100 results found for "payment proof" in Class 10.
\(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में कौन-सा भाग विरोधाभास की विधि को दर्शाता है?
Which part of the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\) shows proof by contradiction?
#real-numbers
#root2
#contradiction-method
#proof
A पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर अंत में असंभव साझा गुणनखंड पाना / First assuming \(\sqrt{2}\) rational and finally getting an impossible common factor
B सीधे \(\sqrt{2}\) को अपरिमेय लिख देना / Directly writing that \(\sqrt{2}\) is irrational
C केवल \(\sqrt{2}\) का मान निकालना / Only finding the value of \(\sqrt{2}\)
D केवल (2) को अभाज्य लिखना / Only writing that (2) is prime
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर अंत में असंभव साझा गुणनखंड पाना / First assuming \(\sqrt{2}\) rational and finally getting an impossible common factor
Step 1
Concept
विरोधाभास की विधि में विपरीत बात को मानते हैं। / Proof by contradiction assumes the opposite statement.
Step 2
Why this answer is correct
फिर वह मान्यता असंभव परिणाम देती है। / Then that assumption gives an impossible result.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलना यही असंभव परिणाम है। / In \(\sqrt{2}\), the common factor (2) is that impossible result.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) की सिद्धि में गलत प्रमाण विधि है?
Which option is a wrong proof method in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#wrong method
#hard
#class 10
A \(p^2=3q^2\) से सीधे (p=3q) लिखना / Directly writing (p=3q) from \(p^2=3q^2\)
B \(p^2\) (3) से विभाज्य है कहना / Saying \(p^2\) is divisible by (3)
C (p=3k) लिखना / Writing (p=3k)
D \(q^2=3k^2\) से (q) (3) से विभाज्य है कहना / Saying (q) is divisible by (3) from \(q^2=3k^2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(p^2=3q^2\) से सीधे (p=3q) लिखना / Directly writing (p=3q) from \(p^2=3q^2\)
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य मिलता है। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) (3) से विभाज्य है, पर सीधे (p=3q) नहीं मिलता। / This means (p) is divisible by (3), but (p=3q) does not follow directly.
Step 3
Exam Tip
सही तरीका (p=3k) लिखना है। / The correct way is to write (p=3k).
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एक प्रमाण में \(p^2=3q^2\), (p=3k), और \(q^2=3k^2\) आया। यह किस वर्गमूल से जुड़ा प्रमाण है?
In a proof, \(p^2=3q^2\), (p=3k), and \(q^2=3k^2\) appear. This proof is related to which square root?
#identify proof
#sqrt3
#class 10
A \(\sqrt{2}\)
B \(\sqrt{3}\)
C \(\sqrt{5}\)
D \(\sqrt{4}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
समीकरण में मुख्य गुणनखंड (3) है। / The main factor in the equation is (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(p^2=3q^2\) सामान्य रूप से \(\sqrt{3}\) की सिद्धि से आता है। / \(p^2=3q^2\) usually comes from the proof of \(\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
प्रमाण पहचानने के लिए समीकरण का गुणनखंड देखें। / To identify the proof, look at the factor in the equation.
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एक प्रमाण में \(p^2=3q^2\) मिला। यह किस वर्गमूल की अपरिमेयता सिद्धि से जुड़ा है?
In a proof, \(p^2=3q^2\) is obtained. This is related to the irrationality proof of which square root?
#identify proof
#sqrt3
#class 10
A \(\sqrt{2}\)
B \(\sqrt{3}\)
C \(\sqrt{5}\)
D \(\sqrt{9}\)
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Correct Answer
B. \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) मानने पर वर्ग करने से \(p^2=nq^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) and squaring gives \(p^2=nq^2\).
Step 2
Why this answer is correct
यहां (n=3) है, इसलिए यह \(\sqrt{3}\) से जुड़ा है। / Here (n=3), so it relates to \(\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
समीकरण में गुणनखंड देखकर मूल संख्या पहचानें। / Identify the square root from the factor in the equation.
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कौन सा कथन \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में सही है लेकिन \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में मुख्य रूप से नहीं आता?
