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A. मान लें कि \(3+\sqrt{2}\) परिमेय है। इसमें से 3 घटाने पर \(\sqrt{2}\) परिमेय होगी, जो विरोधाभास है।/Assume \(3+\sqrt{2}\) is rational. Subtracting 3 would make \(\sqrt{2}\) rational, which is a contradiction.
Explanation
Simple Explanation
यदि \(3+\sqrt{2}\) परिमेय मानें, तो परिमेय संख्या 3 घटाने पर \(\sqrt{2}\) भी परिमेय होनी चाहिए। परंतु \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है, इसलिए दावा गलत है। परीक्षा में विरोधाभास विधि उपयोग करें। / If \(3+\sqrt{2}\) were rational, subtracting the rational number 3 would make \(\sqrt{2}\) rational. But \(\sqrt{2}\) is irrational, so the claim is false. Exam tip: use contradiction for such proofs.
संयुग्मी से गुणा करने पर अंश \(9+2\sqrt{14}\) और हर (5) मिलता है। इसलिए सरल रूप \(\frac{9+2\sqrt{14}}{5}\) है। / Multiplying by the conjugate gives numerator \(9+2\sqrt{14}\) and denominator (5). So the simplified form is \(\frac{9+2\sqrt{14}}{5}\).
\(\sqrt{2}\) में किसी परिमेय \(q\) को जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय ही रहता है। यदि \(\sqrt{2}+q\) परिमेय हो, तो उसमें से \(q\) घटाने पर \(\sqrt{2}\) परिमेय हो जाएगा, जो असंभव है। \(q\sqrt{2}\) में \(q=0\) लेने पर उत्तर 0 मिलता है। परीक्षा टिप: परिमेय ± अपरिमेय हमेशा अपरिमेय होता है। / Adding any rational number \(q\) to \(\sqrt{2}\) keeps the result irrational. If \(\sqrt{2}+q\) were rational, subtracting \(q\) would make \(\sqrt{2}\) rational, a contradiction. In \(q\sqrt{2}\), taking \(q=0\) gives 0. Exam tip: rational ± irrational is always irrational.
यदि \(x+r\) को परिमेय मानें, तो \(x=(x+r)-r\) दो परिमेय संख्याओं का अंतर होकर परिमेय हो जाएगा, जो विरोधाभास है। \(x^2\) हमेशा अपरिमेय नहीं होता; \((\sqrt{2})^2=2\)। परीक्षा टिप: परिमेय ± अपरिमेय हमेशा अपरिमेय होता है। / If \(x+r\) were rational, then \(x=(x+r)-r\) would be rational, which is a contradiction. However, \(x^2\) need not be irrational: \((\sqrt{2})^2=2\). Exam tip: rational ± irrational is always irrational.
A सही है। यदि \(r+q\) परिमेय हो, तो \(q\) घटाने पर \(r\) परिमेय होगा, जो विरोधाभास है। \(r=\sqrt2\) के लिए \(r^2=2\), इसलिए C गलत है। टिप: ‘सदैव’ कथन को उदाहरण से जाँचें। / A is correct: if \(r+q\) were rational, subtracting \(q\) would make \(r\) rational, a contradiction. For \(r=\sqrt2\), \(r^2=2\), so C fails. Tip: test “always” claims with a counterexample.
संयुग्मी से गुणा करने पर हर (14-9=5) बनता है। इसलिए रूप (\frac{5\(\sqrt{14}+3\)}{5}), यानी \(\sqrt{14}+3\), है। / Multiplying by the conjugate makes the denominator (14-9=5). So the form is (\frac{5\(\sqrt{14}+3\)}{5}), that is \(\sqrt{14}+3\).
\(\sqrt{108}=6\sqrt{3}\) और \(\sqrt{300}=10\sqrt{3}\), इसलिए \(s=16\sqrt{3}\) है। भाग देने पर (16) मिलता है। / \(\sqrt{108}=6\sqrt{3}\) and \(\sqrt{300}=10\sqrt{3}\), so \(s=16\sqrt{3}\). Dividing gives (16).
