If \(q\ne0\), then \(q\sqrt{5}\) is irrational and the sum cannot be rational. In exams check the possibility of a zero coefficient.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (q=0). If \(q\ne0\), then \(q\sqrt{5}\) is irrational and the sum cannot be rational. In exams check the possibility of a zero coefficient.
Step 3
Exam Tip
यदि \(q\ne0\), तो \(q\sqrt{5}\) अपरिमेय होगा और योग परिमेय नहीं हो सकता। परीक्षा में शून्य गुणांक की संभावना देखें।
A. सांत होगा और अधिकतम (3) दशमलव स्थान होंगे/It will terminate and have at most (3) decimal places
Step 1
Concept
In lowest form, the denominator contains only powers of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
So the decimal expansion is terminating. The number of decimal places can be up to the larger exponent, (3).
Step 3
Exam Tip
In exams, always reduce the fraction first. चरण 1: सरलतम रूप में हर केवल (2) और (5) के घातों से बना है। चरण 2: इसलिए दशमलव प्रसार सांत होगा। दशमलव स्थानों की संख्या (2) और (5) की घातों में बड़ी घात, यानी (3), तक हो सकती है। चरण 3: परीक्षा में पहले भिन्न को सरलतम रूप में लिखना न भूलें।
A rational number has a terminating decimal only when the denominator in lowest form has prime factors only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
Here the denominator also contains (7), so the decimal will not terminate, but since the number is rational, it will repeat.
Step 3
Exam Tip
In exams, always reduce the fraction first and then check the prime factors of the denominator. चरण 1: परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार तभी सांत होता है जब सरलतम रूप में हर के अभाज्य गुणनखंड केवल (2) और (5) हों। चरण 2: यहां हर में (7) भी है, इसलिए दशमलव प्रसार सांत नहीं होगा, पर परिमेय संख्या होने के कारण वह आवर्ती होगा। चरण 3: परीक्षा में पहले भिन्न को सरलतम रूप में जांचें, फिर हर के अभाज्य गुणनखंड देखें।
The reduced denominator contains (11), so the decimal will not terminate.
Step 3
Exam Tip
Since it is a rational fraction, it gives a non-terminating recurring decimal. चरण 1: \(22=2\times11\) है। चरण 2: सरलतम हर में (11) बचता है, इसलिए दशमलव समाप्त नहीं होगा। चरण 3: परिमेय भिन्न होने के कारण यह असमाप्त आवर्ती दशमलव देगी।
It contains only the prime factor (2), so the decimal expansion terminates.
Step 3
Exam Tip
In exams, always factorise the denominator first. चरण 1: सरलतम रूप में हर \(8=2^3\) है। चरण 2: हर में केवल (2) का गुणनखंड है, इसलिए दशमलव प्रसार समाप्त होगा। चरण 3: परीक्षा में पहले हर का अभाज्य गुणनखंडन अवश्य देखिए।
The denominator has only the prime factor (2), so the decimal expansion terminates.
Step 3
Exam Tip
In exams, first check the prime factors of the simplified denominator. चरण 1: \(8=2^3\) है। चरण 2: भाजक में केवल (2) का गुणनखंड है, इसलिए दशमलव विस्तार समाप्त होगा। चरण 3: परीक्षा में पहले भिन्न को सरल रूप में देखकर भाजक के गुणनखंड जांचें।
\(0.04\overline{6}\) has a fixed repeating digit, so it is rational but not terminating. A decimal is terminating only when zeros continue after some point.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(0.04\overline{6}\). \(0.04\overline{6}\) has a fixed repeating digit, so it is rational but not terminating. A decimal is terminating only when zeros continue after some point.
Step 3
Exam Tip
\(0.04\overline{6}\) में स्थिर आवर्ती अंक है इसलिए यह परिमेय है पर सांत नहीं है। अंत में केवल शून्य आने पर ही सांत दशमलव माना जाता है।
In \(0.58\overline{23}\), the block (23) repeats regularly, so it is rational. A fixed repeating block is a strong sign of rationality.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(0.58\overline{23}\). In \(0.58\overline{23}\), the block (23) repeats regularly, so it is rational. A fixed repeating block is a strong sign of rationality.
Step 3
Exam Tip
\(0.58\overline{23}\) में (23) स्थिर रूप से दोहरता है, इसलिए यह परिमेय है। स्थिर आवर्ती खंड परिमेयता का मजबूत संकेत है।
\(0.\overline{625}\) is a fixed recurring decimal, so it is rational but not terminating. A decimal is terminating only when zeros continue after some point.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(0.\overline{625}\). \(0.\overline{625}\) is a fixed recurring decimal, so it is rational but not terminating. A decimal is terminating only when zeros continue after some point.
Step 3
Exam Tip
\(0.\overline{625}\) स्थिर आवर्ती दशमलव है, इसलिए परिमेय है पर सांत नहीं है। अंत में केवल शून्य होने पर ही दशमलव सांत माना जाता है।
\(0.\overline{018}\) has a repeating block, so it is rational.
Step 2
Why this answer is correct
It does not end, so it is not a terminating decimal. The other options are either terminating or irrational.
Step 3
Exam Tip
Recurring decimals are rational. चरण 1: \(0.\overline{018}\) में अंकों की पुनरावृत्ति है, इसलिए यह परिमेय है। चरण 2: यह समाप्त नहीं होता, इसलिए सांत दशमलव नहीं है। बाकी सांत हैं या अपरिमेय हैं। चरण 3: आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं।
A rational number has either a terminating decimal or a non-terminating recurring decimal.
