Level 21 • 50/50 questions • 25 seconds per question.
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C. \(\sqrt{36}\)
नए कर्ण का वर्ग (35+1=36) होगा, इसलिए \(OQ=\sqrt{36}\)। कर्ण पूछने पर वर्गमूल रूप लिखें। / The square of the new hypotenuse is (35+1=36), so \(OQ=\sqrt{36}\). When the hypotenuse is asked, write the square root form.
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B. \(\sqrt{41}\)
पिछले चरण में वर्गमूल के अंदर की संख्या (1) कम होती है। इसलिए \(\sqrt{42}\) से पहले \(\sqrt{41}\) होगा। / In the previous step, the number under the root is (1) less. Therefore, \(\sqrt{41}\) comes before \(\sqrt{42}\).
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C. \(\sqrt{19}\)
(r)वें त्रिभुज का कर्ण \(\sqrt{r+1}\) होता है। इसलिए (18)वें त्रिभुज का कर्ण \(\sqrt{19}\) है। / The hypotenuse of the (r)th triangle is \(\sqrt{r+1}\). Therefore, the (18)th triangle has hypotenuse \(\sqrt{19}\).
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B. (47)
\(\sqrt{2}\) पहला त्रिभुज देता है, इसलिए \(\sqrt{48}\) तक त्रिभुजों की संख्या (48-1=47) होगी। गणना में आरंभिक \(\sqrt{1}\) को अलग रखें। / \(\sqrt{2}\) is given by the first triangle, so up to \(\sqrt{48}\), the number of triangles is (48-1=47). Keep the initial \(\sqrt{1}\) separate in counting.
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Which option gives the correct order of three consecutive hypotenuses?
A. \(\sqrt{22},\sqrt{23},\sqrt{24}\)
लगातार कर्णों में वर्गमूल के अंदर की संख्याएं (1) के अंतर से बढ़ती हैं। इसलिए \(\sqrt{22},\sqrt{23},\sqrt{24}\) सही क्रम है। / In consecutive hypotenuses, the numbers under the roots increase by (1). Therefore, \(\sqrt{22},\sqrt{23},\sqrt{24}\) is the correct order.
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Which statement is correct for constructing each new right triangle in a square root spiral?
A. जो नई भुजा जोड़ी जाती है, उसकी लंबाई 1 होती है और वह पिछले कर्ण पर लंब होती है।The newly added side has length 1 and is perpendicular to the previous hypotenuse.
वर्गमूल सर्पिल में पिछले कर्ण के सिरे पर 1 इकाई की नई भुजा लंब खींची जाती है। पाइथागोरस के अनुसार \((\sqrt{n-1})^2+1^2=n\), इसलिए नया कर्ण \(\sqrt{n}\) बनता है। परीक्षा में “लंब” और “1 इकाई” को साथ पहचानें। / In a square root spiral, a unit side is drawn perpendicular to the preceding hypotenuse. By Pythagoras, \((\sqrt{n-1})^2+1^2=n\), so the new hypotenuse is \(\sqrt{n}\). Exam tip: identify both the unit side and the right angle.
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B. \(\sqrt{30}\)
(\(\sqrt{30}\)2+12=31), इसलिए \(\sqrt{30}\) पर लंब बनता है। अगले वर्गमूल के लिए पिछले अंदर मान को पहचानें। / (\(\sqrt{30}\)2+12=31), so the perpendicular is drawn on \(\sqrt{30}\). For the next square root, identify the previous inner value.
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A. लंबाइयों का अंतर (1) नहीं, उनके वर्गों का अंतर (1) हैThe difference of lengths is not (1), the difference of their squares is (1)
(\(\sqrt{11}\)2-\(\sqrt{10}\)2=1), लेकिन \(\sqrt{11}-\sqrt{10}\neq1\)। परीक्षा में लंबाई और वर्ग में अंतर समझें। / (\(\sqrt{11}\)2-\(\sqrt{10}\)2=1), but \(\sqrt{11}-\sqrt{10}\neq1\). In exams, understand the difference between length and square.
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When \(\sqrt{72}\) is obtained in the spiral, what is its simplest form?
A. \(6\sqrt{2}\)
\(\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=6\sqrt{2}\)। पूर्ण वर्ग गुणनखंड निकालना सरल करने का अच्छा तरीका है। / \(\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=6\sqrt{2}\). Taking out the perfect square factor is a good way to simplify.
