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A. वर्षा जल को जल्दी बहाकर छत पर जमा होने से रोकने के लिए/To drain rainwater quickly and prevent its accumulation on the roof
Explanation
Simple Explanation
अधिक वर्षा वाले क्षेत्रों में ढलानदार छत वर्षा जल को तेजी से नीचे बहा देती है। इससे छत पर पानी जमा नहीं होता और रिसाव, सीलन तथा छत को नुकसान होने की संभावना कम होती है। वर्षा जल इकट्ठा करने के लिए सामान्यतः समतल या विशेष रूप से बनी संग्रहण-व्यवस्था उपयोग की जाती है। परीक्षा टिप: घरों की छत का आकार स्थानीय वर्षा और जलवायु के अनुकूलन का उदाहरण है। / In areas of heavy rainfall, a sloping roof lets rainwater run off quickly. This prevents water from collecting on the roof and reduces the risk of leakage, dampness, and damage. Rainwater collection generally requires a flat roof or a specially designed harvesting system. Exam tip: The shape of a house roof is an example of adaptation to local rainfall and climate.
B. संरचनात्मक संबंध फिर भी गलत रहेगा/The structural relationship will still be incorrect
Explanation
Simple Explanation
सही कोण के साथ सही आरंभ और अंत बिंदु भी आवश्यक हैं। परीक्षा में कोण और स्थिति दोनों जाँचें। / Correct angle must be combined with correct start and end points. Check both angle and placement in exams.
A. थकान, गिरावट या उदासी/Tiredness, decline, or sadness
Explanation
Simple Explanation
नीचे की दिशा अक्सर गिरावट या कमजोर भाव दे सकती है। परीक्षा में downward direction को mood से जोड़ें। / Downward direction can often give a feeling of decline or weakness. Exam tip: connect downward direction with mood.
A. क्योंकि खेती कठिन होती है और प्राकृतिक वनस्पति बची रहती है/Because farming is difficult and natural vegetation remains
Explanation
Simple Explanation
कठिन ढालों पर मानव खेती सीमित रहती है इसलिए वनस्पति बच सकती है। परीक्षा में स्थलाकृति के प्रभाव को याद रखें। / Human farming is limited on difficult slopes so vegetation can remain. Exam tip: remember the effect of relief.
A. क्योंकि बहता जल मिट्टी को बहा सकता है/Because running water can wash away soil
Explanation
Simple Explanation
ढाल पर पानी तेजी से बहता है और मिट्टी को काट सकता है। परीक्षा में ढाल और अपरदन को साथ याद रखें। / Water runs fast on slopes and can erode soil. Exam tip: remember slope and erosion together.
B. क्योंकि बहता जल मिट्टी बहा सकता है/Because running water can wash away soil
Explanation
Simple Explanation
ढाल वाली भूमि पर वर्षा का पानी तेजी से बह सकता है और उपजाऊ ऊपरी मिट्टी को बहा ले जाता है। मिट्टी की परत पतली होने तथा नमी और पोषक तत्त्व कम मिलने से पौधों की वृद्धि सीमित हो सकती है। विकल्प C गलत है, क्योंकि ढाल पर धूप की मात्रा दिशा के अनुसार बदल सकती है, पर वह कभी न आने का सामान्य कारण नहीं है। परीक्षा टिप: ढाल अधिक होने पर मृदा अपरदन और वनस्पति की कमी का संबंध याद रखें। / On sloping land, rainwater can flow rapidly and carry away fertile topsoil. A thinner soil layer provides less moisture and fewer nutrients, which can limit plant growth. Option C is incorrect because sunlight on a slope may vary with its aspect, but it is not generally absent. Exam tip: link steep slopes with soil erosion and reduced vegetation.
C. क्योंकि बहता जल मिट्टी बहा सकता है/Because running water can wash away soil
Explanation
Simple Explanation
ढाल पर अपरदन अधिक हो सकता है जिससे मिट्टी कम रहती है। परीक्षा में ढाल और मिट्टी कटाव का संबंध याद रखें। / Erosion can be higher on slopes which reduces soil. Exam tip: remember the link between slope and soil erosion.