Which statement is correct in the proof of \(\sqrt{3}\) but is not the main step in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt3 proof
#comparison
#class 10
A यदि \(p^2\) (3) से विभाज्य है, तो (p) (3) से विभाज्य है / If \(p^2\) is divisible by (3), then (p) is divisible by (3)
B यदि \(p^2\) सम है, तो (p) सम है / If \(p^2\) is even, then (p) is even
C यदि (p=2k), तो \(p^2=4k^2\) / If (p=2k), then \(p^2=4k^2\)
D दोनों (p) और (q) सम हैं / Both (p) and (q) are even
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Correct Answer
A. यदि \(p^2\) (3) से विभाज्य है, तो (p) (3) से विभाज्य है / If \(p^2\) is divisible by (3), then (p) is divisible by (3)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (3) का गुणनखंड काम करता है। / In the proof of \(\sqrt{3}\), factor (3) is used.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(p^2\) (3) से विभाज्य होने पर (p) (3) से विभाज्य कहा जाता है। / So if \(p^2\) is divisible by (3), (p) is divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
हर प्रमाण में संबंधित संख्या का गुणनखंड पहचानें। / Identify the relevant factor in each proof.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में कौन-सा कथन प्रमाण को अधूरा छोड़ देगा?
Which statement would leave the proof of \(\sqrt{2}\) incomplete?
#real-numbers
#root2
#incomplete-proof
#proof-writing
A \(p^2=2q^2\) से (p) सम है और यहीं रुक जाना / From \(p^2=2q^2\), (p) is even, and stopping there
B (p=2k) रखकर \(q^2=2k^2\) पाना / Putting (p=2k) and getting \(q^2=2k^2\)
C (q) सम सिद्ध करना / Proving (q) even
D दोनों सम होने से विरोधाभास लिखना / Writing contradiction because both are even
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Correct Answer
A. \(p^2=2q^2\) से (p) सम है और यहीं रुक जाना / From \(p^2=2q^2\), (p) is even, and stopping there
Step 1
Concept
(p) सम होना केवल आधा प्रमाण है। / Proving (p) even is only half of the proof.
Step 2
Why this answer is correct
आगे (p=2k) रखकर (q) का भी सम होना दिखाना पड़ता है। / We must next put (p=2k) and show (q) is also even.
Step 3
Exam Tip
अंतिम विरोधाभास तक पहुँचे बिना उत्तर पूरा नहीं माना जाएगा। / Without reaching the final contradiction, the answer is incomplete.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(q^2=2k^2\) मिलने के बाद कौन-सा निष्कर्ष प्रमाण को पूरा करने में मदद करता है?
In the proof for \(\sqrt{2}\), after getting \(q^2=2k^2\), which conclusion helps complete the proof?
#real-numbers
#root2
#even-square
#contradiction
A (q) सम है / (q) is even
B (q) विषम है / (q) is odd
C (q=1) है / (q=1)
D (q) अपरिमेय है / (q) is irrational
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Correct Answer
A. (q) सम है / (q) is even
Step 1
Concept
\(q^2=2k^2\) बताता है कि \(q^2\) सम है। / \(q^2=2k^2\) shows that \(q^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग सम होने पर मूल पूर्णांक भी सम होता है, इसलिए (q) सम है। / If a square is even, the integer itself is even, so (q) is even.
Step 3
Exam Tip
अब (p) और (q) दोनों सम होने से विरोधाभास पूरा होता है। / Now both (p) and (q) are even, completing the contradiction.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (a) सम सिद्ध हो गया है और \(\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में है। अब सबसे सही अगला कदम कौन सा है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), (a) has been proved even and \(\frac{a}{b}\) is in lowest form. What is the most correct next step?
#sqrt2 proof
#proof order
#hard
#class 10
A (b) को भी समीकरण में रखकर सम सिद्ध करना / Prove (b) even by substituting in the equation
B यहीं विरोधाभास लिख देना / Write contradiction here itself
C (a=b) मान लेना / Assume (a=b)
D \(\sqrt{2}=2\) लिख देना / Write \(\sqrt{2}=2\)
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Correct Answer
A. (b) को भी समीकरण में रखकर सम सिद्ध करना / Prove (b) even by substituting in the equation
Step 1
Concept
केवल (a) सम मिलना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास नहीं बनाता। / Getting only (a) even does not create contradiction with the coprime condition.
Step 2
Why this answer is correct
(a=2k) को \(a^2=2b^2\) में रखकर \(b^2=2k^2\) और फिर (b) सम सिद्ध करना होगा। / Substitute (a=2k) in \(a^2=2b^2\) to get \(b^2=2k^2\), then prove (b) even.
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास तब बनेगा जब दोनों में (2) साझा गुणनखंड मिले। / Contradiction occurs only when both have common factor (2).
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) की सिद्धि में सही पहचान कराता है?
