Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
गुणा करने पर \(2x^2+8x-3x-12=0\), इसलिए \(2x^2+5x-12=0\) मिलता है। मध्य पदों को सही जोड़ना परीक्षा में जरूरी है। / Multiplying gives \(2x^2+8x-3x-12=0\), so \(2x^2+5x-12=0\). Adding middle terms correctly is important in exams.
द्विघात होने के लिए \(x^2\) का गुणांक (0) नहीं होना चाहिए। इसलिए \(k+1\neq 0\), अर्थात \(k\neq -1\)। / For a quadratic equation, the coefficient of \(x^2\) must not be (0). Thus \(k+1\neq 0\), so \(k\neq -1\).
यहाँ (a=3), (b=-2), (c=7), इसलिए (a+b+c=8) है। गुणांकों के चिन्ह हमेशा साथ लिखें। / Here (a=3), (b=-2), (c=7), so (a+b+c=8). Always include the signs of coefficients.
सभी पद एक ओर लाकर \(-2x^2+5x-9=0\) मिलता है और (-1) से गुणा करने पर \(2x^2-5x+9=0\) मिलता है। मानक रूप में चिन्ह सावधानी से बदलें। / Bringing all terms to one side gives \(-2x^2+5x-9=0\), and multiplying by (-1) gives \(2x^2-5x+9=0\). Change signs carefully in standard form.
(x=3) रखने पर (9-12+3=0) मिलता है। मूल जांचने के लिए दिए मान को सीधे समीकरण में रखें। / Putting (x=3) gives (9-12+3=0). To check a root, substitute the given value directly.
(x=-2) रखने पर (4-2p-6=0), इसलिए (p=-1) मिलता है। मूल दिया हो तो प्रतिस्थापन करें। / Putting (x=-2) gives (4-2p-6=0), so (p=-1). When a root is given, use substitution.
\(x^2=5x-4\) को \(x^2-5x+4=0\) बनाया जा सकता है, इसलिए यह द्विघात है। मानक रूप में दायां पक्ष (0) होना चाहिए। / \(x^2=5x-4\) can be written as \(x^2-5x+4=0\), so it is quadratic. In standard form, the right side must be (0).
((x-5)2=x-2-10x+25), इसलिए \(x^2-10x+25-16=0\) मिलता है। वर्ग सूत्र लगाते समय मध्य पद न भूलें। / ((x-5)2=x-2-10x+25), so \(x^2-10x+25-16=0\). Do not forget the middle term while using square identities.
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) में मान रखने पर \(2x^2-7x+3=0\) मिलता है। (b) का ऋण चिन्ह साथ रखें। / Substituting in \(ax^2+bx+c=0\) gives \(2x^2-7x+3=0\). Keep the negative sign of (b).
यहाँ \(D=b^2-4ac=4^2-4\cdot4\cdot1=0\) है। विवेचक में (a,b,c) सही पहचानना जरूरी है। / Here \(D=b^2-4ac=4^2-4\cdot4\cdot1=0\). Correctly identifying (a,b,c) is necessary for the discriminant.
A. दो भिन्न वास्तविक मूल होंगे/There will be two distinct real roots
Explanation
Simple Explanation
(D=25>0), इसलिए दो भिन्न वास्तविक मूल होंगे। (D) का चिन्ह मूलों की प्रकृति बताता है। / Since (D=25>0), there will be two distinct real roots. The sign of (D) tells the nature of roots.
यहाँ \(D=6^2-4\cdot1\cdot9=0\), इसलिए मूल समान हैं। (D=0) का अर्थ दो समान वास्तविक मूल होता है। / Here \(D=6^2-4\cdot1\cdot9=0\), so the roots are equal. (D=0) means two equal real roots.
\(D=3^2-4\cdot2\cdot5=9-40=-31\), इसलिए यह ऋणात्मक है। गणना में (4ac) को पूरा निकालें। / \(D=3^2-4\cdot2\cdot5=9-40=-31\), so it is negative. Calculate the full (4ac) term carefully.
मूल (1) और (4) हों तो गुणनखंड ((x-1)) और ((x-4)) होंगे। इनका गुणन \(x^2-5x+4=0\) देता है। / If the roots are (1) and (4), the factors are ((x-1)) and ((x-4)). Their product gives \(x^2-5x+4=0\).
गुणनखंड ((x+2)) और ((x-5)) होंगे, जिनसे \(x^2-3x-10=0\) मिलता है। मूल के विपरीत चिन्ह वाले गुणनखंड बनाएं। / The factors are ((x+2)) and ((x-5)), giving \(x^2-3x-10=0\). Make factors with signs opposite to the roots.
वाक्य से \(x^2+x=42\) बनता है, यानी \(x^2+x-42=0\)। शब्द प्रश्न में पहले बीजीय रूप लिखें। / The sentence gives \(x^2+x=42\), that is \(x^2+x-42=0\). In word problems, write the algebraic form first.
