A. परिमेय मानने पर सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों सम हो जाते हैं/Assuming rational makes numerator and denominator of a lowest-form fraction both even
Step 1
Concept
Assume \(\sqrt{2}\) rational and write it in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The proof gives both numerator and denominator even.
Step 3
Exam Tip
This contradicts lowest form, so \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न में लिखते हैं। चरण 2: प्रमाण से अंश और हर दोनों सम मिलते हैं। चरण 3: यह सरलतम रूप से विरोध करता है, इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
A. इससे तत्काल विरोध कमजोर हो सकता था लेकिन सामाजिक अविश्वास बचता था/It could weaken immediate resistance but leave social distrust
Step 1
Concept
This policy used division for control. For exams also write its legacy.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. इससे तत्काल विरोध कमजोर हो सकता था लेकिन सामाजिक अविश्वास बचता था / It could weaken immediate resistance but leave social distrust. This policy used division for control. For exams also write its legacy.
Step 3
Exam Tip
यह नीति नियंत्रण के लिए विभाजन का उपयोग करती थी। परीक्षा में इसकी विरासत भी लिखें।
A. परिमेय मानने पर अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं/Assuming rational makes both numerator and denominator divisible by (3)
Step 1
Concept
Assume \(\sqrt{3}\) rational and write it in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both numerator and denominator divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
This contradicts the condition of a lowest-form fraction. चरण 1: \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न में लिखते हैं। चरण 2: प्रमाण से अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 3: यह सरलतम भिन्न की शर्त से विरोधाभास है।
A. परिमेय मानें, वर्ग करें, दोनों सम पाएं, सहअभाज्य से विरोधाभास/Assume rational, square, find both even, contradict coprime
Step 1
Concept
Assume \(\sqrt{2}\) rational and write it as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
Squaring leads to both (p) and (q) being even.
Step 3
Exam Tip
Both even contradict the coprime condition. चरण 1: \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) लिखते हैं। चरण 2: वर्ग करने पर दोनों (p) और (q) सम निकलते हैं। चरण 3: दोनों सम होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास देता है।
B. \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), और परिमेय (2) को अपरिमेय \(\sqrt{2}\) से गुणा करने पर अपरिमेय संख्या मिलती है/\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), and multiplying irrational \(\sqrt{2}\) by nonzero rational (2) gives an irrational number
Step 1
Concept
\(\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{2}\) is irrational and (2) is a nonzero rational number, so \(2\sqrt{2}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
Separate perfect-square factors while simplifying roots. चरण 1: \(\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt{2}\)। चरण 2: \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है और (2) शून्येतर परिमेय है, इसलिए \(2\sqrt{2}\) अपरिमेय रहेगा। चरण 3: सरलीकरण में पूर्ण वर्ग गुणनखंड अलग करें।
A. परिमेय मानने पर अंश और हर दोनों (5) से विभाज्य हो जाते हैं/Assuming rational makes both numerator and denominator divisible by (5)
Step 1
Concept
We assume \(\sqrt{5}\) rational and write it in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows numerator and denominator both divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
This contradicts lowest form, so \(\sqrt{5}\) is irrational. चरण 1: \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न में लिखते हैं। चरण 2: प्रमाण से अंश और हर दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 3: यह सरलतम रूप के विरुद्ध है, इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है।
A. परिमेय मानने पर अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य हो जाते हैं/Assuming rational makes both numerator and denominator divisible by (3)
Step 1
Concept
Assuming \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\) and squaring gives \(a^2=3b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
This makes both (a) and (b) divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
This is impossible in a lowest-form fraction. चरण 1: \(\sqrt{3}\) को \(\frac{a}{b}\) मानकर वर्ग करने पर \(a^2=3b^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य हो जाते हैं। चरण 3: सरलतम भिन्न में ऐसा होना असंभव है।
B. (p) सम है क्योंकि \(\sqrt{2}\) धनात्मक है/(p) is even because \(\sqrt{2}\) is positive
Step 1
Concept
(p) being even may be true, but the reason is not the positivity of \(\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct reason is that \(p^2=2q^2\) makes \(p^2\) even.
Step 3
Exam Tip
In proof writing, a true statement must have the correct reason. चरण 1: (p) का सम होना सही हो सकता है, पर इसका कारण \(\sqrt{2}\) का धनात्मक होना नहीं है। चरण 2: सही कारण \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम मिलना है। चरण 3: प्रमाण में सही कथन के साथ सही कारण भी जरूरी है।
A. (p) और (q) दोनों सम हैं, इसलिए वे सहअभाज्य नहीं हो सकते/Both (p) and (q) are even, so they cannot be coprime
Step 1
Concept
If both are even, both have common factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
This cannot happen for coprime numbers.
Step 3
Exam Tip
This final reason proves \(\sqrt{2}\) irrational. चरण 1: दोनों सम होने पर दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 2: सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा नहीं हो सकता। चरण 3: यही अंतिम कारण \(\sqrt{2}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है।
A. क्योंकि \(\sqrt{2}=2\) होता है/Because \(\sqrt{2}=2\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}=2\) is false because \(2^2=4\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct proof uses \(a^2=2b^2\) to get evenness and contradiction.
Step 3
Exam Tip
Avoid writing false equalities. चरण 1: \(\sqrt{2}=2\) गलत है क्योंकि \(2^2=4\) होता है। चरण 2: सही प्रमाण में \(a^2=2b^2\) से समता और विरोधाभास मिलता है। चरण 3: गलत बराबरी लिखने से बचें।
B. दोनों का दृश्य भार अलग तरीके से संतुलित हो सकता है/Their visual weights can balance in different ways
Step 1
Concept
Visual weight comes not only from length but also thickness and placement. Exam tip: consider multiple qualities together.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. दोनों का दृश्य भार अलग तरीके से संतुलित हो सकता है / Their visual weights can balance in different ways. Visual weight comes not only from length but also thickness and placement. Exam tip: consider multiple qualities together.
Step 3
Exam Tip
दृश्य भार केवल लंबाई नहीं, मोटाई और स्थिति से भी बनता है। परीक्षा में कई गुण साथ देखें।
A. राजनीतिक साम्राज्य टूट गया पर सांस्कृतिक प्रभाव फैला/The political empire broke but cultural influence spread
Step 1
Concept
After Alexander's death the empire split but Hellenistic culture spread. For exams distinguish conquest and cultural diffusion.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. राजनीतिक साम्राज्य टूट गया पर सांस्कृतिक प्रभाव फैला / The political empire broke but cultural influence spread. After Alexander's death the empire split but Hellenistic culture spread. For exams distinguish conquest and cultural diffusion.
Step 3
Exam Tip
अलेक्जेंडर की मृत्यु के बाद साम्राज्य बंटा पर हेल्लेनिस्टिक संस्कृति फैली। परीक्षा में विजय और सांस्कृतिक प्रसार अलग समझें।
A. जर्मनी को पूर्व से राहत मिली लेकिन सोवियत जर्मन संघर्ष अंततः टला नहीं/Germany got relief from the east but Soviet-German conflict was not ultimately avoided
Step 1
Concept
The pact was immediate strategy but ideological and strategic conflict remained. For exams separate short-term and long-term results.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. जर्मनी को पूर्व से राहत मिली लेकिन सोवियत जर्मन संघर्ष अंततः टला नहीं / Germany got relief from the east but Soviet-German conflict was not ultimately avoided. The pact was immediate strategy but ideological and strategic conflict remained. For exams separate short-term and long-term results.
