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एक वर्गाकार टाइल की भुजा \(x\) सेमी है। उसके चारों ओर 5 सेमी चौड़ा बॉर्डर लगाने पर बाहरी वर्ग का कुल क्षेत्रफल 900 वर्ग सेमी हो जाता है। टाइल की मूल भुजा कितनी है?
बॉर्डर दोनों ओर 5 सेमी बढ़ता है, इसलिए बाहरी वर्ग की भुजा \(x+5+5=x+10\) सेमी होगी। अतः \((x+10)^2=900\), इसलिए \(x+10=\pm 30\)। भुजा धनात्मक होने के कारण \(x+10=30\), जिससे \(x=20\) सेमी प्राप्त होता है। ऋणात्मक मूल भौतिक रूप से मान्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: किसी आकृति के चारों ओर समान चौड़ाई का बॉर्डर हो, तो भुजा में चौड़ाई का दोगुना जोड़ा जाता है। / The border adds 5 cm on each side, so the side of the outer square is \(x+5+5=x+10\) cm. Therefore, \((x+10)^2=900\), giving \(x+10=\pm 30\). Since a side length must be positive, \(x+10=30\), and hence \(x=20\) cm. The negative root is not physically valid. Exam tip: for a uniform border around a square, add twice the border width to the original side.
मूल भुजा को \(x\) मीटर मानें। क्षेत्रफल में वृद्धि से \((x+4)^2-x^2=96\)। विस्तार करने पर \(x^2+8x+16-x^2=96\), अतः \(8x=80\) और \(x=10\) मीटर। इसलिए सही उत्तर विकल्प B है। परीक्षा-युक्ति: वर्ग की भुजा में \(a\) की वृद्धि होने पर क्षेत्रफल की वृद्धि \(2ax+a^2\) होती है; यहाँ \(2\times4\times x+4^2=96\) लगाने से तुरंत उत्तर मिलता है। / Let the original side be \(x\) m. The increase in area gives \((x+4)^2-x^2=96\). Expanding, \(x^2+8x+16-x^2=96\), so \(8x=80\) and \(x=10\) m. Therefore, option B is correct. Exam tip: if the side of a square increases by \(a\), the area increase is \(2ax+a^2\); here, \(2\times4\times x+4^2=96\) gives the answer directly.
एक वर्ग का क्षेत्रफल \(225\text{ cm}^2\) है। उसकी भुजा में \(x\text{ cm}\) की वृद्धि करने पर नया क्षेत्रफल \(400\text{ cm}^2\) हो जाता है। \(x\) का मान क्या है?
वर्ग की मूल भुजा \(\sqrt{225}=15\text{ cm}\) और नई भुजा \(\sqrt{400}=20\text{ cm}\) है। इसलिए \(15+x=20\), अतः \(x=5\text{ cm}\)। विकल्प B सही नहीं है, क्योंकि \(15+4=19\text{ cm}\) होने पर क्षेत्रफल \(361\text{ cm}^2\) होगा, \(400\text{ cm}^2\) नहीं। परीक्षा-युक्ति: वर्ग की भुजा ज्ञात करने के लिए क्षेत्रफल का वर्गमूल लें, फिर भुजाओं का अंतर निकालें। / The original side of the square is \(\sqrt{225}=15\text{ cm}\), and the new side is \(\sqrt{400}=20\text{ cm}\). Thus, \(15+x=20\), giving \(x=5\text{ cm}\). Option B is incorrect because a side of \(15+4=19\text{ cm}\) would produce an area of \(361\text{ cm}^2\), not \(400\text{ cm}^2\). Exam tip: take the square root of each area to find the corresponding side, then subtract the original side from the new side.
