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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Easy Level 20

एक विद्यार्थी कहता है, “\(3\) पूर्णांक है, इसलिए \(\sqrt{3}\) परिमेय है।” उसके तर्क में मुख्य त्रुटि क्या है?

A student says, “\(3\) is an integer, so \(\sqrt{3}\) is rational.” What is the main error in this reasoning?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

B. केवल पूर्ण वर्ग वाले पूर्णांकों के वर्गमूल पूर्णांक होते हैं; \(3\) पूर्ण वर्ग नहीं है।Only perfect-square integers have integer square roots; \(3\) is not a perfect square.

Explanation

Simple Explanation

पूर्णांक होना पर्याप्त नहीं है; केवल पूर्ण वर्गों के वर्गमूल पूर्णांक होते हैं। मानें \(\sqrt{3}=p/q\); तब \(p^2=3q^2\), जिससे \(p\) और फिर \(q\) 3 से विभाज्य होंगे—विरोधाभास। परीक्षा में पूर्ण वर्ग और अभाज्य गुणनखंड जाँचें। / Being an integer is not enough; only perfect squares have integer square roots. If \(\sqrt{3}=p/q\), then \(p^2=3q^2\), so both \(p\) and \(q\) become divisible by 3, a contradiction. Exam tip: check perfect squares and prime factors.

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Correct Answer: B. केवल पूर्ण वर्ग वाले पूर्णांकों के वर्गमूल पूर्णांक होते हैं; \(3\) पूर्ण वर्ग नहीं है। / Only perfect-square integers have integer square roots; \(3\) is not a perfect square.. Explanation: पूर्णांक होना पर्याप्त नहीं है; केवल पूर्ण वर्गों के वर्गमूल पूर्णांक होते हैं। मानें \(\sqrt{3}=p/q\); तब \(p^2=3q^2\), जिससे \(p\) और फिर \(q\) 3 से विभाज्य होंगे—विरोधाभास। परीक्षा में पूर्ण वर्ग और अभाज्य गुणनखंड जाँचें। / Being an integer is not enough; only perfect squares have integer square roots. If \(\sqrt{3}=p/q\), then \(p^2=3q^2\), so both \(p\) and \(q\) become divisible by 3, a contradiction. Exam tip: check perfect squares and prime factors.