A. परिमेय मानने पर अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं/Assuming rational makes both numerator and denominator divisible by (3)
Step 1
Concept
Assume \(\sqrt{3}\) rational and write it in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both numerator and denominator divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
This contradicts the condition of a lowest-form fraction. चरण 1: \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न में लिखते हैं। चरण 2: प्रमाण से अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 3: यह सरलतम भिन्न की शर्त से विरोधाभास है।
A. सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलना/Finding a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction
Step 1
Concept
In all three, the number is assumed rational and written as a lowest-form fraction.
Step 2
Why this answer is correct
At the end, a common factor is found in numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
This contradicts lowest form. चरण 1: तीनों में संख्या को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न लिखते हैं। चरण 2: अंत में अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलता है। चरण 3: यही सरलतम रूप से विरोधाभास बनाता है।
A. सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलना/Finding a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction
Step 1
Concept
In all three, the number is assumed rational and written in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
At the end, numerator and denominator share (2), (3), or (5).
Step 3
Exam Tip
This is the common contradiction. चरण 1: तीनों में संख्या को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न लिखते हैं। चरण 2: अंत में अंश और हर में (2), (3), या (5) साझा गुणनखंड मिलता है। चरण 3: यही सामान्य विरोधाभास है।
A. यदि यह परिमेय हो, तो वर्ग करने पर \(5+2\sqrt{6}\) परिमेय होगा और \(\sqrt{6}\) परिमेय निकल आएगा/If it were rational, squaring would make \(5+2\sqrt{6}\) rational and then \(\sqrt{6}\) would be rational
Step 1
Concept
Assume \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
Squaring gives \(5+2\sqrt{6}\) rational, which would force \(\sqrt{6}\) to be rational, impossible.
Step 3
Exam Tip
Squaring is useful for sums of two different surds. चरण 1: मान लें \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) परिमेय है। चरण 2: वर्ग करने पर \(5+2\sqrt{6}\) परिमेय होगा, जिससे \(\sqrt{6}\) परिमेय मानना पड़ेगा, जो गलत है। चरण 3: दो अलग मूलों के योग में वर्ग विधि उपयोगी होती है।
B. यह कभी परिमेय नहीं हो सकता/It can never be rational
Step 1
Concept
(3) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
If (x+3) were rational, then (x=(x+3)-3) would also be rational, contradicting the given fact.
Step 3
Exam Tip
The contradiction method is useful in such questions. चरण 1: (3) एक परिमेय संख्या है। चरण 2: यदि (x+3) परिमेय हो, तो (x=(x+3)-3) भी परिमेय होगा, जो दी गई बात के विरुद्ध है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में विरोध विधि तेज काम करती है।
