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पाइथागोरस प्रमेय से \(OB^2=1^2+1^2=2\), इसलिए \(OB=\sqrt{2}\)। परीक्षा में समकोण त्रिभुज को पहले पहचानें। / By Pythagoras theorem, \(OB^2=1^2+1^2=2\), so \(OB=\sqrt{2}\). In exams, identify the right triangle first.
यहां (OC-2=\(\sqrt{2}\)2+12=3), इसलिए \(OC=\sqrt{3}\)। हर नए चरण में पिछले वर्गमूल में (1) जोड़ा जाता है। / Here (OC-2=\(\sqrt{2}\)2+12=3), so \(OC=\sqrt{3}\). At each new step, (1) is added to the previous square under the root.
\(OC=\sqrt{3}\) के ऊपर (1) इकाई का लंब बनाने पर \(OD^2=3+1=4\)। क्रम याद रखना ऐसे प्रश्नों में सबसे उपयोगी है। / On \(OC=\sqrt{3}\), drawing a perpendicular of (1) unit gives \(OD^2=3+1=4\). Remembering the order is very useful in such questions.
नई त्रिज्या का वर्ग (8+1=9) होगा, इसलिए लंबाई \(\sqrt{9}\) है। ध्यान रखें कि लंबाई (9) नहीं बल्कि \(\sqrt{9}\) लिखी जाती है। / The square of the new radius is (8+1=9), so the length is \(\sqrt{9}\). Remember that the length is written as \(\sqrt{9}\), not just (9).
B. \(\sqrt{6}\) पर (1) इकाई लंब बनाकर/By drawing (1) unit perpendicular on \(\sqrt{6}\)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि (\(\sqrt{6}\)2+12=7), इसलिए नया खंड \(\sqrt{7}\) होगा। सही पिछले खंड को पहचानना जरूरी है। / Because (\(\sqrt{6}\)2+12=7), the new segment becomes \(\sqrt{7}\). Identifying the correct previous segment is necessary.
सूत्र में (n=12) रखने पर \(OP_{12}=\sqrt{13}\) मिलता है। सूचकांक और वर्गमूल के अंदर की संख्या में अंतर पर ध्यान दें। / Putting (n=12) in the formula gives \(OP_{12}=\sqrt{13}\). Pay attention to the difference between the index and the number under the root.
\(\sqrt{2}\) से \(\sqrt{10}\) तक वर्गमूल के अंदर संख्या (8) बढ़ती है, इसलिए (8) नए चरण चाहिए। हर चरण अंदर की संख्या को (1) बढ़ाता है। / From \(\sqrt{2}\) to \(\sqrt{10}\), the number under the root increases by (8), so (8) new steps are needed. Each step increases the inner number by (1).
हर नए समकोण त्रिभुज में (1) इकाई की लंब भुजा जोड़ी जाती है। इसी कारण अगला कर्ण अगले वर्गमूल को दर्शाता है। / In every new right triangle, a perpendicular side of (1) unit is added. This is why the next hypotenuse represents the next square root.
पिछली त्रिज्या का वर्ग (11-1=10) होगा, इसलिए वह \(\sqrt{10}\) थी। उल्टे प्रश्नों में (1) घटाएं। / The square of the previous radius is (11-1=10), so it was \(\sqrt{10}\). In reverse questions, subtract (1).
B. हर नए कर्ण का वर्ग पिछले कर्ण के वर्ग से (1) अधिक होता है/The square of each new hypotenuse is (1) more than the square of the previous hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में लंबाई नहीं बल्कि लंबाई का वर्ग (1) से बढ़ता है। इसी फर्क से कई कठिन प्रश्न हल होते हैं। / In the square root spiral, the length itself does not increase by (1); its square increases by (1). This difference helps solve many difficult questions.
(OQ-2=\(\sqrt{15}\)2+12=16) होगा। प्रश्न में \(OQ^2\) पूछा है, इसलिए उत्तर (16) है। / (OQ-2=\(\sqrt{15}\)2+12=16). Since the question asks for \(OQ^2\), the answer is (16).
क्रम \(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{5}\) चलता है। इसलिए \(\sqrt{5}\), \(\sqrt{4}\) के तुरंत बाद आता है। / The order is \(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{5}\). Therefore, \(\sqrt{5}\) comes immediately after \(\sqrt{4}\).