A. मेघालय जैसे पहाड़ी आर्द्र क्षेत्र/Hilly humid areas like Meghalaya
Explanation
Simple Explanation
भारी वर्षा ढाल पर बहाव बढ़ाकर मिट्टी कटाव बढ़ा सकती है। परीक्षा में वर्षा और ढाल को साथ जोड़ें। / Heavy rain can increase runoff on slopes and raise soil erosion. Exam tip: connect rainfall and slope together.
अनुमानित दशमलव प्रमाण नहीं देता। सही प्रमाण सहभाज्य भिन्न और अभाज्य विभाज्यता से बनता है। / Approximate decimal does not give proof. The correct proof uses lowest fraction and prime divisibility.
A. दोनों में परिमेय मान्यता से सरलतम भिन्न के विरुद्ध सामान्य अभाज्य गुणनखंड मिलता है/In both, rational assumption gives a common prime factor against lowest fraction
Explanation
Simple Explanation
दोनों प्रमाण विरोधाभास विधि पर आधारित हैं। फर्क केवल सामान्य बनने वाला अभाज्य (2) या (3) है। / Both proofs are based on contradiction. The only difference is the common prime (2) or (3).
A. परिमेय मानते समय भिन्न को सरलतम सहभाज्य रूप में जरूर लिखें/While assuming rationality write the fraction in lowest coprime form
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप नहीं लिखेंगे तो अंतिम विरोधाभास स्पष्ट नहीं होगा। यही प्रमाण की प्रमुख शर्त है। / If lowest form is not written, the final contradiction will not be clear. This is the main condition of the proof.
A. भिन्न को सरलतम सहभाज्य रूप में जरूर लिखें/Always write the fraction in lowest coprime form
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप न लिखने से अंतिम विरोधाभास कमजोर हो जाता है। यही परीक्षा में सबसे जरूरी शर्त है। / If lowest form is not written, the final contradiction becomes weak. This is the most important exam condition.
A. दोनों में परिमेय मान्यता, वर्ग और फिर अभाज्य गुणनखंड से विरोधाभास आता है/Both use rational assumption, squaring, and then contradiction through a prime factor
Explanation
Simple Explanation
दोनों प्रमाणों की संरचना समान है, पर अभाज्य गुणनखंड क्रमशः (2) और (3) है। तुलना में यह बात लिखें। / Both proofs have the same structure, but the prime factors are (2) and (3) respectively. Mention this in comparison.
दोनों को परिमेय मानने पर सहभाज्य शर्त से विरोधाभास मिलता है। इसलिए दोनों अपरिमेय हैं। / Assuming either rational gives a contradiction with the coprime condition. Therefore both are irrational.
A. दोनों को परिमेय मानने पर विरोधाभास मिलता है इसलिए दोनों अपरिमेय हैं/Assuming either rational gives contradiction, so both are irrational
Explanation
Simple Explanation
दोनों प्रमाणों में परिमेय मान्यता सहभाज्य शर्त से टकराती है। इसलिए \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\) दोनों अपरिमेय हैं। / In both proofs, the rational assumption clashes with the coprime condition. Therefore both \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\) are irrational.
A. विरोधाभास विधि क्योंकि परिमेय मान्यता से असंभव स्थिति मिलती है/Contradiction method because rational assumption gives an impossible situation
Explanation
Simple Explanation
दोनों प्रमाणों में उल्टा मानकर सहभाज्य शर्त से विरोधाभास निकाला जाता है। इसलिए विरोधाभास विधि सही है। / In both proofs, the opposite is assumed and contradiction with coprime condition is derived. Hence contradiction method is correct.
A. \(\sqrt{2}\) में (2) से समता और \(\sqrt{3}\) में (3) से विभाज्यता आती है/\(\sqrt{2}\) uses evenness by (2) and \(\sqrt{3}\) uses divisibility by (3)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (2) मुख्य है और \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (3) मुख्य है। यही मूल अंतर है। / In the proof of \(\sqrt{2}\), (2) is central and in the proof of \(\sqrt{3}\), (3) is central. This is the key difference.
A. दोनों में पहले परिमेय मानकर सरलतम भिन्न ली जाती है/In both, a lowest fraction is taken after assuming rationality
Explanation
Simple Explanation
दोनों प्रमाण विरोधाभास विधि से शुरू होते हैं। परिमेय मानकर सहभाज्य भिन्न से विरोधाभास मिलता है। / Both proofs start with contradiction method. A coprime fraction is assumed rational and leads to contradiction.