Step 3
Exam Tip
संधि तत्काल रणनीतिक थी पर वैचारिक और सामरिक टकराव बना रहा। परीक्षा में अल्पकालीन और दीर्घकालीन परिणाम अलग करें।
The phrase Hey Ram at Raj Ghat is linked with Mahatma Gandhi's memory. For exams remember symbols and phrases of national memorials.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. हे राम / Hey Ram. The phrase Hey Ram at Raj Ghat is linked with Mahatma Gandhi's memory. For exams remember symbols and phrases of national memorials.
Step 3
Exam Tip
राजघाट पर हे राम वाक्य महात्मा गांधी की स्मृति से जुड़ा है। परीक्षा में राष्ट्रीय स्मारकों के प्रतीक और वाक्य याद रखें।
A. जल का पुनः अवशोषण बढ़ेगा/Water reabsorption will increase
Step 1
Concept
Kidneys help maintain water balance.
Step 2
Why this answer is correct
During water shortage, the body must conserve more water.
Step 3
Exam Tip
Nephrons can return more water to blood, making urine more concentrated. चरण 1: गुर्दे शरीर के जल संतुलन में सहायता करते हैं। चरण 2: जल की कमी में शरीर को अधिक जल बचाना होता है। चरण 3: इसलिए नेफ्रॉन अधिक जल वापस रक्त में भेज सकते हैं और मूत्र अधिक गाढ़ा हो सकता है।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं और कारण कथन की सही व्याख्या करता है/Both assertion and reason are true and the reason correctly explains the assertion
Step 1
Concept
The Khilafat issue could mobilise Muslim masses.
Step 2
Why this answer is correct
Gandhi wanted wider unity for swaraj.
Step 3
Exam Tip
Therefore the reason correctly explains the assertion. चरण 1: खिलाफत मुद्दे से मुसलमान जनता जुड़ सकती थी। चरण 2: गांधीजी स्वराज के लिए व्यापक एकता चाहते थे। चरण 3: इसलिए कारण कथन की सही व्याख्या करता है।
कथन और कारण को पढ़ें। कथन: गांधीजी ने खिलाफत मुद्दे का समर्थन किया। कारण: वे हिंदू मुस्लिम एकता के आधार पर व्यापक आंदोलन बनाना चाहते थे। सही विकल्प चुनें।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं और कारण कथन की सही व्याख्या करता है/Both assertion and reason are true and the reason correctly explains the assertion
Step 1
Concept
Gandhi worked with Khilafat leaders.
Step 2
Why this answer is correct
He aimed to unite Muslims and Hindus in a common national struggle.
Step 3
Exam Tip
Therefore the reason correctly explains the assertion. चरण 1: गांधीजी ने खिलाफत नेताओं से सहयोग किया। चरण 2: उनका उद्देश्य मुसलमानों और हिंदुओं को साझा राष्ट्रीय संघर्ष में जोड़ना था। चरण 3: इसलिए कारण कथन की सही व्याख्या करता है।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं और कारण कथन की सही व्याख्या करता है/Both assertion and reason are true and the reason correctly explains the assertion
Step 1
Concept
Marianne’s image was used on coins and stamps.
Step 2
Why this answer is correct
This made the republican symbol visible in everyday life.
Step 3
Exam Tip
So the reason correctly explains the assertion. चरण 1: मैरीआन की छवि सिक्कों और डाक टिकटों पर प्रयोग हुई। चरण 2: इससे गणराज्य का प्रतीक रोज दिखता था। चरण 3: इसलिए कारण कथन की सही व्याख्या करता है।
B. क्योंकि \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लिया गया है/Because \(\frac{p}{q}\) is taken in lowest form
Step 1
Concept
A rational number is taken as a fraction in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 3
Exam Tip
Finding a common factor later contradicts this condition. चरण 1: परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न के रूप में लिया जाता है। चरण 2: सरलतम रूप में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। चरण 3: बाद में साझा गुणनखंड मिलना इसी शर्त से टकराता है।
A. ताकि भिन्न \(\frac{p}{q}\) सबसे सरल रूप में रहे/So that the fraction \(\frac{p}{q}\) is in lowest form
Step 1
Concept
A rational number is written as \(\frac{p}{q}\) in its lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
In lowest form, (p) and (q) have no common factor except (1).
Step 3
Exam Tip
Later, finding both even creates the contradiction. चरण 1: परिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के सबसे सरल रूप में लिखा जाता है। चरण 2: सबसे सरल रूप में (p) और (q) का कोई साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होता। चरण 3: बाद में दोनों सम मिलना इसी बात से विरोधाभास बनाता है।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं और कारण कथन को समझाता है/Both assertion and reason are true and the reason explains the assertion
Step 1
Concept
\(\frac{27}{375}\) simplifies by (3) to \(\frac{9}{125}\).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(125=5^3\), the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: In assertion-reason questions, check whether the reason is true and also explains the assertion. चरण 1: \(\frac{27}{375}\) को (3) से सरल करने पर \(\frac{9}{125}\) मिलता है। चरण 2: \(125=5^3\), इसलिए दशमलव समाप्त होगा। चरण 3: परीक्षा सुझाव: कथन-कारण में कारण सही होने के साथ सही व्याख्या भी दे रहा है या नहीं, यह देखें।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं/Both assertion and reason are true
Step 1
Concept
\(\frac{1}{125}\) is in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The denominator \(125=5^3\), so it has only factor (5), and the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: In assertion-reason questions, also check whether the reason truly explains the assertion. चरण 1: \(\frac{1}{125}\) सबसे सरल रूप में है। चरण 2: हर \(125=5^3\) है, इसलिए इसमें केवल (5) का गुणनखंड है और दशमलव समाप्त होगा। चरण 3: परीक्षा सुझाव: कथन-कारण प्रश्नों में कारण नियम को सच में समझा रहा है या नहीं, यह भी देखें।
कथन और कारण पढ़िए। कथन: विदेशी कपड़ों का बहिष्कार केवल आर्थिक कार्य नहीं था। कारण: उसने स्वदेशी और राष्ट्रीय स्वाभिमान का संदेश भी दिया। सही विकल्प चुनिए।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं और कारण कथन की सही व्याख्या करता है/Both assertion and reason are true and the reason correctly explains the assertion
Step 1
Concept
Boycotting foreign cloth hurt British trade.
Step 2
Why this answer is correct
It also valued Indian cloth and self-respect.