घटाई गई भुजा \((x-9)\) सेमी होगी। इसलिए \((x-9)^2=1681=41^2\)। चूँकि भुजा धनात्मक होती है और घटाने के बाद भी लंबाई धनात्मक है, \(x-9=41\), न कि \(-41\)। अतः \(x=50\) सेमी। परीक्षा-युक्ति: लंबाई से जुड़े द्विघात समीकरण में केवल धनात्मक और संदर्भानुकूल मूल स्वीकार करें। / The reduced side is \((x-9)\) cm, so \((x-9)^2=1681=41^2\). Since a side length is positive and the reduced side must also be positive, \(x-9=41\), not \(-41\). Hence, \(x=50\) cm. Exam tip: In quadratic equations involving lengths, retain only the positive root that fits the situation.
मूल क्षेत्रफल \(x^2\) और नई भुजा का क्षेत्रफल \((x+12)^2\) होगा। इसलिए \((x+12)^2-x^2=2448\), अर्थात \(24x+144=2448\)। इससे \(24x=2304\) और \(x=96\) मीटर प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर 96 है। परीक्षा-सुझाव: ऐसी समस्याओं में \((a+b)^2-a^2=2ab+b^2\) का प्रयोग करके गणना शीघ्र की जा सकती है। / The original area is \(x^2\), and the new area is \((x+12)^2\). Hence, \((x+12)^2-x^2=2448\), which gives \(24x+144=2448\). Therefore, \(24x=2304\) and \(x=96\) metres. Thus, 96 is correct. Exam tip: For such questions, use \((a+b)^2-a^2=2ab+b^2\) to simplify the calculation quickly.
वर्ग का क्षेत्रफल \((\text{भुजा})^2\) होता है, इसलिए \((x-12)^2=1849=43^2\)। अतः \(x-12=43\) या \(x-12=-43\)। टाइल की भुजा धनात्मक होनी चाहिए, इसलिए \(x-12=43\) और \(x=55\)। ऋणात्मक मूल लेने पर भुजा \(-43\) सेमी हो जाएगी, जो संभव नहीं है। परीक्षा में वर्गमूल लेते समय धनात्मक लंबाई की शर्त अवश्य जाँचें। / The area of a square is the square of its side, so \((x-12)^2=1849=43^2\). Thus, \(x-12=43\) or \(x-12=-43\). Since a tile cannot have a negative side length, \(x-12=43\), giving \(x=55\). The negative algebraic root would make the side \(-43\) cm, which is not physically valid. In an exam, always apply the positive-length condition when taking a square root.
वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा) होता है, इसलिए (x+17)2=3249=572। भुजा की लंबाई धनात्मक होने के कारण (x+17)=57, अतः x=57-17=40। विकल्प D में 57 को गलती से x का मान माना गया है; 57 वास्तव में वर्ग की भुजा है। परीक्षा-युक्ति: क्षेत्रफल दिए होने पर पहले भुजा का धनात्मक वर्गमूल निकालें। / The area of a square is (side)2, so (x+17)2=3249=572. Since a side length is positive, x+17=57; hence x=57-17=40. Option D is incorrect because 57 is the side length, not the value of x. Exam tip: When the area of a square is given, first take its positive square root to find the side.
घटाने के बाद वर्ग की भुजा \(x-7\) सेमी होगी। इसलिए \((x-7)^2=1296=36^2\)। भुजा की लंबाई धनात्मक होने के कारण \(x-7=36\), अतः \(x=43\) सेमी। \(x-7=-36\) लेने पर \(x=-29\) सेमी मिलता है, जो भुजा की लंबाई नहीं हो सकती। परीक्षा-युक्ति: क्षेत्रफल से पहले नई भुजा ज्ञात करें, फिर घटाई गई लंबाई वापस जोड़ें। / After the reduction, the side of the square is \(x-7\) cm. Thus, \((x-7)^2=1296=36^2\). Since a side length is positive, \(x-7=36\), giving \(x=43\) cm. The other algebraic root, \(x-7=-36\), gives \(x=-29\) cm, which is not a valid side length. Exam tip: find the reduced side from the area first, then add back the amount reduced.