संख्याएँ (x) और (x+1) होंगी, इसलिए (x(x+1)=56)। इससे \(x^2+x-56=0\) मिलता है। / The numbers are (x) and (x+1), so (x(x+1)=56). This gives \(x^2+x-56=0\).
(x-2-8x=x(x-8)), इसलिए मूल (0) और (8) हैं। समान गुणनखंड बाहर निकालना आसान तरीका है। / (x-2-8x=x(x-8)), so the roots are (0) and (8). Taking the common factor is an easy method.
\(9x^2=25\), इसलिए \(x^2=\frac{25}{9}\) और \(x=\pm \frac{5}{3}\)। वर्गमूल लेते समय दोनों चिन्ह लें। / \(9x^2=25\), so \(x^2=\frac{25}{9}\) and \(x=\pm \frac{5}{3}\). Take both signs while taking square roots.
(3) और (4) का गुणनफल (12) और योग (7) है। इसलिए ((x+3)(x+4)=0) सही है। / The product of (3) and (4) is (12), and their sum is (7). Therefore ((x+3)(x+4)=0) is correct.
यहाँ (a=2) और (c=3), इसलिए (ac=6) है। मध्य पद विधि में (ac) महत्वपूर्ण होता है। / Here (a=2) and (c=3), so (ac=6). The product (ac) is important in the splitting middle term method.
\(3x^2-12=0\) में (b=0) और (c=-12) है। अनुपस्थित (x) पद का गुणांक (0) मानें। / In \(3x^2-12=0\), (b=0) and (c=-12). Treat the missing (x) term coefficient as (0).
पूरे समीकरण को (2) से गुणा करने पर \(x^2+6x-10=0\) मिलता है। भिन्न हटाने के लिए हर से गुणा करें। / Multiplying the whole equation by (2) gives \(x^2+6x-10=0\). To remove fractions, multiply by the denominator.
हर (3) हटाने के लिए पूरे समीकरण को (3) से गुणा करें। इससे \(x^2-2x+3=0\) मिलता है। / Multiply the whole equation by (3) to remove the denominator (3). This gives \(x^2-2x+3=0\).
\(x+\frac{1}{x}=2\) में चर हर में है, इसलिए यह सीधे द्विघात मानक रूप में नहीं है। द्विघात बहुपद रूप में ऋणात्मक घात नहीं होती। / In \(x+\frac{1}{x}=2\), the variable is in the denominator, so it is not directly in standard quadratic form. A quadratic polynomial form has no negative power.
(x) के साथ लगा गुणांक \(2\sqrt{3}\) है। करणी वाले गुणांक भी सामान्य गुणांक की तरह लिए जाते हैं। / The coefficient attached to (x) is \(2\sqrt{3}\). Radical coefficients are treated like ordinary coefficients.
मूलों का योग (2+(-3)=-1) है। अलग-अलग चिन्ह वाले पूर्णांकों को जोड़ते समय बड़े परिमाण का चिन्ह लें। / The sum of roots is (2+(-3)=-1). When adding integers with unlike signs, take the sign of the larger magnitude.
मूलों का गुणनफल \(4\cdot6=24\) है। मूलों से समीकरण बनाते समय योग और गुणनफल दोनों उपयोगी होते हैं। / The product of roots is \(4\cdot6=24\). Sum and product are both useful while forming an equation from roots.
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) होता है। इसलिए \(x^2-5x+6=0\) सही है। \(/ A monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Hence (x^2-5x+6=0) is correct.\)
मूलों का योग \(-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{2}=\frac{5}{2}\) है। सूत्र में (b) का चिन्ह ध्यान से रखें। / The sum of roots is \(-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{2}=\frac{5}{2}\). Pay attention to the sign of (b) in the formula.
मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}=\frac{-8}{3}\) है। (c) का चिन्ह सीधे सूत्र में रखें। / The product of roots is \(\frac{c}{a}=\frac{-8}{3}\). Use the sign of (c) directly in the formula.
मूलों का योग \(-\frac{m}{2}=-3\), इसलिए (m=6) है। योग के सूत्र में ऋण चिन्ह पर ध्यान दें। / The sum of roots is \(-\frac{m}{2}=-3\), so (m=6). Notice the negative sign in the sum formula.
मूलों का गुणनफल \(\frac{2}{k}=1\), इसलिए (k=2) है। गुणनफल के सूत्र में (c/a) प्रयोग करें। / The product of roots is \(\frac{2}{k}=1\), so (k=2). Use (c/a) for the product formula.
(x=1) रखने पर \(1+1+1=3\neq 0\) मिलता है। किसी विकल्प में मूल न होने की जांच भी प्रतिस्थापन से करें। / Putting (x=1) gives \(1+1+1=3\neq 0\). To check when a value is not a root, use substitution too.