एक ही वर्गमूल को अपने आप से गुणा करने पर अंदर की संख्या मिलती है। इसलिए मान \(8+\sqrt{11}\) है। / Multiplying the same square root by itself gives the number inside. Therefore the value is \(8+\sqrt{11}\).
निधि कहती है कि संख्या \(0.101001000100001\ldots\) परिमेय है, क्योंकि उसके दशमलव प्रसार में केवल 0 और 1 आते हैं। निधि की त्रुटि को सही ढंग से कौन समझाता है?
C. 1 के बीच शून्यों की संख्या बढ़ती जाती है, इसलिए कोई निश्चित आवर्ती खंड नहीं बनता; अतः संख्या अपरिमेय है।/The number of zeros between 1s keeps increasing, so no fixed repeating block occurs; hence the number is irrational.
Explanation
Simple Explanation
विकल्प C सही है। परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत या अंततः आवर्ती होता है। यहाँ 1 के बीच शून्यों की संख्या लगातार बढ़ती है, इसलिए कोई स्थिर आवर्ती खंड नहीं है। परीक्षा में अंकों के प्रकार नहीं, उनकी आवृत्ति जाँचें। / Option C is correct. A rational number has a terminating or eventually repeating decimal expansion. Here, the zeros between successive 1s keep increasing, so no fixed repeating block exists. Exam tip: check repetition, not merely the digits used.
संयुग्मी से गुणा करने पर अंश \(16+2\sqrt{39}\) और हर (10) मिलता है। इसलिए उत्तर \(\frac{8+\sqrt{39}}{5}\) है। / Multiplying by the conjugate gives numerator \(16+2\sqrt{39}\) and denominator (10). So the answer is \(\frac{8+\sqrt{39}}{5}\).
अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती होता है, अर्थात कोई अंक-समूह निश्चित क्रम में बार-बार नहीं दोहराता। समाप्त या आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। परीक्षा टिप: आवर्ती चिह्न दिखे तो संख्या परिमेय मानें। / An irrational number has a non-terminating, non-repeating decimal expansion; no fixed block of digits repeats forever. Terminating and repeating decimals are rational. Exam tip: a recurring digit pattern always indicates a rational number.
\(\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}=\sqrt{9}=3\), इसलिए यह परिमेय है। अन्य विकल्प क्रमशः \(3\sqrt3\), \(\sqrt3\) और \(\sqrt5\) बनते हैं, जो अपरिमेय हैं। परीक्षा में मूलों को पहले समान मूल के रूप में लिखें। / \(\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}=\sqrt{9}=3\), so it is rational. The other expressions reduce to \(3\sqrt3\), \(\sqrt3\), and \(\sqrt5\), which are irrational. Exam tip: rewrite radicands using perfect-square factors first.
\(\frac{7}{\sqrt{23}+4}=\sqrt{23}-4\) है क्योंकि हर (23-16=7) बनता है। इसलिए योग \(2\sqrt{23}\) है। / \(\frac{7}{\sqrt{23}+4}=\sqrt{23}-4\) because the denominator becomes (23-16=7). So the sum is \(2\sqrt{23}\).
\(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\) और \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), इसलिए अंश \(2\sqrt{2}\) है। भाग देने पर (2) मिलता है। / \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\) and \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), so the numerator is \(2\sqrt{2}\). Dividing gives (2).
यदि \(x+q\) परिमेय हो, तो \(x=(x+q)-q\) परिमेय होगा, जो विरोधाभास है। \(x^2\) हमेशा अपरिमेय नहीं; \(x=\sqrt{2}\) पर 2 मिलता है। टिप: विरोधाभास से जाँचें। / If \(x+q\) were rational, then \(x=(x+q)-q\) would be rational, a contradiction. But \(x^2\) need not be irrational: for \(x=\sqrt{2}\), it is 2. Exam tip: use contradiction.