Step 3
Exam Tip
So it was both an economic and political act. चरण 1: विदेशी कपड़ों का बहिष्कार ब्रिटिश व्यापार पर चोट था। चरण 2: साथ ही इसने देशी वस्त्र और स्वाभिमान को महत्व दिया। चरण 3: इसलिए यह आर्थिक और राजनीतिक दोनों कदम था।
कथन और कारण पढ़िए। कथन: खिलाफत आंदोलन को असहयोग से जोड़ना गांधीजी की रणनीति का भाग था। कारण: इससे हिंदू मुस्लिम एकता के साथ व्यापक जनाधार बन सकता था। सही विकल्प चुनिए।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं और कारण कथन की सही व्याख्या करता है/Both assertion and reason are true and the reason correctly explains the assertion
Step 1
Concept
The Khilafat issue could mobilise Muslim masses.
Step 2
Why this answer is correct
Non-Cooperation was linked with the wider demand for swaraj.
Step 3
Exam Tip
Connecting both was a strategy for wider unity. चरण 1: खिलाफत मुद्दे से मुसलमान जनता जुड़ सकती थी। चरण 2: असहयोग स्वराज की व्यापक मांग से जुड़ा था। चरण 3: दोनों को जोड़ना व्यापक एकता की रणनीति थी।
कथन और कारण पढ़िए। कथन: रौलेट अधिनियम ने गांधीजी को अखिल भारतीय विरोध संगठित करने का अवसर दिया। कारण: यह कानून नागरिक स्वतंत्रता पर हमला माना गया। सही विकल्प चुनिए।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं और कारण कथन की सही व्याख्या करता है/Both assertion and reason are true and the reason correctly explains the assertion
Step 1
Concept
The Rowlatt Act allowed detention without trial.
Step 2
Why this answer is correct
It was seen as an attack on civil liberties.
Step 3
Exam Tip
This made a broad satyagraha against it possible. चरण 1: रौलेट अधिनियम ने बिना मुकदमे कैद की शक्ति दी। चरण 2: इसे नागरिक स्वतंत्रता पर हमला माना गया। चरण 3: इसी कारण इसके विरुद्ध व्यापक सत्याग्रह संभव हुआ।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं और कारण कथन की सही व्याख्या करता है/Both assertion and reason are true and the reason correctly explains the assertion
Step 1
Concept
Boycott of foreign cloth was included in Non-Cooperation.
Step 2
Why this answer is correct
It encouraged Indian cloth and khadi.
Step 3
Exam Tip
Therefore the reason correctly explains the assertion. चरण 1: विदेशी कपड़ों का बहिष्कार असहयोग में शामिल था। चरण 2: इससे देशी कपड़े और खादी को बढ़ावा मिला। चरण 3: इसलिए कारण कथन की सही व्याख्या करता है।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं और कारण कथन की सही व्याख्या करता है/Both assertion and reason are true and the reason correctly explains the assertion
Step 1
Concept
The war placed economic and social burdens on India.
Step 2
Why this answer is correct
Taxes inflation and recruitment troubled people.
Step 3
Exam Tip
Therefore the reason correctly explains the assertion. चरण 1: युद्ध ने भारत पर आर्थिक और सामाजिक बोझ डाला। चरण 2: कर महँगाई और भर्ती ने जनता को परेशान किया। चरण 3: इसलिए कारण कथन की सही व्याख्या करता है।
कथन और कारण को पढ़ें। कथन: असहयोग आंदोलन में विदेशी वस्त्रों का बहिष्कार किया गया। कारण: इससे स्वदेशी उत्पादन और राष्ट्रीय भावना को बल मिला। सही विकल्प चुनें।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं और कारण कथन की सही व्याख्या करता है/Both assertion and reason are true and the reason correctly explains the assertion
Step 1
Concept
Boycott of foreign cloth was an important part of non-cooperation.
Step 2
Why this answer is correct
It supported Indian cloth and swadeshi feeling.
Step 3
Exam Tip
So the reason explains the assertion correctly. चरण 1: विदेशी वस्त्रों का बहिष्कार असहयोग का प्रमुख हिस्सा था। चरण 2: इससे भारतीय वस्त्र और स्वदेशी भावना को समर्थन मिला। चरण 3: इसलिए कारण कथन को सही ढंग से समझाता है।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं और कारण कथन की सही व्याख्या करता है/Both assertion and reason are true and the reason correctly explains the assertion
Step 1
Concept
Germania was shown with a crown of oak leaves.
Step 2
Why this answer is correct
Oak was associated with heroism in German symbolism.
Step 3
Exam Tip
Therefore the reason directly explains the assertion. चरण 1: जर्मानिया के मुकुट में ओक पत्ते दिखाए जाते थे। चरण 2: ओक जर्मन परंपरा में वीरता से जुड़ा था। चरण 3: इसलिए कारण सीधे कथन को समझाता है।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं/Both assertion and reason are correct
Step 1
Concept
Here (D=(-6)2-4(3)(11)=36-132=-96). When (D<0), the graph does not cut the (x)-axis.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. कथन और कारण दोनों सही हैं / Both assertion and reason are correct. Here (D=(-6)2-4(3)(11)=36-132=-96). When (D<0), the graph does not cut the (x)-axis.
Step 3
Exam Tip
यहाँ (D=(-6)2-4(3)(11)=36-132=-96) है। (D<0) होने पर ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं/Both assertion and reason are correct
Step 1
Concept
The discriminant is (D=-48ab). If (ab<0), then (D>0), so roots are real and distinct.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. कथन और कारण दोनों सही हैं / Both assertion and reason are correct. The discriminant is (D=-48ab). If (ab<0), then (D>0), so roots are real and distinct.
Step 3
Exam Tip
विविक्तकर (D=-48ab) है। (ab<0) होने पर (D>0), इसलिए मूल वास्तविक असमान होंगे।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं/Both assertion and reason are correct
Step 1
Concept
Here (D=(-4)2-4(2)(7)=-40). When (D<0), the graph does not cut the (x)-axis.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. कथन और कारण दोनों सही हैं / Both assertion and reason are correct. Here (D=(-4)2-4(2)(7)=-40). When (D<0), the graph does not cut the (x)-axis.
Step 3
Exam Tip
यहाँ (D=(-4)2-4(2)(7)=-40) है। (D<0) होने पर ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं/Both assertion and reason are correct
Step 1
Concept
The discriminant is (D=-16ab). If (ab<0), then (D>0), so roots are real and distinct.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. कथन और कारण दोनों सही हैं / Both assertion and reason are correct. The discriminant is (D=-16ab). If (ab<0), then (D>0), so roots are real and distinct.
Step 3
Exam Tip
विविक्तकर (D=-16ab) है। यदि (ab<0), तो (D>0) और मूल वास्तविक असमान होंगे।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं/Both assertion and reason are correct
Step 1
Concept
Here (D=22-4(1)(5)=-16). Graphically, a negative (D) means no intersection with the (x)-axis.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. कथन और कारण दोनों सही हैं / Both assertion and reason are correct. Here (D=22-4(1)(5)=-16). Graphically, a negative (D) means no intersection with the (x)-axis.
Step 3
Exam Tip
यहाँ (D=22-4(1)(5)=-16) है। ऋणात्मक (D) का ग्राफीय अर्थ है (x)-अक्ष से कोई कटाव नहीं।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं/Both assertion and reason are correct
Step 1
Concept
The discriminant (D=16ab) is correct. If (ab>0), then (D>0), so the roots are real and distinct.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. कथन और कारण दोनों सही हैं / Both assertion and reason are correct. The discriminant (D=16ab) is correct. If (ab>0), then (D>0), so the roots are real and distinct.