((x-5)(x+3)=0) से मूल (5) और (-3) मिलते हैं। ऐसे प्रश्नों में गुणनफल और योग दोनों मिलाएं। / From ((x-5)(x+3)=0), the roots are (5) and (-3). Match both product and sum in such questions.
मूलों का योग (8) है और \(x^2+px+16=0\) में योग (-p) होता है। इसलिए (p=-8) है। / The sum of roots is (8), and in \(x^2+px+16=0\) the sum is (-p). Therefore (p=-8).
((x+2)2=x-2+4x+4) है, इसलिए सरल रूप \(x^2+3x-4=0\) है। कोष्ठक खोलते समय हर पद लिखें। / ((x+2)2=x-2+4x+4), so the simplified form is \(x^2+3x-4=0\). Write every term while opening brackets.
बाईं ओर \(x^2+5x-6\) मिलता है, फिर (2x) घटाने पर \(x^2+3x-6=0\) बनता है। पहले फैलाएं फिर सभी पद एक ओर लाएं। / The left side gives \(x^2+5x-6\), and subtracting (2x) gives \(x^2+3x-6=0\). First expand and then bring all terms to one side.
\(4^2-9\cdot4+20=16-36+20=0\) है। यदि बायां पक्ष (0) हो तो दिया मान मूल होता है। / \(4^2-9\cdot4+20=16-36+20=0\). If the left side becomes (0), the given value is a root.
\(x^2-16=0\) से \(x=\pm4\) मिलता है, जो विपरीत संख्याएँ हैं। शुद्ध द्विघात में अक्सर विपरीत मूल मिलते हैं। / \(x^2-16=0\) gives \(x=\pm4\), which are opposite numbers. Pure quadratics often give opposite roots.
समान मूलों के लिए (D=0), इसलिए (36-4k=0) और (k=9)। समान मूल की शर्त में विवेचक शून्य रखें। / For equal roots, (D=0), so (36-4k=0) and (k=9). Set the discriminant to zero for equal roots.
समान मूलों के लिए (D=0) से \(k^2=100\), और ऋणात्मक समान मूल के लिए \(-\frac{k}{2}<0\) चाहिए। इसलिए (k=10) सही है। / For equal roots, (D=0) gives \(k^2=100\), and for equal negative roots \(-\frac{k}{2}<0\) is needed. Hence (k=10) is correct.
\(x^2-49=0\) में \(x^2\) पद है और (x) पद अनुपस्थित है। (x) पद न होने पर भी समीकरण द्विघात हो सकता है। / In \(x^2-49=0\), the \(x^2\) term is present and the (x) term is absent. An equation can be quadratic even without an (x) term.
हर पद को (3) से भाग देने पर \(x^2-4x+4=0\) मिलता है। समान गुणनखंड से भाग देने पर मूल नहीं बदलते। / Dividing every term by (3) gives \(x^2-4x+4=0\). Dividing by a common nonzero factor does not change the roots.
\(5\cdot6=30\) और (5+6=11) होता है। ऋण मध्य पद के कारण गुणनखंड ((x-5)(x-6)) बनते हैं। / \(5\cdot6=30\) and (5+6=11). Because the middle term is negative, the factors are ((x-5)(x-6)).
मूलों का योग (-7) है और \(x^2+ax+10=0\) में योग (-a) होता है। इसलिए (a=7) है। / The sum of roots is (-7), and in \(x^2+ax+10=0\) the sum is (-a). Therefore (a=7).
क्षेत्रफल \(x^2\) है और दिया है \(x^2=6x+7\)। इसलिए \(x^2-6x-7=0\) सही है। / The area is \(x^2\) and it is given that \(x^2=6x+7\). Therefore \(x^2-6x-7=0\) is correct.
(x-2-4x+4=(x-2)2) होता है। पूर्ण वर्ग पहचानने के लिए मध्य पद (2ab) से मिलाएं। / (x-2-4x+4=(x-2)2). To identify a perfect square, match the middle term with (2ab).
((x+3)2=x-2+6x+9) है और सभी पद एक ओर लाने पर \(x^2+4x-6=0\) मिलता है। वर्ग सूत्र और स्थानांतरण दोनों सावधानी से करें। / Here ((x+3)2=x-2+6x+9), and bringing all terms to one side gives \(x^2+4x-6=0\). Use the square identity and transposition carefully.
((3x+2)(x-5)) को फैलाने पर \(3x^2-15x+2x-10\) मिलता है। इसलिए मानक रूप \(3x^2-13x-10=0\) है। / Expanding ((3x+2)(x-5)) gives \(3x^2-15x+2x-10\). So the standard form is \(3x^2-13x-10=0\).
द्विघात होने के लिए \(x^2\) का गुणांक (0) नहीं होना चाहिए। इसलिए \(2m-3\neq 0\), अर्थात \(m\neq \frac{3}{2}\)। / For a quadratic equation, the coefficient of \(x^2\) must not be (0). Thus \(2m-3\neq 0\), so \(m\neq \frac{3}{2}\).