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If \(OP=\sqrt{50}\), what type of number does (OP) represent?
C. अपरिमेय संख्याIrrational number
\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) है और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। इसलिए \(\sqrt{50}\) अपरिमेय संख्या है। / \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), and \(\sqrt{2}\) is irrational. Therefore, \(\sqrt{50}\) is an irrational number.
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Which hypotenuse will be formed in the spiral and have a natural number value?
B. \(\sqrt{49}\)
\(\sqrt{49}=7\), जो प्राकृतिक संख्या है। पूर्ण वर्गों के वर्गमूल प्राकृतिक संख्या हो सकते हैं। / \(\sqrt{49}=7\), which is a natural number. Square roots of perfect squares can be natural numbers.
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C. \(\sqrt{81}\)
अगले चरण में अंदर की संख्या (1) बढ़ती है, इसलिए \(\sqrt{81}\) बनेगा। सर्पिल क्रम में कोई संख्या नहीं छोड़ता। / In the next step, the inner number increases by (1), so \(\sqrt{81}\) is formed. The spiral does not skip numbers in order.
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C. \(\sqrt{a+1}\)
वर्गमूल सर्पिल की मानक रचना में \(PQ\), \(OP\) पर लंब होता है। अतः पाइथागोरस प्रमेय से \(OQ^2=OP^2+PQ^2=(\sqrt{a})^2+1^2=a+1\)। इसलिए \(OQ=\sqrt{a+1}\)। विकल्प \(a+1\) कर्ण की लंबाई नहीं, बल्कि उसके वर्ग \(OQ^2\) का मान है। परीक्षा टिप: कर्ण ज्ञात करने से पहले दोनों भुजाओं के वर्ग जोड़ें, फिर वर्गमूल लें। / In the standard square-root spiral construction, \(PQ\) is perpendicular to \(OP\). By Pythagoras’ theorem, \(OQ^2=OP^2+PQ^2=(\sqrt{a})^2+1^2=a+1\). Hence, \(OQ=\sqrt{a+1}\). The expression \(a+1\) is the value of \(OQ^2\), not the length of the hypotenuse itself. Exam tip: add the squares of the perpendicular sides first, then take the square root.
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In a square root spiral, which hypotenuses come immediately before and after \(\sqrt{99}\)?
B. \(\sqrt{98}\) और \(\sqrt{100}\)\(\sqrt{98}\) and \(\sqrt{100}\)
क्रम में अंदर की संख्या (1) घटती और (1) बढ़ती है। इसलिए \(\sqrt{99}\) के पहले \(\sqrt{98}\) और बाद में \(\sqrt{100}\) होगा। / In order, the inner number decreases by (1) before and increases by (1) after. So \(\sqrt{98}\) comes before \(\sqrt{99}\), and \(\sqrt{100}\) comes after it.
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If \(\sqrt{121}\) is formed in the spiral, how many units is it in actual length?
B. 11
\(121\) एक पूर्ण वर्ग है, क्योंकि \(11 \times 11 = 121\)। इसलिए \(\sqrt{121}=11\), अतः सर्पिल में इसकी वास्तविक लंबाई 11 इकाई होगी। \(121\) मूल संख्या है, उसका वर्गमूल नहीं। परीक्षा टिप: 1 से 15 तक की संख्याओं के वर्ग याद रखने से ऐसे प्रश्न जल्दी हल होते हैं। / \(121\) is a perfect square because \(11 \times 11 = 121\). Therefore, \(\sqrt{121}=11\), so its actual length in the spiral is 11 units. \(121\) is the number under the square root, not its square root. Exam tip: Memorising squares from 1 to 15 helps solve such questions quickly.
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If (5) new steps are constructed after \(OP=\sqrt{8}\), what will be the final hypotenuse?
C. \(\sqrt{13}\)
हर नए चरण में अंदर की संख्या (1) बढ़ती है, इसलिए (8+5=13)। अंतिम कर्ण \(\sqrt{13}\) होगा। / At each new step, the inner number increases by (1), so (8+5=13). The final hypotenuse is \(\sqrt{13}\).
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If after (7) new steps the hypotenuse becomes \(\sqrt{29}\), what was the starting hypotenuse?