Step 2
Why this answer is correct
\(2.01001000100001\ldots\) has no fixed repeating block. So it cannot be rational.
Step 3
Exam Tip
Decide by checking repetition, not merely by seeing a long decimal. चरण 1: परिमेय संख्या का दशमलव या तो सांत होता है या असांत आवर्ती। चरण 2: \(2.01001000100001\ldots\) में कोई स्थिर आवर्ती खंड नहीं है। इसलिए यह परिमेय नहीं हो सकता। चरण 3: लंबा दशमलव देखकर नहीं, पुनरावृत्ति देखकर निर्णय लें।
\(0.\overline{25}\) has a repeating block, so it is rational.
Step 2
Why this answer is correct
It is not terminating because the decimal does not end. \(\sqrt{2}\) and \(\pi\) are irrational.
Step 3
Exam Tip
Rational numbers can be terminating or non-terminating recurring. चरण 1: \(0.\overline{25}\) में अंकों की पुनरावृत्ति है, इसलिए यह परिमेय है। चरण 2: यह सांत नहीं है क्योंकि दशमलव कभी समाप्त नहीं होता। \(\sqrt{2}\) और \(\pi\) अपरिमेय हैं। चरण 3: परिमेय संख्या सांत या असांत आवर्ती दोनों हो सकती है।
\(\frac{27}{99}=\frac{3}{11}\), so the reduced denominator is (11).
Step 3
Exam Tip
First form a denominator with (9)'s according to the repeating block, then reduce. चरण 1: \(0.\overline{27}=\frac{27}{99}\) है। चरण 2: \(\frac{27}{99}=\frac{3}{11}\), इसलिए सरलतम हर (11) है। चरण 3: आवर्ती अंकों की संख्या के अनुसार पहले (9) वाला हर बनाइए, फिर सरल कीजिए।
A rational number can be written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
Its decimal expansion either terminates or has a fixed repetition.
Step 3
Exam Tip
A non-terminating non-recurring decimal is not rational. चरण 1: परिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जा सकता है। चरण 2: इसका दशमलव या तो समाप्त होता है या निश्चित दोहराव देता है। चरण 3: असमाप्त अनावर्ती दशमलव परिमेय संख्या का नहीं होता।
(4.125) has a finite number of digits after the decimal point.
Step 2
Why this answer is correct
Every terminating decimal can be written as a fraction, so it is rational.
Step 3
Exam Tip
Identifying a terminating decimal is an easy way to identify rationality. चरण 1: (4.125) में दशमलव के बाद सीमित अंक हैं। चरण 2: हर समाप्त दशमलव को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए यह परिमेय है। चरण 3: समाप्त दशमलव पहचानना परिमेयता की आसान पहचान है।
A rational number has either a terminating decimal or a non-terminating recurring decimal.
Step 2
Why this answer is correct
So if it does not terminate, some digit or block will repeat.
Step 3
Exam Tip
Do not call a rational number non-terminating non-recurring. चरण 1: परिमेय संख्या का दशमलव या तो समाप्त होता है या असमाप्त आवर्ती होता है। चरण 2: इसलिए यदि वह समाप्त नहीं है, तो उसमें कोई अंक या समूह दोहराएगा। चरण 3: परिमेय संख्या को असमाप्त अनावर्ती नहीं मानना चाहिए।
The negative sign does not change the type of decimal expansion.
Step 2
Why this answer is correct
\(28=2^2\times7\), so the factor (7) makes the decimal non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
Check the denominator in lowest form, not the sign. चरण 1: ऋण चिह्न दशमलव के प्रकार को नहीं बदलता। चरण 2: \(28=2^2\times7\), इसलिए भाजक में (7) होने से दशमलव असमाप्त आवर्ती होगा। चरण 3: चिन्ह नहीं, सरल रूप का भाजक देखें।
A recurring decimal is rational, but it is not terminating.
Step 3
Exam Tip
A non-terminating rational decimal always has a fixed repeat. चरण 1: \(0.\overline{12}\) में (12) बार-बार दोहरता है। चरण 2: आवर्ती दशमलव परिमेय होता है, लेकिन यह समाप्त नहीं है। चरण 3: परिमेय असमाप्त दशमलव में निश्चित आवृत्ति जरूर होती है।
The negative sign in \(-\frac{17}{200}\) only makes the value negative.
Step 2
Why this answer is correct
Since \(200=2^3\times5^2\), the denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
To decide the decimal type, check the denominator in lowest form, not the negative sign. चरण 1: \(-\frac{17}{200}\) में ऋण चिह्न केवल मान को ऋणात्मक बनाता है। चरण 2: \(200=2^3\times5^2\) है, इसलिए भाजक में केवल (2) और (5) हैं और दशमलव समाप्त होगा। चरण 3: प्रकार तय करते समय ऋण चिह्न को नहीं, सरल रूप के भाजक को देखें।
A. जब (a) को दो पूर्ण वर्गों के अनुपात के रूप में लिखा जा सके/When (a) can be written as a ratio of two perfect squares
Step 1
Concept
The square root of a rational fraction is rational when both numerator and denominator can be perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}\), so a ratio of two perfect squares is a safe condition.
Step 3
Exam Tip
Being positive or less than (1) does not guarantee a rational square root. चरण 1: किसी परिमेय भिन्न का वर्गमूल परिमेय तब होता है जब अंश और हर दोनों पूर्ण वर्ग बन सकें। चरण 2: जैसे \(\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}\), इसलिए दो पूर्ण वर्गों का अनुपात सुरक्षित स्थिति है। चरण 3: केवल धनात्मक या (1) से छोटा होना परिमेय वर्गमूल की गारंटी नहीं देता।
Adding a rational number cannot make an irrational number rational.