A. \(\sqrt{2}\) में (2) से समता और \(\sqrt{3}\) में (3) से विभाज्यता उपयोग होती है/\(\sqrt{2}\) uses evenness by (2) and \(\sqrt{3}\) uses divisibility by (3)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) में (2) मुख्य गुणनखंड है और \(\sqrt{3}\) में (3) मुख्य गुणनखंड है। अंतर को गुणनखंड से पहचानें। / In \(\sqrt{2}\), (2) is the key factor, and in \(\sqrt{3}\), (3) is the key factor. Identify the difference by the factor.
C. दिखाना कि वे दो पूर्णांकों के अनुपात में नहीं लिखे जा सकते/To show they cannot be written as a ratio of two integers
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेय संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात में नहीं लिखा जा सकता। ये प्रमाण यही सिद्ध करते हैं। / An irrational number cannot be written as a ratio of two integers. These proofs establish exactly that.
परिमेय मानकर संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है। इसी से सहभाज्य शर्त मिलती है। / After assuming rationality, the number is written in lowest fraction form. This gives the coprime condition.
A. दोनों में सहभाज्य भिन्न की मान्यता से विरोधाभास मिलता है/Both get contradiction from coprime fraction assumption
Explanation
Simple Explanation
दोनों प्रमाण परिमेय मान्यता और सहभाज्य भिन्न से शुरू होते हैं। अंत में सामान्य गुणनखंड मिलकर विरोधाभास देता है। / Both proofs start with rational assumption and a coprime fraction. Finally a common factor gives contradiction.
A. उन्हें पहले परिमेय मानते हैं/They are first assumed rational
Explanation
Simple Explanation
दोनों प्रमाणों में विरोधाभास विधि इस्तेमाल होती है। इसलिए पहले परिमेय मानकर आगे चलते हैं। / Both proofs use contradiction method. So they are first assumed rational and then examined.
झुकी रेखाएं दिशा और भाव में बदलाव दिखा सकती हैं। परीक्षा में slope को movement से जोड़ें। / Sloping lines can show change in direction and feeling. Exam tip: connect slope with movement.
A. सैन्य रक्षा और सादगी/Military defence and simplicity
Explanation
Simple Explanation
तुगलक स्थापत्य में मजबूती और सरलता पर जोर दिखता है। परीक्षा में तुगलकाबाद को गयासुद्दीन तुगलक से जोड़ें। / Tughlaq architecture emphasizes strength and simplicity. In exams connect Tughlaqabad with Ghiyasuddin Tughlaq.
तुगलकाबाद की ढलानदार दीवारें रक्षा और मजबूती पर जोर देती हैं। परीक्षा में तुगलक स्थापत्य को सरल और मजबूत मानें। / The sloping walls of Tughlaqabad emphasize defence and strength. In exams see Tughlaq architecture as simple and strong.
B. मजबूती और सैन्य उपयोगिता बढ़ाने के लिए/To increase strength and military utility
Explanation
Simple Explanation
तुगलक स्थापत्य में सादगी और मजबूती प्रमुख विशेषताएँ थीं। परीक्षा में इसे किलेबंदी शैली से जोड़ें। / Simplicity and strength were key features of Tughlaq architecture. Exam tip is to connect it with fortification style.
A. परिमेय मान्यता, वर्ग करना, अभाज्य विभाज्यता और सहअभाज्यता का विरोधाभास क्रम से लिखना चाहिए/Write rational assumption, squaring, prime divisibility, and coprime contradiction in order
Step 1
Concept
पहले वर्गमूल को परिमेय मानते हैं। / First assume the square root is rational.
Step 2
Why this answer is correct
फिर वर्ग करके अभाज्य विभाज्यता से अंश और हर में साझा गुणनखंड दिखाते हैं। / Then square and use prime divisibility to show a common factor in numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में यही क्रम साफ और पूरे अंक वाला उत्तर बनाता है। / In exams, this order makes a clear full-mark answer.