Which option correctly identifies the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#proof identification
#hard
#class 10
A वर्ग करने के बाद \(p^2=3q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (3) मिलता है / After squaring, \(p^2=3q^2\) is formed and common factor (3) is found
B वर्ग करने के बाद \(p^2=2q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (2) मिलता है / After squaring, \(p^2=2q^2\) is formed and common factor (2) is found
C वर्ग करने के बाद \(p^2=5q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (5) मिलता है / After squaring, \(p^2=5q^2\) is formed and common factor (5) is found
D \(\sqrt{3}=9\) लिखकर प्रमाण पूरा होता है / The proof is completed by writing \(\sqrt{3}=9\)
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Correct Answer
A. वर्ग करने के बाद \(p^2=3q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (3) मिलता है / After squaring, \(p^2=3q^2\) is formed and common factor (3) is found
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानकर वर्ग करने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) and squaring gives \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
आगे (p) और (q) दोनों में (3) साझा गुणनखंड मिलता है। / Later, common factor (3) is found in both (p) and (q).
Step 3
Exam Tip
यही \(\sqrt{3}\) की सिद्धि की पहचान है। / This identifies the proof of \(\sqrt{3}\).
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कौन सा कथन \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में प्रमाण को अधूरा छोड़ देता है?
Which statement leaves the proof of \(\sqrt{5}\) incomplete?
#sqrt5 proof
#incomplete proof
#hard
#class 10
A केवल \(p^2=5q^2\) लिखकर रुक जाना / Stopping after only writing \(p^2=5q^2\)
B (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाना / Showing both (p) and (q) divisible by (5)
C सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास लिखना / Writing contradiction with coprime condition
D अंत में \(\sqrt{5}\) अपरिमेय लिखना / Finally writing \(\sqrt{5}\) is irrational
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. केवल \(p^2=5q^2\) लिखकर रुक जाना / Stopping after only writing \(p^2=5q^2\)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) केवल मध्य चरण है। / \(p^2=5q^2\) is only a middle step.
Step 2
Why this answer is correct
इसके बाद (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाने होते हैं। / After this, both (p) and (q) must be shown divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास और अंतिम निष्कर्ष के बिना प्रमाण पूरा नहीं होता। / Without contradiction and final conclusion, the proof is incomplete.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में मानने के बाद \(a^2=2b^2\) मिला। कौन सा निष्कर्ष प्रमाण के क्रम के अनुसार पहले आएगा?
In the proof of \(\sqrt{2}\), after assuming \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) in lowest form, \(a^2=2b^2\) is obtained. Which conclusion comes first according to proof order?
#sqrt2 proof
#even square
#hard
#class 10
A \(a^2\) सम है / \(a^2\) is even
B (b) सम है / (b) is even
C (a=b)
D (b=0)
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Correct Answer
A. \(a^2\) सम है / \(a^2\) is even
Step 1
Concept
\(a^2=2b^2\) में दाईं ओर (2) का गुणनखंड है। / In \(a^2=2b^2\), the right side has factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए पहले \(a^2\) को सम कहा जाएगा और फिर (a) सम सिद्ध होगा। / So first \(a^2\) is called even, and then (a) is proved even.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में निष्कर्षों का क्रम न बदलें। / Do not change the order of conclusions in exams.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में प्रमाण की सही पहचान कराता है?
Which option correctly identifies the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#proof identification
#hard
#class 10
A वर्ग करने के बाद \(p^2=5q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (5) मिलता है / After squaring, \(p^2=5q^2\) is formed and common factor (5) is found
B वर्ग करने के बाद \(p^2=2q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (2) मिलता है / After squaring, \(p^2=2q^2\) is formed and common factor (2) is found
C वर्ग करने के बाद \(p^2=3q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (3) मिलता है / After squaring, \(p^2=3q^2\) is formed and common factor (3) is found
D \(\sqrt{5}=25\) लिखकर प्रमाण पूरा होता है / The proof is completed by writing \(\sqrt{5}=25\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. वर्ग करने के बाद \(p^2=5q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (5) मिलता है / After squaring, \(p^2=5q^2\) is formed and common factor (5) is found
Step 1
Concept
\(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) मानकर वर्ग करने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) and squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसी (5) से (p) और (q) दोनों में साझा गुणनखंड मिलता है। / This (5) becomes a common factor in both (p) and (q).
Step 3
Exam Tip
यही \(\sqrt{5}\) के प्रमाण की पहचान है। / This identifies the proof of \(\sqrt{5}\).