Step 2
Why this answer is correct
If (r+s) were rational, then (s=(r+s)-r) would be rational, which is a contradiction.
Step 3
Exam Tip
Such rules can also be checked by reverse reasoning. चरण 1: परिमेय संख्या जोड़ने से अपरिमेय संख्या परिमेय नहीं बनती। चरण 2: यदि (r+s) परिमेय मान लें, तो (s=(r+s)-r) परिमेय हो जाएगा, जो गलत है। चरण 3: ऐसे नियमों को उलटा सोचकर भी जांच सकते हैं।
(9) is a perfect square and \(\sqrt{9}=3\), so it is rational.
Step 3
Exam Tip
In square root questions, first check whether the number inside is a perfect square. चरण 1: पूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय संख्या होता है। चरण 2: (9) पूर्ण वर्ग है और \(\sqrt{9}=3\), इसलिए यह परिमेय है। चरण 3: वर्गमूल वाले प्रश्न में पहले देखें कि अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं।
B. यह सांत दशमलव के बराबर है/It is equal to a terminating decimal
Step 1
Concept
In \(5.27000\ldots\), only zeros occur after a point.
Step 2
Why this answer is correct
So it equals (5.27) and is a terminating decimal.
Step 3
Exam Tip
Continuing zeros at the end still represent a terminating value. चरण 1: \(5.27000\ldots\) में कुछ स्थानों के बाद केवल शून्य आते हैं। चरण 2: इसलिए यह (5.27) के बराबर है और सांत दशमलव है। चरण 3: अंत में शून्य चलते रहें तो भी मान सांत ही माना जाता है।
In \(0.135135135\ldots\), the block (135) repeats.
Step 2
Why this answer is correct
A recurring decimal is rational, but it does not terminate.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: If a non-terminating decimal has a regular repeated block, treat it as rational. चरण 1: \(0.135135135\ldots\) में (135) का समूह बार-बार आ रहा है। चरण 2: आवर्ती दशमलव परिमेय होता है, लेकिन यह समाप्त नहीं होता। चरण 3: परीक्षा सुझाव: असमाप्त दशमलव में नियमित दोहराव हो तो उसे परिमेय मानें।
A rational number has a decimal that either terminates or recurs.
Step 2
Why this answer is correct
Non-terminating non-recurring decimal expansion is not possible for a rational number.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: This difference helps identify rational and irrational numbers. चरण 1: परिमेय संख्या का दशमलव समाप्त या आवर्ती होता है। चरण 2: असमाप्त अनावर्ती दशमलव परिमेय संख्या के लिए संभव नहीं है। चरण 3: परीक्षा सुझाव: यह अंतर परिमेय और अपरिमेय संख्या को पहचानने में मदद करता है।
Exam tip: Do not only see that a decimal is long; check whether a fixed pattern repeats. चरण 1: \(0.727272\ldots\) में (72) का समूह बार-बार आ रहा है। चरण 2: बार-बार आने वाला दशमलव परिमेय होता है। चरण 3: परीक्षा सुझाव: केवल लंबा दशमलव नहीं, दोहराव का नियम पहचानें।
A. या तो समाप्त या असमाप्त आवर्ती/Either terminating or non-terminating recurring
Step 1
Concept
A rational number can be written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
Its decimal either terminates or repeats a block of digits.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: Non-terminating non-recurring decimals are linked with irrational numbers. चरण 1: परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखी जा सकती है। चरण 2: इसका दशमलव या तो समाप्त होता है या कोई अंक समूह बार-बार आता है। चरण 3: परीक्षा सुझाव: असमाप्त अनावर्ती दशमलव अपरिमेय संख्या से जुड़ा होता है।
\(9=3^2\), so the reduced denominator contains the prime factor (3).
Step 2
Why this answer is correct
If a reduced denominator has a prime other than (2) and (5), the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
Break composite factors into primes first. चरण 1: \(9=3^2\), इसलिए सरलतम हर में (3) का गुणनखंड है। चरण 2: हर में (2) और (5) के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड हो तो दशमलव असांत आवर्ती होता है। चरण 3: संयुक्त संख्याओं को पहले अभाज्य रूप में तोड़ें।
C. हर में (2) और (5) के अलावा कम से कम एक अभाज्य गुणनखंड होगा/The denominator has at least one prime factor other than (2) and (5)
Step 1
Concept
A non-terminating decimal of a rational number is recurring.
Step 2
Why this answer is correct
This happens when the reduced denominator has at least one prime factor other than (2) and (5). So option (C) is correct.
Step 3
Exam Tip
(2) or (5) may also be present, but some other prime must remain. चरण 1: परिमेय संख्या का असांत दशमलव आवर्ती होता है। चरण 2: ऐसा तब होता है जब सरलतम हर में (2) और (5) के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड बचता है। इसलिए विकल्प (C) सही है। चरण 3: (2) या (5) साथ में हो सकते हैं, पर कोई अन्य गुणनखंड भी होगा।
For a purely recurring decimal, before reducing, the denominator has the same number of (9)'s. So it is (999999).
