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\(p+q\) अपरिमेय होना ही चाहिए। यदि यह परिमेय हो, तो \(q=(p+q)-p\) दो परिमेय संख्याओं का अंतर होकर परिमेय बन जाएगा, जो विरोधाभास है। \(q^2\) सदैव अपरिमेय नहीं; जैसे \((\sqrt{2})^2=2\)। परीक्षा टिप: परिमेय में अपरिमेय जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय होता है। / \(p+q\) must be irrational. If it were rational, then \(q=(p+q)-p\) would be the difference of two rational numbers and hence rational, a contradiction. But \(q^2\) need not be irrational: \((\sqrt{2})^2=2\). Exam tip: adding a rational number to an irrational number gives an irrational result.
संयुग्मी से गुणा करने पर अंश \(17+2\sqrt{66}\) और हर (5) मिलता है। हर को परिमेय बनाकर सरल करें। / Multiplying by the conjugate gives numerator \(17+2\sqrt{66}\) and denominator (5). Rationalise the denominator and simplify.
\(2-\sqrt{2}\) अपरिमेय है; फिर भी \(\sqrt{2}+(2-\sqrt{2})=2\) परिमेय है। अतः कथन गलत है। परीक्षा में ‘हर’ वाले कथन को प्रतिवाद से जाँचें। / \(2-\sqrt{2}\) is irrational, yet \(\sqrt{2}+(2-\sqrt{2})=2\), which is rational. Hence the statement is false. Exam tip: test “always” claims using a counterexample.
\(\sqrt{605}=11\sqrt{5}\), \(\sqrt{320}=8\sqrt{5}\) और \(\sqrt{125}=5\sqrt{5}\) है। इसलिए परिणाम \(8\sqrt{5}\) है। / \(\sqrt{605}=11\sqrt{5}\), \(\sqrt{320}=8\sqrt{5}\), and \(\sqrt{125}=5\sqrt{5}\). Therefore the result is \(8\sqrt{5}\).
रीना का निष्कर्ष है: “यदि किसी वास्तविक संख्या का वर्ग परिमेय है, तो वह संख्या भी परिमेय होगी।” निम्नलिखित में से कौन-सा उदाहरण उसके निष्कर्ष को गलत सिद्ध करता है?
\(\sqrt{5}\) अपरिमेय है, परंतु \((\sqrt{5})^2=5\), जो परिमेय है। इसलिए परिमेय वर्ग होने से संख्या का परिमेय होना आवश्यक नहीं। परीक्षा में संख्या और उसके वर्ग, दोनों की प्रकृति जाँचें। / \(\sqrt{5}\) is irrational, but \((\sqrt{5})^2=5\), which is rational. Thus, a rational square does not guarantee a rational number. In exams, check the nature of both the number and its square.
\(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) और \(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\) है। इसलिए \(y=9\sqrt{5}\) और \(y^2=405\) है। / \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), and \(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\). So \(y=9\sqrt{5}\) and \(y^2=405\).
संयुग्मी से गुणा करने पर हर (30-23=7) बनता है। इसलिए उत्तर \(\sqrt{30}+\sqrt{23}\) है। / Multiplying by the conjugate makes the denominator (30-23=7). So the answer is \(\sqrt{30}+\sqrt{23}\).
\(\sqrt{242}=11\sqrt{2}\) और \(\sqrt{128}=8\sqrt{2}\), इसलिए \(s=19\sqrt{2}\) है। भाग देने पर (19) मिलता है। / \(\sqrt{242}=11\sqrt{2}\) and \(\sqrt{128}=8\sqrt{2}\), so \(s=19\sqrt{2}\). Dividing gives (19).
एक ही वर्गमूल को अपने आप से गुणा करने पर अंदर की संख्या मिलती है। इसलिए मान \(15+\sqrt{26}\) है। / Multiplying the same square root by itself gives the number inside. Therefore the value is \(15+\sqrt{26}\).