A. अभाज्य (r) के लिए \(\sqrt{r}\) को परिमेय मानने से (r) अंश और हर दोनों को भाग देता है/For prime (r), assuming \(\sqrt{r}\) rational makes (r) divide both numerator and denominator
Step 1
Concept
(2,3,5) अभाज्य हैं। / (2,3,5) are prime.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\) मानने पर अंत में \(r\mid p\) और \(r\mid q\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\) finally gives \(r\mid p\) and \(r\mid q\).
Step 3
Exam Tip
यही साझा ढाँचा तीनों प्रमाणों को जोड़ता है। / This common structure connects all three proofs.
A. जिसे सिद्ध करना है, उसके विपरीत को मानकर असंभव परिणाम दिखाना/Assume the opposite of what is to be proved and show an impossible result
Step 1
Concept
विरोधाभास की विधि में विपरीत मान्यता से शुरुआत होती है। / In proof by contradiction, we begin with the opposite assumption.
Step 2
Why this answer is correct
फिर ऐसा परिणाम मिलता है जो दी गई शर्त से मेल नहीं खाता। / Then we reach a result that conflicts with the given condition.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) के प्रमाण इसी ढाँचे पर आधारित हैं। / The proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) follow this structure.
A. ऐसी अभाज्य संख्या का वर्गमूल जो पूर्ण वर्ग नहीं है/The square root of a prime number that is not a perfect square
Step 1
Concept
(2,3,5) अभाज्य हैं और पूर्ण वर्ग नहीं हैं। / (2,3,5) are prime numbers and not perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
इनके वर्गमूल को परिमेय मानने से अंश और हर में वही अभाज्य साझा गुणनखंड बनता है। / Assuming their square roots rational creates the same prime as a common factor of numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग और अभाज्य संख्या का फर्क जरूर समझें। / Understand the difference between a perfect square and a prime number.
A. परिमेय मानना, सरलतम भिन्न लिखना, वर्ग करना, साझा गुणनखंड से विरोधाभास लेना/Assume rational, write a lowest-form fraction, square, get contradiction from a common factor
Step 1
Concept
पहले संख्या को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) के सरलतम रूप में लिखते हैं। / First assume the number rational and write it as \(\frac{p}{q}\) in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने से विभाज्यता वाला समीकरण मिलता है। / Squaring gives a divisibility equation.
Step 3
Exam Tip
अंत में साझा गुणनखंड से विरोधाभास बनाकर अपरिमेयता सिद्ध करते हैं। / Finally, a common factor gives contradiction and proves irrationality.
A. \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2), \(\sqrt{5}\) में साझा गुणनखंड (5) मिलता है/\(\sqrt{2}\) gives common factor (2), while \(\sqrt{5}\) gives common factor (5)
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) में \(a^2=2b^2\) से (2) मुख्य गुणनखंड बनता है। / In \(\sqrt{2}\), \(a^2=2b^2\) makes (2) the key factor.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{5}\) में \(p^2=5q^2\) से (5) मुख्य गुणनखंड बनता है। / In \(\sqrt{5}\), \(p^2=5q^2\) makes (5) the key factor.
Step 3
Exam Tip
मूल के अंदर की संख्या प्रमाण का गुणनखंड तय करती है। / The number inside the root decides the proof factor.
A. \(r\mid x\) निष्कर्ष निकालने में/To conclude \(r\mid x\)
Step 1
Concept
अभाज्य संख्या किसी वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करती है। / If a prime divides a square, it also divides the original number.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{3}\) में यह (3) के लिए और \(\sqrt{5}\) में (5) के लिए उपयोग होता है। / In \(\sqrt{3}\), this is used for (3); in \(\sqrt{5}\), it is used for (5).
Step 3
Exam Tip
इससे अंश और हर दोनों में साझा गुणनखंड मिलता है। / This gives a common factor in numerator and denominator.
A. परिमेय मानना, सरलतम भिन्न लिखना, वर्ग करना, साझा गुणनखंड से विरोधाभास लेना/Assume rational, write a lowest-form fraction, square, get contradiction from a common factor
Step 1
Concept
सबसे पहले संख्या को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) के सरलतम रूप में लिखते हैं। / First assume the number rational and write it as \(\frac{p}{q}\) in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने से विभाज्यता वाला समीकरण मिलता है। / Squaring gives a divisibility equation.