C. \(\sqrt{22}\)
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नया चरण कर्ण के वर्ग के भीतर की संख्या को 1 बढ़ाता है। अतः 7 नए चरणों के बाद \(\sqrt{29}\) मिलने पर प्रारम्भिक संख्या \(29-7=22\) होगी। इसलिए प्रारम्भिक कर्ण \(\sqrt{22}\) था। \(\sqrt{21}\) लेने पर 7 चरण बाद \(\sqrt{28}\) मिलता, \(\sqrt{29}\) नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में कर्ण के वर्ग के भीतर वाली संख्या में चरणों को जोड़ें या घटाएँ। / In a square root spiral, each new step increases the number under the square root of the hypotenuse by 1. Since 7 new steps lead to \(\sqrt{29}\), the starting number was \(29-7=22\). Hence, the starting hypotenuse was \(\sqrt{22}\). If it had been \(\sqrt{21}\), seven steps would give \(\sqrt{28}\), not \(\sqrt{29}\). Exam tip: Add or subtract the number of steps from the radicand, not from the square root itself.
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Which option gives the correct simplest form of \(\sqrt{54}\)?
B. \(3\sqrt{6}\)
\(54=9\times6\) है और \(9\) इसका सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड है। इसलिए \(\sqrt{54}=\sqrt{9\times6}=\sqrt9\times\sqrt6=3\sqrt6\)। विकल्प \(2\sqrt{27}\) सरल रूप नहीं है और यह \(\sqrt{54}\) के बराबर भी नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करते समय अंदर के सबसे बड़े पूर्ण वर्ग गुणनखंड को पहले पहचानें। / Since \(54=9\times6\), and \(9\) is the greatest perfect-square factor of 54, \(\sqrt{54}=\sqrt{9\times6}=\sqrt9\times\sqrt6=3\sqrt6\). The expression \(2\sqrt{27}\) is neither in simplest form nor equal to \(\sqrt{54}\). Exam tip: first identify the greatest perfect-square factor inside the radical.
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B. पिछले कर्ण पर (1) इकाई का लंब बनानाDrawing a (1) unit perpendicular to the previous hypotenuse
मुख्य रचना पिछले कर्ण पर (1) इकाई का लंब बनाने पर निर्भर करती है। इसी से अगला समकोण त्रिभुज बनता है। / The main construction depends on drawing a (1) unit perpendicular to the previous hypotenuse. This creates the next right triangle.
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B. नहीं, दिशा बदलती है क्योंकि प्रत्येक नया लंब पिछले कर्ण पर बनता हैNo, the direction changes because each new perpendicular is drawn on the previous hypotenuse
हर नए चरण में लंब पिछले कर्ण पर बनता है, इसलिए दिशा धीरे-धीरे बदलती है। सर्पिल इसी घुमाव से बनता है। / At each new step, the perpendicular is drawn on the previous hypotenuse, so the direction gradually changes. The spiral is formed by this turning.
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B. नहीं, क्योंकि पाइथागोरस प्रमेय के लिए समकोण जरूरी हैNo, because a right angle is necessary for Pythagoras theorem
\(\sqrt{16}\) तभी निश्चित होगा जब नया खंड पिछले कर्ण पर लंब हो। समकोण के बिना पाइथागोरस प्रमेय नहीं लगेगा। / \(\sqrt{16}\) is certain only when the new segment is perpendicular to the previous hypotenuse. Without a right angle, Pythagoras theorem cannot be applied.
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How many new steps are needed to go from \(\sqrt{3}\) to \(\sqrt{7}\) in the spiral?
C. 4
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नया चरण क्रमशः \(\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \ldots\) को दर्शाता है। \(\sqrt{3}\) से \(\sqrt{7}\) तक जाने पर मूलांक 3 से 7 होता है, इसलिए नए चरणों की संख्या \(7-3=4\) है। \(\sqrt{3}\) के बाद \(\sqrt{4}, \sqrt{5}, \sqrt{6}\) और \(\sqrt{7}\) के लिए चार चरण बनते हैं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में अंतिम मूलांक में से प्रारम्भिक मूलांक घटाइए। / In a square root spiral, each new step represents the next number: \(\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \ldots\). From \(\sqrt{3}\) to \(\sqrt{7}\), the radicand changes from 3 to 7, so the number of new steps is \(7-3=4\). The four steps correspond to \(\sqrt{4}, \sqrt{5}, \sqrt{6}\), and \(\sqrt{7}\). Exam tip: subtract the starting radicand from the ending radicand in such questions.
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If \(\sqrt{90}\) is obtained in the spiral, what is its simplest form?