विकल्प C में दशमलव प्रसार अनंत है और किसी निश्चित खंड की पुनरावृत्ति नहीं होती; शून्यों की संख्या लगातार बढ़ती है। इसलिए यह अपरिमेय है। A समाप्त होता है और B आवर्ती है, अतः दोनों परिमेय हैं। परीक्षा-युक्ति: अनंत अनावर्ती दशमलव को अपरिमेय पहचानें। / In option C, the decimal continues forever without repeating a fixed block; the number of zeros keeps increasing. Hence it is irrational. A terminates and B repeats, so both are rational. Exam tip: a non-terminating, non-repeating decimal represents an irrational number.
संयुग्मी से गुणा करने पर अंश \(22+2\sqrt{85}\) और हर (12) मिलता है। सरल रूप \(\frac{11+\sqrt{85}}{6}\) है। / Multiplying by the conjugate gives numerator \(22+2\sqrt{85}\) and denominator (12). The simplified form is \(\frac{11+\sqrt{85}}{6}\).
\(x-x=0\), और \(0=\frac{0}{1}\) होने से यह परिमेय है। \(x+1\), \(3x\) तथा \(x/2\) अपरिमेय रहते हैं। परीक्षा टिप: समान पदों के घटाव में 0 को तुरंत पहचानें। / \(x-x=0\), and \(0=0/1\), so it is rational. The expressions \(x+1\), \(3x\), and \(x/2\) remain irrational. Exam tip: identify exact cancellation of like terms quickly.
A. \(p+x\) सदैव अपरिमेय होता है/\(p+x\) is always irrational
Explanation
Simple Explanation
यदि \(p+x\) परिमेय हो, तो \(x=(p+x)-p\) भी परिमेय होगा, जो विरोधाभास है। इसलिए A सही है। B, C और D में परिणाम को गलत ढंग से परिमेय कहा गया है। परीक्षा टिप: विरोधाभास विधि अपनाएँ। / If \(p+x\) were rational, then \(x=(p+x)-p\) would also be rational, which is a contradiction. Hence A is correct; B, C and D wrongly call the result rational. Exam tip: use contradiction for such properties.
\(\frac{6}{\sqrt{31}+5}=\sqrt{31}-5\) है क्योंकि हर (31-25=6) बनता है। इसलिए योग \(2\sqrt{31}\) है। / \(\frac{6}{\sqrt{31}+5}=\sqrt{31}-5\) because the denominator becomes (31-25=6). So the sum is \(2\sqrt{31}\).
\(\sqrt{300}=10\sqrt{3}\) और \(\sqrt{108}=6\sqrt{3}\), इसलिए अंश \(4\sqrt{3}\) है। भाग देने पर (4) मिलता है। / \(\sqrt{300}=10\sqrt{3}\) and \(\sqrt{108}=6\sqrt{3}\), so the numerator is \(4\sqrt{3}\). Dividing gives (4).
मान लें \(rx\) परिमेय है। चूँकि \(r\ne0\) परिमेय है, इसलिए \(x=(rx)/r\) भी परिमेय होगा, जो विरोधाभास है। अतः \(rx\) अपरिमेय है। परीक्षा में शून्येतर शर्त अवश्य जाँचें। / Assume \(rx\) is rational. Since \(r\ne0\) is rational, \(x=(rx)/r\) would also be rational, giving a contradiction. Hence \(rx\) is irrational. In exams, always check that the rational multiplier is non-zero.
\(\sqrt{847}=11\sqrt{7}\), \(\sqrt{363}=7\sqrt{7}\) और \(\sqrt{147}=3\sqrt{7}\) है। इसलिए परिणाम \(7\sqrt{7}\) नहीं, \(11\sqrt{7}-7\sqrt{7}+3\sqrt{7}=7\sqrt{7}\) है। / \(\sqrt{847}=11\sqrt{7}\), \(\sqrt{363}=7\sqrt{7}\), and \(\sqrt{147}=3\sqrt{7}\). So the result is \(11\sqrt{7}-7\sqrt{7}+3\sqrt{7}=7\sqrt{7}\).