Step 3
Exam Tip
The number of repeating digits tells the number of (9)'s. चरण 1: आवर्ती भाग (142857) में (6) अंक हैं। चरण 2: पूर्ण आवर्ती दशमलव के लिए सरल करने से पहले हर में उतने ही (9) लिखे जाते हैं। इसलिए हर (999999) होगा। चरण 3: आवर्ती अंकों की संख्या सीधे (9) की संख्या बताती है।
The reduced denominator has only powers of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
The number of decimal places equals the larger exponent. Since (r>s), the larger exponent is (r).
Step 3
Exam Tip
Remember (\max(r,s)) for decimal places. चरण 1: सरलतम हर केवल (2) और (5) की घातों से बना है। चरण 2: दशमलव स्थानों की संख्या बड़ी घात के बराबर होती है। (r>s) होने पर बड़ी घात (r) है। चरण 3: दशमलव स्थान के लिए हमेशा (\max(r,s)) याद रखें।
Then \(100x=12.333\ldots\) and \(1000x=123.333\ldots\). Subtracting gives (900x=111), so \(x=\frac{111}{900}=\frac{37}{300}\).
Step 3
Exam Tip
Separate the non-repeating and repeating parts before multiplying. चरण 1: मान लें \(x=0.12333\ldots\)। चरण 2: \(100x=12.333\ldots\) और \(1000x=123.333\ldots\)। घटाने पर (900x=111), इसलिए \(x=\frac{111}{900}=\frac{37}{300}\)। चरण 3: सांत और आवर्ती भाग अलग-अलग देखकर गुणा करें।
A. ठीक (4) दशमलव स्थानों पर समाप्त होगा/It terminates exactly after (4) decimal places
Step 1
Concept
\(2^4\cdot 5^4=10^4\).
Step 2
Why this answer is correct
A reduced denominator of \(10^4\) gives a decimal terminating after (4) places. The numerator condition assures no hidden further reduction.
Step 3
Exam Tip
If the reduced denominator is \(10^k\), think of (k) decimal places. चरण 1: \(2^4\cdot 5^4=10^4\) है। चरण 2: सरलतम हर \(10^4\) होने से दशमलव (4) स्थानों पर समाप्त होगा। अंश (10) से विभाज्य नहीं होने की बात यह भरोसा देती है कि आगे और सरलता नहीं छिपी है। चरण 3: सरलतम हर \(10^k\) हो तो (k) दशमलव स्थान सोचें।
C. सरलतम हर (625) है/The reduced denominator is (625)
Step 1
Concept
\(0.00048=\frac{48}{100000}\).
Step 2
Why this answer is correct
Reducing gives \(\frac{48}{100000}=\frac{3}{625}\), and \(625=5^4\).
Step 3
Exam Tip
The number of decimal digits does not always give the final denominator; reduce first. चरण 1: \(0.00048=\frac{48}{100000}\) है। चरण 2: सरल करने पर \(\frac{48}{100000}=\frac{3}{625}\), और \(625=5^4\) है। चरण 3: दशमलव अंकों की संख्या सीधे अंतिम हर नहीं बताती; पहले भिन्न को सरल करें।
(0.75) is terminating, while \(0.\overline{3}\) and \(5.2\overline{4}\) are recurring.
Step 2
Why this answer is correct
\(2.10110111011110\ldots\) has no fixed repetition.
Step 3
Exam Tip
A non-terminating non-recurring decimal does not represent a rational number. चरण 1: (0.75) समाप्त दशमलव है और \(0.\overline{3}\), \(5.2\overline{4}\) आवर्ती हैं। चरण 2: \(2.10110111011110\ldots\) में निश्चित दोहराव नहीं दिखता। चरण 3: असमाप्त अनावर्ती दशमलव परिमेय संख्या नहीं दर्शाता।
B. असमाप्त आवर्ती होगा/It will be non-terminating recurring
Step 1
Concept
\(45=3^2\times5\).
Step 2
Why this answer is correct
The denominator also has (3), so it is not made only of (2) and (5).
Step 3
Exam Tip
If any other prime remains in the reduced denominator, the decimal expansion is non-terminating recurring. चरण 1: \(45=3^2\times5\) है। चरण 2: हर में (3) भी है, इसलिए यह (2) और (5) तक सीमित नहीं है। चरण 3: सहअभाज्य रूप में हर में अन्य अभाज्य आने पर दशमलव असमाप्त आवर्ती होता है।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं, और कारण कथन को समझाता है/Both assertion and reason are true, and the reason explains the assertion
Step 1
Concept
In a recurring decimal, a fixed block of digits repeats.
Step 2
Why this answer is correct
Such a decimal can be converted into a fraction \(\frac{p}{q}\), so it is rational.
Step 3
Exam Tip
In assertion-reason questions, check whether the reason supports the assertion. चरण 1: आवर्ती दशमलव में अंकों का निश्चित समूह दोहरता है। चरण 2: ऐसे दशमलव को भिन्न \(\frac{p}{q}\) में बदला जा सकता है, इसलिए वह परिमेय है। चरण 3: कारण-प्रकार प्रश्नों में कारण का संबंध कथन से जरूर जांचें।
For three decimal places, start with denominator (1000). चरण 1: \(0.125=\frac{125}{1000}\) है। चरण 2: सरल करने पर \(\frac{125}{1000}=\frac{1}{8}\) मिलता है। चरण 3: तीन दशमलव स्थान हों तो पहले (1000) भाजक लें।
For a terminating decimal, the denominator must be made only from (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
So its form is \(2^m5^n\).
