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A student says, “\(3\) is an integer, so \(\sqrt{3}\) is rational.” What is the main error in this reasoning?एक विद्यार्थी कहता है, “\(3\) पूर्णांक है, इसलिए \(\sqrt{3}\) परिमेय है।” उसके तर्क में मुख्य त्रुटि क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Only perfect-square integers have integer square roots; \(3\) is not a perfect square.केवल पूर्ण वर्ग वाले पूर्णांकों के वर्गमूल पूर्णांक होते हैं; \(3\) पूर्ण वर्ग नहीं है।
Being an integer is not enough; only perfect squares have integer square roots. If \(\sqrt{3}=p/q\), then \(p^2=3q^2\), so both \(p\) and \(q\) become divisible by 3, a contradiction. Exam tip: check perfect squares and prime factors.पूर्णांक होना पर्याप्त नहीं है; केवल पूर्ण वर्गों के वर्गमूल पूर्णांक होते हैं। मानें \(\sqrt{3}=p/q\); तब \(p^2=3q^2\), जिससे \(p\) और फिर \(q\) 3 से विभाज्य होंगे—विरोधाभास। परीक्षा में पूर्ण वर्ग और अभाज्य गुणनखंड जाँचें।
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