Step 3
Exam Tip
अंत में अंश और हर में साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास प्राप्त करते हैं। / Finally, a common factor in numerator and denominator gives the contradiction.
A. वर्ग करने से वर्गमूल हटता है और अभाज्य गुणनखंडों की विभाज्यता पर तर्क संभव होता है/Squaring removes the radical and makes reasoning about prime factor divisibility possible
Step 1
Concept
\(\sqrt{n}\) को वर्ग करने पर (n) मिलता है। / Squaring \(\sqrt{n}\) gives (n).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(p^2=nq^2\) जैसा समीकरण बनता है, जो विभाज्यता का आधार देता है। / This forms an equation like \(p^2=nq^2\), which provides the base for divisibility.
Step 3
Exam Tip
बिना इस चरण के साझा गुणनखंड वाला विरोधाभास बनाना कठिन होता है। / Without this step, it is hard to create the common-factor contradiction.
A. वर्ग में अभाज्य गुणनखंड का घातांक सम होता है, पर \(p^2=3q^2\) या \(p^2=5q^2\) असंतुलन पैदा करता है/In a square, the exponent of a prime factor is even, but \(p^2=3q^2\) or \(p^2=5q^2\) creates imbalance
Step 1
Concept
किसी पूर्ण वर्ग में अभाज्य गुणनखंडों की घातें सम होती हैं। / In a perfect square, exponents of prime factors are even.
Step 2
Why this answer is correct
\(p^2=3q^2\) या \(p^2=5q^2\) बताता है कि वही अभाज्य गुणनखंड (p) और (q) दोनों में आ जाएगा। / \(p^2=3q^2\) or \(p^2=5q^2\) forces the same prime factor into both (p) and (q).
Step 3
Exam Tip
यही साझा गुणनखंड सहअभाज्य शर्त से टकराता है। / This common factor contradicts the coprime condition.
A. \(\sqrt{2}\) में समता का तर्क मुख्य है, जबकि \(\sqrt{3}\) में (3) के अभाज्य गुणनखंड का तर्क मुख्य है/Evenness is central in \(\sqrt{2}\), while prime factor (3) is central in \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) में \(p^2=2q^2\) से समता का तर्क आता है। / In \(\sqrt{2}\), \(p^2=2q^2\) gives the evenness argument.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{3}\) में (3) अभाज्य होने से विभाज्यता का तर्क आता है। / In \(\sqrt{3}\), the primality of (3) gives the divisibility argument.
Step 3
Exam Tip
हर प्रमाण में मूल के अंदर की संख्या के अनुसार तर्क चुनें। / Choose the reasoning according to the number under the root.
A. \(r\mid x\) निष्कर्ष निकालना/To conclude \(r\mid x\)
Step 1
Concept
अभाज्य संख्या यदि किसी वर्ग को विभाजित करती है, तो वह मूल संख्या को भी विभाजित करती है। / If a prime divides a square, it also divides the original number.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{3}\) में यह नियम (3) के लिए और \(\sqrt{5}\) में (5) के लिए लगता है। / In \(\sqrt{3}\), this rule is used for (3), and in \(\sqrt{5}\), for (5).
Step 3
Exam Tip
इसी से अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलता है। / This helps get a common factor in numerator and denominator.
A. सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास लिखना/Showing a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction and writing contradiction
Step 1
Concept
तीनों प्रमाण परिमेय मान्यता से शुरू होते हैं। / All three proofs start with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
अंत में अंश और हर में वही अभाज्य गुणनखंड साझा मिल जाता है। / At the end, the same prime factor is found common in numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न में ऐसा होना असंभव है, इसलिए विरोधाभास से सिद्धि पूरी होती है। / This is impossible in a lowest-form fraction, so the proof is completed by contradiction.
A. अभाज्य गुणनखंड वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है/If a prime factor divides a square, it also divides the original number
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) में (3) और \(\sqrt{5}\) में (5) अभाज्य गुणनखंड हैं। / In \(\sqrt{3}\), the prime factor is (3), and in \(\sqrt{5}\), the prime factor is (5).