A. \(3\sqrt{10}\)
\(90=9\times10\) और \(9\) एक पूर्ण वर्ग है। इसलिए \(\sqrt{90}=\sqrt{9\times10}=\sqrt9\sqrt{10}=3\sqrt{10}\)। \(9\sqrt{10}\) गलत है, क्योंकि \(\sqrt9=3\) होता है, 9 नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करते समय संख्या का सबसे बड़ा पूर्ण-वर्ग गुणनखंड पहचानें। / Since \(90=9\times10\) and \(9\) is a perfect square, \(\sqrt{90}=\sqrt{9\times10}=\sqrt9\sqrt{10}=3\sqrt{10}\). \(9\sqrt{10}\) is incorrect because \(\sqrt9=3\), not 9. Exam tip: identify the greatest perfect-square factor when simplifying a surd.
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Which option gives a correct equation for one step of the spiral?
A. \((\sqrt{26})^2+1^2=27\)
\((\sqrt{26})^2=26\) और \(1^2=1\), इसलिए योग (27) है। यही \(\sqrt{27}\) बनाने का चरण है। / \((\sqrt{26})^2=26\) and \(1^2=1\), so the sum is (27). This is the step to form \(\sqrt{27}\).
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C. \(\sqrt{101}\)
अगला कर्ण \(\sqrt{101}\) होगा, जो सरल पूर्णांक नहीं है। \(\sqrt{100}=10\) के बाद भी क्रम \(\sqrt{101}\) से चलता है। / The next hypotenuse is \(\sqrt{101}\), which is not a simple integer. Even after \(\sqrt{100}=10\), the sequence continues with \(\sqrt{101}\).
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Which statement correctly describes the relation between a square root spiral and the number line?
A. सर्पिल से मिली दूरी को कंपास से संख्या रेखा पर चिह्नित किया जा सकता हैThe distance obtained from the spiral can be marked on the number line using a compass
सर्पिल सटीक दूरी देता है, जिसे कंपास से संख्या रेखा पर स्थानांतरित किया जा सकता है। यह अपरिमेय संख्याओं को दिखाने में उपयोगी है। / The spiral gives an exact distance that can be transferred to the number line with a compass. It is useful for showing irrational numbers.
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B. \(\sqrt{62}\)
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक अगले चरण पर कर्ण के भीतर की संख्या 1 बढ़ती है। इसलिए \(\sqrt{65}\) से 3 चरण पीछे जाने पर संख्या \(65-3=62\) होगी। अतः कर्ण \(\sqrt{62}\) है। \(\sqrt{63}\) केवल 2 चरण पहले आता है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में चरणों की संख्या को कर्ण के भीतर की संख्या से घटाएँ। / In a square root spiral, the number under the radical increases by 1 at each successive step. Going 3 steps back from \(\sqrt{65}\) gives \(65-3=62\). Hence, the required hypotenuse is \(\sqrt{62}\). \(\sqrt{63}\) is only 2 steps before the final hypotenuse. Exam tip: subtract the number of backward steps from the radicand.
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Which option gives an incorrect fixed length for constructing the spiral?
C. हर नए लंब खंड की लंबाई (2)Length of every new perpendicular segment is (2)
मानक सर्पिल में हर नया लंब खंड (1) इकाई का होता है। (2) इकाई लेने से अलग क्रम बनेगा। / In the standard spiral, every new perpendicular segment is (1) unit long. Taking (2) units would create a different sequence.
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If \(OP=\sqrt{120}\), what is the simplest form of (OP)?
B. \(4\sqrt{15}\)
\(\sqrt{120}=\sqrt{4\times30}=2\sqrt{30}\) भी सही है, लेकिन \(\sqrt{120}=\sqrt{4\times30}\) से और बड़ा पूर्ण वर्ग नहीं निकलता। विकल्पों में \(2\sqrt{30}\) नहीं सही दिया गया है, इसलिए ध्यान से जांचें। / \(\sqrt{120}=\sqrt{4\times30}=2\sqrt{30}\) is simplest, while \(4\sqrt{15}\) squares to (240). Check each option carefully.
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If \(OP=\sqrt{120}\), which is the correct simplest form of (OP)?