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में \(p^2=2q^2\) मिलने के बाद कौन सा कथन सही है लेकिन अभी प्रमाण पूरा नहीं करता?
In the proof of \(\sqrt{2}\), after getting \(p^2=2q^2\), which statement is correct but does not yet complete the proof?
#sqrt2 proof
#incomplete step
#hard
#class 10
A (p) सम है / (p) is even
B (p=q)
C (q=0)
D \(\sqrt{2}=2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) सम है / (p) is even
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम और फिर (p) सम सिद्ध होता है। / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) and then (p) are proved even.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन प्रमाण पूरा करने के लिए (q) भी सम दिखाना होगा। / But to complete the proof, (q) must also be shown even.
Step 3
Exam Tip
तभी दोनों में साझा गुणनखंड (2) से विरोधाभास बनेगा। / Only then a contradiction arises through common factor (2).
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में यदि कोई कहे कि \(p^2=2q^2\) से (p) और (q) दोनों तुरंत सम हैं, तो सही टिप्पणी क्या होगी?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if someone says that \(p^2=2q^2\) immediately makes both (p) and (q) even, what is the correct comment?
#sqrt2 proof
#proof sequence
#hard
#class 10
A यह अधूरा है, पहले (p) सम और फिर प्रतिस्थापन से (q) सम सिद्ध होता है / This is incomplete; first (p) is proved even and then (q) is proved even by substitution
B यह पूरी तरह सही है / It is completely correct
C इससे (q=0) सिद्ध होता है / It proves (q=0)
D इससे (p=q) सिद्ध होता है / It proves (p=q)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह अधूरा है, पहले (p) सम और फिर प्रतिस्थापन से (q) सम सिद्ध होता है / This is incomplete; first (p) is proved even and then (q) is proved even by substitution
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) से पहले केवल \(p^2\) सम और फिर (p) सम मिलता है। / From \(p^2=2q^2\), first only \(p^2\) and then (p) are proved even.
Step 2
Why this answer is correct
(p=2k) रखने के बाद \(q^2=2k^2\) मिलता है और तब (q) सम सिद्ध होता है। / After substituting (p=2k), \(q^2=2k^2\) is obtained and then (q) is proved even.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में क्रम छोड़ना गलती मानी जाती है। / Skipping order is considered an error in proof writing.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में कौन सा चरण क्रम की दृष्टि से गलत है?
Which step is wrong in order in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#proof order
#error spotting
#hard
A \(p^2=5q^2\) से सीधे (q) (5) से विभाज्य है कहना / Saying directly from \(p^2=5q^2\) that (q) is divisible by (5)
B \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है कहना / Saying from \(p^2=5q^2\) that \(p^2\) is divisible by (5)
C (p) (5) से विभाज्य है इसलिए (p=5k) लिखना / Writing (p=5k) because (p) is divisible by (5)
D \(q^2=5k^2\) से (q) (5) से विभाज्य है कहना / Saying from \(q^2=5k^2\) that (q) is divisible by (5)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(p^2=5q^2\) से सीधे (q) (5) से विभाज्य है कहना / Saying directly from \(p^2=5q^2\) that (q) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) से पहले \(p^2\) और फिर (p) (5) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। / From \(p^2=5q^2\), first \(p^2\) and then (p) are proved divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(p=5k) रखने के बाद ही \(q^2=5k^2\) मिलता है। / Only after substituting (p=5k) do we get \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए सीधे (q) के बारे में निष्कर्ष लेना क्रम की गलती है। / So directly concluding about (q) is an order mistake.
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यदि \(\sqrt{2}\) की सिद्धि में कोई \(p^2=2q^2\) से \(q^2\) सम लिखता है, तो यह क्यों जल्दबाजी है?
If someone writes \(q^2\) is even directly from \(p^2=2q^2\) in the proof of \(\sqrt{2}\), why is this a rushed step?
#sqrt2 proof
#proof order
#class 10
A पहले \(p^2\) सम और (p) सम सिद्ध करके (p=2k) रखना होता है / First \(p^2\) even and (p) even must be proved, then (p=2k) is substituted
B क्योंकि \(q^2\) कभी सम नहीं हो सकता / Because \(q^2\) can never be even
C क्योंकि (q=0) होता है / Because (q=0)
D क्योंकि (2) अभाज्य नहीं है / Because (2) is not prime
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. पहले \(p^2\) सम और (p) सम सिद्ध करके (p=2k) रखना होता है / First \(p^2\) even and (p) even must be proved, then (p=2k) is substituted
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) से तुरंत \(p^2\) सम मिलता है। / From \(p^2=2q^2\), we immediately get \(p^2\) even.