Step 3
Exam Tip
विविक्तकर (D=16ab) सही है। (ab>0) होने पर (D>0), इसलिए मूल वास्तविक और असमान होंगे।
A. कथन गलत है, कारण सही है/Assertion is wrong, reason is correct
Step 1
Concept
Here (D=(-6)2-4(1)(11)=-8). Since (D<0), real roots do not exist, so the assertion is wrong.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. कथन गलत है, कारण सही है / Assertion is wrong, reason is correct. Here (D=(-6)2-4(1)(11)=-8). Since (D<0), real roots do not exist, so the assertion is wrong.
Step 3
Exam Tip
यहाँ (D=(-6)2-4(1)(11)=-8) है। (D<0) होने पर वास्तविक मूल नहीं होते, इसलिए कथन गलत है।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं/Both assertion and reason are correct
Step 1
Concept
Here (D=(-14)2-4(7)(7)=0). So the reason correctly explains the assertion.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. कथन और कारण दोनों सही हैं / Both assertion and reason are correct. Here (D=(-14)2-4(7)(7)=0). So the reason correctly explains the assertion.
Step 3
Exam Tip
यहाँ (D=(-14)2-4(7)(7)=0) है। इसलिए कारण कथन को सही रूप से समझाता है।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं/Both assertion and reason are correct
Step 1
Concept
Here (D=32-4(1)(7)=-19). Since (D<0), the assertion is correct.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. कथन और कारण दोनों सही हैं / Both assertion and reason are correct. Here (D=32-4(1)(7)=-19). Since (D<0), the assertion is correct.
Step 3
Exam Tip
यहाँ (D=32-4(1)(7)=-19) है। (D<0) होने से कथन सही है।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं/Both assertion and reason are correct
Step 1
Concept
Here (D=(-8)2-4(2)(8)=0). So the reason correctly explains the assertion.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. कथन और कारण दोनों सही हैं / Both assertion and reason are correct. Here (D=(-8)2-4(2)(8)=0). So the reason correctly explains the assertion.
Step 3
Exam Tip
यहाँ (D=(-8)2-4(2)(8)=0) है। इसलिए कारण कथन को सही रूप से समझाता है।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं/Both assertion and reason are correct
Step 1
Concept
Here (D=(-10)2-4(1)(25)=0). So the reason correctly explains the assertion.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. कथन और कारण दोनों सही हैं / Both assertion and reason are correct. Here (D=(-10)2-4(1)(25)=0). So the reason correctly explains the assertion.
Step 3
Exam Tip
यहाँ (D=(-10)2-4(1)(25)=0) है। इसलिए कारण कथन को सही समझाता है।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं तथा कारण सही व्याख्या है/Both are true and the reason explains it
Step 1
Concept
Since \(169=13^2\), the reduced denominator is \(2^3\cdot 5^4\). Therefore the reason correctly explains the terminating decimal rule.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. कथन और कारण दोनों सही हैं तथा कारण सही व्याख्या है / Both are true and the reason explains it. Since \(169=13^2\), the reduced denominator is \(2^3\cdot 5^4\). Therefore the reason correctly explains the terminating decimal rule.
Step 3
Exam Tip
\(169=13^2\) कटने पर हर \(2^3\cdot 5^4\) बचता है। इसलिए कारण सांत दशमलव के नियम को सही तरह समझाता है।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं तथा कारण सही व्याख्या है/Both are true and the reason explains it
Step 1
Concept
Since \(121=11^2\), the reduced denominator is \(2^3\cdot 5^2\). Therefore the reason correctly explains the terminating decimal rule.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. कथन और कारण दोनों सही हैं तथा कारण सही व्याख्या है / Both are true and the reason explains it. Since \(121=11^2\), the reduced denominator is \(2^3\cdot 5^2\). Therefore the reason correctly explains the terminating decimal rule.
Step 3
Exam Tip
\(121=11^2\) कटने पर हर \(2^3\cdot 5^2\) बचता है। इसलिए कारण सांत दशमलव के नियम को सही तरह समझाता है।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं तथा कारण सही व्याख्या है/Both are true and the reason explains it
Step 1
Concept
Since \(63=3^2\cdot 7\), the reduced denominator is \(2^4\cdot 5^3\). The reason directly explains the terminating decimal rule.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. कथन और कारण दोनों सही हैं तथा कारण सही व्याख्या है / Both are true and the reason explains it. Since \(63=3^2\cdot 7\), the reduced denominator is \(2^4\cdot 5^3\). The reason directly explains the terminating decimal rule.
Step 3
Exam Tip
\(63=3^2\cdot 7\), इसलिए कटौती के बाद हर \(2^4\cdot 5^3\) बचेगा। कारण सीधे सांत दशमलव का नियम समझाता है।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं तथा कारण कथन को समझाता है/Both assertion and reason are true, and the reason explains the assertion
Step 1
Concept
Dividing \(\frac{35}{280}\) by (35) gives \(\frac{1}{8}\).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(8=2^3\), the decimal terminates. The reason correctly explains the assertion.
Step 3
Exam Tip
In assertion-reason questions, also check whether the reason explains the assertion. चरण 1: \(\frac{35}{280}\) को (35) से भाग देने पर \(\frac{1}{8}\) मिलता है। चरण 2: \(8=2^3\), इसलिए दशमलव सांत होगा। कारण कथन को सही ढंग से समझाता है। चरण 3: कथन-कारण प्रश्न में कारण की व्याख्या भी जाँचें।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं तथा कारण कथन को समझाता है/Both assertion and reason are true, and the reason explains the assertion
Step 1
Concept
\(\frac{17}{200}\) is in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
\(200=2^3\cdot 5^2\), so the denominator has only (2) and (5). Hence the decimal terminates, and the reason explains the assertion.
Step 3
Exam Tip
In assertion-reason questions, check whether the reason truly explains the assertion. चरण 1: \(\frac{17}{200}\) सरलतम रूप में है। चरण 2: \(200=2^3\cdot 5^2\), यानी हर में केवल (2) और (5) हैं। इसलिए दशमलव सांत होगा और कारण सही समझाता है। चरण 3: कथन-कारण में कारण की व्याख्या करने की क्षमता भी देखें।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं, और कारण कथन को समझाता है/Both assertion and reason are true, and the reason explains the assertion
Step 1
Concept
In a recurring decimal, a fixed block of digits repeats.
Step 2
Why this answer is correct
Such a decimal can be converted into a fraction \(\frac{p}{q}\), so it is rational.
Step 3
Exam Tip
In assertion-reason questions, check whether the reason supports the assertion. चरण 1: आवर्ती दशमलव में अंकों का निश्चित समूह दोहरता है। चरण 2: ऐसे दशमलव को भिन्न \(\frac{p}{q}\) में बदला जा सकता है, इसलिए वह परिमेय है। चरण 3: कारण-प्रकार प्रश्नों में कारण का संबंध कथन से जरूर जांचें।
B. (p) (5) से विभाज्य है क्योंकि \(\sqrt{5}\) धनात्मक है/(p) is divisible by (5) because \(\sqrt{5}\) is positive
Step 1
Concept
(p) being divisible by (5) can be a true conclusion.