A. \(2\sqrt{30}\)
\(120=4\times30\) है और \(4\) एक पूर्ण वर्ग है। इसलिए \(\sqrt{120}=\sqrt{4\times30}=2\sqrt{30}\)। \(30\) में कोई 1 से बड़ा पूर्ण-वर्ग गुणनखंड नहीं है, अतः यह सरलतम रूप है। निकटतम भ्रामक विकल्प \(4\sqrt{15}\) है, पर उसका वर्ग \(16\times15=240\) होता है, 120 नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या का सबसे बड़ा पूर्ण-वर्ग गुणनखंड पहचानें। / Since \(120=4\times30\), and \(4\) is a perfect square, \(\sqrt{120}=\sqrt{4\times30}=2\sqrt{30}\). As 30 has no perfect-square factor greater than 1, this is the simplest form. The close distractor \(4\sqrt{15}\) is incorrect because its square is \(16\times15=240\), not 120. Exam tip: identify the greatest perfect-square factor inside the radical before simplifying.
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If counting starts from \(\sqrt{2}\) in the spiral, what will be the (25)th hypotenuse?
B. \(\sqrt{26}\)
\(\sqrt{2}\) पहला कर्ण है, इसलिए (25)वां कर्ण \(\sqrt{25+1}=\sqrt{26}\) होगा। गिनती का आरंभ स्पष्ट रखें। / \(\sqrt{2}\) is the first hypotenuse, so the (25)th hypotenuse is \(\sqrt{25+1}=\sqrt{26}\). Keep the starting point of counting clear.
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B. \(\sqrt{13}\)
(\(\sqrt{12}\)2+12=13), इसलिए परिणाम \(\sqrt{13}\) होगा। \(\sqrt{14}\) के लिए पहले \(\sqrt{13}\) चाहिए। / (\(\sqrt{12}\)2+12=13), so the result will be \(\sqrt{13}\). To get \(\sqrt{14}\), \(\sqrt{13}\) is needed first.
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Which statement about \(\sqrt{144}\) and \(\sqrt{145}\) in the spiral is correct?
B. \(\sqrt{144}\) परिमेय है और \(\sqrt{145}\) अपरिमेय है\(\sqrt{144}\) is rational and \(\sqrt{145}\) is irrational
\(\sqrt{144}=12\) परिमेय है, जबकि (145) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए \(\sqrt{145}\) अपरिमेय है। / \(\sqrt{144}=12\) is rational, while (145) is not a perfect square. Therefore, \(\sqrt{145}\) is irrational.
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C. (7)
अंदर की संख्या (40) से (47) तक (7) बढ़ती है। इसलिए (7) नए लंब खंड बनेंगे। / The inner number increases from (40) to (47) by (7). Therefore, (7) new perpendicular segments will be drawn.
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Which option explains why \(\sqrt{2}\) is obtained as the first hypotenuse?
A. क्योंकि \(1^2+1^2=2\)Because \(1^2+1^2=2\)
पहले समकोण त्रिभुज की दोनों लंब भुजाएं (1) और (1) होती हैं। इसलिए कर्ण \(\sqrt{2}\) होता है। / The first right triangle has perpendicular sides (1) and (1). Therefore, the hypotenuse is \(\sqrt{2}\).
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If \(OP=\sqrt{73}\) and \(OQ=\sqrt{74}\) are consecutive hypotenuses, what is \(PQ^2\)?
B. \(1\)
वर्गमूल सर्पिल में अगले समकोण त्रिभुज का कर्ण \(OQ\) होता है और \(OP\) उसका एक भुजा है। पाइथागोरस प्रमेय से \(PQ^2=OQ^2-OP^2=74-73=1\)। अतः सही उत्तर \(1\) है। \(73\) और \(74\) क्रमशः \(OP^2\) तथा \(OQ^2\) हैं, \(PQ^2\) नहीं। परीक्षा टिप: लगातार कर्णों के वर्गों का अंतर नए लंब खंड का वर्ग देता है। / In a square-root spiral, \(OQ\) is the hypotenuse of the next right triangle, while \(OP\) is one of its sides. By Pythagoras' theorem, \(PQ^2=OQ^2-OP^2=74-73=1\). Hence, the correct answer is \(1\). The values \(73\) and \(74\) are \(OP^2\) and \(OQ^2\), respectively, not \(PQ^2\). Exam tip: the difference between the squares of consecutive hypotenuses gives the square of the new perpendicular segment.