\(\sqrt{539}=7\sqrt{11}\), \(\sqrt{275}=5\sqrt{11}\) और \(\sqrt{99}=3\sqrt{11}\) है। इसलिए परिणाम \(5\sqrt{11}\) नहीं, \(7\sqrt{11}-5\sqrt{11}+3\sqrt{11}=5\sqrt{11}\) है। / \(\sqrt{539}=7\sqrt{11}\), \(\sqrt{275}=5\sqrt{11}\), and \(\sqrt{99}=3\sqrt{11}\). So the result is \(7\sqrt{11}-5\sqrt{11}+3\sqrt{11}=5\sqrt{11}\).
संयुग्मी से गुणा करने पर हर (19-10=9) बनता है। इसलिए रूप (\frac{6\(\sqrt{19}+\sqrt{10}\)}{9}) है। / Multiplying by the conjugate makes the denominator (19-10=9). So the form is (\frac{6\(\sqrt{19}+\sqrt{10}\)}{9}).
0.272727... एक आवर्ती दशमलव है। यदि \(y=0.272727...\), तो \(100y-y=27\), अतः \(y=27/99=3/11\)। इसलिए यह परिमेय है। परीक्षा में आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदलकर जाँचें। / 0.272727... is a recurring decimal. If \(y=0.272727...\), then \(100y-y=27\), so \(y=27/99=3/11\). Therefore, it is rational. Exam tip: convert recurring decimals into fractions to check rationality.
वर्गमूल का वर्ग अंदर की संख्या देता है। इसलिए \(\left(\sqrt{13+\sqrt{42}}\right)^2=13+\sqrt{42}\) है। / The square of a square root gives the number inside. So \(\left(\sqrt{13+\sqrt{42}}\right)^2=13+\sqrt{42}\).
क्षेत्रफल (\(\sqrt{22}+\sqrt{7}\)\(\sqrt{22}-\sqrt{7}\)=22-7=15) है। संयुग्मी आयामों से परिमेय क्षेत्रफल मिल सकता है। / Area is (\(\sqrt{22}+\sqrt{7}\)\(\sqrt{22}-\sqrt{7}\)=22-7=15). Conjugate dimensions can give a rational area.
A. यदि \(x\) अपरिमेय है, तो \(2x\) अपरिमेय है/If \(x\) is irrational, then \(2x\) is irrational.
Explanation
Simple Explanation
यदि \(2x\) परिमेय होता, तो \(x=(2x)/2\) भी परिमेय होता, जो विरोधाभास है। इसलिए \(2x\) अपरिमेय है। \(x^2\) सदैव अपरिमेय नहीं; \(x=\sqrt{2}\) पर \(x^2=2\)। परीक्षा में प्रति-उदाहरण जाँचें। / If \(2x\) were rational, then \(x=(2x)/2\) would also be rational, a contradiction. Hence \(2x\) is irrational. But \(x^2\) need not be irrational: for \(x=\sqrt{2}\), \(x^2=2\). In exams, test claims using a counterexample.
\(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) और \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), इसलिए \(y=8\sqrt{3}\) है। भाग देने पर (8) मिलता है। / \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) and \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), so \(y=8\sqrt{3}\). Dividing gives (8).
संयुग्मी से गुणा करने पर (\frac{\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\)2}{4}=2-\sqrt{3}) मिलता है। हर को परिमेय बनाएं। / Multiplying by the conjugate gives (\frac{\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\)2}{4}=2-\sqrt{3}). Make the denominator rational.
\(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}\) दोनों अपरिमेय हैं, पर \(\sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}=4\), जो परिमेय है। इसलिए कथन गलत है। परीक्षा टिप: मूलांकों का गुणन करके पूर्ण वर्ग जाँचें। / Both \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}\) are irrational, but \(\sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}=4\), which is rational. Hence the claim is false. Exam tip: multiply radicands and check for a perfect square.
\(\sqrt{175}=5\sqrt{7}\) और \(\sqrt{63}=3\sqrt{7}\), इसलिए कोष्ठक \(2\sqrt{7}\) है। \(\sqrt{7}\) से गुणा करने पर (14) मिलता है। / \(\sqrt{175}=5\sqrt{7}\) and \(\sqrt{63}=3\sqrt{7}\), so the bracket is \(2\sqrt{7}\). Multiplying by \(\sqrt{7}\) gives (14).