Step 2
Why this answer is correct
But its reason is not the positivity of \(\sqrt{5}\).
Step 3
Exam Tip
The correct reason is \(p^2=5q^2\) and (5) being prime. चरण 1: (p) का (5) से विभाज्य होना सही निष्कर्ष हो सकता है। चरण 2: पर इसका कारण \(\sqrt{5}\) का धनात्मक होना नहीं है। चरण 3: सही कारण \(p^2=5q^2\) और (5) का अभाज्य होना है।
A. परिमेय मानने पर सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं/Assuming rational makes both numerator and denominator of the lowest-form fraction divisible by (5)
Step 1
Concept
Assume \(\sqrt{5}\) rational and write it in lowest-form fraction.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both numerator and denominator divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
This contradicts the coprime condition, so \(\sqrt{5}\) is irrational. चरण 1: \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न में लिखते हैं। चरण 2: प्रमाण से अंश और हर दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 3: यह सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है, इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है।
A. \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है क्योंकि परिमेय मानने पर (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं/\(\sqrt{5}\) is irrational because assuming rational makes both (p) and (q) divisible by (5)
This contradicts coprime condition, so \(\sqrt{5}\) is irrational. चरण 1: \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। चरण 3: यह सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है, इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है।
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हैं, इसलिए वे सहअभाज्य नहीं हो सकते/Both (p) and (q) are divisible by (5), so they cannot be coprime
Step 1
Concept
In the proof, both (p) and (q) are found divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
This means their common factor is (5).
Step 3
Exam Tip
This breaks the condition of being coprime. चरण 1: प्रमाण में (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 2: इसका अर्थ है कि उनका साझा गुणनखंड (5) है। चरण 3: यह सहअभाज्य होने की शर्त को तोड़ता है।
A. सस्ते कच्चे माल और नए बाजारों की जरूरत/Need for cheap raw materials and new markets
Step 1
Concept
Industrial countries needed raw materials for production.
Step 2
Why this answer is correct
They needed markets to sell finished goods.
Step 3
Exam Tip
This made the race for colonies stronger. चरण 1: औद्योगिक देशों को उत्पादन के लिए कच्चे माल की जरूरत थी। चरण 2: उन्हें तैयार वस्तुओं को बेचने के लिए बाजार चाहिए थे। चरण 3: इसी कारण उपनिवेशों की होड़ तेज हुई।
A. (b) को भी समीकरण में रखकर सम सिद्ध करना/Prove (b) even by substituting in the equation
Step 1
Concept
Getting only (a) even does not create contradiction with the coprime condition.
Step 2
Why this answer is correct
Substitute (a=2k) in \(a^2=2b^2\) to get \(b^2=2k^2\), then prove (b) even.
Step 3
Exam Tip
Contradiction occurs only when both have common factor (2). चरण 1: केवल (a) सम मिलना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास नहीं बनाता। चरण 2: (a=2k) को \(a^2=2b^2\) में रखकर \(b^2=2k^2\) और फिर (b) सम सिद्ध करना होगा। चरण 3: विरोधाभास तब बनेगा जब दोनों में (2) साझा गुणनखंड मिले।
A. वर्ग समीकरण से गलत मूल समीकरण निकालना/Incorrectly deriving a root-level equation from a squared equation
Step 1
Concept
(a=2b) does not directly follow from \(a^2=2b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct conclusion is that \(a^2\) is even and (a) is even.
Step 3
Exam Tip
Do not hastily make a root-level equation from a squared equation. चरण 1: \(a^2=2b^2\) से सीधे (a=2b) नहीं मिलता। चरण 2: सही निष्कर्ष है कि \(a^2\) सम है और (a) सम है। चरण 3: वर्ग समीकरण से जल्दबाजी में मूल समीकरण न बनाएं।
This goes against the lowest-form condition. चरण 1: (a=2m) और (b=2n) से दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए (\gcd(a,b)) (1) नहीं हो सकता। चरण 3: यह सरलतम रूप की शर्त के विरुद्ध है।
An even integer is written as (2k), where (k) is an integer.
Step 3
Exam Tip
Clearly mentioning the type of the new variable strengthens the proof. चरण 1: (a) पूर्णांक है और सम सिद्ध हुआ है। चरण 2: सम पूर्णांक को (2k) के रूप में लिखा जाता है, जहां (k) पूर्णांक होता है। चरण 3: नए अक्षर का प्रकार स्पष्ट लिखना प्रमाण को मजबूत बनाता है।
A. परिमेय मान्यता गलत है/The rational assumption is false
Step 1
Concept
At the beginning, \(\frac{a}{b}\) was assumed in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
If the proof shows it can be reduced, the initial assumption is impossible.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: शुरुआत में \(\frac{a}{b}\) को सरलतम रूप माना गया था। चरण 2: यदि प्रमाण दिखाता है कि यह घट सकती है, तो आरंभिक मान्यता असंभव है। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
A. पहले (a) सम सिद्ध कर (a=2k) रखना जरूरी है/First (a) must be proved even and (a=2k) must be substituted
Step 1
Concept
From \(a^2=2b^2\), first \(a^2\), then (a), is proved even.
Step 2
Why this answer is correct
To prove (b) even, (a=2k) must be substituted.
Step 3
Exam Tip
Jumping directly to (b) is an order error. चरण 1: \(a^2=2b^2\) से तुरंत \(a^2\) और फिर (a) सम मिलता है। चरण 2: (b) को सम सिद्ध करने के लिए (a=2k) रखना पड़ता है। चरण 3: सीधे (b) पर जाना प्रमाण की क्रम-गलती है।
A. \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2), \(\sqrt{5}\) में साझा गुणनखंड (5) मिलता है/\(\sqrt{2}\) gives common factor (2), while \(\sqrt{5}\) gives common factor (5)
Step 1
Concept
In \(\sqrt{2}\), \(a^2=2b^2\) makes (2) the key factor.
Step 2
Why this answer is correct
In \(\sqrt{5}\), \(p^2=5q^2\) makes (5) the key factor.
Step 3
Exam Tip
The number inside the root decides the proof factor. चरण 1: \(\sqrt{2}\) में \(a^2=2b^2\) से (2) मुख्य गुणनखंड बनता है। चरण 2: \(\sqrt{5}\) में \(p^2=5q^2\) से (5) मुख्य गुणनखंड बनता है। चरण 3: मूल के अंदर की संख्या प्रमाण का गुणनखंड तय करती है।
A. क्योंकि यदि (a) विषम होता तो \(a^2\) भी विषम होता/Because if (a) were odd, then \(a^2\) would also be odd
Step 1
Concept
The square of an odd number is odd.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(a^2\) is even, so (a) cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
Hence (a) must be even. चरण 1: विषम संख्या का वर्ग विषम होता है। चरण 2: यहां \(a^2\) सम मिला है, इसलिए (a) विषम नहीं हो सकता। चरण 3: अतः (a) सम होना निश्चित है।
A. \(\frac{a}{b}\) को \(\frac{m}{n}\) तक घटाया जा सकता है/\(\frac{a}{b}\) can be reduced to \(\frac{m}{n}\)
Step 1
Concept
(a=2m) and (b=2n) show common factor (2) in numerator and denominator.