B. समकोण त्रिभुज और पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग होता है/Right triangles and Pythagoras theorem are used
Explanation
Simple Explanation
सर्पिल की पूरी रचना समकोण त्रिभुजों पर आधारित है। पाइथागोरस प्रमेय से नए कर्ण की लंबाई मिलती है। / The whole construction of the spiral is based on right triangles. Pythagoras theorem gives the length of the new hypotenuse.
पहला त्रिभुज \(\sqrt{2}\) देता है और पांचवां त्रिभुज \(\sqrt{6}\) देता है। इसलिए कुल (5) समकोण त्रिभुज बनते हैं। / The first triangle gives \(\sqrt{2}\), and the fifth triangle gives \(\sqrt{6}\). So, (5) right triangles are formed.
पहला त्रिभुज \(\sqrt{2}\), दूसरा \(\sqrt{3}\), तीसरा \(\sqrt{4}\), चौथा \(\sqrt{5}\) देता है। चरण संख्या में (1) जोड़ें। / The first triangle gives \(\sqrt{2}\), the second \(\sqrt{3}\), the third \(\sqrt{4}\), and the fourth \(\sqrt{5}\). Add (1) to the step number.
(\(\sqrt{12}\)2+12=13), इसलिए \(\sqrt{12}\) वाले कर्ण पर अगला लंब बनेगा। पिछले कर्ण को एक कम अंदर संख्या से पहचानें। / (\(\sqrt{12}\)2+12=13), so the next perpendicular is drawn on the hypotenuse \(\sqrt{12}\). Identify the previous hypotenuse by reducing the inner number by (1).
अगले चरण में (1) इकाई लंब जुड़ता है, इसलिए नई दूरी \(\sqrt{17+1}=\sqrt{18}\) होगी। वर्गमूल के अंदर की संख्या बढ़ती है। / In the next step, a perpendicular of (1) unit is added, so the new distance becomes \(\sqrt{17+1}=\sqrt{18}\). The number under the root increases.
लगातार कर्णों में वर्गमूल के अंदर की संख्याएं लगातार होती हैं। इसलिए \(\sqrt{9}\) और \(\sqrt{10}\) सही युग्म है। / For consecutive hypotenuses, the numbers under the roots are consecutive. Therefore, \(\sqrt{9}\) and \(\sqrt{10}\) form the correct pair.
ठीक पहले वाले चरण में वर्गमूल के अंदर की संख्या (1) कम होगी, इसलिए लंबाई \(\sqrt{19}\) है। क्रम को पीछे से पढ़ना भी सीखें। / In the immediately previous step, the number under the root is (1) less, so the length is \(\sqrt{19}\). Learn to read the sequence backward too.
B. दोनों परिमेय संख्याएं हैं/Both are rational numbers
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{4}=2\) और \(\sqrt{9}=3\), इसलिए दोनों परिमेय हैं। सर्पिल परिमेय और अपरिमेय दोनों प्रकार के वर्गमूल दिखा सकता है। / \(\sqrt{4}=2\) and \(\sqrt{9}=3\), so both are rational. The spiral can show both rational and irrational square roots.
\(\sqrt{2}\) अपरिमेय है, इसलिए इसका दशमलव मान समाप्त नहीं होता। सर्पिल इसे ज्यामितीय रूप से ठीक दर्शाता है। / \(\sqrt{2}\) is irrational, so its decimal value does not terminate. The spiral represents it exactly geometrically.
नया कर्ण \(\sqrt{3+1}=\sqrt{4}\) होगा। प्रत्येक नए समकोण त्रिभुज में \(1^2\) जोड़ा जाता है। / The new hypotenuse will be \(\sqrt{3+1}=\sqrt{4}\). Each new right triangle adds \(1^2\).
\(\sqrt{k+1}=\sqrt{21}\) से (k+1=21), इसलिए (k=20)। ऐसे प्रश्नों में वर्गमूल हटाकर अंदर की संख्याएं बराबर करें। / From \(\sqrt{k+1}=\sqrt{21}\), we get (k+1=21), so (k=20). In such questions, equate the numbers under the roots.
तब कर्ण \(\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\) होगा, इसलिए मानक सर्पिल नहीं बनेगा। शुरुआत में (OA=1) लेना जरूरी है। / Then the hypotenuse is \(\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\), so the standard spiral is not formed. It is necessary to start with (OA=1).
पहले \(OB^2=2\), फिर \(OC^2=2+1=3\)। प्रश्न वर्ग पूछता है, इसलिए उत्तर (3) है। / First \(OB^2=2\), then \(OC^2=2+1=3\). The question asks for the square, so the answer is (3).