सभी पद एक ओर लाने पर \(-x^2+8x-15=0\) मिलता है। (-1) से गुणा करने पर \(x^2-8x+15=0\) मिलता है। / Bringing all terms to one side gives \(-x^2+8x-15=0\). Multiplying by (-1) gives \(x^2-8x+15=0\).
(x=-1) रखने पर (1-5+4=0) मिलता है। मूल की जांच के लिए दिए मान को सीधे रखें। / Putting (x=-1) gives (1-5+4=0). To check a root, substitute the given value directly.
(x=3) रखने पर (18+3q-15=0), इसलिए (q=-1) है। मूल दिया हो तो उसे समीकरण में रखें। / Putting (x=3) gives (18+3q-15=0), so (q=-1). If a root is given, substitute it into the equation.
\(4x^2+1=3x\) को \(4x^2-3x+1=0\) लिखा जा सकता है। मानक रूप में सभी पद एक ओर और दूसरी ओर (0) होता है। / \(4x^2+1=3x\) can be written as \(4x^2-3x+1=0\). In standard form, all terms are on one side and (0) is on the other.
((x+4)2=x-2+8x+16) है और (5x+10) हटाने पर \(x^2+3x+6=0\) मिलता है। वर्ग सूत्र में मध्य पद सही रखें। / ((x+4)2=x-2+8x+16), and subtracting (5x+10) gives \(x^2+3x+6=0\). Keep the middle term correct in square identities.
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) में मान रखने पर \(5x^2-11x-6=0\) मिलता है। ऋण चिन्ह को गुणांक का भाग मानें। / Substituting into \(ax^2+bx+c=0\) gives \(5x^2-11x-6=0\). Treat the negative sign as part of the coefficient.
यहाँ (D=(-12)2-4\cdot9\cdot4=144-144=0) है। (b) ऋणात्मक हो तो भी \(b^2\) धनात्मक होता है। / Here (D=(-12)2-4\cdot9\cdot4=144-144=0). Even if (b) is negative, \(b^2\) is positive.
(D=49>0), इसलिए दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं। विवेचक का चिन्ह मूलों की प्रकृति बताता है। / Since (D=49>0), two distinct real roots are obtained. The sign of the discriminant tells the nature of roots.
यहाँ (D=(-10)2-4\cdot1\cdot25=0), इसलिए मूल समान हैं। (D=0) समान वास्तविक मूलों की पहचान है। / Here (D=(-10)2-4\cdot1\cdot25=0), so the roots are equal. (D=0) identifies equal real roots.
\(D=2^2-4\cdot3\cdot7=4-84=-80\), इसलिए विवेचक ऋणात्मक है। (4ac) की गणना पूरी करें। / \(D=2^2-4\cdot3\cdot7=4-84=-80\), so the discriminant is negative. Calculate (4ac) completely.
मूल (2) और (7) हों तो गुणनखंड ((x-2)) और ((x-7)) होंगे। इनका गुणन \(x^2-9x+14=0\) देता है। / If the roots are (2) and (7), the factors are ((x-2)) and ((x-7)). Their product gives \(x^2-9x+14=0\).
वाक्य से \(x^2=5x+24\) बनता है। सभी पद एक ओर लाने पर \(x^2-5x-24=0\) मिलता है। / The statement gives \(x^2=5x+24\). Bringing all terms to one side gives \(x^2-5x-24=0\).
पूर्णांक (x) और (x+1) होंगे, इसलिए (x-2+(x+1)2=85)। सरल करने पर \(2x^2+2x-84=0\) मिलता है। / The integers are (x) and (x+1), so (x-2+(x+1)2=85). Simplifying gives \(2x^2+2x-84=0\).
लंबाई (x+6) होगी और क्षेत्रफल (x(x+6)=72) होगा। इसलिए \(x^2+6x-72=0\) है। / The length is (x+6) and the area is (x(x+6)=72). Therefore \(x^2+6x-72=0\).
(x-2+9x=x(x+9)), इसलिए मूल (0) और (-9) हैं। समान गुणनखंड निकालना जल्दी तरीका है। / (x-2+9x=x(x+9)), so the roots are (0) and (-9). Taking the common factor is a quick method.
\(16x^2=81\), इसलिए \(x^2=\frac{81}{16}\) और \(x=\pm\frac{9}{4}\) है। वर्गमूल लेते समय दोनों चिन्ह लें। / \(16x^2=81\), so \(x^2=\frac{81}{16}\) and \(x=\pm\frac{9}{4}\). Take both signs while taking square roots.
यहाँ (a=3) और (c=8), इसलिए (ac=24) है। मध्य पद विभाजन में (ac) उपयोगी होता है। / Here (a=3) and (c=8), so (ac=24). The value (ac) is useful in splitting the middle term.