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A. सर्पिल में मिली दूरी को कंपास से संख्या रेखा पर स्थानांतरित करेंTransfer the distance obtained in the spiral to the number line using a compass
सर्पिल \(\sqrt{6}\) की सटीक ज्यामितीय दूरी देता है। कंपास से वही दूरी संख्या रेखा पर रखी जा सकती है। / The spiral gives the exact geometric distance of \(\sqrt{6}\). The same distance can be placed on the number line using a compass.
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If \(\sqrt{200}\) is formed in the spiral, what is its simplified form?
A. \(10\sqrt{2}\)
\(\sqrt{200}=\sqrt{100\times2}=10\sqrt{2}\)। बड़े पूर्ण वर्ग गुणनखंड से सरल रूप जल्दी मिलता है। / \(\sqrt{200}=\sqrt{100\times2}=10\sqrt{2}\). A large perfect square factor gives the simplified form quickly.
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B. (4)
\(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{5}\) कुल (4) कर्ण हैं। गिनती में \(\sqrt{2}\) को पहला कर्ण मानें। / \(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{5}\) are (4) hypotenuses in total. Count \(\sqrt{2}\) as the first hypotenuse.
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In a square root spiral, what is the simplified form of \(\sqrt{75}\)?
B. \(5\sqrt{3}\)
\(75=25\times 3\) और \(25\) एक पूर्ण वर्ग है। इसलिए \(\sqrt{75}=\sqrt{25\times 3}=\sqrt{25}\sqrt{3}=5\sqrt{3}\)। विकल्प \(3\sqrt{5}\) का वर्ग \(45\) होता है, इसलिए वह \(\sqrt{75}\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करते समय संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण-वर्ग गुणनखंड खोजें। / Since \(75=25\times 3\) and \(25\) is a perfect square, \(\sqrt{75}=\sqrt{25\times 3}=\sqrt{25}\sqrt{3}=5\sqrt{3}\). The close distractor \(3\sqrt{5}\) squares to \(45\), not \(75\). Exam tip: to simplify a surd, first identify the greatest perfect-square factor of the number.
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If \(OP=\sqrt{x}\) and the next hypotenuse is \(\sqrt{57}\), what is the value of (x)?
B. 56
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नया कर्ण पिछले कर्ण के वर्ग के मान में 1 जोड़ने पर बनता है। इसलिए \(\sqrt{x}\) के बाद का कर्ण \(\sqrt{x+1}\) होगा। यहाँ \(\sqrt{x+1}=\sqrt{57}\), अतः \(x+1=57\) और \(x=56\)। विकल्प 57 कर्ण के भीतर का अगला मान है, \(x\) का मान नहीं। परीक्षा टिप: क्रमागत कर्णों के लिए मूलांक 1-1 बढ़ते हैं। / In a square root spiral, each new hypotenuse has a radicand that is 1 more than that of the previous hypotenuse. Hence, the hypotenuse after \(\sqrt{x}\) is \(\sqrt{x+1}\). Given \(\sqrt{x+1}=\sqrt{57}\), we get \(x+1=57\), so \(x=56\). Option 57 is the radicand of the next hypotenuse, not the value of \(x\). Exam tip: radicands of consecutive hypotenuses increase by 1.
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Which statement is correct for the spiral from \(\sqrt{2}\) to \(\sqrt{9}\)?
A. इसमें (8) कर्ण बनते हैंIt has (8) hypotenuses
\(\sqrt{2}\) से \(\sqrt{9}\) तक (2,3,4,5,6,7,8,9) कुल (8) कर्ण हैं। \(\sqrt{4}\) और \(\sqrt{9}\) पूर्णांक लंबाइयां भी देते हैं। / From \(\sqrt{2}\) to \(\sqrt{9}\), the inner numbers (2,3,4,5,6,7,8,9) give (8) hypotenuses. \(\sqrt{4}\) and \(\sqrt{9}\) also give integer lengths.
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If \(\sqrt{27}\) is to be simplified as a length of the spiral, what is the correct form?
B. \(3\sqrt{3}\)
\(27=9\times 3\) है, और \(9\) एक पूर्ण वर्ग है। इसलिए \(\sqrt{27}=\sqrt{9\times 3}=\sqrt{9}\sqrt{3}=3\sqrt{3}\)। \(9\sqrt{3}\) में 3 का गुणन अनावश्यक रूप से अधिक है, जबकि \(\sqrt{9}=3\) केवल \(\sqrt{27}\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करते समय अंदर के सबसे बड़े पूर्ण वर्ग गुणनखंड को बाहर निकालें। / Since \(27=9\times 3\), and \(9\) is a perfect square, \(\sqrt{27}=\sqrt{9\times 3}=\sqrt{9}\sqrt{3}=3\sqrt{3}\). The expression \(9\sqrt{3}\) has an extra factor of 3, while \(\sqrt{9}=3\) is not equal to \(\sqrt{27}\). Exam tip: To simplify a square root, identify the greatest perfect-square factor inside the radical and take it outside.
