Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
क्योंकि (25<27<36), इसलिए \(5<\sqrt{27}<6\)। पूर्ण वर्गों से अनुमान लगाना तेज तरीका है। / Since (25<27<36), \(5<\sqrt{27}<6\). Estimating with perfect squares is a quick method.
B. दोनों में नई बाहरी भुजा (1) इकाई और लंबवत है/The new outer side is (1) unit and perpendicular in both
Explanation
Simple Explanation
हर नए चरण में नई जोड़ी गई भुजा (1) इकाई और लंबवत होती है। पुरानी त्रिज्या बदलती रहती है। / At every new step, the added side is (1) unit and perpendicular. The old radius keeps changing.
कर्ण ( \sqrt{\(\sqrt{11}\)2+12}=\sqrt{12} ) है। चरण का नाम नए कर्ण से पहचाना जाता है। / The hypotenuse is ( \sqrt{\(\sqrt{11}\)2+12}=\sqrt{12} ). The step is identified by the new hypotenuse.
\( \sqrt{18} \) पिछले कर्ण \( \sqrt{17} \) पर (1) लंबवत जोड़कर बनता है। क्रम में हमेशा पिछले वर्गमूल को देखें। / \( \sqrt{18} \) is formed by adding a perpendicular (1) to the previous hypotenuse \( \sqrt{17} \). Always check the previous square root in the sequence.
\( \sqrt{1} \) से \( \sqrt{11} \) तक कुल (11) बिंदु होते हैं। गिनती में आरंभिक \( \sqrt{1} \) को भी शामिल करें। / From \( \sqrt{1} \) to \( \sqrt{11} \), there are (11) points. Include the initial \( \sqrt{1} \) in counting.
वर्गों का अंतर (21-20=1) है। यही अंतर हर लगातार चरण में स्थिर रहता है। / The difference of squares is (21-20=1). This difference stays constant at each consecutive step.
नई लंबाई \( \sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26} \) है। लंबाई (1) सीधे नहीं जुड़ती, वर्गों में जुड़ती है। / The new length is \( \sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26} \). The length (1) is not added directly; squares are added.
नया समकोण त्रिभुज \(OP_n\) और (1) से बनता है। इसलिए कर्ण के वर्ग में (1) जुड़ता है। / The new right triangle is formed using \(OP_n\) and (1). Hence the square of the hypotenuse increases by (1).
क्योंकि \( \sqrt{9}=3 \), इसलिए दूरी (3) इकाई है। पूर्ण वर्गों के वर्गमूल को तुरंत सरल करें। / Because \( \sqrt{9}=3 \), the distance is (3) units. Simplify square roots of perfect squares immediately.
\(OP_{k+1}=\sqrt{k+1}\), इसलिए (k+1=17) और (k=16)। सूचकांक में एक की वृद्धि ध्यान रखें। / Since \(OP_{k+1}=\sqrt{k+1}\), (k+1=17) and (k=16). Track the one-step increase carefully.
(13) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \( \sqrt{13} \) अपरिमेय है। वर्गमूल सर्पिल ऐसे वर्गमूलों को रचनात्मक रूप से दिखाता है। / Since (13) is not a perfect square, \( \sqrt{13} \) is irrational. The square root spiral shows such square roots geometrically.
अगले त्रिभुज की लंबवत भुजाएँ \( \sqrt{6} \) और (1) हैं। क्षेत्रफल \( \frac{1}{2}\times \sqrt{6}\times 1=\frac{\sqrt{6}}{2} \) होगा। / The next triangle has perpendicular sides \( \sqrt{6} \) and (1). Its area is \( \frac{1}{2}\times \sqrt{6}\times 1=\frac{\sqrt{6}}{2} \).
\( \sqrt{2} \) से \( \sqrt{10} \) तक (2) से (10) जाने में (8) वृद्धि होती हैं। हर वृद्धि के लिए एक नया इकाई रेखाखंड लगता है। / From \( \sqrt{2} \) to \( \sqrt{10} \), the inside number increases (8) times. Each increase needs one new unit segment.
B. अगली त्रिज्या निश्चित रूप से \( \sqrt{8} \) नहीं मानी जा सकती/The next radius cannot be surely taken as \( \sqrt{8} \)
Explanation
Simple Explanation
पाइथागोरस प्रमेय के लिए समकोण जरूरी है। लंबवत भुजा न हो तो \( \sqrt{n+1} \) की गारंटी नहीं रहती। / A right angle is necessary for Pythagoras. Without a perpendicular side, \( \sqrt{n+1} \) is not guaranteed.
