Why are a and b assumed to be coprime in √3 = a/b?√3 = a/b में a और b को सहभाज्य क्यों माना जाता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Because the fraction is written in lowest formक्योंकि भिन्न को सरलतम रूप में लिखा जाता है
If √3 were rational, it could be expressed as a/b, with a and b integers, b ≠ 0. Any rational fraction can be reduced by cancelling common factors, so we may choose a representation in lowest form. In that form, a and b are coprime: their greatest common divisor is 1. This condition is essential because the proof later shows that 3 divides a and then, from a² = 3b², also 3 divides b. That would give a and b a common factor 3, contradicting their assumed lowest form. Thus option A is correct. The other choices make unsupported claims and are not properties of every rational representation.यदि √3 परिमेय हो, तो उसे a/b के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ a और b पूर्णांक हैं और b ≠ 0 है। किसी भी परिमेय भिन्न को उसके अंश और हर के सामान्य गुणनखंडों से भाग देकर सरल किया जा सकता है। इसलिए प्रमाण में a/b को सरलतम रूप में लेना उचित है। ऐसी भिन्न में a और b सहभाज्य होते हैं, अर्थात उनका महत्तम समापवर्तक 1 होता है। आगे प्रमाण से a² = 3b² मिलता है, जिससे 3, a² को विभाजित करता है और इसलिए 3, a को विभाजित करता है; फिर 3, b को भी विभाजित करता है। इससे सामान्य गुणनखंड 3 मिल जाता है और विरोधाभास उत्पन्न होता है। अतः विकल्प A सही है।
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