मूल क्षेत्रफल \(x^2\) और नई क्षेत्रफल \((x+10)^2\) होगा। इसलिए \((x+10)^2-x^2=1700\), अर्थात \(20x+100=1700\)। इससे \(20x=1600\) और \(x=80\) मीटर प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प B है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में बढ़े हुए क्षेत्रफल को पहले \((x+10)^2-x^2\) के रूप में लिखें; केवल \(10^2\) को क्षेत्रफल-वृद्धि मानना गलत होगा। / The original area is \(x^2\), and the new area is \((x+10)^2\). Hence, \((x+10)^2-x^2=1700\), which gives \(20x+100=1700\). Therefore, \(20x=1600\) and \(x=80\) metres, so option B is correct. Exam tip: represent the increase as the difference of the two areas; it is not merely \(10^2\).
वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)2 होता है। इसलिए (x-13)2=1600=402। चूँकि भुजा की लंबाई धनात्मक होती है, (x-13)=40, अतः x=53। दूसरा बीजीय मूल (x-13)=-40 लेने पर भुजा ऋणात्मक हो जाएगी, इसलिए वह मान्य नहीं है। परीक्षा टिप: लंबाई या दूरी से जुड़े प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को सामान्यतः अस्वीकार करें। / The area of a square is (side)2. Thus, (x-13)2=1600=402. Since a side length must be positive, x-13=40, giving x=53. The other algebraic possibility, x-13=-40, would make the side negative and is therefore invalid. Exam tip: reject negative roots when the variable represents a length, distance, or measurement. Option 47 is incorrect because it gives a side of 34 cm, whose area is not 1600 square cm.
वर्ग का क्षेत्रफल \(=\) (भुजा)\(^2\) होता है, इसलिए \((x+12)^2=1764=42^2\)। चूँकि भुजा की लंबाई धनात्मक होती है, \(x+12=42\), अतः \(x=30\)। विकल्प D में 42 भुजा की लंबाई है, \(x\) का मान नहीं। परीक्षा टिप: वर्ग के क्षेत्रफल से भुजा निकालते समय धनात्मक वर्गमूल लें। / The area of a square is \((\text{side})^2\), so \((x+12)^2=1764=42^2\). Since a side length must be positive, \(x+12=42\), giving \(x=30\). Option D is the side length, not the value of \(x\). Exam tip: take the positive square root when finding a geometrical length.
एक वर्ग की भुजा की लंबाई \(x\) सेमी है। यदि भुजा की लंबाई 5 सेमी घटा दी जाए, तो वर्ग का क्षेत्रफल 784 वर्ग सेमी हो जाता है। वर्ग की मूल भुजा की लंबाई क्या थी?
घटाई गई भुजा \((x-5)\) सेमी है, इसलिए \((x-5)^2=784=28^2\)। अतः \(x-5=28\) लिया जाएगा, क्योंकि भुजा की लंबाई धनात्मक होती है। इसलिए \(x=33\) सेमी। ऋणात्मक मूल \(x-5=-28\) लेने पर \(x=-23\) सेमी मिलता है, जो भुजा की लंबाई नहीं हो सकती। परीक्षा-टिप: क्षेत्रफल से भुजा निकालने के बाद घटाई गई लंबाई को मूल लंबाई में वापस जोड़ें। / The reduced side is \((x-5)\) cm, so \((x-5)^2=784=28^2\). Since a side length must be positive, take \(x-5=28\), giving \(x=33\) cm. The other algebraic possibility, \(x-5=-28\), gives \(x=-23\) cm, which is not physically meaningful. Exam tip: After finding the reduced side from the area, add back the length that was removed.
क्षेत्रफल में वृद्धि ((x+8)2-x-2=1216) होगी। विस्तार करने पर (16x+64=1216), इसलिए (16x=1152) और (x=72) मीटर। अतः सही उत्तर B है। परीक्षा-सुझाव: वर्ग की भुजा में वृद्धि वाले प्रश्नों में ((x+a)2-x-2=2ax+a-2) का उपयोग करें; केवल (x+a)2=1216 लिखना गलत होगा। / The increase in area is ((x+8)2-x-2=1216). Expanding gives (16x+64=1216), so (16x=1152) and (x=72) metres. Therefore, option B is correct. Exam tip: For a change in the side of a square, use ((x+a)2-x-2=2ax+a-2); do not incorrectly set ((x+a)2=1216).
वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)², इसलिए \((x-8)^2=900\)। अतः \(x-8=\pm 30\), लेकिन भुजा की लंबाई धनात्मक होती है, इसलिए \(x-8=30\) और \(x=38\)। विकल्प A में 30 को सीधे \(x\) मान लिया गया है; 30 वास्तव में भुजा की लंबाई है। परीक्षा-युक्ति: लंबाई से जुड़े प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करें। / The area of a square is (side)², so \((x-8)^2=900\). Thus, \(x-8=\pm 30\), but a side length must be positive; hence \(x-8=30\) and \(x=38\). Option A incorrectly treats 30, the side length, as the value of \(x\). Exam tip: reject a negative root when the expression represents a length.
वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)², इसलिए \((x+6)^2=1225=35^2\)। भुजा की लंबाई धनात्मक होने के कारण \(x+6=35\), अतः \(x=35-6=29\)। ऋणात्मक मूल \(x+6=-35\) भुजा की लंबाई के लिए मान्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: क्षेत्रफल से भुजा निकालते समय धनात्मक वर्गमूल लें। / The area of a square is (side)², so \((x+6)^2=1225=35^2\). Since a side length is positive, \(x+6=35\), giving \(x=35-6=29\). The negative root, \(x+6=-35\), is not valid for a length. Exam tip: Take the positive square root when finding a geometrical length from its area.
मूल भुजा (x) हो तो \(x^2=196\), इसलिए (x=14)। नई भुजा (18) है और नया क्षेत्रफल \(18^2=324\)। / If the original side is (x), then \(x^2=196\), so (x=14). The new side is (18), and the new area is \(18^2=324\).
घटाई गई भुजा \((x-3)\) सेमी होगी। इसलिए \((x-3)^2=225\), जिससे \(x-3=\pm15\) प्राप्त होता है। चूँकि भुजा धनात्मक है और घटाने के बाद भी लंबाई 15 सेमी है, इसलिए \(x-3=15\) और \(x=18\) सेमी। \(x-3=-15\) लेने पर \(x=-12\) सेमी आएगा, जो संभव नहीं है। परीक्षा-युक्ति: वर्ग की भुजा या लंबाई से जुड़े प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करें। / The reduced side is \((x-3)\) cm, so \((x-3)^2=225\). This gives \(x-3=\pm15\). Since a side length must be positive and the reduced side is 15 cm, \(x-3=15\), hence \(x=18\) cm. The negative possibility would give \(x=-12\) cm, which is not physically valid. Exam tip: reject any root that gives a negative length in a geometric word problem.
प्रारंभिक क्षेत्रफल \(x^2\) और नई भुजा \((x+5)\) होने पर नया क्षेत्रफल \((x+5)^2\) होगा। इसलिए \((x+5)^2-x^2=425\), अर्थात \(10x+25=425\)। इससे \(10x=400\) और \(x=40\) मीटर प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर C है। परीक्षा-युक्ति: क्षेत्रफल के अंतर को पहले विस्तार देने के बजाय \(a^2-b^2\) के रूप में भी सरल किया जा सकता है। / The original area is \(x^2\), while the new area is \((x+5)^2\). Thus, \((x+5)^2-x^2=425\), which simplifies to \(10x+25=425\). Hence, \(10x=400\) and \(x=40\) metres. Therefore, option C is correct. Exam tip: For such problems, equate the difference of the two areas before solving the resulting linear equation.