Step 3
Exam Tip
(m) or (n) may be zero, so only (2) or only (5) is also allowed. चरण 1: समाप्त दशमलव के लिए भाजक केवल (2) और (5) से बनना चाहिए। चरण 2: इसलिए उसका रूप \(2^m5^n\) होता है। चरण 3: (m) या (n) शून्य भी हो सकते हैं, इसलिए केवल (2) या केवल (5) भी चलेगा।
The decimal expansion of a rational number is either terminating or non-terminating recurring.
Step 2
Why this answer is correct
\(0.10100100010000\ldots\) has no fixed repeating block, so it is not rational.
Step 3
Exam Tip
Learn to distinguish recurring from non-recurring decimals. चरण 1: परिमेय संख्या का दशमलव या तो समाप्त होता है या असमाप्त आवर्ती होता है। चरण 2: \(0.10100100010000\ldots\) में कोई स्थायी आवृत्ति नहीं है, इसलिए यह परिमेय नहीं है। चरण 3: आवर्ती और अनावर्ती में अंतर पहचानना जरूरी है।
Write terminating decimals with denominators like (10,100,1000) first. चरण 1: \(0.75=\frac{75}{100}\) है। चरण 2: सरल करने पर \(\frac{75}{100}=\frac{3}{4}\) मिलता है। चरण 3: समाप्त दशमलव को पहले (10,100,1000) जैसे भाजक में लिखें।
\(\sqrt{12}\times\sqrt{3}=\sqrt{36}=6\). The product of two irrational numbers is not always irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{12}\times\sqrt{3}\). \(\sqrt{12}\times\sqrt{3}=\sqrt{36}=6\). The product of two irrational numbers is not always irrational.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{12}\times\sqrt{3}=\sqrt{36}=6\) है। दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय नहीं होता।
All numbers in the first set can be written in \(\frac{p}{q}\) form. The other sets contain an irrational number.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \({2,-5,0.4,\frac{7}{8}}\). All numbers in the first set can be written in \(\frac{p}{q}\) form. The other sets contain an irrational number.
Step 3
Exam Tip
पहले समूह की सभी संख्याएँ \(\frac{p}{q}\) रूप में लिखी जा सकती हैं। बाकी समूहों में अपरिमेय संख्या है।
Integers and terminating decimals are rational. Options containing irrational roots or \(\pi\) are not only rational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (4), (-2), (0.75). Integers and terminating decimals are rational. Options containing irrational roots or \(\pi\) are not only rational.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक और सांत दशमलव परिमेय होते हैं। जिन विकल्पों में अपरिमेय जड़ या \(\pi\) है वे केवल परिमेय नहीं हैं।
\(\sqrt{17}\) and \(\sqrt{17}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their difference is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
The difference of equal irrational terms can be rational. चरण 1: \(\sqrt{17}\) और \(\sqrt{17}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका अंतर (0) है, जो परिमेय है। चरण 3: समान अपरिमेय पदों का अंतर परिमेय हो सकता है।
\(\sqrt{11}\) and \(-\sqrt{11}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Opposite irrational terms can give a rational sum. चरण 1: \(\sqrt{11}\) और \(-\sqrt{11}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग (0) है, जो परिमेय है। चरण 3: विपरीत अपरिमेय पदों का योग परिमेय हो सकता है।
Terminating decimals, fractions, and recurring decimals are rational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{63}=3\sqrt{7}\), and \(\sqrt{7}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Simplifying the square-root option is a good way to check it. चरण 1: समाप्त दशमलव, भिन्न और आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। चरण 2: \(\sqrt{63}=3\sqrt{7}\), और \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल वाले विकल्प को सरल करके जांचना अच्छा तरीका है।
\(\sqrt{7}\) and \(\sqrt{7}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their difference is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
The difference of equal irrational terms can be rational. चरण 1: \(\sqrt{7}\) और \(\sqrt{7}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका अंतर (0) है, जो परिमेय है। चरण 3: समान अपरिमेय पदों का अंतर परिमेय हो सकता है।
\(\sqrt{5}\) and \(-\sqrt{5}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Opposite irrational terms can give a rational sum. चरण 1: \(\sqrt{5}\) और \(-\sqrt{5}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग (0) है, जो परिमेय है। चरण 3: विपरीत अपरिमेय पदों का योग परिमेय हो सकता है।
Terminating decimals, fractions, and recurring decimals are rational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Simplify the square root to identify its nature. चरण 1: समाप्त दशमलव, भिन्न और आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। चरण 2: \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल को सरल करके उसकी प्रकृति पहचानें।
\(\sqrt{5}\) and \(\sqrt{5}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their difference is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
The difference of equal irrational terms can be rational. चरण 1: \(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{5}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका अंतर (0) है, जो परिमेय है। चरण 3: समान अपरिमेय पदों का अंतर परिमेय परिणाम दे सकता है।
\(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Opposite irrational numbers can give a rational sum. चरण 1: \(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग (0) है, जो परिमेय संख्या है। चरण 3: विपरीत अपरिमेय संख्याएँ जोड़ने पर परिमेय परिणाम आ सकता है।
The product of two irrational numbers is not always irrational. चरण 1: \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\), जो परिमेय है। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय नहीं होता।
The product of two irrational numbers is not always irrational. चरण 1: \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(\sqrt{3}\times\sqrt{3}=3\), जो परिमेय है। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय नहीं होता।
A. परिमेय संख्या का वर्गमूल तभी परिमेय होना जरूरी है जब वह उपयुक्त पूर्ण वर्ग रूप में हो/The square root of a rational number is necessarily rational only when it is in a suitable perfect-square form
Step 1
Concept
(5) is rational, but it is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
If it is not a perfect square, its square root need not be rational.