\(5x^2+20=0\) में (x) पद अनुपस्थित है, इसलिए (b=0) और (c=20>0) है। अनुपस्थित पद का गुणांक (0) मानें। / In \(5x^2+20=0\), the (x) term is absent, so (b=0) and (c=20>0). Treat a missing term coefficient as (0).
पूरे समीकरण को (4) से गुणा करने पर \(x^2-4x+12=0\) मिलता है। भिन्न हटाने के लिए पूरे समीकरण पर गुणा करें। / Multiplying the whole equation by (4) gives \(x^2-4x+12=0\). To remove fractions, multiply the whole equation.
हर (5) हटाने के लिए पूरे समीकरण को (5) से गुणा करें। इससे \(2x^2+x-10=0\) मिलता है। / Multiply the whole equation by (5) to remove denominator (5). This gives \(2x^2+x-10=0\).
\(\sqrt{x}\) में चर की भिन्न घात है, इसलिए यह सामान्य द्विघात रूप नहीं है। द्विघात रूप में केवल \(x^2\), (x) और स्थिर पद होते हैं। / The term \(\sqrt{x}\) has a fractional power of the variable, so it is not in usual quadratic form. Quadratic form has only \(x^2\), (x), and constant terms.
(x) के साथ लगा गुणांक \(-4\sqrt{2}\) है। करणी वाले गुणांक में भी चिन्ह साथ रखें। / The coefficient attached to (x) is \(-4\sqrt{2}\). Keep the sign with radical coefficients too.
मूलों का योग (-5+2=-3) है। विपरीत चिन्ह वाली संख्याओं में बड़े परिमाण का चिन्ह आता है। / The sum of roots is (-5+2=-3). For numbers with opposite signs, the sign of the larger magnitude is used.
मूलों का गुणनफल ((-3)(-8)=24) है। दो ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल धनात्मक होता है। / The product of roots is ((-3)(-8)=24). The product of two negative numbers is positive.
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) होता है। योग (-6) रखने पर \(x^2+6x+8=0\) मिलता है। \(/ A monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Substituting sum (-6) gives (x^2+6x+8=0).\)
मूलों का योग \(-\frac{b}{a}=-\frac{-7}{4}=\frac{7}{4}\) है। सूत्र में (b) का चिन्ह ध्यान से रखें। / The sum of roots is \(-\frac{b}{a}=-\frac{-7}{4}=\frac{7}{4}\). Pay attention to the sign of (b) in the formula.
मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}=\frac{-11}{5}\) है। (c) का चिन्ह सूत्र में सीधे आता है। / The product of roots is \(\frac{c}{a}=\frac{-11}{5}\). The sign of (c) is used directly in the formula.
मूलों का योग \(-\frac{n}{3}=-4\), इसलिए (n=12) है। योग के सूत्र में ऋण चिन्ह न भूलें। / The sum of roots is \(-\frac{n}{3}=-4\), so (n=12). Do not forget the negative sign in the sum formula.
मूलों का गुणनफल \(\frac{9}{p}=3\), इसलिए (p=3) है। गुणनफल के लिए \(\frac{c}{a}\) का प्रयोग करें। / The product of roots is \(\frac{9}{p}=3\), so (p=3). Use \(\frac{c}{a}\) for the product of roots.
(x=-2) रखने पर \(4+4+4=12\neq0\) मिलता है। मूल न होने की जांच भी प्रतिस्थापन से करें। / Putting (x=-2) gives \(4+4+4=12\neq0\). To check a non-root, use substitution too.
((x+7)(x-5)=0) से मूल (-7) और (5) मिलते हैं। गुणनफल और योग दोनों मिलाकर जांचें। / From ((x+7)(x-5)=0), the roots are (-7) and (5). Check both product and sum.
मूलों का योग (12) है और \(x^2+rx+36=0\) में योग (-r) होता है। इसलिए (r=-12) है। / The sum of roots is (12), and in \(x^2+rx+36=0\) the sum is (-r). Therefore (r=-12).
((x-3)2=x-2-6x+9) है और (2(x-3)=2x-6) है। सरल करने पर \(x^2-4x-5=0\) मिलता है। / ((x-3)2=x-2-6x+9) and (2(x-3)=2x-6). Simplifying gives \(x^2-4x-5=0\).
\(5^2-12\cdot5+35=25-60+35=0\) है। बायां पक्ष (0) हो तो दिया मान मूल है। / \(5^2-12\cdot5+35=25-60+35=0\). If the left side becomes (0), the given value is a root.
समान मूलों के लिए (D=0), इसलिए (196-4k=0) और (k=49)। समान मूल की शर्त में विवेचक शून्य रखें। / For equal roots, (D=0), so (196-4k=0) and (k=49). For equal roots, set the discriminant to zero.
समान मूलों के लिए \(k^2=196\) और समान मूल \(-\frac{k}{2}\) होगा। धनात्मक मूल के लिए (k=-14) सही है। / For equal roots, \(k^2=196\), and the equal root is \(-\frac{k}{2}\). For a positive root, (k=-14) is correct.