Step 2
Why this answer is correct
फिर (p=2k) रखकर ही \(q^2=2k^2\) मिलता है। / Only after substituting (p=2k) do we get \(q^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
क्रम छोड़ने से प्रमाण कमजोर हो जाता है। / Skipping the order makes the proof weak.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में सही क्रम दिखाता है?
Which option shows the correct order in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#proof order
#class 10
A परिमेय मानना, \(p^2=5q^2\) पाना, (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाना / Assume rational, get \(p^2=5q^2\), show both (p) and (q) divisible by (5)
B पहले (q=0) मानना, फिर वर्ग करना / First assume (q=0), then square
C \(\sqrt{5}=5\) मानना, फिर निष्कर्ष लिखना / Assume \(\sqrt{5}=5\), then write conclusion
D दशमलव मान लिखकर रुक जाना / Write decimal value and stop
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. परिमेय मानना, \(p^2=5q^2\) पाना, (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाना / Assume rational, get \(p^2=5q^2\), show both (p) and (q) divisible by (5)
Step 1
Concept
प्रमाण परिमेय मान्यता से शुरू होता है। / The proof starts with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। / Squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 3
Exam Tip
फिर दोनों में (5) साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास बनाया जाता है। / Then common factor (5) in both gives the contradiction.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(p^2=3q^2\) से सीधे (q) (3) से विभाज्य क्यों नहीं कहा जाता?
In the proof of \(\sqrt{3}\), why is (q) not directly said to be divisible by (3) from \(p^2=3q^2\)?
#sqrt3 proof
#proof order
#class 10
A पहले (p) को (3) से विभाज्य सिद्ध कर (p=3k) रखना पड़ता है / First (p) must be proved divisible by (3) and (p=3k) must be substituted
B क्योंकि (q) कभी (3) से विभाज्य नहीं होता / Because (q) is never divisible by (3)
C क्योंकि (q=0) होता है / Because (q=0)
D क्योंकि (3) अभाज्य नहीं है / Because (3) is not prime
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. पहले (p) को (3) से विभाज्य सिद्ध कर (p=3k) रखना पड़ता है / First (p) must be proved divisible by (3) and (p=3k) must be substituted
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से पहले \(p^2\) और फिर (p) (3) से विभाज्य मिलता है। / From \(p^2=3q^2\), first \(p^2\) and then (p) are found divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(p=3k) रखने के बाद \(q^2=3k^2\) आता है। / After substituting (p=3k), we get \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
तब (q) के (3) से विभाज्य होने का निष्कर्ष लिया जाता है। / Then (q) is concluded divisible by (3).
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में अधूरा प्रमाण दिखाता है?
Which option shows an incomplete proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#incomplete proof
#class 10
A केवल \(p^2=5q^2\) लिखकर रुक जाना / Stopping after only writing \(p^2=5q^2\)
B (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाना / Showing both (p) and (q) divisible by (5)
C सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास लिखना / Writing contradiction using coprime condition
D अंत में \(\sqrt{5}\) अपरिमेय लिखना / Finally writing \(\sqrt{5}\) is irrational
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Correct Answer
A. केवल \(p^2=5q^2\) लिखकर रुक जाना / Stopping after only writing \(p^2=5q^2\)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) प्रमाण का मध्य चरण है। / \(p^2=5q^2\) is a middle step of the proof.
Step 2
Why this answer is correct
इसके बाद (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाने होते हैं। / After this, both (p) and (q) must be shown divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास और निष्कर्ष लिखे बिना प्रमाण पूरा नहीं होता। / The proof is incomplete without contradiction and conclusion.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि का सही क्रम कौन सा है?