Step 3
Exam Tip
The proof of \(\sqrt{5}\) shows it is actually irrational. चरण 1: (5) परिमेय है, लेकिन पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: पूर्ण वर्ग न होने से उसका वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं। चरण 3: \(\sqrt{5}\) की सिद्धि बताती है कि वह वास्तव में अपरिमेय है।
A. परिमेय संख्या का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होता/The square root of a rational number is not always rational
Step 1
Concept
(5) is rational but not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
The square root of a non-perfect square need not be rational, and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Check a number and its square root separately. चरण 1: (5) परिमेय है लेकिन पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: अपूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: संख्या और उसके वर्गमूल का प्रकार अलग-अलग जांचें।
A. किसी परिमेय संख्या का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होता/The square root of a rational number is not always rational
Step 1
Concept
(5) is rational, but it is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
The square root of a non-perfect square need not be rational, and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Check a number and its square root separately. चरण 1: (5) परिमेय है, लेकिन वह पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: पूर्ण वर्ग न होने पर उसका वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: संख्या और उसके वर्गमूल के प्रकार को अलग-अलग जांचें।
A. \(\sqrt{2}\) और \(3\sqrt{2}\)/\(\sqrt{2}\) and \(3\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}=6\), which is rational. In exams remember counterexamples for products of irrational numbers.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}\) और \(3\sqrt{2}\) / \(\sqrt{2}\) and \(3\sqrt{2}\). \(\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}=6\), which is rational. In exams remember counterexamples for products of irrational numbers.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}=6\), जो परिमेय है। परीक्षा में अपरिमेय संख्याओं के गुणनफल के लिए प्रतिउदाहरण याद रखें।
The reduced denominator has (11) along with (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
Such a rational number has a non-terminating recurring decimal. Non-terminating non-recurring decimals are linked with irrational numbers.
Step 3
Exam Tip
A rational non-terminating decimal is always recurring. चरण 1: सरलतम हर में (2) और (5) के अलावा (11) भी है। चरण 2: ऐसी परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होता है। असांत अनावर्ती रूप अपरिमेय संख्याओं से जुड़ा होता है। चरण 3: परिमेय संख्या का असांत दशमलव हमेशा आवर्ती होता है।
A terminating decimal can be converted into a fraction with denominator (10), (100), (1000), and so on.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, it can be written as \(\frac{p}{q}\), so it is rational.
Step 3
Exam Tip
Do not mistake terminating decimals for irrational numbers. चरण 1: समाप्त दशमलव को (10), (100), (1000) जैसे भाजक वाली भिन्न में बदला जा सकता है। चरण 2: इसलिए वह \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जाता है और परिमेय होता है। चरण 3: समाप्त दशमलव को अपरिमेय समझना सामान्य भूल है।
B. यह असमाप्त आवर्ती होगा/It will be non-terminating recurring
Step 1
Concept
\(45=3^2\times5\).
Step 2
Why this answer is correct
The factor (3) stops termination, but the number is rational, so the decimal repeats.
Step 3
Exam Tip
A non-terminating decimal of a rational number is recurring. चरण 1: \(45=3^2\times5\) है। चरण 2: भाजक में (3) होने से दशमलव समाप्त नहीं होगा, लेकिन परिमेय संख्या होने के कारण आवर्ती होगा। चरण 3: परिमेय संख्या का असमाप्त दशमलव हमेशा आवर्ती होता है।
B. \(\sqrt{12}\) और \(\sqrt{3}\)/\(\sqrt{12}\) and \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{3}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\sqrt{4}=2\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
In quotients, check whether the value inside the root becomes a perfect square. चरण 1: \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) और \(\sqrt{3}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: \(\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\sqrt{4}=2\), जो परिमेय है। चरण 3: भागफल में मूल के अंदर का भाग पूर्ण वर्ग बन रहा है या नहीं, यह देखें।
C. परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखी जा सकती है, जहाँ \(q\neq0\)/Rational numbers can be written as \(\frac{p}{q}\), where \(q\neq0\)
Step 1
Concept
A rational number can be written as \(\frac{p}{q}\), where (p,q) are integers and \(q\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
An irrational number cannot be written in that form.
Step 3
Exam Tip
In definition questions, always check the condition \(q\neq0\). चरण 1: परिमेय संख्या वह है जिसे \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जा सके, जहाँ (p,q) पूर्णांक और \(q\neq0\) हों। चरण 2: अपरिमेय संख्या ऐसे रूप में नहीं लिखी जा सकती। चरण 3: परिभाषा के प्रश्न में \(q\neq0\) अवश्य देखें।
The rational square root of a positive integer is an integer only when it is a perfect square. In exams identifying perfect squares is important.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (m) पूर्ण वर्ग है / (m) is a perfect square. The rational square root of a positive integer is an integer only when it is a perfect square. In exams identifying perfect squares is important.
Step 3
Exam Tip
धनात्मक पूर्णांक का परिमेय वर्गमूल तभी पूर्णांक होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। परीक्षा में पूर्ण वर्ग पहचानना जरूरी है।
(4) is rational and \(\sqrt{13}\) is irrational, so the sum is irrational. In exams identify square roots of perfect squares first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(4+\sqrt{13}\). (4) is rational and \(\sqrt{13}\) is irrational, so the sum is irrational. In exams identify square roots of perfect squares first.
