zero, the fraction is not defined. So \(b\neq0\) is necessary.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि भिन्न का हर शून्य नहीं हो सकता / Because the denominator of a fraction cannot be zero. If the denominator in \(\frac{a}{b}\) is zero, the fraction is not defined. So \(b\neq0\) is necessary.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{a}{b}\) में हर शून्य हो तो भिन्न परिभाषित नहीं रहती। इसलिए \(b\neq0\) जरूरी है।
First (p) becomes even and later (q) becomes even. This completes the contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. समता का निष्कर्ष / Conclusion of evenness. First (p) becomes even and later (q) becomes even. This completes the contradiction.
Step 3
Exam Tip
पहले (p) सम निकलता है और बाद में (q) सम निकलता है। यही विरोधाभास को पूरा करता है।
A. (3) से विभाज्यता का निष्कर्ष/Conclusion of divisibility by (3)
Step 1
Concept
First (a) is found divisible by (3), and then (b) is also found divisible by (3). This creates the contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (3) से विभाज्यता का निष्कर्ष / Conclusion of divisibility by (3). First (a) is found divisible by (3), and then (b) is also found divisible by (3). This creates the contradiction.
Step 3
Exam Tip
पहले (a) (3) से विभाज्य मिलता है और फिर (b) भी (3) से विभाज्य मिलता है। इससे विरोधाभास बनता है।
A. दोनों में सहभाज्य भिन्न की मान्यता से विरोधाभास मिलता है/Both get contradiction from coprime fraction assumption
Step 1
Concept
Both proofs start with rational assumption and a coprime fraction. Finally a common factor gives contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों में सहभाज्य भिन्न की मान्यता से विरोधाभास मिलता है / Both get contradiction from coprime fraction assumption. Both proofs start with rational assumption and a coprime fraction. Finally a common factor gives contradiction.
Step 3
Exam Tip
दोनों प्रमाण परिमेय मान्यता और सहभाज्य भिन्न से शुरू होते हैं। अंत में सामान्य गुणनखंड मिलकर विरोधाभास देता है।