\(3x^2-27=0\) में \(x^2\) पद है और (x) पद अनुपस्थित है। (x) पद न होने पर भी समीकरण द्विघात हो सकता है। / In \(3x^2-27=0\), the \(x^2\) term is present and the (x) term is absent. An equation can be quadratic even without the (x) term.
हर पद को (6) से भाग देने पर \(x^2-3x+2=0\) मिलता है। समान अशून्य गुणनखंड से भाग देने पर मूल नहीं बदलते। / Dividing every term by (6) gives \(x^2-3x+2=0\). Dividing by a common nonzero factor does not change the roots.
\(6\cdot7=42\) और (6+7=13) होता है। ऋण मध्य पद के कारण गुणनखंड ((x-6)(x-7)) बनते हैं। / \(6\cdot7=42\) and (6+7=13). Because the middle term is negative, the factors are ((x-6)(x-7)).
मूलों का योग (-9) है और \(x^2+sx+18=0\) में योग (-s) होता है। इसलिए (s=9) है। / The sum of roots is (-9), and in \(x^2+sx+18=0\) the sum is (-s). Therefore (s=9).
क्षेत्रफल \(x^2\) है और दिया है \(x^2=8x+15\)। इसलिए \(x^2-8x-15=0\) सही है। / The area is \(x^2\), and it is given that \(x^2=8x+15\). Therefore \(x^2-8x-15=0\) is correct.
(x-2+12x+36=(x+6)2) होता है। पूर्ण वर्ग पहचानने के लिए मध्य पद (2ab) से मिलाएं। / (x-2+12x+36=(x+6)2). To identify a perfect square, match the middle term with (2ab).
((2x-1)2=4x-2-4x+1) है और सभी पद एक ओर लाने पर \(4x^2-7x-4=0\) मिलता है। वर्ग सूत्र और चिन्ह दोनों ध्यान से लगाएं। / Here ((2x-1)2=4x-2-4x+1), and bringing all terms to one side gives \(4x^2-7x-4=0\). Apply the square identity and signs carefully.
(x=-4) रखने पर (16-4t-8=0) मिलता है, इसलिए (t=2) है। मूल दिया हो तो सीधे प्रतिस्थापन करें। / Putting (x=-4) gives (16-4t-8=0), so (t=2). When a root is given, substitute it directly.
((4x-1)(x+3)) को फैलाने पर \(4x^2+12x-x-3\) मिलता है। इसलिए मानक रूप \(4x^2+11x-3=0\) है। / Expanding ((4x-1)(x+3)) gives \(4x^2+12x-x-3\). So the standard form is \(4x^2+11x-3=0\).
द्विघात समीकरण के लिए \(x^2\) का गुणांक (0) नहीं होना चाहिए। इसलिए \(5-p\neq0\), अर्थात \(p\neq5\)। / For a quadratic equation, the coefficient of \(x^2\) must not be (0). Thus \(5-p\neq0\), so \(p\neq5\).
सही क्रम में समीकरण \(x^2-7x+12=0\) है। इसलिए (x) का गुणांक (b=-7) है। / In proper order, the equation is \(x^2-7x+12=0\). So the coefficient of (x) is (b=-7).
(x=5) रखने पर (25-30+5=0) मिलता है। मूल जांचने का सरल तरीका प्रतिस्थापन है। / Putting (x=5) gives (25-30+5=0). Substitution is the simple way to check a root.
(x=-3) रखने पर (18-3r-9=0) मिलता है, इसलिए (r=3) है। मूल दिया हो तो उसे समीकरण में रखें। / Putting (x=-3) gives (18-3r-9=0), so (r=3). If a root is given, substitute it into the equation.
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) में मान रखने पर \(-2x^2+9x-7=0\) मिलता है। गुणांक का चिन्ह कभी न छोड़ें। / Substituting in \(ax^2+bx+c=0\) gives \(-2x^2+9x-7=0\). Never ignore the sign of a coefficient.
यहाँ (D=(-20)2-4\cdot25\cdot4=400-400=0) है। (D=0) समान मूलों का संकेत देता है। / Here (D=(-20)2-4\cdot25\cdot4=400-400=0). (D=0) indicates equal roots.
(D=64>0), इसलिए दो भिन्न वास्तविक मूल होंगे। विवेचक का चिन्ह मूलों की प्रकृति बताता है। / Since (D=64>0), there will be two distinct real roots. The sign of the discriminant tells the nature of roots.
यहाँ \(D=14^2-4\cdot1\cdot49=0\) है। इसलिए इस समीकरण के दो समान वास्तविक मूल हैं। / Here \(D=14^2-4\cdot1\cdot49=0\). Therefore the equation has two equal real roots.