Step 3
Exam Tip
(4) परिमेय है और \(\sqrt{13}\) अपरिमेय है, इसलिए योग अपरिमेय है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग के वर्गमूल को पहले पहचानें।
For a positive integer (m), \(\sqrt{m}\) is rational only when (m) is a perfect square. Identifying perfect squares is important in exams.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (m) पूर्ण वर्ग है / (m) is a perfect square. For a positive integer (m), \(\sqrt{m}\) is rational only when (m) is a perfect square. Identifying perfect squares is important in exams.
Step 3
Exam Tip
धनात्मक पूर्णांक (m) के लिए \(\sqrt{m}\) परिमेय तभी होगा जब (m) पूर्ण वर्ग हो। परीक्षा में पूर्ण वर्ग पहचानना जरूरी है।
A. जिसे \(\frac{p}{q}\) रूप में लिखा जा सके जहाँ \(q\neq0\)/It can be written as \(\frac{p}{q}\) where \(q\neq0\)
Step 1
Concept
A rational number is written as a ratio of two integers. Always remember \(q\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. जिसे \(\frac{p}{q}\) रूप में लिखा जा सके जहाँ \(q\neq0\) / It can be written as \(\frac{p}{q}\) where \(q\neq0\). A rational number is written as a ratio of two integers. Always remember \(q\neq0\).
Step 3
Exam Tip
परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखी जाती है। हर बार \(q\neq0\) याद रखें।
A fixed recurring decimal can always be written as a rational number.
Step 3
Exam Tip
Identify rationality when a repeating block is fixed. चरण 1: (357) खंड बार-बार समान रूप से दोहर रहा है। चरण 2: स्थिर आवर्ती दशमलव हमेशा परिमेय संख्या के रूप में लिखा जा सकता है। चरण 3: आवर्ती खंड देखकर तुरंत परिमेयता पहचानें।
B. परिमेय और असांत आवर्ती/Rational and non-terminating recurring
Step 1
Concept
The digit (6) repeats, so the decimal is recurring.
Step 2
Why this answer is correct
Every recurring decimal is rational, but this one does not terminate. Hence it is rational and non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
A bar over digits shows the repeating part. चरण 1: दशमलव में (6) बार-बार आ रहा है, इसलिए यह आवर्ती है। चरण 2: हर आवर्ती दशमलव परिमेय होता है, लेकिन यह समाप्त नहीं होता। इसलिए यह परिमेय और असांत आवर्ती है। चरण 3: रेखा लगे अंक आवर्ती भाग को दिखाते हैं।
B. परिमेय और असांत आवर्ती/Rational and non-terminating recurring
Step 1
Concept
The block (36) repeats in the decimal.
Step 2
Why this answer is correct
A recurring decimal is always rational, but it is not terminating. So it is rational and non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
When a repeating block appears, identify the number as rational. चरण 1: दशमलव में (36) बार-बार आ रहा है। चरण 2: आवर्ती दशमलव हमेशा परिमेय होता है, लेकिन यह सांत नहीं है। इसलिए यह परिमेय और असांत आवर्ती है। चरण 3: आवर्ती खंड दिखते ही परिमेयता पहचानें।
B. यह परिमेय है और सांत दशमलव है/It is rational and terminating
Step 1
Concept
In \(0.125000\ldots\), only zeros occur after a point.
Step 2
Why this answer is correct
So it is a terminating decimal and equals \(\frac{125}{1000}=\frac{1}{8}\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Trailing zeros do not make a decimal non-terminating. चरण 1: \(0.125000\ldots\) में कुछ स्थानों के बाद केवल शून्य आते हैं। चरण 2: इसलिए यह सांत दशमलव है और \(\frac{125}{1000}=\frac{1}{8}\) के रूप में परिमेय है। चरण 3: अंत में लिखे शून्य दशमलव को असांत नहीं बनाते।
This equals \(\frac{1}{15}\), since \(\frac{1}{15}=0.0666\ldots\). Hence (q=15).
Step 3
Exam Tip
The initial zero shows that the recurring part starts after a delay. चरण 1: \(0.0\overline{6}=0.0666\ldots\) है। चरण 2: यह \(\frac{1}{15}\) के बराबर है क्योंकि \(\frac{1}{15}=0.0666\ldots\)। इसलिए (q=15)। चरण 3: प्रारंभ में आने वाला शून्य आवर्ती भाग शुरू होने में देरी दिखाता है।
B. यह परिमेय संख्या को दर्शा सकता है/It can represent a rational number
Step 1
Concept
A non-terminating recurring decimal has a fixed block repeating.
Step 2
Why this answer is correct
Such a decimal can be written as \(\frac{p}{q}\).
Step 3
Exam Tip
So treating it as irrational is a mistake. चरण 1: असमाप्त आवर्ती दशमलव में कोई निश्चित खंड बार-बार आता है। चरण 2: ऐसा दशमलव \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जा सकता है। चरण 3: इसलिए इसे अपरिमेय समझना गलती है।
C. हर असमाप्त अनावर्ती दशमलव परिमेय होता है/Every non-terminating non-recurring decimal is rational
Step 1
Concept
Terminating and non-terminating recurring decimals are rational.
Step 2
Why this answer is correct
A non-terminating non-recurring decimal is not rational; it is irrational.
Step 3
Exam Tip
Read the words recurring and non-recurring carefully in statement questions. चरण 1: समाप्त और असमाप्त आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। चरण 2: असमाप्त अनावर्ती दशमलव परिमेय नहीं, बल्कि अपरिमेय होता है। चरण 3: कथनों में आवर्ती और अनावर्ती शब्दों को ध्यान से पढ़ें।
The repeating block is (45), so \(0.\overline{45}=\frac{45}{99}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{45}{99}=\frac{5}{11}\).
