Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\( \sqrt{121}=11 \), इसलिए दूरी (11) इकाई होगी। पूर्ण वर्ग आने पर वर्गमूल पूर्णांक बन जाता है। / \( \sqrt{121}=11 \), so the distance will be (11) units. A perfect square gives an integer square root.
\( \sqrt{108}=\sqrt{36\times 3}=6\sqrt{3} \) है। सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग (36) चुनें। / \( \sqrt{108}=\sqrt{36\times 3}=6\sqrt{3} \). Choose the largest perfect square (36).
लगातार त्रिज्याएँ \( \sqrt{n} \), \( \sqrt{n+1} \), \( \sqrt{n+2} \) होती हैं। इनके वर्ग (n,n+1,n+2) हैं। / Consecutive radii are \( \sqrt{n} \), \( \sqrt{n+1} \), and \( \sqrt{n+2} \). Their squares are (n,n+1,n+2).
\( \sqrt{17} \) संख्या (4) के पास है क्योंकि (17), (16) से केवल (1) अधिक है। पूर्ण वर्ग के सबसे नजदीक संख्या देखें। / \( \sqrt{17} \) is close to (4) because (17) is only (1) more than (16). Look for the number closest to a perfect square.
समकोण त्रिभुज में ( \(\sqrt{7}\)2+12=8 ) होता है। यह सीधे पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग है। / In the right triangle, ( \(\sqrt{7}\)2+12=8 ). This is a direct use of Pythagoras theorem.
B. यह (5) और (6) के बीच है/It is between (5) and (6)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि (25<32<36), इसलिए \(5<\sqrt{32}<6\)। हमेशा नजदीकी पूर्ण वर्गों से तुलना करें। / Because (25<32<36), \(5<\sqrt{32}<6\). Always compare with nearby perfect squares.
पूर्णांक दूरी पूर्ण वर्गों पर मिलती है और (28) के बाद अगला पूर्ण वर्ग (36) है। इसलिए अगली पूर्णांक दूरी \( \sqrt{36}=6 \) पर मिलेगी। / Integer distances occur at perfect squares, and the next perfect square after (28) is (36). So the next integer distance is at \( \sqrt{36}=6 \).
\(OP_b^2=b\) और \(OP_a^2=a\), इसलिए अंतर (b-a=5) है। वर्गमूल हटाने के लिए वर्ग लें। / \(OP_b^2=b\) and \(OP_a^2=a\), so the difference is (b-a=5). Square the lengths to remove square roots.
\( \sqrt{99} \) लगभग (10) से थोड़ा कम है क्योंकि (99) संख्या (100) के पास है। पूर्ण वर्ग (100) से तुलना करें। / \( \sqrt{99} \) is slightly less than (10) because (99) is close to (100). Compare with the perfect square (100).
\( \sqrt{45}=\sqrt{9\times 5}=3\sqrt{5} \) है। सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग (9) निकालें। / \( \sqrt{45}=\sqrt{9\times 5}=3\sqrt{5} \). Extract the largest perfect square (9).
(64<80<81), इसलिए \(8<\sqrt{80}<9\)। पूर्ण वर्गों को याद रखना ऐसे प्रश्नों में मदद करता है। / Since (64<80<81), \(8<\sqrt{80}<9\). Remembering perfect squares helps in such questions.
D. क्योंकि ( \(\sqrt{n}\)2+12=n+1 )/Because ( \(\sqrt{n}\)2+12=n+1 )
Explanation
Simple Explanation
पाइथागोरस प्रमेय से नए कर्ण का वर्ग (n+1) होता है। इसलिए नया कर्ण \( \sqrt{n+1} \) है। / By Pythagoras, the square of the new hypotenuse is (n+1). Therefore the new hypotenuse is \( \sqrt{n+1} \).
\( \sqrt{72}=\sqrt{36\times 2}=6\sqrt{2} \), इसलिए (a=6)। गुणनखंड में पूर्ण वर्ग ढूँढें। / \( \sqrt{72}=\sqrt{36\times 2}=6\sqrt{2} \), so (a=6). Look for a perfect-square factor.
वर्गों का अंतर (13-5=8) है। वर्गमूलों के वर्ग लेने पर अंदर की संख्या मिलती है। / The difference of squares is (13-5=8). Squaring square roots gives the number inside.
\( \sqrt{63}=\sqrt{9\times 7}=3\sqrt{7} \) है। पहले सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग पहचानें। / \( \sqrt{63}=\sqrt{9\times 7}=3\sqrt{7} \). Identify the largest perfect square first.
B. \(OP_4=\sqrt{4}\) और दूरी (2) इकाई है/\(OP_4=\sqrt{4}\) and the distance is (2) units
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \( \sqrt{4}=2 \), इसलिए \(OP_4\) की दूरी (2) है। सूचकांक और दूरी को अलग-अलग समझें। / Because \( \sqrt{4}=2 \), the distance \(OP_4\) is (2). Understand the index and the distance separately.