What is the correct order of the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#proof order
#class 10
A परिमेय मानना, वर्ग करना, (p) और (q) दोनों सम पाना, विरोधाभास लिखना / Assume rational, square, find both (p) and (q) even, write contradiction
B दशमलव मान लिखना, उत्तर याद करना, प्रमाण रोकना / Write decimal value, memorize answer, stop proof
C \(\sqrt{2}=2\) मानना, वर्ग करना, निष्कर्ष लिखना / Assume \(\sqrt{2}=2\), square, write conclusion
D (q=0) मानना, भिन्न बनाना, निष्कर्ष लिखना / Assume (q=0), make fraction, write conclusion
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. परिमेय मानना, वर्ग करना, (p) और (q) दोनों सम पाना, विरोधाभास लिखना / Assume rational, square, find both (p) and (q) even, write contradiction
Step 1
Concept
विरोधाभास विधि में पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानते हैं। / In contradiction, first assume \(\sqrt{2}\) rational.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने से समता के निष्कर्ष मिलते हैं। / Squaring gives evenness conclusions.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम मिलना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास देता है। / Finding both even contradicts the coprime condition.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में \(p^2=5q^2\) मिलने के बाद (q) (5) से विभाज्य कब सिद्ध होता है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), after \(p^2=5q^2\), when is (q) proved divisible by (5)?
#sqrt5 proof
#proof order
#class 10
A (p=5k) रखकर \(q^2=5k^2\) मिलने के बाद / After substituting (p=5k) and getting \(q^2=5k^2\)
B सीधे \(p^2=5q^2\) देखकर / Directly by looking at \(p^2=5q^2\)
C (q=0) मानने के बाद / After assuming (q=0)
D \(\sqrt{5}=5\) लिखने के बाद / After writing \(\sqrt{5}=5\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p=5k) रखकर \(q^2=5k^2\) मिलने के बाद / After substituting (p=5k) and getting \(q^2=5k^2\)
Step 1
Concept
पहले \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य मिलता है। / First, from \(p^2=5q^2\), (p) is found divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
फिर (p=5k) रखने पर \(q^2=5k^2\) मिलता है। / Then substituting (p=5k) gives \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
तब (q) के (5) से विभाज्य होने का निष्कर्ष आता है। / Then (q) is concluded divisible by (5).
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता का सही संक्षिप्त प्रमाण विचार है?
Which option is the correct short proof idea for the irrationality of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#short proof
#class 10
A परिमेय मानने पर अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं / Assuming rational makes both numerator and denominator divisible by (3)
B क्योंकि (3) पूर्ण वर्ग है / Because (3) is a perfect square
C क्योंकि \(\sqrt{3}=3\) / Because \(\sqrt{3}=3\)
D क्योंकि हर वर्गमूल परिमेय होता है / Because every square root is rational
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. परिमेय मानने पर अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं / Assuming rational makes both numerator and denominator divisible by (3)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न में लिखते हैं। / Assume \(\sqrt{3}\) rational and write it in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण से अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं। / The proof shows both numerator and denominator divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम भिन्न की शर्त से विरोधाभास है। / This contradicts the condition of a lowest-form fraction.
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में \(p^2=3q^2\) से सीधे (q) (3) से विभाज्य क्यों नहीं कह सकते?
In the proof of \(\sqrt{3}\), why can we not directly say (q) is divisible by (3) from \(p^2=3q^2\)?
#sqrt3 proof
#proof order
#class 10
A क्योंकि पहले (p) के (3) से विभाज्य होने को सिद्ध कर (p=3k) रखना पड़ता है / Because first (p) must be proved divisible by (3) and (p=3k) must be substituted
B क्योंकि (q) कभी (3) से विभाज्य नहीं हो सकता / Because (q) can never be divisible by (3)
C क्योंकि (q=0) है / Because (q=0)
D क्योंकि (3) अभाज्य नहीं है / Because (3) is not prime
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि पहले (p) के (3) से विभाज्य होने को सिद्ध कर (p=3k) रखना पड़ता है / Because first (p) must be proved divisible by (3) and (p=3k) must be substituted
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से पहले \(p^2\) और फिर (p) (3) से विभाज्य मिलता है। / From \(p^2=3q^2\), first \(p^2\) and then (p) are found divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(p=3k) रखने के बाद ही \(q^2=3k^2\) मिलता है। / Only after substituting (p=3k) do we get \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
निष्कर्षों का क्रम सही रखना प्रमाण को मजबूत बनाता है। / Keeping the order correct makes the proof strong.
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कौन सा कथन \(\sqrt{5}\) की सिद्धि के क्रम को सही बताता है?