वर्ग का क्षेत्रफल \((\text{भुजा})^2\) होता है। इसलिए \((x-3)^2=441=21^2\)। इससे \(x-3=\pm21\) मिलता है, लेकिन भुजा धनात्मक होने के कारण \(x-3=21\) होगा। अतः \(x=24\)। परीक्षा में वर्गमूल लेते समय धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मान लिखें, फिर लंबाई की धनात्मक शर्त से सही मान चुनें। / The area of a square is \((\text{side})^2\), so \((x-3)^2=441=21^2\). Thus, \(x-3=\pm21\). Since a side length must be positive, \(x-3=21\), giving \(x=24\). Exam tip: when taking the square root of an equation, consider both signs and then apply the length constraint.
वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)² होता है, इसलिए \((x+4)^2=576=24^2\)। भुजा की लंबाई धनात्मक होने के कारण \(x+4=24\), अतः \(x=20\)। विकल्प D में दिया गया 24 भुजा की लंबाई है, \(x\) का मान नहीं। परीक्षा-युक्ति: क्षेत्रफल से भुजा निकालते समय धनात्मक वर्गमूल लें। / The area of a square equals the square of its side, so \((x+4)^2=576=24^2\). Since a side length must be positive, \(x+4=24\), giving \(x=20\). The value 24 is the side length, not the value of \(x\), so option D is incorrect. Exam tip: take the positive square root when finding a geometrical length.
मूल भुजा (x) हो तो \(x^2=144\), इसलिए (x=12)। नई भुजा (15) है और नया क्षेत्रफल \(15^2=225\)। / If the original side is (x), then \(x^2=144\), so (x=12). The new side is (15), and the new area is \(15^2=225\).
वर्ग का क्षेत्रफल x-2 होता है, इसलिए x-2=729। चूँकि 729=272 और भुजा की लंबाई धनात्मक होती है, इसलिए x=27 मीटर। ऋणात्मक मूल -27 लंबाई के लिए मान्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: वर्ग का क्षेत्रफल दिया हो तो भुजा ज्ञात करने के लिए उसका धनात्मक वर्गमूल लें। / The area of a square is x-2, so x-2=729. Since 729=272 and a side length must be positive, x=27 metres. The negative root, -27, is not valid for a length. Exam tip: When the area of a square is given, find its side by taking the positive square root.
यदि वर्ग की भुजा \(x\) मीटर है, तो उसका क्षेत्रफल \(x^2\) होगा। इसलिए \(x^2=529\), और \(x=\sqrt{529}=23\), क्योंकि \(23^2=529\)। भुजा की लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए धनात्मक मूल लिया जाता है। परीक्षा में वर्ग के क्षेत्रफल से भुजा निकालने के लिए \(\sqrt{\text{क्षेत्रफल}}\) का प्रयोग करें। / If the side of the square is \(x\) metres, its area is \(x^2\). Thus, \(x^2=529\), so \(x=\sqrt{529}=23\), since \(23^2=529\). A side length cannot be negative, so the positive root is selected. Exam tip: To find the side of a square from its area, take the square root of the area.
यदि वर्ग की भुजा \(x\) सेमी है, तो उसका क्षेत्रफल \(x^2\) होगा। इसलिए \(x^2=361\), अतः \(x=\sqrt{361}=19\)। भुजा की लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए \(-19\) को नहीं लिया जाता। परीक्षा-युक्ति: वर्ग का क्षेत्रफल दिया हो तो भुजा ज्ञात करने के लिए उसका वर्गमूल लें। / If the side of the square is \(x\) cm, its area is \(x^2\). Thus, \(x^2=361\), so \(x=\sqrt{361}=19\). A side length cannot be negative, so \(-19\) is rejected. Exam tip: When the area of a square is given, find its side by taking the square root.
यदि वर्ग की भुजा \(x\) मीटर है, तो उसका क्षेत्रफल \(x^2\) होता है। इसलिए \(x^2=196\), अर्थात \(x=\pm14\)। लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए \(x=14\) मीटर सही उत्तर है। परीक्षा में वर्ग का क्षेत्रफल दिया हो तो भुजा ज्ञात करने के लिए उसका वर्गमूल लें। / If the side of the square is \(x\) metres, its area is \(x^2\). Thus, \(x^2=196\), giving \(x=\pm14\). Since a length cannot be negative, \(x=14\) metres. Exam tip: when the area of a square is given, find its side by taking the positive square root.