हर नए समकोण त्रिभुज में बाहरी भुजा (1) इकाई होती है। इसी से \(OP_{n+1}=\sqrt{n+1}\) मिलता है। / Each new right triangle uses an outer side of (1) unit. This gives \(OP_{n+1}=\sqrt{n+1}\).
A. त्रिज्या पर लंबवत (1) इकाई/Perpendicular unit segment of (1)
Explanation
Simple Explanation
\( \sqrt{5} \) के लिए \( \sqrt{4} \) पर (1) इकाई लंबवत जोड़ते हैं। निर्माण में लंबवतता सबसे जरूरी संकेत है। / For \( \sqrt{5} \), a unit segment (1) is drawn perpendicular to \( \sqrt{4} \). Perpendicularity is the key construction clue.
नई त्रिज्या ( \sqrt{\(\sqrt{8}\)2+12}=\sqrt{9}=3 ) होगी। याद रखें हर नए चरण में वर्ग के अंदर (1) जुड़ता है। / The new radius is ( \sqrt{\(\sqrt{8}\)2+12}=\sqrt{9}=3 ). Remember that each new step adds (1) inside the square root.
पाइथागोरस प्रमेय से कर्ण \( \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} \) है। परीक्षा में पहला त्रिभुज हमेशा \( \sqrt{2} \) से जोड़ें। / By Pythagoras, the hypotenuse is \( \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} \). In exams, connect the first triangle with \( \sqrt{2} \).
वर्गमूल सर्पिल में हर नया कर्ण समकोण त्रिभुज से बनता है। इसलिए इसका मुख्य आधार पाइथागोरस प्रमेय है। / In a square root spiral, every new hypotenuse is formed using a right triangle. Therefore, its main basis is Pythagoras theorem.
लंबाई (5) होने पर वर्ग (25) होगा, इसलिए कर्ण \(\sqrt{25}\) के रूप में दिखेगा। पूर्णांक लंबाइयों को उनके वर्गमूल रूप से जोड़ें। / If the length is (5), its square is (25), so the hypotenuse appears as \(\sqrt{25}\). Connect integer lengths with their square root forms.
A. \(अगला कर्ण (=\sqrt{\)पिछले कर्ण का वर्ग+1})/\(Next hypotenuse (=\sqrt{\)square of previous hypotenuse+1})
Explanation
Simple Explanation
\(पाइथागोरस प्रमेय से अगला कर्ण (\sqrt{(\)पिछला कर्ण)2+1}) होता है। इसलिए वर्ग और वर्गमूल दोनों सही जगह होने चाहिए। \(/ By Pythagoras theorem, the next hypotenuse is (\sqrt{(\)previous hypotenuse\()^2+1}). So both square and square root must be in the correct places.\)
\(\sqrt{4}=2\), \(\sqrt{9}=3\), और \(\sqrt{16}=4\) पूर्णांक हैं। इसलिए कुल (3) पूर्णांक लंबाइयां मिलेंगी। / \(\sqrt{4}=2\), \(\sqrt{9}=3\), and \(\sqrt{16}=4\) are integers. Therefore, (3) integer lengths are obtained.
(m)वें त्रिभुज का कर्ण \(\sqrt{m+1}\) होता है। इसलिए (m+1=46) से (m=45)। / The hypotenuse of the (m)th triangle is \(\sqrt{m+1}\). Thus (m+1=46), so (m=45).
\(\sqrt{4}=2\) है, जो परिमेय संख्या है। सर्पिल में बने सभी वर्गमूल अपरिमेय नहीं होते। / \(\sqrt{4}=2\), which is a rational number. Not all square roots formed in the spiral are irrational.
नया कर्ण \(\sqrt{18+1}=\sqrt{19}\) होगा। (19) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए यही सरल रूप है। / The new hypotenuse is \(\sqrt{18+1}=\sqrt{19}\). Since (19) is not a perfect square, this is already the simplest form.
\(\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=3\sqrt{3}\)। मूल लंबाई वही है, केवल रूप सरल किया गया है। / \(\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=3\sqrt{3}\). The length is the same, only the form is simplified.
\(\sqrt{2}\) से \(\sqrt{9}\) तक (2,3,4,5,6,7,8,9) कुल (8) कर्ण हैं। \(\sqrt{4}\) और \(\sqrt{9}\) पूर्णांक लंबाइयां भी देते हैं। / From \(\sqrt{2}\) to \(\sqrt{9}\), the inner numbers (2,3,4,5,6,7,8,9) give (8) hypotenuses. \(\sqrt{4}\) and \(\sqrt{9}\) also give integer lengths.