Which statement gives the correct order of the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#proof order
#class 10
A मानें \(\sqrt{5}\) परिमेय है, \(p^2=5q^2\) पाएं, (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाएं / Assume \(\sqrt{5}\) rational, get \(p^2=5q^2\), show both (p) and (q) divisible by (5)
B मानें \(\sqrt{5}=5\), फिर (p=q) लिखें / Assume \(\sqrt{5}=5\), then write (p=q)
C पहले (q=0) मानें, फिर वर्ग करें / First assume (q=0), then square
D दशमलव मान लिखकर प्रमाण पूरा करें / Write decimal value and finish proof
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. मानें \(\sqrt{5}\) परिमेय है, \(p^2=5q^2\) पाएं, (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाएं / Assume \(\sqrt{5}\) rational, get \(p^2=5q^2\), show both (p) and (q) divisible by (5)
Step 1
Concept
प्रमाण परिमेय मान्यता से शुरू होता है। / The proof starts with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। / Squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 3
Exam Tip
अंत में दोनों में (5) साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास बनाया जाता है। / Finally, a common factor (5) in both gives the contradiction.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) की सिद्धि का सही संक्षिप्त ढांचा देता है?
Which option gives the correct short structure of the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#proof structure
#class 10
A परिमेय मानें, वर्ग करें, दोनों सम पाएं, सहअभाज्य से विरोधाभास / Assume rational, square, find both even, contradict coprime
B वर्ग करें, दशमलव निकालें, उत्तर याद करें / Square, find decimal, memorize answer
C पूर्ण वर्ग मानें, हर शून्य करें, निष्कर्ष लें / Assume perfect square, make denominator zero, conclude
D परिमेय मानें, (p=q) लिखें, प्रमाण पूरा करें / Assume rational, write (p=q), finish proof
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. परिमेय मानें, वर्ग करें, दोनों सम पाएं, सहअभाज्य से विरोधाभास / Assume rational, square, find both even, contradict coprime
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) लिखते हैं। / Assume \(\sqrt{2}\) rational and write it as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने पर दोनों (p) और (q) सम निकलते हैं। / Squaring leads to both (p) and (q) being even.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास देता है। / Both even contradict the coprime condition.
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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में कौन-सा कथन अनावश्यक है?
Which statement is unnecessary in the proof of irrationality of \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#unnecessary-step
#proof-writing
A \(\sqrt{3}\) का लंबा दशमलव मान लिखना / Writing a long decimal value of \(\sqrt{3}\)
B \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानना / Assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\)
C \(p^2=3q^2\) बनाना / Forming \(p^2=3q^2\)
D \(3\mid p\) और \(3\mid q\) दिखाना / Showing \(3\mid p\) and \(3\mid q\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\sqrt{3}\) का लंबा दशमलव मान लिखना / Writing a long decimal value of \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
लंबा दशमलव मान प्रमाण का जरूरी हिस्सा नहीं है। / A long decimal value is not a necessary part of the proof.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण परिमेय मान्यता, वर्ग और अभाज्य विभाज्यता पर आधारित है। / The proof is based on rational assumption, squaring, and prime divisibility.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में अनावश्यक दशमलव लिखने से बचें। / Avoid unnecessary decimals in exams.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यदि \(5\mid b^2\), तो \(5\mid b\) लिखते समय कौन-सी बात जरूर जोड़नी चाहिए?
In the proof for \(\sqrt{5}\), while writing \(5\mid b\) from \(5\mid b^2\), what must be added?
#real-numbers
#root5
#prime-condition
#proof-detail
A (5) अभाज्य है / (5) is prime
B (b=5) है / (b=5)
C (b=0) है / (b=0)
D (5) पूर्ण वर्ग है / (5) is a perfect square
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (5) अभाज्य है / (5) is prime
Step 1
Concept
\(5\mid b^2\) से \(5\mid b\) निकालने में अभाज्य गुणनखंड का नियम लगता है। / The step from \(5\mid b^2\) to \(5\mid b\) uses the prime-factor rule.
Step 2
Why this answer is correct
यह नियम इसलिए लागू है क्योंकि (5) अभाज्य है। / This rule applies because (5) is prime.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में यह कारण लिखने से प्रमाण पूर्ण दिखता है। / Mentioning this reason makes the proof complete in exams.
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\(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में कौन-सा निष्कर्ष सबसे अंत में लिखना चाहिए?
Which conclusion should be written at the very end of the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\)?
#real-numbers
#root2
#final-conclusion
#proof-writing
A \(\sqrt{2}\) परिमेय है / \(\sqrt{2}\) is rational
B (2) अपरिमेय है / (2) is irrational
C (p=q) है / (p=q)
D अतः \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. अतः \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
प्रमाण में परिमेय मान्यता से विरोधाभास प्राप्त होता है। / The proof obtains a contradiction from the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
विरोधाभास बताता है कि आरंभिक मान्यता गलत थी। / The contradiction shows that the starting assumption was false.