A. वह पिछले कर्ण पर लंब होना चाहिए/It must be perpendicular to the previous hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
हर नया (1) इकाई खंड पिछले कर्ण पर लंब बनाया जाता है। यही सर्पिल की सही ज्यामितीय रचना है। / Every new (1) unit segment is drawn perpendicular to the previous hypotenuse. This is the correct geometric construction of the spiral.
B. \(\sqrt{7}\) पर (1) इकाई लंब बनाना/Draw a perpendicular of (1) unit on \(\sqrt{7}\)
Explanation
Simple Explanation
(\(\sqrt{7}\)2+12=8), इसलिए नया कर्ण \(\sqrt{8}\) बनेगा। प्रक्रिया हमेशा पिछले वर्गमूल से शुरू होती है। / (\(\sqrt{7}\)2+12=8), so the new hypotenuse becomes \(\sqrt{8}\). The process always starts from the previous square root.
वर्गमूल सर्पिल में अगला त्रिभुज बनाने के लिए (PQ=1) इकाई रखा जाता है। इसी से \(OQ^2=m+1\) होता है। / In the square root spiral, (PQ=1) unit is used to form the next triangle. This makes \(OQ^2=m+1\).
क्योंकि नया (1) इकाई खंड पिछले कर्ण पर लंब होता है, इसलिए \(OQ^2=OP^2+1\)। सूत्र लिखते समय वर्ग और लंबाई अलग रखें। / Because the new (1) unit segment is perpendicular to the previous hypotenuse, \(OQ^2=OP^2+1\). Keep squares and lengths separate while writing the formula.
\(OQ^2=24+1=25\), इसलिए \(OQ=\sqrt{25}\)। कर्ण पूछे तो वर्गमूल लेना न भूलें। / \(OQ^2=24+1=25\), so \(OQ=\sqrt{25}\). If the hypotenuse is asked, do not forget to take the square root.
पहला त्रिभुज \(\sqrt{2}\) देता है, इसलिए \(\sqrt{12}\) के लिए क्रम (12-1=11) होगा। अंदर की संख्या से (1) घटाएं। / The first triangle gives \(\sqrt{2}\), so for \(\sqrt{12}\), the order is (12-1=11). Subtract (1) from the inner number.
(r)वें त्रिभुज का कर्ण \(\sqrt{r+1}\) होता है। इसलिए (10)वें त्रिभुज का कर्ण \(\sqrt{11}\) है। / The hypotenuse of the (r)th triangle is \(\sqrt{r+1}\). Therefore, the (10)th triangle has hypotenuse \(\sqrt{11}\).
वर्गों का अंतर (3-2=1) है। वर्गमूलों का अंतर और उनके वर्गों का अंतर अलग होते हैं। / The difference of the squares is (3-2=1). The difference of roots and the difference of their squares are different.
आरंभ (OA=1) से होता है और फिर कर्ण \(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4}\) बनते हैं। क्रम में अंदर की संख्या लगातार बढ़ती है। / The start is (OA=1), and then the hypotenuses \(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4}\) are formed. The number under the root increases continuously.
\(\sqrt{27}\) (26)वें त्रिभुज से बनता है, इसलिए (26) नए (1) इकाई लंब खंड लगते हैं। पहला (1) लंब \(\sqrt{2}\) बनाता है। / \(\sqrt{27}\) is formed by the (26)th triangle, so (26) new perpendicular segments of (1) unit are used. The first (1) unit perpendicular forms \(\sqrt{2}\).
\(\sqrt{16}=4\), इसलिए यह एक परिमेय लंबाई है। पूर्ण वर्गों के वर्गमूल तुरंत सरल कर लें। / \(\sqrt{16}=4\), so it is a rational length. Simplify square roots of perfect squares immediately.
लंबाई (3) के लिए कर्ण \(\sqrt{9}\) होना चाहिए। इसलिए यह \(\sqrt{9}\) वाले चरण पर मिलता है। / For length (3), the hypotenuse must be \(\sqrt{9}\). Therefore, it is obtained at the \(\sqrt{9}\) step.
लगातार कर्णों के बीच बनने वाली नई लंब भुजा (1) इकाई होती है। इसे \(PQ^2=31-30=1\) से भी देखा जा सकता है। / The new perpendicular side between consecutive hypotenuses is (1) unit. This can also be seen from \(PQ^2=31-30=1\).