वर्ग की भुजा \(x\) होने पर उसका क्षेत्रफल \(x^2\) होगा। प्रश्न के अनुसार क्षेत्रफल \(10x\) से 21 अधिक है, अर्थात \(x^2=10x+21\)। सभी पदों को एक ओर लाने पर \(x^2-10x-21=0\) प्राप्त होता है। विकल्प B में \(10x\) का चिन्ह गलत है। परीक्षा टिप: “से अधिक” को दिए गए व्यंजक में जोड़कर लिखें। / If the side of the square is \(x\), its area is \(x^2\). The statement says that the area is 21 more than \(10x\), so \(x^2=10x+21\). Moving all terms to one side gives \(x^2-10x-21=0\). In option B, the sign of the \(10x\) term is incorrect. Exam tip: Translate “more than” by adding to the stated quantity.
वर्ग की भुजा x होने पर उसका क्षेत्रफल \(x^2\) होता है। प्रश्न कहता है कि यह क्षेत्रफल भुजा के 8 गुणे से 15 अधिक है, यानी \(x^2=8x+15\)। इसे बाएँ पर ला कर शून्य के बराबर किया जाए तो \(x^2-8x-15=0\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। निकटवर्ती भ्रामक उत्तर C केवल संख्याएँ बदल देता है (8 और 15 का स्थान बदलना) इसलिए गलत है; B का संकेत चिह्न (+) दोनों पदों के लिए गलत संकेत दर्शाता। परीक्षा-सुझाव: समीकरण बनाते समय पहले हमेशा वास्तविक परिमाण (यहाँ क्षेत्रफल = \(x^2\)) लिखें और फिर दिए हुए वाक्य को बराबरी के रूप में आके पर रखें। / For a square with side x the area is \(x^2\). The statement says the area is 15 more than 8 times the side, so \(x^2=8x+15\). Bringing all terms to one side gives \(x^2-8x-15=0\), so option A is correct. Distractors fail for clear reasons: C swaps the coefficients (places 15 with 8) and thus misrepresents the given relation; B has wrong signs (+) so it does not match the sentence. Exam tip: Always translate the English sentence into a mathematical equality (area = ...) before rearranging to standard quadratic form.
वर्ग की भुजा \(x\) होने पर उसका क्षेत्रफल \(x^2\) होता है। प्रश्न कहता है कि क्षेत्रफल, भुजा के 6 गुने से 7 अधिक है, यानी \(x^2=6x+7\)। इसे शून्य के रूप में लिखने पर प्राप्त होता है \(x^2-6x-7=0\), इसलिए विकल्प A सही है। निकटतम भ्रामक विकल्प C (\(x^2-7x-6=0\)) गलत है क्योंकि वह स्थिति बताता कि क्षेत्रफल \(7x+6\) के बराबर है — प्रश्न में क्रम और संख्याएँ उलटी नहीं की गईं। विकल्प B में साइन दोनों धनात्मक हैं और विकल्प D में श्रेणीगत रूप अलग है (लीडिंग कोएफ़िशिएंट \(6\)), इसलिए वे भी गलत हैं। परीक्षा-सुझाव: "\(\text{7 more than }6\text{ times }x\)" को सीधे \(6x+7\) के रूप में बदलें, न कि \(7x+6\) या \(6(x+7)\) के रूप में गलत व्याख्या करें। / For a square with side \(x\), area = \(x^2\). The statement "7 more than 6 times its side" means area = \(6x+7\), so \(x^2=6x+7\). Rearranging gives \(x^2-6x-7=0\), which matches option A. The closest distractor C (\(x^2-7x-6=0\)) would correspond to area = \(7x+6\), which swaps the coefficients and is not what the question states. Option B has incorrect signs and option D has a different leading coefficient, so both are incorrect. Exam tip: Translate phrases like "a more than b times" as \(b x + a\) to avoid sign or order mistakes.