Step 2
Why this answer is correct
So \(\frac{2m}{2n}=\frac{m}{n}\).
Step 3
Exam Tip
This contradicts lowest form. चरण 1: (a=2m) और (b=2n) से अंश और हर दोनों में (2) साझा है। चरण 2: इसलिए \(\frac{2m}{2n}=\frac{m}{n}\) लिखा जा सकता है। चरण 3: यह सरलतम रूप के विरुद्ध है।
But to complete the proof, (b) must also be proved even.
Step 3
Exam Tip
Only when both are even does contradiction arise with the coprime condition. चरण 1: \(a^2=2b^2\) से (a) सम सिद्ध होता है। चरण 2: पर प्रमाण पूरा करने के लिए (b) भी सम सिद्ध करना होगा। चरण 3: दोनों सम मिलने पर ही सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास बनेगा।
A. (\gcd(a,b)) कम से कम (2) है/(\gcd(a,b)) is at least (2)
Step 1
Concept
(a=2k) and (b=2r) show both are divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
So their greatest common divisor cannot remain (1).
Step 3
Exam Tip
This breaks the initial coprime condition. चरण 1: (a=2k) और (b=2r) से दोनों (2) से विभाज्य हैं। चरण 2: इसलिए उनका महत्तम समापवर्तक (1) नहीं रह सकता। चरण 3: यह सहअभाज्य होने की आरंभिक शर्त को तोड़ता है।
A. (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों सम निकले/(a) and (b) were assumed coprime, but both turned out even
Step 1
Concept
In lowest form, (a) and (b) were assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both are even, so both have common factor (2).
Step 3
Exam Tip
This is the correct final contradiction. चरण 1: सरलतम रूप में (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे। चरण 2: प्रमाण में दोनों सम मिलते हैं, यानी दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: यही सही अंतिम विरोधाभास है।
A. क्योंकि (b) सम सिद्ध करने के लिए (a=2k) को समीकरण में रखना होगा/Because to prove (b) even, (a=2k) must be substituted in the equation
Step 1
Concept
(a) being even does not automatically make (b) even.
Step 2
Why this answer is correct
After substituting (a=2k), we get \(b^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
Only then can (b) be proved even. चरण 1: (a) सम होने से (b) अपने आप सम नहीं होता। चरण 2: (a=2k) रखने पर \(b^2=2k^2\) मिलता है। चरण 3: तभी (b) सम सिद्ध किया जा सकता है।
From \(4r^2=2b^2\), dividing by (2) gives \(b^2=2r^2\).
Step 3
Exam Tip
This becomes the basis for proving (b) even. चरण 1: (a=2r) रखने पर \(a^2=4r^2\) होगा। चरण 2: \(4r^2=2b^2\) से (2) से भाग करने पर \(b^2=2r^2\) मिलता है। चरण 3: इसी से (b) के सम होने का आधार मिलता है।
So first \(a^2\) is called even, and then (a) is proved even.
Step 3
Exam Tip
Do not change the order of conclusions in exams. चरण 1: \(a^2=2b^2\) में दाईं ओर (2) का गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए पहले \(a^2\) को सम कहा जाएगा और फिर (a) सम सिद्ध होगा। चरण 3: परीक्षा में निष्कर्षों का क्रम न बदलें।
If both are even, both (p) and (q) are divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
Then their greatest common divisor cannot remain (1).
Step 3
Exam Tip
Therefore the condition (\gcd(p,q)=1) is refuted. चरण 1: दोनों सम होने पर (p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य हैं। चरण 2: तब उनका महत्तम समापवर्तक (1) नहीं रह सकता। चरण 3: इसलिए (\gcd(p,q)=1) की शर्त खंडित होती है।
A. बाद में (p) और (q) दोनों सम मिलने पर विरोधाभास दिखाना/To show contradiction when both (p) and (q) are later found even
Step 1
Concept
In lowest form, (p) and (q) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both (p) and (q) are even.
Step 3
Exam Tip
Both being even breaks the lowest-form condition. चरण 1: सरलतम रूप में (p) और (q) सहअभाज्य होते हैं। चरण 2: प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं। चरण 3: दोनों सम होना सरलतम रूप की शर्त को तोड़ता है।
If (p=2k) and (q=2r), both numerator and denominator have common factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
So \(\frac{2k}{2r}\) can be reduced to \(\frac{k}{r}\).
Step 3
Exam Tip
This shows \(\frac{p}{q}\) was not in lowest form. चरण 1: (p=2k) और (q=2r) होने पर अंश और हर में (2) साझा है। चरण 2: इसलिए \(\frac{2k}{2r}\) को (2) से घटाकर \(\frac{k}{r}\) लिखा जा सकता है। चरण 3: यह दिखाता है कि \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं था।
A. (p) सम है, इसलिए (q) भी बिना किसी प्रतिस्थापन के सम है/(p) is even, so (q) is also even without any substitution
Step 1
Concept
(p) being even does not automatically make (q) even.
Step 2
Why this answer is correct
To prove (q) even, (p=2k) must be substituted in the original equation.
Step 3
Exam Tip
Writing conclusions without support weakens the proof. चरण 1: (p) सम होने से अपने आप (q) सम नहीं होता। चरण 2: (q) को सम सिद्ध करने के लिए (p=2k) को मूल समीकरण में रखना पड़ता है। चरण 3: बिना आधार के निष्कर्ष लिखना प्रमाण को कमजोर बनाता है।
A. आरंभिक परिमेय मान्यता गलत है/The initial rational assumption is false
Step 1
Concept
Assuming rationality, \(\frac{p}{q}\) was taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
If the proof shows it is not in lowest form, the initial assumption is impossible.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लिया गया था। चरण 2: यदि प्रमाण दिखा दे कि वह सरलतम रूप में नहीं है, तो आरंभिक मान्यता असंभव है। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
A. \(\sqrt{2}\) में समता का तर्क मुख्य है, जबकि \(\sqrt{3}\) में (3) के अभाज्य गुणनखंड का तर्क मुख्य है/Evenness is central in \(\sqrt{2}\), while prime factor (3) is central in \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
In \(\sqrt{2}\), \(p^2=2q^2\) gives the evenness argument.
Step 2
Why this answer is correct
In \(\sqrt{3}\), the primality of (3) gives the divisibility argument.
Step 3
Exam Tip
Choose the reasoning according to the number under the root. चरण 1: \(\sqrt{2}\) में \(p^2=2q^2\) से समता का तर्क आता है। चरण 2: \(\sqrt{3}\) में (3) अभाज्य होने से विभाज्यता का तर्क आता है। चरण 3: हर प्रमाण में मूल के अंदर की संख्या के अनुसार तर्क चुनें।
From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) and then (p) are proved even.