संयुग्मी से गुणा करने पर हर (27-11=16) बनता है। इसलिए रूप (\frac{8\(\sqrt{27}+\sqrt{11}\)}{16}) है। / Multiplying by the conjugate makes the denominator (27-11=16). So the form is (\frac{8\(\sqrt{27}+\sqrt{11}\)}{16}).
A में \(\sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}=4\) है, जो परिमेय है। अतः दावा गलत है; B में \(\sqrt{6}\) अपरिमेय रहता है। परीक्षा-टिप: ‘हमेशा’ को प्रतिउदाहरण से परखें। / In A, \(\sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}=4\), which is rational, so the claim fails. In B, \(\sqrt{6}\) remains irrational. Exam tip: test “always” using one counterexample.
वर्गमूल का वर्ग अंदर की संख्या देता है। इसलिए \(\left(\sqrt{16+\sqrt{45}}\right)^2=16+\sqrt{45}\) है। / The square of a square root gives the number inside. So \(\left(\sqrt{16+\sqrt{45}}\right)^2=16+\sqrt{45}\).
क्षेत्रफल (\(\sqrt{30}+\sqrt{11}\)\(\sqrt{30}-\sqrt{11}\)=30-11=19) है। संयुग्मी आयामों से परिमेय क्षेत्रफल मिलता है। / Area is (\(\sqrt{30}+\sqrt{11}\)\(\sqrt{30}-\sqrt{11}\)=30-11=19). Conjugate dimensions give rational area.
\(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं, पर उनका योग \(\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0\) है, जो परिमेय है। विकल्प B दावा नहीं तोड़ता। परीक्षा में “हमेशा” वाले कथन के लिए एक प्रतिउदाहरण खोजें। / Both \(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\) are irrational, but \(\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0\), which is rational. Hence one counterexample disproves the claim. Exam tip: test words such as “always” using a counterexample.
\(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) और \(\sqrt{147}=7\sqrt{3}\), इसलिए \(y=12\sqrt{3}\) है। भाग देने पर (12) मिलता है। / \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) and \(\sqrt{147}=7\sqrt{3}\), so \(y=12\sqrt{3}\). Dividing gives (12).
संयुग्मी से गुणा करने पर (\frac{\(\sqrt{10}-\sqrt{6}\)2}{4}=4-\sqrt{15}) मिलता है। हर को परिमेय बनाएं। / Multiplying by the conjugate gives (\frac{\(\sqrt{10}-\sqrt{6}\)2}{4}=4-\sqrt{15}). Make the denominator rational.
\(x=\sqrt{2}\) अपरिमेय है, पर \(x^2=(\sqrt{2})^2=2\) परिमेय है। इसलिए यह प्रतिउदाहरण कथन को गलत करता है। परीक्षा में ‘हर’ वाले कथन के लिए एक प्रतिउदाहरण खोजें। / \(x=\sqrt{2}\) is irrational, but \(x^2=(\sqrt{2})^2=2\) is rational. Thus, this counterexample disproves the claim. Exam tip: test “every” statements by finding one counterexample.
\(\sqrt{539}=7\sqrt{11}\) और \(\sqrt{275}=5\sqrt{11}\), इसलिए कोष्ठक \(2\sqrt{11}\) है। \(\sqrt{11}\) से गुणा करने पर (22) मिलता है। / \(\sqrt{539}=7\sqrt{11}\) and \(\sqrt{275}=5\sqrt{11}\), so the bracket is \(2\sqrt{11}\). Multiplying by \(\sqrt{11}\) gives (22).
B. इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है, इसलिए यह अपरिमेय है।/Its decimal expansion is non-terminating and non-repeating, so it is irrational.