\(D=1^2-4\cdot4\cdot6=1-96=-95\), इसलिए विवेचक ऋणात्मक है। (4ac) की गणना सावधानी से करें। / \(D=1^2-4\cdot4\cdot6=1-96=-95\), so the discriminant is negative. Calculate (4ac) carefully.
मूल (3) और (8) हों तो गुणनखंड ((x-3)) और ((x-8)) होंगे। इनका गुणन \(x^2-11x+24=0\) देता है। / If the roots are (3) and (8), the factors are ((x-3)) and ((x-8)). Their product gives \(x^2-11x+24=0\).
गुणनखंड ((x+5)) और ((x-4)) होंगे। इन्हें गुणा करने पर \(x^2+x-20=0\) मिलता है। / The factors are ((x+5)) and ((x-4)). Multiplying them gives \(x^2+x-20=0\).
वाक्य से \(x^2-9x=36\) बनता है। सभी पद एक ओर लाने पर \(x^2-9x-36=0\) मिलता है। / The statement gives \(x^2-9x=36\). Bringing all terms to one side gives \(x^2-9x-36=0\).
पूर्णांक (x) और (x+1) होंगे, इसलिए (x-2+(x+1)2=145)। सरल करने पर \(2x^2+2x-144=0\) मिलता है। / The integers are (x) and (x+1), so (x-2+(x+1)2=145). Simplifying gives \(2x^2+2x-144=0\).
लंबाई (x+7) होगी और क्षेत्रफल (x(x+7)=120) होगा। इसलिए \(x^2+7x-120=0\) है। / The length is (x+7), and the area is (x(x+7)=120). Therefore \(x^2+7x-120=0\).
(x-2-10x=x(x-10)), इसलिए मूल (0) और (10) हैं। समान गुणनखंड निकालना तेज तरीका है। / (x-2-10x=x(x-10)), so the roots are (0) and (10). Taking the common factor is a quick method.
\(49x^2=64\), इसलिए \(x^2=\frac{64}{49}\) और \(x=\pm\frac{8}{7}\) है। वर्गमूल लेते समय दोनों चिन्ह लें। / \(49x^2=64\), so \(x^2=\frac{64}{49}\) and \(x=\pm\frac{8}{7}\). Take both signs while taking square roots.
यहाँ (a=4) और (c=3), इसलिए (ac=12) है। मध्य पद विभाजन में (ac) उपयोगी होता है। / Here (a=4) and (c=3), so (ac=12). The value (ac) is useful in splitting the middle term.
पूरे समीकरण को (5) से गुणा करने पर \(x^2+10x-35=0\) मिलता है। भिन्न हटाने के लिए पूरे समीकरण पर गुणा करें। / Multiplying the whole equation by (5) gives \(x^2+10x-35=0\). To remove fractions, multiply the whole equation.
हर हटाने के लिए पूरे समीकरण को (4) से गुणा करें। इससे \(3x^2-2x+8=0\) मिलता है। / Multiply the whole equation by (4) to remove the denominators. This gives \(3x^2-2x+8=0\).
\(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\) है, जो बहुपद रूप नहीं है। सामान्य द्विघात समीकरण में चर की ऋणात्मक घात नहीं होती। / \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\), which is not polynomial form. A usual quadratic equation does not have a negative power of the variable.
(x) के साथ लगा गुणांक \(6\sqrt{5}\) है। करणी वाले गुणांक भी चिन्ह सहित लिखें। / The coefficient attached to (x) is \(6\sqrt{5}\). Write radical coefficients with their signs too.
मूलों का योग (-6+1=-5) है। विपरीत चिन्ह वाली संख्याओं में बड़े परिमाण का चिन्ह आता है। / The sum of roots is (-6+1=-5). For numbers with opposite signs, the sign of the larger magnitude is used.
मूलों का गुणनफल ((-4)(-9)=36) है। दो ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल धनात्मक होता है। / The product of roots is ((-4)(-9)=36). The product of two negative numbers is positive.
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) होता है। योग (-8) रखने पर \(x^2+8x+15=0\) मिलता है। \(/ A monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Substituting sum (-8) gives (x^2+8x+15=0).\)
मूलों का योग \(-\frac{b}{a}=-\frac{-9}{5}=\frac{9}{5}\) है। सूत्र में (b) का चिन्ह ध्यान से रखें। / The sum of roots is \(-\frac{b}{a}=-\frac{-9}{5}=\frac{9}{5}\). Pay attention to the sign of (b) in the formula.
मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}=\frac{-14}{6}=-\frac{7}{3}\) है। उत्तर को सरल रूप में लिखें। / The product of roots is \(\frac{c}{a}=\frac{-14}{6}=-\frac{7}{3}\). Write the answer in simplified form.
मूलों का योग \(-\frac{m}{4}=-6\), इसलिए (m=24) है। योग के सूत्र में ऋण चिन्ह न भूलें। / The sum of roots is \(-\frac{m}{4}=-6\), so (m=24). Do not forget the negative sign in the sum formula.