Step 2
Why this answer is correct
But to complete the proof, (q) must also be shown even.
Step 3
Exam Tip
Only then a contradiction arises through common factor (2). चरण 1: \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम और फिर (p) सम सिद्ध होता है। चरण 2: लेकिन प्रमाण पूरा करने के लिए (q) भी सम दिखाना होगा। चरण 3: तभी दोनों में साझा गुणनखंड (2) से विरोधाभास बनेगा।
A. यह सहअभाज्य मान्यता के विपरीत है, अतः \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/This contradicts the coprime assumption, hence \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
If both are even, (2) is a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
This contradicts the assumption that (p) and (q) are coprime.
Step 3
Exam Tip
Therefore the rational assumption is false and \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड है। चरण 2: यह (p) और (q) के सहअभाज्य होने के विरुद्ध है। चरण 3: इसलिए परिमेय मान्यता गलत और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
A. (p=2k) रखने के बाद \(q^2=2k^2\) मिलता है/After substituting (p=2k), \(q^2=2k^2\) is obtained
Step 1
Concept
First (p) is proved even from \(p^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Substituting (p=2k) gives \(q^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
This proves \(q^2\), and then (q), is even. चरण 1: पहले \(p^2=2q^2\) से (p) सम सिद्ध होता है। चरण 2: (p=2k) रखने पर \(q^2=2k^2\) मिलता है। चरण 3: इससे \(q^2\) सम और फिर (q) सम सिद्ध होता है।
A. (p) और (q) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों (2) से विभाज्य निकले/(p) and (q) were assumed coprime, but both turned out divisible by (2)
Step 1
Concept
At the start, \(\frac{p}{q}\) is taken in lowest form, so (p) and (q) are assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both are divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
This is the clear and correct contradiction. चरण 1: शुरुआत में \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लेकर (p) और (q) सहअभाज्य माने जाते हैं। चरण 2: प्रमाण में दोनों (2) से विभाज्य निकलते हैं। चरण 3: यही साफ और सही विरोधाभास है।
A. यह अधूरा है, पहले (p) सम और फिर प्रतिस्थापन से (q) सम सिद्ध होता है/This is incomplete; first (p) is proved even and then (q) is proved even by substitution
Step 1
Concept
From \(p^2=2q^2\), first only \(p^2\) and then (p) are proved even.
Step 2
Why this answer is correct
After substituting (p=2k), \(q^2=2k^2\) is obtained and then (q) is proved even.
Step 3
Exam Tip
Skipping order is considered an error in proof writing. चरण 1: \(p^2=2q^2\) से पहले केवल \(p^2\) सम और फिर (p) सम मिलता है। चरण 2: (p=2k) रखने के बाद \(q^2=2k^2\) मिलता है और तब (q) सम सिद्ध होता है। चरण 3: प्रमाण में क्रम छोड़ना गलती मानी जाती है।
From \(4r^2=2q^2\), dividing both sides by (2) gives \(q^2=2r^2\).
Step 3
Exam Tip
This proves \(q^2\), and then (q), is even. चरण 1: (p=2r) रखने पर \(p^2=4r^2\) होगा। चरण 2: \(4r^2=2q^2\) से दोनों ओर (2) से भाग करने पर \(q^2=2r^2\) मिलता है। चरण 3: इससे \(q^2\) सम और फिर (q) सम सिद्ध होता है।
A. \(p^2\) सम है, इसलिए (p) सम है/\(p^2\) is even, so (p) is even
Step 1
Concept
In \(p^2=2q^2\), the right side has factor (2), so \(p^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
If the square of an integer is even, the integer is also even, so (p) is even.
Step 3
Exam Tip
Do not directly write (p=2q); first use divisibility. चरण 1: \(p^2=2q^2\) में दाईं ओर (2) का गुणनखंड है, इसलिए \(p^2\) सम है। चरण 2: यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम हो, तो वह पूर्णांक भी सम होता है, इसलिए (p) सम है। चरण 3: सीधे (p=2q) लिखना गलत है, पहले विभाज्यता का तर्क दें।
A. \(\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में नहीं हो सकती/\(\frac{a}{b}\) cannot be in lowest form
Step 1
Concept
If both are even, (a) and (b) have common factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
In a lowest-form fraction, numerator and denominator should not have a common factor other than (1).
Step 3
Exam Tip
So this contradicts the rational assumption and proves \(\sqrt{2}\) irrational. चरण 1: दोनों सम होने पर (a) और (b) में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 2: सरलतम भिन्न में अंश और हर का साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होना चाहिए। चरण 3: इसलिए यह परिमेय मान्यता के विरुद्ध जाता है और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय सिद्ध होती है।
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
In contradiction method, the opposite assumption is taken.
Step 2
Why this answer is correct
If the rational assumption is proved impossible, it is false.
Step 3
Exam Tip
Hence \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। चरण 2: यदि परिमेय मान्यता असंभव सिद्ध हो जाए, तो वह गलत है। चरण 3: अतः \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
A. \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता/Irrationality of \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
In \(p^2=2q^2\), the key factor is (2).
Step 2
Why this answer is correct
Finding both (p) and (q) divisible by (2) identifies the proof of \(\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
This gives contradiction to the coprime condition. चरण 1: \(p^2=2q^2\) में मुख्य गुणनखंड (2) है। चरण 2: (p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य मिलना \(\sqrt{2}\) के प्रमाण की पहचान है। चरण 3: इससे सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास आता है।
A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में है/\(\frac{p}{q}\) is in lowest form
Step 1
Concept
In lowest form, numerator and denominator should not have a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
Finding (2) in both shows the fraction can be reduced.
Step 3
Exam Tip
Therefore the initial lowest-form statement becomes false. चरण 1: सरलतम रूप में अंश और हर में साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। चरण 2: दोनों में (2) मिलना बताता है कि भिन्न और घट सकती है। चरण 3: इसलिए सरलतम रूप की आरंभिक बात गलत सिद्ध होती है।
A. पहले \(p^2\) सम और (p) सम सिद्ध करके (p=2k) रखना होता है/First \(p^2\) even and (p) even must be proved, then (p=2k) is substituted
Step 1
Concept
From \(p^2=2q^2\), we immediately get \(p^2\) even.
Step 2
Why this answer is correct
Only after substituting (p=2k) do we get \(q^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
Skipping the order makes the proof weak. चरण 1: \(p^2=2q^2\) से तुरंत \(p^2\) सम मिलता है। चरण 2: फिर (p=2k) रखकर ही \(q^2=2k^2\) मिलता है। चरण 3: क्रम छोड़ने से प्रमाण कमजोर हो जाता है।
A. \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलता है, \(\sqrt{5}\) में साझा गुणनखंड (5) मिलता है/In \(\sqrt{2}\), common factor (2) is found; in \(\sqrt{5}\), common factor (5) is found
Step 1
Concept
In \(\sqrt{2}\)'s proof, factor (2) comes from \(p^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
In \(\sqrt{5}\)'s proof, factor (5) comes from \(p^2=5q^2\).