A. किसी अपरिमेय संख्या और किसी परिमेय संख्या का योग अपरिमेय होता है।/The sum of any irrational number and any rational number is irrational.
Explanation
Simple Explanation
मान लें कि \(x\) अपरिमेय और \(r\) परिमेय है। यदि \(x+r\) परिमेय हो, तो \((x+r)-r=x\) भी परिमेय होगा, जो विरोधाभास है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0\)। परीक्षा टिप: ‘सदैव’ वाले कथन को उदाहरण से जाँचें। / Let \(x\) be irrational and \(r\) be rational. If \(x+r\) were rational, then \((x+r)-r=x\) would be rational, a contradiction. Option B fails since \(\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0\). Exam tip: test “always” claims with a counterexample.
संयुग्मी से गुणा करने पर हर (17-8=9) बनता है। इसलिए रूप \(\frac{\sqrt{17}-\sqrt{8}}{3}\) है। / Multiplying by the conjugate makes the denominator (17-8=9). So the form is \(\frac{\sqrt{17}-\sqrt{8}}{3}\).
यदि \(a+b\) परिमेय होता, तो उसमें से परिमेय \(a\) घटाने पर \(b\) भी परिमेय होता, जो विरोधाभास है। अतः \(a+b\) अपरिमेय है। परीक्षा टिप: ‘सदैव’ वाले कथन को विरोधाभास से जाँचें। / If \(a+b\) were rational, subtracting the rational number \(a\) would make \(b\) rational, a contradiction. Thus \(a+b\) is irrational. Exam tip: test an “always” statement using contradiction.
क्योंकि (18<19<20), इसलिए \(\sqrt{19}\) दोनों के बीच होगा। वर्गमूलों में अंदर की संख्या से तुलना करें। / Since (18<19<20), \(\sqrt{19}\) lies between them. Compare square roots using the numbers inside.
A. \(p+x\) सदैव अपरिमेय है/\(p+x\) is always irrational
Explanation
Simple Explanation
यदि \(p+x\) परिमेय हो, तो उसमें से परिमेय \(p\) घटाने पर \(x\) भी परिमेय होगा, जो विरोधाभास है। B गलत है क्योंकि \(\sqrt2+(-\sqrt2)=0\)। परीक्षा टिप: विरोधाभास विधि अपनाएँ। / If \(p+x\) were rational, subtracting the rational number \(p\) would make \(x\) rational, a contradiction. B fails because \(\sqrt2+(-\sqrt2)=0\). Exam tip: use contradiction for such properties.
यदि \(r+x\) परिमेय होता, तो उसमें से परिमेय \(r\) घटाने पर \(x\) भी परिमेय हो जाता, जो विरोधाभास है। पर \((\sqrt{2})^2=2\) परिमेय है। परीक्षा टिप: परिमेय संख्याओं के बंद गुण का प्रयोग करें। / If \(r+x\) were rational, subtracting rational \(r\) would make \(x\) rational, a contradiction. But \((\sqrt{2})^2=2\). Exam tip: use closure of rational numbers under subtraction.
\(\sqrt{432}=12\sqrt{3}\), \(\sqrt{192}=8\sqrt{3}\) और \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\) है। इसलिए परिणाम \(8\sqrt{3}\) है। / \(\sqrt{432}=12\sqrt{3}\), \(\sqrt{192}=8\sqrt{3}\), and \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\). Therefore the result is \(8\sqrt{3}\).
दोनों पदों को परिमेयकृत करने पर \(\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}\) और \(\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2}\) मिलते हैं। योग \(\sqrt{7}\) है। / After rationalising the terms become \(\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}\) and \(\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2}\). The sum is \(\sqrt{7}\).
\(r+q\) सदैव अपरिमेय है; अन्यथा उसमें से परिमेय \(q\) घटाने पर \(r\) परिमेय हो जाएगा, जो विरोधाभास है। \(r\times q\) में \(q=0\) लेने पर परिणाम 0 मिलता है। परीक्षा टिप: अपरिमेय में परिमेय जोड़ने या घटाने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। / \(r+q\) is always irrational; otherwise, subtracting the rational number \(q\) would make \(r\) rational, a contradiction. But \(r\times q\) can be 0 when \(q=0\). Exam tip: adding or subtracting a rational number from an irrational number remains irrational.