मूलों का गुणनफल \(\frac{12}{q}=4\), इसलिए (q=3) है। गुणनफल के लिए \(\frac{c}{a}\) का प्रयोग करें। / The product of roots is \(\frac{12}{q}=4\), so (q=3). Use \(\frac{c}{a}\) for the product of roots.
((x-8)(x+5)=0) से मूल (8) और (-5) मिलते हैं। गुणनफल और योग दोनों मिलाकर जांचें। / From ((x-8)(x+5)=0), the roots are (8) and (-5). Check both product and sum.
मूलों का योग (16) है और \(x^2+ux+64=0\) में योग (-u) होता है। इसलिए (u=-16) है। / The sum of roots is (16), and in \(x^2+ux+64=0\), the sum is (-u). Therefore (u=-16).
((x+4)2=x-2+8x+16) और (-3(x+4)=-3x-12) है। सरल करने पर \(x^2+5x-6=0\) मिलता है। / ((x+4)2=x-2+8x+16) and (-3(x+4)=-3x-12). Simplifying gives \(x^2+5x-6=0\).
\(7^2-15\cdot7+56=49-105+56=0\) है। बायां पक्ष (0) हो तो दिया मान मूल है। / \(7^2-15\cdot7+56=49-105+56=0\). If the left side becomes (0), the given value is a root.
समान मूलों के लिए (D=0), इसलिए (324-4k=0) और (k=81)। समान मूल की शर्त में विवेचक शून्य रखें। / For equal roots, (D=0), so (324-4k=0) and (k=81). For equal roots, set the discriminant to zero.
समान मूलों के लिए \(k^2=324\) और समान मूल \(-\frac{k}{2}\) होगा। ऋणात्मक मूल के लिए (k=18) सही है। / For equal roots, \(k^2=324\), and the equal root is \(-\frac{k}{2}\). For a negative root, (k=18) is correct.
\(2x^2+7x=0\) में \(x^2\) पद है और स्थिर पद अनुपस्थित है। स्थिर पद न होने पर भी समीकरण द्विघात हो सकता है। / In \(2x^2+7x=0\), the \(x^2\) term is present and the constant term is absent. An equation can be quadratic even without a constant term.
हर पद को (8) से भाग देने पर \(x^2-4x+3=0\) मिलता है। समान अशून्य गुणनखंड से भाग देने पर मूल नहीं बदलते। / Dividing every term by (8) gives \(x^2-4x+3=0\). Dividing by a common nonzero factor does not change the roots.
\(8\cdot9=72\) और (8+9=17) होता है। ऋण मध्य पद के कारण गुणनखंड ((x-8)(x-9)) बनते हैं। / \(8\cdot9=72\) and (8+9=17). Because the middle term is negative, the factors are ((x-8)(x-9)).
मूलों का योग (-11) है और \(x^2+vx+28=0\) में योग (-v) होता है। इसलिए (v=11) है। / The sum of roots is (-11), and in \(x^2+vx+28=0\), the sum is (-v). Therefore (v=11).
क्षेत्रफल \(x^2\) है और दिया है \(x^2=10x+21\)। इसलिए \(x^2-10x-21=0\) सही है। / The area is \(x^2\), and it is given that \(x^2=10x+21\). Therefore \(x^2-10x-21=0\) is correct.
(x-2-18x+81=(x-9)2) होता है। पूर्ण वर्ग पहचानने के लिए मध्य पद (2ab) से मिलाएं। / (x-2-18x+81=(x-9)2). To identify a perfect square, match the middle term with (2ab).
(x=4) रखने पर (16+4s-32=0) मिलता है, इसलिए (s=4) है। मूल दिया हो तो सीधा प्रतिस्थापन करें। / Putting (x=4) gives (16+4s-32=0), so (s=4). When a root is given, substitute directly.
यहाँ (a=7), (b=-5), (c=2) हैं, इसलिए \(b^2+ac=25+14=39\) है। \(b^2\) में ऋण चिन्ह वर्ग के कारण धनात्मक हो जाता है। / Here (a=7), (b=-5), (c=2), so \(b^2+ac=25+14=39\). In \(b^2\), the negative sign becomes positive after squaring.
\(x^2-36=0\) में (b=0), इसलिए मूलों का योग \(-\frac{b}{a}=0\) है। (x) पद अनुपस्थित हो तो योग (0) हो सकता है। / In \(x^2-36=0\), (b=0), so the sum of roots is \(-\frac{b}{a}=0\). If the (x) term is absent, the sum can be (0).
क्षेत्रफल (\frac{1}{2}x(x+2)=24) होगा। इसलिए (x(x+2)=48) और \(x^2+2x-48=0\) मिलता है। / The area is (\frac{1}{2}x(x+2)=24). Thus (x(x+2)=48), giving \(x^2+2x-48=0\).