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If \(OP=\sqrt{18}\) and the new (PQ=1) is perpendicular, what will be the simplest form of (OQ)?
C. \(\sqrt{19}\)
नया कर्ण \(\sqrt{18+1}=\sqrt{19}\) होगा। (19) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए यही सरल रूप है। / The new hypotenuse is \(\sqrt{18+1}=\sqrt{19}\). Since (19) is not a perfect square, this is already the simplest form.
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Which option explains why \(\sqrt{4}\) is not irrational even though it is formed in the spiral?
A. क्योंकि \(\sqrt{4}=2\)Because \(\sqrt{4}=2\)
\(\sqrt{4}=2\) है, जो परिमेय संख्या है। सर्पिल में बने सभी वर्गमूल अपरिमेय नहीं होते। / \(\sqrt{4}=2\), which is a rational number. Not all square roots formed in the spiral are irrational.
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If the hypotenuse of the (m)th right triangle is \(\sqrt{46}\), what is the value of (m)?
B. 45
वर्गमूल सर्पिल में (m)वें समकोण त्रिभुज का कर्ण \(\sqrt{m+1}\) होता है। अतः \(\sqrt{m+1}=\sqrt{46}\), इसलिए \(m+1=46\) और \(m=45\)। विकल्प 46 गलत है क्योंकि वह कर्ण के वर्ग के बराबर है, त्रिभुज की क्रम-संख्या नहीं। परीक्षा टिप: सर्पिल में पहले त्रिभुज का कर्ण \(\sqrt{2}\) मानकर क्रम जाँचें। / In a square root spiral, the hypotenuse of the (m)th right triangle is \(\sqrt{m+1}\). Hence, \(\sqrt{m+1}=\sqrt{46}\), so \(m+1=46\) and \(m=45\). Option 46 is incorrect because it is the square of the hypotenuse, not the triangle number. Exam tip: verify the pattern by recalling that the first triangle has hypotenuse \(\sqrt{2}\).
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B. (3)
\(\sqrt{4}=2\), \(\sqrt{9}=3\), और \(\sqrt{16}=4\) पूर्णांक हैं। इसलिए कुल (3) पूर्णांक लंबाइयां मिलेंगी। / \(\sqrt{4}=2\), \(\sqrt{9}=3\), and \(\sqrt{16}=4\) are integers. Therefore, (3) integer lengths are obtained.
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Which option gives the correct general recurrence for the square root spiral?
A. \(अगला कर्ण (=\sqrt{\)पिछले कर्ण का वर्ग+1})\(Next hypotenuse (=\sqrt{\)square of previous hypotenuse+1})
\(पाइथागोरस प्रमेय से अगला कर्ण (\sqrt{(\)पिछला कर्ण)2+1}) होता है। इसलिए वर्ग और वर्गमूल दोनों सही जगह होने चाहिए। \(/ By Pythagoras theorem, the next hypotenuse is (\sqrt{(\)previous hypotenuse\()^2+1}). So both square and square root must be in the correct places.\)
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If the value of a hypotenuse is (5) units, as which square root will it appear in the spiral?
C. \(\sqrt{25}\)
लंबाई (5) होने पर वर्ग (25) होगा, इसलिए कर्ण \(\sqrt{25}\) के रूप में दिखेगा। पूर्णांक लंबाइयों को उनके वर्गमूल रूप से जोड़ें। / If the length is (5), its square is (25), so the hypotenuse appears as \(\sqrt{25}\). Connect integer lengths with their square root forms.
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What is the most important mathematical basis of the square root spiral?
B. पाइथागोरस प्रमेयPythagoras theorem
वर्गमूल सर्पिल में हर नया कर्ण समकोण त्रिभुज से बनता है। इसलिए इसका मुख्य आधार पाइथागोरस प्रमेय है। / In a square root spiral, every new hypotenuse is formed using a right triangle. Therefore, its main basis is Pythagoras theorem.
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