Step 3
Exam Tip
Write as many (9)s in the denominator as the number of repeating digits. चरण 1: दोहराने वाला भाग (45) है, इसलिए \(0.\overline{45}=\frac{45}{99}\) है। चरण 2: \(\frac{45}{99}=\frac{5}{11}\) है। चरण 3: आवर्ती भाग के अंकों की संख्या के बराबर (9) हर में लिखें।
The repeating block is (18), so \(0.\overline{18}=\frac{18}{99}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{18}{99}=\frac{2}{11}\).
Step 3
Exam Tip
The number of (9)s in the denominator equals the number of repeating digits. चरण 1: दोहराने वाला भाग (18) है, इसलिए \(0.\overline{18}=\frac{18}{99}\) होगा। चरण 2: \(\frac{18}{99}=\frac{2}{11}\) है। चरण 3: जितने अंक दोहरते हैं, हर में उतने ही (9) लिखे जाते हैं।
B. असमाप्त आवर्ती होगा क्योंकि सरलतम हर (7) है/It will be non-terminating recurring because the reduced denominator is (7)
Step 1
Concept
\(\frac{18}{42}=\frac{3}{7}\).
Step 2
Why this answer is correct
The reduced denominator is (7), which is neither (2) nor (5).
Step 3
Exam Tip
If another prime remains in the reduced denominator, the decimal is non-terminating recurring. चरण 1: \(\frac{18}{42}=\frac{3}{7}\) है। चरण 2: सरलतम हर (7) है, जो (2) या (5) नहीं है। चरण 3: सरलतम हर में अन्य अभाज्य रहने पर दशमलव असमाप्त आवर्ती होता है।
B. असमाप्त आवर्ती होगा/It will be non-terminating recurring
Step 1
Concept
\(90=2\times3^2\times5\).
Step 2
Why this answer is correct
The fraction is in lowest form and (3) remains in the denominator.
Step 3
Exam Tip
If a reduced denominator has a prime other than (2) and (5), the decimal is non-terminating recurring. चरण 1: \(90=2\times3^2\times5\) है। चरण 2: भिन्न सरलतम रूप में है और हर में (3) बचता है। चरण 3: सरलतम हर में (2) और (5) के अलावा अभाज्य होने पर दशमलव असमाप्त आवर्ती होता है।
B. यह परिमेय संख्या है जिसका दशमलव असमाप्त आवर्ती है/It is a rational number with a non-terminating recurring decimal
Step 1
Concept
In \(0.04\overline{7}\), the digit (7) repeats.
Step 2
Why this answer is correct
The decimal does not terminate, but it has a fixed repeating pattern.
Step 3
Exam Tip
A non-terminating decimal with a fixed repetition represents a rational number. चरण 1: \(0.04\overline{7}\) में (7) बार-बार दोहरता है। चरण 2: ऐसा दशमलव समाप्त नहीं होता, लेकिन इसमें निश्चित दोहराव है। चरण 3: निश्चित दोहराव वाला असमाप्त दशमलव परिमेय संख्या को दर्शाता है।
The repeating block is (27), so \(0.\overline{27}=\frac{27}{99}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{27}{99}=\frac{3}{11}\).
Step 3
Exam Tip
For recurring decimals, the number of (9)s matches the repeating digits. चरण 1: दो अंकों का आवर्ती भाग (27) है, इसलिए \(0.\overline{27}=\frac{27}{99}\) होगा। चरण 2: \(\frac{27}{99}=\frac{3}{11}\) है। चरण 3: आवर्ती दशमलव में दोहरते अंकों के लिए उतने ही (9) हर में आते हैं।
A. (q) में केवल (2) और (5) के गुणनखंड हो सकते हैं/(q) can have only factors (2) and (5)
Step 1
Concept
The terminating decimal rule applies to the denominator in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
Such a denominator has no prime factors other than (2) and (5).
Step 3
Exam Tip
This rule is very useful in direct exam questions. चरण 1: समाप्त दशमलव का नियम सरलतम हर पर लागू होता है। चरण 2: ऐसे हर में (2) और (5) के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं होता। चरण 3: यह नियम सीधे प्रश्नों में बहुत उपयोगी है।
B. परिमेय संख्या जिसका दशमलव असमाप्त आवर्ती है/Rational number with non-terminating recurring decimal
Step 1
Concept
In \(0.\overline{6}\), the digit (6) repeats.
Step 2
Why this answer is correct
A non-terminating repeating decimal represents a rational number.
Step 3
Exam Tip
Do not confuse recurring decimals with irrational numbers. चरण 1: \(0.\overline{6}\) में अंक (6) बार-बार दोहरता है। चरण 2: दोहराव वाला असमाप्त दशमलव परिमेय संख्या होता है। चरण 3: आवर्ती दशमलव को अपरिमेय न समझें।
A. क्योंकि हर में (7) भी है/Because the denominator also contains (7)
Step 1
Concept
\(28=2^2\times7\).
Step 2
Why this answer is correct
The reduced denominator contains (7), which is not (2) or (5).
Step 3
Exam Tip
If another prime factor remains, the decimal is non-terminating recurring. चरण 1: \(28=2^2\times7\) है। चरण 2: सरलतम हर में (7) है, जो (2) या (5) नहीं है। चरण 3: अन्य अभाज्य गुणनखंड रहने पर दशमलव असमाप्त आवर्ती होता है।