Step 3
Exam Tip
The number under the root becomes the key factor. चरण 1: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2=2q^2\) से गुणनखंड (2) आता है। चरण 2: \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(p^2=5q^2\) से गुणनखंड (5) आता है। चरण 3: मूल के अंदर की संख्या मुख्य गुणनखंड बनती है।
A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं/(p) and (q) are coprime
Step 1
Concept
If both are even, both have common factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
Coprime numbers should not have any common factor other than (1).
Step 3
Exam Tip
So the statement that they are coprime becomes false. चरण 1: दोनों सम होने पर दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा। चरण 2: सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। चरण 3: इसलिए सहअभाज्य होने की बात असत्य हो जाती है।
A. यदि (a) विषम होता, तो \(a^2\) भी विषम होता/If (a) were odd, then \(a^2\) would also be odd
Step 1
Concept
The square of an odd number is always odd.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(a^2\) is even, so (a) cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
Therefore (a) must be even. चरण 1: विषम संख्या का वर्ग हमेशा विषम होता है। चरण 2: यहां \(a^2\) सम मिला है, इसलिए (a) विषम नहीं हो सकता। चरण 3: अतः (a) सम होना चाहिए।
A. \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता में/In the irrationality of \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{2}\), \(p^2=2q^2\) is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
This proves both (p) and (q) even.
Step 3
Exam Tip
Both even contradict the coprime condition. चरण 1: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2=2q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) और (q) दोनों सम सिद्ध होते हैं। चरण 3: दोनों सम होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है।
A. यह सरलतम रूप में नहीं है/It is not in lowest form
Step 1
Concept
(p=2k) and (q=2r) mean numerator and denominator are divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
So the fraction can be reduced by (2).
Step 3
Exam Tip
This contradicts the lowest-form assumption. चरण 1: (p=2k) और (q=2r) से अंश और हर दोनों (2) से विभाज्य हैं। चरण 2: इसलिए भिन्न को (2) से घटाया जा सकता है। चरण 3: यह सरलतम रूप की मान्यता से टकराता है।
A. इससे (q) भी सम सिद्ध होता है/It proves (q) is also even
Step 1
Concept
From \(q^2=2k^2\), \(q^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
If a square is even, the original integer is even.
Step 3
Exam Tip
(p) was already even and (q) is also even, creating contradiction. चरण 1: \(q^2=2k^2\) से \(q^2\) सम है। चरण 2: वर्ग सम हो तो मूल पूर्णांक सम होता है। चरण 3: (p) पहले सम था और (q) भी सम मिला, यही विरोधाभास बनाता है।
A. परिमेय मानना, वर्ग करना, (p) और (q) दोनों सम पाना, विरोधाभास लिखना/Assume rational, square, find both (p) and (q) even, write contradiction
Step 1
Concept
In contradiction, first assume \(\sqrt{2}\) rational.
Step 2
Why this answer is correct
Squaring gives evenness conclusions.
Step 3
Exam Tip
Finding both even contradicts the coprime condition. चरण 1: विरोधाभास विधि में पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानते हैं। चरण 2: वर्ग करने से समता के निष्कर्ष मिलते हैं। चरण 3: दोनों सम मिलना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास देता है।
D. \(a^2=2b^2\) से सीधे (a=2b)/From \(a^2=2b^2\), directly (a=2b)
Step 1
Concept
From \(a^2=2b^2\), \(a^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
This gives (a) even, but not directly (a=2b).
Step 3
Exam Tip
The correct step is to write (a=2k). चरण 1: \(a^2=2b^2\) से \(a^2\) सम मिलता है। चरण 2: इससे (a) सम है, लेकिन सीधे (a=2b) नहीं मिलता। चरण 3: सही कदम (a=2k) लिखना है।
If a square is even, the original integer is even.
Step 3
Exam Tip
Therefore we write (a=2k), where (k) is an integer. चरण 1: \(a^2=2b^2\) से \(a^2\) सम है। चरण 2: वर्ग सम हो तो मूल पूर्णांक भी सम होता है। चरण 3: इसलिए (a=2k) लिखते हैं, जहां (k) पूर्णांक है।
In the proof, a rational number is written as a fraction in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 3
Exam Tip
Later, finding a common factor creates the contradiction. चरण 1: परिमेय संख्या को प्रमाण में सरलतम भिन्न के रूप में लिखा जाता है। चरण 2: सरलतम भिन्न में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। चरण 3: बाद में साझा गुणनखंड मिलना इसी बात से विरोधाभास बनाता है।
A. सीधे (q=2k) नहीं लिखना चाहिए, पहले \(q^2\) सम और फिर (q) सम कहना चाहिए/We should not directly write (q=2k); first say \(q^2\) is even and then (q) is even
Step 1
Concept
From \(q^2=2k^2\), \(q^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
Then by rule (q) is even and can be written as (q=2r).
Step 3
Exam Tip
Directly writing (q=2k) is a careless step. चरण 1: \(q^2=2k^2\) से \(q^2\) सम मिलता है। चरण 2: फिर नियम से (q) सम कहा जाता है और (q=2r) लिखा जा सकता है। चरण 3: सीधे (q=2k) लिखना सावधानी के बिना किया गया कदम है।
A. क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा/Because both will have common factor (2)
Step 1
Concept
(p=2k) means (p) is even.
Step 2
Why this answer is correct
(q=2r) means (q) is also even.
Step 3
Exam Tip
Both have common factor (2), so they cannot be coprime. चरण 1: (p=2k) का अर्थ है (p) सम है। चरण 2: (q=2r) का अर्थ है (q) भी सम है। चरण 3: दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा, इसलिए वे सहअभाज्य नहीं रहेंगे।
A. यह हमारी मान्यता के विपरीत है, अतः \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/This contradicts our assumption, hence \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
The rational assumption makes both (p) and (q) even.
Step 2
Why this answer is correct
This contradicts their being coprime.
Step 3
Exam Tip
So the final sentence should state both contradiction and irrationality. चरण 1: परिमेय मान्यता से (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं। चरण 2: यह सहअभाज्य होने के विरुद्ध है। चरण 3: इसलिए अंतिम वाक्य में विरोधाभास और अपरिमेयता दोनों लिखें।
A. यह सरलतम रूप में नहीं है/It is not in lowest form
Step 1
Concept
If both are even, numerator and denominator have common factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
So the fraction can be reduced further by (2).
Step 3
Exam Tip
This contradicts the lowest-form assumption. चरण 1: दोनों सम होने पर अंश और हर में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए भिन्न को (2) से और घटाया जा सकता है। चरण 3: यह सरलतम रूप की मान्यता के विरुद्ध है।
A. \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है/From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even
Step 1
Concept
From \(p^2=2q^2\), saying \(p^2\) is even is correct.
Step 2
Why this answer is correct
But it is not the final conclusion; both (p) and (q) must then be shown even.
Step 3
Exam Tip
Complete the proof up to contradiction. चरण 1: \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम होना सही है। चरण 2: पर यह अंतिम निष्कर्ष नहीं है, इसके बाद (p) और (q) दोनों सम दिखाने होंगे। चरण 3: प्रमाण को विरोधाभास तक पूरा करें।