\(36=6^2\) और \(49=7^2\), इसलिए \(6<\sqrt{48}<7\)। पूर्ण वर्गों की तुलना हमेशा भरोसेमंद रहती है। / Since \(36=6^2\) and \(49=7^2\), \(6<\sqrt{48}<7\). Comparing with perfect squares is always reliable.
\( \sqrt{40}=\sqrt{4\times 10}=2\sqrt{10} \) है। पूर्ण वर्ग (4) बाहर निकलता है। / \( \sqrt{40}=\sqrt{4\times 10}=2\sqrt{10} \). The perfect square (4) comes outside.
\(2\sqrt{3}=\sqrt{4\times 3}=\sqrt{12}\) है। इसलिए यह \( \sqrt{12} \) चरण पर मिलता है। / \(2\sqrt{3}=\sqrt{4\times 3}=\sqrt{12}\). So it appears at the \( \sqrt{12} \) step.
\(OP_{n+3}^2=n+3\) और \(OP_n^2=n\), इसलिए अंतर (3) है। वर्गों पर काम करने से प्रश्न आसान होता है। / \(OP_{n+3}^2=n+3\) and \(OP_n^2=n\), so the difference is (3). Working with squares makes the question easier.
\( \sqrt{15} \) के लिए पिछली त्रिज्या \( \sqrt{14} \) होती है और नई भुजा (1) होती है। यही क्रम सर्पिल की पहचान है। / For \( \sqrt{15} \), the previous radius is \( \sqrt{14} \) and the new side is (1). This sequence identifies the spiral.
नया कर्ण \( \sqrt{36}=6 \) होगा, जो (6) के बराबर है। दिए विकल्पों में सही जानकारी के अनुसार यह (6) और (7) वाले क्षेत्र से जुड़ता है। / The new hypotenuse is \( \sqrt{36}=6 \), exactly (6). Among the given options, it is associated with the (6) and (7) range.
\( \sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=5\sqrt{2} \) है। सरलीकरण में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग निकालें। / \( \sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=5\sqrt{2} \). Extract the largest perfect square while simplifying.
यदि कर्णों को पहले बने समकोण त्रिभुज से गिनें, तो क्रम \( \sqrt{2} \) से शुरू होता है। आधार \( \sqrt{1} \) प्रारंभिक त्रिज्या है। / If hypotenuses are counted from the first right triangle, the sequence starts at \( \sqrt{2} \). The base \( \sqrt{1} \) is the initial radius.
हर चरण में वर्ग के अंदर संख्या (1) बढ़ती है। इसलिए \( \sqrt{30} \) के बाद \( \sqrt{31} \) बनेगा। / At each step, the number under the square root increases by (1). Therefore, after \( \sqrt{30} \), \( \sqrt{31} \) is formed.
पुराना कर्ण \( \sqrt{2} \) नई भुजा (1) के साथ समकोण बनाता है। नया कर्ण \( \sqrt{3} \) होता है। / The old hypotenuse \( \sqrt{2} \) makes a right angle with the new side (1). The new hypotenuse is \( \sqrt{3} \).
A. अगला कर्ण \( \sqrt{7} \) होगा/The next hypotenuse is \( \sqrt{7} \)
Explanation
Simple Explanation
अगला कर्ण ( \sqrt{\(\sqrt{6}\)2+12}=\sqrt{7} ) है। लंबाइयाँ नहीं, वर्ग जोड़े जाते हैं। / The next hypotenuse is ( \sqrt{\(\sqrt{6}\)2+12}=\sqrt{7} ). Squares are added, not lengths.
नया कर्ण \( \sqrt{25}=5 \) है। यहाँ उत्तर ठीक (5) है, केवल निकट नहीं। / The new hypotenuse is \( \sqrt{25}=5 \). Here the answer is exactly (5), not just close.
C. क्योंकि यह \( \sqrt{n} \) जैसी दूरियों को रचनात्मक रूप से देता है/Because it geometrically gives distances like \( \sqrt{n} \)
Explanation
Simple Explanation
सर्पिल \( \sqrt{n} \) लंबाई वाले कर्ण बनाता है। जब (n) पूर्ण वर्ग नहीं होता, तब ऐसी लंबाइयाँ अपरिमेय होती हैं। / The spiral constructs hypotenuse lengths \( \sqrt{n} \). When (n) is not a perfect square, such lengths are irrational.
\( \sqrt{16}=4 \), इसलिए यह पूर्णांक दूरी (4) पर आता है। पूर्ण वर्गों पर सर्पिल के बिंदु पूर्णांक दूरी देते हैं। / \( \sqrt{16}=4 \), so it lies at integer distance (4). Points for perfect squares give integer distances in the spiral.