Step 2
Why this answer is correct
जब \(p^2\) इनसे विभाज्य होता है, तो (p) भी उसी अभाज्य संख्या से विभाज्य होता है। / When \(p^2\) is divisible by that prime, (p) is also divisible by the same prime.
Step 3
Exam Tip
यही विचार आगे (p) और (q) में साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास बनाता है। / This idea later shows a common factor in (p) and (q), creating contradiction.
A. परिमेय मानना, सरलतम भिन्न लिखना, वर्ग करना, साझा गुणनखंड से विरोधाभास लेना/Assume rational, write lowest-form fraction, square, take contradiction from common factor
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) के प्रमाण विरोधाभास विधि से होते हैं। / The proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) use contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
पहले परिमेय मानकर सरलतम भिन्न लिखते हैं और वर्ग करते हैं। / First assume rationality, write a lowest-form fraction, and square.
Step 3
Exam Tip
अंत में साझा गुणनखंड से विरोधाभास मिलता है। / Finally, a common factor gives contradiction.
A. दोनों में अभाज्य गुणनखंड से वर्ग और मूल संख्या की विभाज्यता जोड़ी जाती है/In both, a prime factor connects divisibility of the square and the original number
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) में (3) और \(\sqrt{5}\) में (5) अभाज्य हैं। / In \(\sqrt{3}\), (3) is prime, and in \(\sqrt{5}\), (5) is prime.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों में यदि वर्ग अभाज्य से विभाज्य है, तो मूल संख्या भी विभाज्य होगी। / In both, if the square is divisible by the prime, the original number is also divisible by it.
Step 3
Exam Tip
यही साझा तर्क प्रमाण को आगे बढ़ाता है। / This common logic moves the proof forward.
A. \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलता है, \(\sqrt{5}\) में साझा गुणनखंड (5) मिलता है/In \(\sqrt{2}\), common factor (2) is found; in \(\sqrt{5}\), common factor (5) is found
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2=2q^2\) से गुणनखंड (2) आता है। / In \(\sqrt{2}\)'s proof, factor (2) comes from \(p^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(p^2=5q^2\) से गुणनखंड (5) आता है। / In \(\sqrt{5}\)'s proof, factor (5) comes from \(p^2=5q^2\).
Step 3
Exam Tip
मूल के अंदर की संख्या मुख्य गुणनखंड बनती है। / The number under the root becomes the key factor.
A. \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलता है, जबकि \(\sqrt{3}\) में साझा गुणनखंड (3) मिलता है/In \(\sqrt{2}\), common factor (2) is found, while in \(\sqrt{3}\), common factor (3) is found
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2=2q^2\) आता है, इसलिए (2) मुख्य है। / In the proof of \(\sqrt{2}\), \(p^2=2q^2\) appears, so (2) is key.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(p^2=3q^2\) आता है, इसलिए (3) मुख्य है। / In the proof of \(\sqrt{3}\), \(p^2=3q^2\) appears, so (3) is key.
Step 3
Exam Tip
मूल के अंदर की संख्या प्रमाण का गुणनखंड बनती है। / The number under the root becomes the proof factor.
A. वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर मान लेना/Taking the square root equal to the number under it
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) को क्रमशः (2), (3), और (5) के बराबर मानना गलत है। / Treating \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) as (2), (3), and (5) is wrong.
Step 2
Why this answer is correct
सही विधि में परिमेय मानकर भिन्न रूप लेते हैं और वर्ग करते हैं। / The correct method assumes rationality, writes a fraction, and squares.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर न लिखें। / Do not write a square root equal to the number under it.
A. \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलता है, \(\sqrt{5}\) में साझा गुणनखंड (5) मिलता है/In \(\sqrt{2}\), common factor (2) is found; in \(\sqrt{5}\), common factor (5) is found
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में संख्या (2) मुख्य गुणनखंड बनती है। / In the proof of \(\sqrt{2}\), (2) is the key factor.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में संख्या (5) मुख्य गुणनखंड बनती है। / In the proof of \(\sqrt{5}\), (5) is the key factor.
Step 3
Exam Tip
अलग-अलग प्रमाणों में मूल के अंदर की संख्या पर ध्यान दें। / Pay attention to the number under the root in each proof.