Explanation
Simple Explanation
लगातार आने वाले 1 के बीच शून्यों की संख्या बढ़ती जाती है, इसलिए कोई निश्चित आवर्ती खंड नहीं बनता। अनंत अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। परीक्षा में अंकों के प्रकार नहीं, आवर्तन जाँचें। / The number of zeros between successive 1s keeps increasing, so no fixed block repeats. A non-terminating, non-repeating decimal is irrational. Exam tip: check for repetition, not just the digits used.
संयुग्मी से गुणा करने पर हर (26-17=9) बनता है। इसलिए रूप (\frac{5\(\sqrt{26}-\sqrt{17}\)}{9}) है। / Multiplying by the conjugate makes the denominator (26-17=9). So the form is (\frac{5\(\sqrt{26}-\sqrt{17}\)}{9}).
मान लें \(p-q\) परिमेय हो। तब \((p+q)+(p-q)=2p\) परिमेय होगा, जिससे \(p\) परिमेय निकलेगा—यह विरोधाभास है। इसलिए A सही है। परीक्षा-टिप: \(p=\sqrt2,q=-\sqrt2\) रखने पर B, C और D परिमेय बनते हैं। / Suppose \(p-q\) were rational. Then \((p+q)+(p-q)=2p\) would be rational, forcing \(p\) to be rational, which is a contradiction. Thus A must be irrational. Exam tip: take \(p=\sqrt2,q=-\sqrt2\); B, C and D then become rational.
क्योंकि (26<28<30), इसलिए \(\sqrt{28}\) दोनों के बीच होगा। वर्गमूलों में अंदर की संख्या से तुलना करें। / Since (26<28<30), \(\sqrt{28}\) lies between them. Compare square roots using the numbers inside.
\(0.272727\ldots\) अनंत है, पर इसमें 27 बार-बार आता है, इसलिए यह आवर्ती दशमलव और परिमेय है। यदि \(x=0.272727\ldots\), तो \(100x-x=27\), अतः \(x=3/11\)। परीक्षा में अनंत-अनावर्ती दशमलव को अपरिमेय पहचानें। / \(0.272727\ldots\) is non-terminating but repeats 27, so it is rational. If \(x=0.272727\ldots\), then \(100x-x=27\), giving \(x=3/11\). Exam tip: only non-terminating, non-repeating decimals are irrational.
B. निष्कर्ष सही है, पर कारण गलत है।/The conclusion is correct, but the reason is incorrect.
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{12}=2\sqrt3\) और \(\sqrt{27}=3\sqrt3\), अतः योग \(5\sqrt3\) अपरिमेय है। पर दो अपरिमेय संख्याओं का योग हमेशा अपरिमेय नहीं; \(\sqrt3-\sqrt3=0\)। परीक्षा में निष्कर्ष और तर्क अलग जाँचें। / Here \(\sqrt{12}+\sqrt{27}=2\sqrt3+3\sqrt3=5\sqrt3\), so the conclusion is true. The reason is false: \(\sqrt3-\sqrt3=0\). Exam tip: test the claim and its justification separately.
A. परिमेय संख्या में अपरिमेय संख्या जोड़ने या घटाने पर परिणाम अपरिमेय होता है।/The sum or difference of a rational number and an irrational number is irrational.
Explanation
Simple Explanation
मान लें \(5-\sqrt{7}\) परिमेय हो। तब \(5-(5-\sqrt{7})=\sqrt{7}\) भी परिमेय हो जाएगा, जो असंभव है। अतः यह अंतर अपरिमेय है। परीक्षा में परिमेय ± अपरिमेय को अपरिमेय मानें। / If \(5-\sqrt{7}\) were rational, then \(5-(5-\sqrt{7})=\sqrt{7}\) would also be rational, which is impossible. Hence the difference is irrational. Exam tip: rational ± irrational is irrational.