\(\sqrt{200}=10\sqrt{2}\) और \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\), इसलिए अंश \(16\sqrt{2}\) है। भाग देने पर (16) मिलता है। / \(\sqrt{200}=10\sqrt{2}\) and \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\), so the numerator is \(16\sqrt{2}\). Dividing gives (16).
(r-2-s-2=(r-s)(r+s)) है जहाँ \(r-s=2\sqrt{7}\) और \(r+s=2\sqrt{13}\) है। इसलिए मान \(4\sqrt{91}\) है। / (r-2-s-2=(r-s)(r+s)) where \(r-s=2\sqrt{7}\) and \(r+s=2\sqrt{13}\). So the value is \(4\sqrt{91}\).
संयुग्मी से गुणा करने पर हर (18-10=8) बनता है। इसलिए उत्तर \(\sqrt{18}+\sqrt{10}\) है। / Multiplying by the conjugate makes the denominator (18-10=8). So the answer is \(\sqrt{18}+\sqrt{10}\).
\(\sqrt{363}=11\sqrt{3}\), \(\sqrt{108}=6\sqrt{3}\) और \(\sqrt{192}=8\sqrt{3}\) है। इसलिए \(P=9\sqrt{3}\) है। / \(\sqrt{363}=11\sqrt{3}\), \(\sqrt{108}=6\sqrt{3}\), and \(\sqrt{192}=8\sqrt{3}\). Therefore \(P=9\sqrt{3}\).
\(\sqrt{44}=2\sqrt{11}\) और \(\sqrt{99}=3\sqrt{11}\), इसलिए योग \(5\sqrt{11}\) है। इसका वर्ग (275) है। / \(\sqrt{44}=2\sqrt{11}\) and \(\sqrt{99}=3\sqrt{11}\), so the sum is \(5\sqrt{11}\). Its square is (275).
D में \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) और \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) हैं, अतः योग \(5\sqrt{3}\) है, जो अपरिमेय है। A में \(\sqrt{36}=6\) मिलता है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग गुणनखंड पहले अलग करें। / In D, \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\), so it becomes \(5\sqrt{3}\), which is irrational. A becomes \(\sqrt{36}=6\). Exam tip: extract perfect-square factors first.
A. क्रमिक 1 के बीच शून्यों की संख्या बढ़ती जाती है; इसलिए दशमलव अनावर्ती है/The number of zeros between successive 1s keeps increasing; therefore, the decimal is non-recurring.
Explanation
Simple Explanation
विकल्प A सही है। 1 के स्थान 1, 3, 6, 10, … हैं, इसलिए उनके बीच शून्य 1, 2, 3, … बढ़ते जाते हैं और कोई स्थिर आवर्ती खंड नहीं बनता। B गलत है; केवल दो अंक होना आवृत्ति सिद्ध नहीं करता। परीक्षा-टिप: समाप्य या आवर्ती दशमलव ही परिमेय होते हैं। / Option A is correct. The 1s occur at positions 1, 3, 6, 10, …, so the zero-gaps 1, 2, 3, … keep growing and no fixed block repeats. B is false because using two digits does not ensure repetition. Exam tip: rational decimals terminate or repeat.
संयुग्मी से गुणा करने पर हर (29-4=25) बनता है। इसलिए रूप \(\frac{\sqrt{29}-2}{5}\) है। / Multiplying by the conjugate makes the denominator (29-4=25). So the form is \(\frac{\sqrt{29}-2}{5}\).
A. दावा सही है; यदि \(r+\sqrt{7}\) परिमेय होता, तो उसमें से परिमेय \(r\) घटाने पर \(\sqrt{7}\) परिमेय हो जाता।/The claim is correct; if \(r+\sqrt{7}\) were rational, subtracting the rational number \(r\) would make \(\sqrt{7}\) rational.