A. परिमेय मानकर उसी अभाज्य गुणनखंड को अंश और हर दोनों में दिखाना/Assume rational and show the same prime factor in both numerator and denominator
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) में गुणनखंड (3) और \(\sqrt{5}\) में गुणनखंड (5) काम करता है। / Factor (3) works in \(\sqrt{3}\) and factor (5) works in \(\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
परिमेय मान्यता से वही गुणनखंड अंश और हर दोनों में आ जाता है। / The rational assumption makes that same factor appear in both numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
यही साझा गुणनखंड सरलतम रूप से विरोध करता है। / This common factor contradicts lowest form.
A. यदि अभाज्य संख्या किसी वर्ग को विभाजित करती है, तो वह मूल संख्या को भी विभाजित करती है/If a prime divides a square, it also divides the original number
Step 1
Concept
(3) और (5) दोनों अभाज्य हैं। / (3) and (5) are both prime.
Step 2
Why this answer is correct
यदि ये \(a^2\) को विभाजित करते हैं, तो (a) को भी विभाजित करेंगे। / If they divide \(a^2\), they also divide (a).
Step 3
Exam Tip
यही नियम साझा गुणनखंड तक ले जाता है। / This rule leads to the common factor.
A. दोनों अभाज्य संख्याएं हैं/Both are prime numbers
Step 1
Concept
(3) और (5) अभाज्य संख्याएं हैं। / (3) and (5) are prime numbers.
Step 2
Why this answer is correct
अभाज्य गुणनखंड अगर किसी वर्ग को विभाजित करे, तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है। / If a prime factor divides a square, it also divides the original number.
Step 3
Exam Tip
इसी गुण से साझा गुणनखंड वाला विरोधाभास बनता है। / This property creates the common-factor contradiction.
A. यदि \(a^2\) किसी अभाज्य संख्या (r) से विभाज्य है, तो (a) भी (r) से विभाज्य है/If \(a^2\) is divisible by a prime (r), then (a) is also divisible by (r)
Step 1
Concept
(3) और (5) अभाज्य संख्याएं हैं। / (3) and (5) are prime numbers.
Step 2
Why this answer is correct
किसी वर्ग में अभाज्य गुणनखंड हो तो मूल संख्या में भी वह गुणनखंड होता है। / If a prime factor divides a square, it also divides the original number.
Step 3
Exam Tip
इसी से (p) और (q) में साझा गुणनखंड सिद्ध होता है। / This helps prove a common factor in (p) and (q).
महाद्वीपीय मग्नतट तट के पास उथला और धीरे ढलता भाग होता है। परीक्षा में इसे तटीय उथले समुद्र से जोड़ें। / The continental shelf is the shallow, gently sloping part near the coast. For exams, link it with shallow coastal sea.
A. क्योंकि वायु धीरे ढाल के साथ ऊपर चढ़ते हुए दूर तक संतृप्त होती है/Because air becomes saturated over a long distance while rising along a gentle slope
Explanation
Simple Explanation
विशेषकर उष्ण मोर्चे में ढाल मंद होती है और उठान व्यापक क्षेत्र में होता है। इसलिए वर्षा मोर्चे से पहले भी मिल सकती है। / Especially in a warm front, the slope is gentle and lifting occurs over a broad area. Therefore precipitation may occur ahead of the front.
A. स्थानीय ताप कम हो सकता है/Local temperature may decrease
Explanation
Simple Explanation
हरित सतहें छाया और वाष्पोत्सर्जन से शहरी ऊष्मा घटा सकती हैं। परीक्षा में समाधान आधारित प्रश्न में हरित आवरण याद रखें। / Green surfaces can reduce urban heat through shade and transpiration. Remember green cover in solution based questions.
A. वाष्पोत्सर्जन और छाया से तापमान घट सकता है/Temperature can decrease due to transpiration and shade
Explanation
Simple Explanation
हरित आवरण छाया देता है और नमी के माध्यम से ऊष्मा का कुछ भाग गुप्त ऊष्मा में बदलता है। परीक्षा में हरी सतहों को शहरी ठंडक से जोड़ें। / Green cover provides shade and shifts some heat into latent heat through moisture processes. In exams link green surfaces with urban cooling.