\(\sqrt{588}=14\sqrt{3}\), \(\sqrt{300}=10\sqrt{3}\) और \(\sqrt{192}=8\sqrt{3}\) है। इसलिए परिणाम \(12\sqrt{3}\) है। / \(\sqrt{588}=14\sqrt{3}\), \(\sqrt{300}=10\sqrt{3}\), and \(\sqrt{192}=8\sqrt{3}\). Therefore the result is \(12\sqrt{3}\).
दोनों पदों को जोड़ने पर अंश \(2\sqrt{10}\) और हर (10-6=4) मिलता है। इसलिए मान \(\frac{\sqrt{10}}{2}\) है। / Adding the two terms gives numerator \(2\sqrt{10}\) and denominator (10-6=4). So the value is \(\frac{\sqrt{10}}{2}\).
सही उत्तर \(a+b\) है। यदि \(a+b\) परिमेय हो, तो \(b=(a+b)-a\) भी परिमेय होगा, जो विरोधाभास है। \(ab\) में \(a=0\) लेने पर मान 0 है। परीक्षा-युक्ति: ‘सदैव’ वाले कथन में शून्य का विशेष मामला जाँचें। / The correct expression is \(a+b\). If \(a+b\) were rational, then \(b=(a+b)-a\) would also be rational, a contradiction. However, \(ab=0\) when \(a=0\). Exam tip: test zero when checking an “always” claim.
\(\sqrt{392}=14\sqrt{2}\) और \(\sqrt{200}=10\sqrt{2}\), इसलिए अंश \(24\sqrt{2}\) है। भाग देने पर (24) मिलता है। / \(\sqrt{392}=14\sqrt{2}\) and \(\sqrt{200}=10\sqrt{2}\), so the numerator is \(24\sqrt{2}\). Dividing gives (24).
(r-2-s-2=(r-s)(r+s)) है जहाँ \(r-s=2\sqrt{11}\) और \(r+s=2\sqrt{17}\) है। इसलिए मान \(4\sqrt{187}\) है। / (r-2-s-2=(r-s)(r+s)), where \(r-s=2\sqrt{11}\) and \(r+s=2\sqrt{17}\). So the value is \(4\sqrt{187}\).
विकल्प A में \(x=\sqrt{11}\) अपरिमेय है, लेकिन \(x^2=11\) परिमेय है; अतः कथन असत्य है। विकल्प B में वर्ग \(\sqrt[3]{4}\) अभी भी अपरिमेय है। परीक्षा में सार्वत्रिक कथन को एक प्रतिवाद से जाँचें। / In option A, \(\sqrt{11}\) is irrational, but \((\sqrt{11})^2=11\) is rational, so the claim is false. In option B, \(\sqrt[3]{4}\) remains irrational. Exam tip: one counterexample is enough to disprove an “every” statement.
\(\sqrt{500}=10\sqrt{5}\), \(\sqrt{180}=6\sqrt{5}\) और \(\sqrt{320}=8\sqrt{5}\) है। इसलिए \(P=8\sqrt{5}\) है। / \(\sqrt{500}=10\sqrt{5}\), \(\sqrt{180}=6\sqrt{5}\), and \(\sqrt{320}=8\sqrt{5}\). Therefore \(P=8\sqrt{5}\).
\(\sqrt{125}=5\sqrt{5}\) और \(\sqrt{320}=8\sqrt{5}\), इसलिए योग \(13\sqrt{5}\) है। इसका वर्ग (845) है। / \(\sqrt{125}=5\sqrt{5}\) and \(\sqrt{320}=8\sqrt{5}\), so the sum is \(13\sqrt{5}\). Its square is (845).
संख्या \(0.101001000100001\ldots\) में दो क्रमिक 1 के बीच शून्यों की संख्या हर बार एक बढ़ती है। एक विद्यार्थी कहता है कि यह केवल 0 और 1 अंकों से बनी है, इसलिए परिमेय है। उसके तर्क का सही मूल्यांकन कौन-सा है?
A. यह अपरिमेय है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है।/It is irrational because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating.