C. \(\sqrt{14}\) के बाद \(\sqrt{16}\) बनाना/Constructing \(\sqrt{16}\) after \(\sqrt{14}\)
Explanation
Simple Explanation
एक चरण में अंदर की संख्या केवल (1) बढ़ती है, इसलिए \(\sqrt{14}\) के बाद \(\sqrt{15}\) आना चाहिए। बीच का चरण छोड़ना गलत है। / In one step, the number under the root increases only by (1), so \(\sqrt{15}\) should come after \(\sqrt{14}\). Skipping a step is incorrect.
A. खंड समानांतर नहीं, लंब होना चाहिए/The segment should be perpendicular, not parallel
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में नया (1) इकाई खंड पिछले कर्ण पर लंब बनाया जाता है। समानांतर खंड से पाइथागोरस प्रमेय लागू नहीं होगा। / In a square root spiral, the new (1) unit segment is drawn perpendicular to the previous hypotenuse. A parallel segment will not allow Pythagoras theorem to apply.
\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) है, जो अपरिमेय है। पूर्ण वर्गों के वर्गमूल परिमेय होते हैं। / \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), which is irrational. Square roots of perfect squares are rational.
यह संबंध पाइथागोरस प्रमेय जैसा है, इसलिए (OP) और (PQ) लंब होंगे। वर्गमूल सर्पिल में यही समकोण रचना जरूरी है। / This relation matches Pythagoras theorem, so (OP) and (PQ) are perpendicular. This right-angle construction is essential in the square root spiral.
A. क्रम \(\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3}\) स्पष्ट हो जाता है/The order \(\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3}\) becomes clear
Explanation
Simple Explanation
\(1=\sqrt{1}\) मानने से पूरा क्रम स्पष्ट दिखता है। फिर हर नए चरण में अंदर की संख्या (1) बढ़ती है। / Taking \(1=\sqrt{1}\) makes the whole sequence clear. Then the inner number increases by (1) at each step.
B. वर्गों में बराबर (1) की वृद्धि/Equal increase of (1) in squares
Explanation
Simple Explanation
कर्णों के वर्ग (2,3,4) हैं, जिनमें (1) की वृद्धि है। वास्तविक लंबाइयों में समान अंतर नहीं होता। / The squares of the hypotenuses are (2,3,4), which increase by (1). The actual lengths do not have equal differences.
सटीक मान \(\sqrt{5}\) ही है, जबकि (2.236) केवल अनुमान है। परीक्षा में सटीक वर्गमूल रूप को प्राथमिकता दें। / The exact value is \(\sqrt{5}\), while (2.236) is only an approximation. In exams, prefer the exact square root form.
\(\sqrt{6}\) पिछले कर्ण \(\sqrt{5}\) और नई लंब भुजा (1) से बनता है। इसलिए संबंध (\(\sqrt{5}\)2+12=6) सही है। / \(\sqrt{6}\) is formed from the previous hypotenuse \(\sqrt{5}\) and the new perpendicular side (1). Therefore, (\(\sqrt{5}\)2+12=6) is correct.
\(\sqrt{2}\) पहला त्रिभुज देता है, इसलिए \(\sqrt{n}\) तक त्रिभुजों की संख्या (n-1) होगी। सामान्य सूत्र लिखते समय आरंभिक पद याद रखें। / \(\sqrt{2}\) is given by the first triangle, so up to \(\sqrt{n}\), the number of triangles is (n-1). Remember the starting term while writing a general formula.
पहला कर्ण (1) और (1) से बनकर \(\sqrt{2}\) होता है। \(\sqrt{4}\) बाद के चरण में मिलता है, पहले कर्ण के रूप में नहीं। / The first hypotenuse is formed from (1) and (1), giving \(\sqrt{2}\). \(\sqrt{4}\) appears in a later step, not as the first hypotenuse.
अंतिम \(\sqrt{32}\) से ठीक पहले \(\sqrt{31}\) बनता है। सर्पिल में क्रम कोई संख्या नहीं छोड़ता। / Just before the final \(\sqrt{32}\), \(\sqrt{31}\) is formed. The spiral does not skip any number in order.
A. वर्गमूलों को ज्यामितीय रूप से निरूपित करना/To represent square roots geometrically
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल \(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}\) जैसे वर्गमूलों को ज्यामितीय रूप से दिखाता है। यह संख्या रेखा और अपरिमेय संख्याओं को समझने में मदद करता है। / The square root spiral represents square roots like \(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}\) geometrically. It helps in understanding the number line and irrational numbers.