Explanation
Simple Explanation
दावा सही है। यदि \(r+\sqrt{7}\) परिमेय मानें, तो \(\sqrt{7}=(r+\sqrt{7})-r\) भी परिमेय होगा, जो असंभव है। याद रखें: परिमेय ± अपरिमेय हमेशा अपरिमेय होता है। / The claim is correct. If \(r+\sqrt{7}\) were rational, then \(\sqrt{7}=(r+\sqrt{7})-r\) would also be rational, a contradiction. Exam tip: rational ± irrational is always irrational.
\(\sqrt{242}=11\sqrt{2}\), \(\sqrt{128}=8\sqrt{2}\) और \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\) है। इसलिए परिणाम \(9\sqrt{2}\) है। / \(\sqrt{242}=11\sqrt{2}\), \(\sqrt{128}=8\sqrt{2}\), and \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\). Therefore the result is \(9\sqrt{2}\).
पहले विकल्प में दोनों पद अपरिमेय हैं, लेकिन वे योगात्मक प्रतिलोम हैं। उनका योग 0 है, और 0 एक परिमेय संख्या है। अतः अपरिमेय संख्याओं का योग हमेशा अपरिमेय नहीं होता। परीक्षा में ‘सदैव’ वाले कथनों के लिए प्रतिउदाहरण खोजें। / In the first option, both terms are irrational but they are additive inverses. Their sum is 0, which is rational. Hence, the sum of two irrational numbers need not be irrational. Exam tip: test an “always” statement by looking for one counterexample.
सही उत्तर B है। यदि \(r+\sqrt{2}\) परिमेय होता, तो उसमें से परिमेय \(r\) घटाने पर \(\sqrt{2}\) परिमेय मिलता, जो असंभव है। परीक्षा-टिप: परिमेय ± अपरिमेय सदैव अपरिमेय होता है। / Option B is correct. If \(r+\sqrt{2}\) were rational, subtracting the rational number \(r\) would make \(\sqrt{2}\) rational, which is impossible. Exam tip: rational ± irrational is always irrational.
A. यदि \(5+\sqrt{7}\) परिमेय होता, तो उसमें से 5 घटाने पर \(\sqrt{7}\) परिमेय मिलता, जो असंभव है।/If \(5+\sqrt{7}\) were rational, subtracting 5 would make \(\sqrt{7}\) rational, which is impossible.
Explanation
Simple Explanation
7 पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है। यदि योग परिमेय होता, तो उसमें से परिमेय 5 घटाने पर \(\sqrt{7}\) परिमेय मिलता—विरोधाभास। टिप: परिमेय संख्या जोड़ या घटाकर जाँचें। / Since 7 is not a perfect square, \(\sqrt{7}\) is irrational. If the sum were rational, subtracting rational 5 would make \(\sqrt{7}\) rational, a contradiction. Exam tip: use closure under subtraction.
मान लें कि \(rx\) परिमेय है। तब \(x=(rx)/r\) भी परिमेय होगा, क्योंकि \(r\ne0\); यह विरोधाभास है। इसलिए \(rx\) अपरिमेय है। \(\sqrt2\cdot\sqrt2=2\) से विकल्प D सदैव सत्य नहीं है। परीक्षा टिप: ‘सदैव’ वाले कथन में प्रतिवाद अवश्य जाँचें। / Suppose \(rx\) were rational. Then \(x=(rx)/r\) would also be rational because \(r\ne0\), which is a contradiction. Hence \(rx\) is irrational. Since \(\sqrt2\cdot\sqrt2=2\), option D is not always true. Exam tip: test every “always” statement using a counterexample.
\(\sqrt{363}=11\sqrt{3}\), \(\sqrt{147}=7\sqrt{3}\) और \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) है। इसलिए \(P=13\sqrt{3}\) है। / \(\sqrt{363}=11\sqrt{3}\), \(\sqrt{147}=7\sqrt{3}\), and \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\). Therefore \(P=13\sqrt{3}\).
संयुग्मी से गुणा करने पर हर (26-17=9) बनता है। इसलिए उत्तर \(\sqrt{26}-\sqrt{17}\) है। / Multiplying by the conjugate makes the denominator (26-17=9). So the answer is \(\sqrt{26}-\sqrt{17}\).