Explanation
Simple Explanation
सही विकल्प A है। 1 के बीच शून्यों के समूह लगातार बड़े होते हैं, इसलिए कोई निश्चित अंक-खंड बार-बार नहीं दोहरता। परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत या आवर्ती होता है। परीक्षा टिप: अंकों की किस्म नहीं, आवर्तन जाँचें। / Option A is correct. The blocks of zeros between 1s keep increasing, so no fixed block repeats periodically. A rational number has a terminating or recurring decimal expansion. Exam tip: check periodic repetition, not merely the digits used.
\(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}\) दोनों अपरिमेय हैं, पर \(\sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}=4\), जो परिमेय है। अतः “हमेशा” वाला कथन गलत है। परीक्षा में सार्वत्रिक कथन को एक प्रतिउदाहरण से जाँचें। / Both \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}\) are irrational, but \(\sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}=4\), which is rational. Hence the word “always” makes the statement false. Exam tip: disprove universal claims using one counterexample.
संयुग्मी से गुणा करने पर अंश \(50+2\sqrt{589}\) और हर (12) मिलता है। सरल रूप \(\frac{25+\sqrt{589}}{6}\) है। / Multiplying by the conjugate gives numerator \(50+2\sqrt{589}\) and denominator (12). The simplified form is \(\frac{25+\sqrt{589}}{6}\).
\(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}\) दोनों अपरिमेय हैं, लेकिन \(\sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}=4\), जो परिमेय है। अन्य विकल्पों में मूल के भीतर संख्या पूर्ण वर्ग नहीं बनती। परीक्षा में मूलों का गुणन पहले एक ही मूल में लिखें। / Both \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}\) are irrational, but \(\sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}=4\), which is rational. In the other options, the product under the radical is not a perfect square. Exam tip: combine radicals before classifying the result.
\(\sqrt{726}=11\sqrt{6}\), \(\sqrt{486}=9\sqrt{6}\) और \(\sqrt{150}=5\sqrt{6}\) है। इसलिए परिणाम \(7\sqrt{6}\) है। / \(\sqrt{726}=11\sqrt{6}\), \(\sqrt{486}=9\sqrt{6}\), and \(\sqrt{150}=5\sqrt{6}\). Therefore the result is \(7\sqrt{6}\).
संयुग्मी से गुणा करने पर हर (43-31=12) बनता है। इसलिए उत्तर \(\sqrt{43}+\sqrt{31}\) है। / Multiplying by the conjugate makes the denominator (43-31=12). So the answer is \(\sqrt{43}+\sqrt{31}\).
B. एक शून्येतर परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल सदैव अपरिमेय होता है/The product of a non-zero rational number and an irrational number is always irrational.
Explanation
Simple Explanation
यदि rx परिमेय हो, तो उसे शून्येतर परिमेय r से भाग देने पर x परिमेय होगा, जो विरोधाभास है। इसलिए rx अपरिमेय है। A के लिए √2 + (−√2) = 0 लें। परीक्षा में “सदैव” वाले कथन को प्रतिउदाहरण से जाँचें। / If rx were rational, dividing it by the non-zero rational number r would make x rational, a contradiction. Hence rx is irrational. Option A fails because √2 + (−√2) = 0. Exam tip: test “always” statements using a counterexample.
क्षेत्रफल (\(\sqrt{41}+\sqrt{17}\)\(\sqrt{41}-\sqrt{17}\)=41-17=24) है। संयुग्मी आयामों से परिमेय क्षेत्रफल मिलता है। / Area is (\(\sqrt{41}+\sqrt{17}\)\(\sqrt{41}-\sqrt{17}\)=41-17=24). Conjugate dimensions give rational area.
\(\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}=\sqrt{25}=5\) है जो परिमेय है। भाग के बाद पूर्ण वर्ग बनने की जाँच करें। / \(\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}=\sqrt{25}=5\), which is rational. Check whether division forms a perfect square.