A. छतों द्वारा अवशोषित सौर ऊर्जा घटेगी/Solar energy absorbed by roofs will decrease
Explanation
Simple Explanation
परावर्तक सफेद सामग्री अल्बीडो बढ़ाती है और अवशोषण घटाती है। इससे स्थानीय शहरी ऊष्मन कम करने में मदद मिल सकती है। / Reflective white material increases albedo and reduces absorption. This can help reduce local urban heating.
A. अल्बीडो बढ़ेगा और अवशोषित ऊर्जा घटेगी/Albedo will increase and absorbed energy will decrease
Explanation
Simple Explanation
सफेद सतह अधिक ऊर्जा परावर्तित करती है। इससे सतह द्वारा अवशोषित सूर्यातप और ऊष्मन कम हो सकता है। / A white surface reflects more energy. This can reduce absorbed insolation and heating by the surface.
A. बहाव की गति और ढाल लंबाई घटाकर/By reducing runoff speed and slope length
Explanation
Simple Explanation
सीढ़ियां बहाव ऊर्जा कम कर मृदा हानि घटाती हैं। परीक्षा में इसे ढाल प्रबंधन का उपाय मानें। / Terraces reduce runoff energy and soil loss. Exam tip: treat it as a slope management method.
D. क्योंकि बहता जल और गुरुत्व मिट्टी हटाते हैं/Because running water and gravity remove soil
Explanation
Simple Explanation
ढाल पर मिट्टी जल्दी बह या खिसक सकती है। परीक्षा में relief को मिट्टी की मोटाई से जोड़ें। / On slopes soil can be washed or moved away quickly. Exam tip: connect relief with soil thickness.
जड़ें मिट्टी को बाँधकर ढलान को स्थिर बनाती हैं। परीक्षा में वनस्पति को भूस्खलन नियंत्रण से जोड़ें। / Roots bind soil and make slopes more stable. Exam tip: connect vegetation with landslide control.
A. क्योंकि राख का भार विशेषकर गीली होने पर बढ़ जाता है/Because ash load increases especially when wet
Explanation
Simple Explanation
गीली राख बहुत भारी हो सकती है और कमजोर छतों को गिरा सकती है। परीक्षा में राख के भौतिक भार को भी खतरा मानें। / Wet ash can become very heavy and collapse weak roofs. Exam tip: consider the physical load of ash as a hazard.
हरित छतें गर्मी अवशोषण घटाती हैं और तापमान नियंत्रित करने में मदद करती हैं। यह शहरी अनुकूलन है। / Green roofs reduce heat absorption and help regulate temperature. This is an urban adaptation.
कई घरों में सीढ़ियों के अवशेष ऊपरी मंजिल या छत का संकेत देते हैं। परीक्षा में आवासीय संरचना समझें। / Remains of staircases in many houses indicate an upper floor or roof. Understand residential structure.
A. जल प्रवाह और नियमित सफाई/Water flow and regular cleaning
Explanation
Simple Explanation
ढलान जल बहाव सुनिश्चित करता था जबकि हटाने योग्य पट्टियाँ सफाई में सहायक थीं। यह निर्माण और रखरखाव दोनों की योजना थी। / The slope ensured water flow while removable slabs enabled cleaning. This reflects planning for both construction and maintenance.
कुछ मकानों में ऊपरी मंजिल या छत तक जाने वाली सीढ़ियों के प्रमाण मिले हैं। इससे बहुमंजिला निर्माण का संकेत मिलता है। / Evidence of staircases leading to upper floors or roofs has been found in some houses. This suggests multi-storeyed construction.
B. समोच्च रेखा पर जुताई या मेड़बंदी करना/Ploughing or bunding along contour lines
Explanation
Simple Explanation
समोच्च खेती पानी की गति कम कर मृदा बचा सकती है। परीक्षा में contour farming को soil conservation से जोड़ें। / Contour farming can slow water flow and save soil. In exams connect contour farming with soil conservation.
A. विश्वसनीयता और वित्तीय पारदर्शिता/Credibility and financial transparency
Explanation
Simple Explanation
भुगतान प्रमाण से लेन-देन स्पष्ट होते हैं। दीर्घकाल में इससे विश्वसनीयता और पारदर्शिता बढ़ती है। / Payment proofs make transactions clear. In the long run this increases credibility and transparency.