Step 3
Exam Tip
इसलिए अंतिम वाक्य स्पष्ट होना चाहिए कि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / Therefore the final sentence should clearly state that \(\sqrt{2}\) is irrational.
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किस विकल्प में विरोधाभास द्वारा प्रमाण का सही अर्थ दिया गया है?
Which option correctly explains proof by contradiction?
#real-numbers
#contradiction-method
#irrationality
#proof
A जिस बात को सिद्ध करना है, उसे सीधे याद करके लिख देना / Write the statement directly by memory
B विपरीत मान्यता लेकर उससे असंभव परिणाम प्राप्त करना / Assume the opposite and derive an impossible result
C दशमलव मान निकालकर निष्कर्ष देना / Find the decimal value and conclude
D केवल चित्र बनाकर उत्तर देना / Draw only a diagram and answer
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. विपरीत मान्यता लेकर उससे असंभव परिणाम प्राप्त करना / Assume the opposite and derive an impossible result
Step 1
Concept
विरोधाभास द्वारा प्रमाण में पहले विपरीत बात मानी जाती है। / In proof by contradiction, the opposite statement is assumed first.
Step 2
Why this answer is correct
फिर उस मान्यता से दी गई शर्त के विरुद्ध परिणाम मिलता है। / Then that assumption leads to a result against the given condition.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) के प्रमाण इसी विधि से लिखे जाते हैं। / The proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) are written by this method.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(q^2=2k^2\) मिलने पर (q) को सम कहने का कारण क्या है?
In the proof for \(\sqrt{2}\), why is (q) called even after getting \(q^2=2k^2\)?
#real-numbers
#root2
#q-even
#proof-step
A क्योंकि \(q^2\) सम है और सम वर्ग का आधार सम होता है / Because \(q^2\) is even and the base of an even square is even
B क्योंकि (k=0) है / Because (k=0)
C क्योंकि (q) हमेशा (2) है / Because (q) is always (2)
D क्योंकि (q) और (p) बराबर हैं / Because (q) and (p) are equal
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि \(q^2\) सम है और सम वर्ग का आधार सम होता है / Because \(q^2\) is even and the base of an even square is even
Step 1
Concept
\(q^2=2k^2\) से \(q^2\) सम है। / From \(q^2=2k^2\), \(q^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम है, तो वह पूर्णांक भी सम होता है। / If the square of an integer is even, the integer is also even.
Step 3
Exam Tip
इस तरह (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं। / Thus both (p) and (q) are found even.
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किस विकल्प में \(\sqrt{3}\) के प्रमाण का अंतिम वाक्य सबसे ठीक है?
Which option gives the most appropriate final sentence for the proof of \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#final-statement
#proof-writing
A अतः (3) अपरिमेय है / Hence (3) is irrational
B अतः \(\sqrt{3}=3\) / Hence \(\sqrt{3}=3\)
C अतः परिमेय मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / Hence the rational assumption is false, so \(\sqrt{3}\) is irrational
D अतः (p=q) / Hence (p=q)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. अतः परिमेय मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / Hence the rational assumption is false, so \(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
प्रमाण में \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर शुरुआत की जाती है। / The proof starts by assuming \(\sqrt{3}\) rational.
Step 2
Why this answer is correct
उस मान्यता से सहअभाज्यता के विरुद्ध साझा गुणनखंड मिलता है। / That assumption gives a common factor against coprimality.
Step 3
Exam Tip
इसलिए अंतिम निष्कर्ष यही होगा कि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / Therefore the final conclusion is that \(\sqrt{3}\) is irrational.
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\(\sqrt{2}\) का प्रमाण लिखते समय यदि कोई \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) मानता है पर सरलतम रूप नहीं लिखता, तो क्या समस्या होगी?
While writing the proof for \(\sqrt{2}\), if someone assumes \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) but does not mention lowest form, what problem occurs?
#real-numbers
#root2
#lowest-form
#proof-logic
A वर्ग करना असंभव हो जाएगा / Squaring will become impossible
B (2) अभाज्य नहीं रहेगा / (2) will not remain prime
C साझा गुणनखंड मिलना निर्णायक विरोधाभास नहीं बनेगा / Finding a common factor will not become a decisive contradiction
D (q) अपने आप शून्य हो जाएगा / (q) will automatically become zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. साझा गुणनखंड मिलना निर्णायक विरोधाभास नहीं बनेगा / Finding a common factor will not become a decisive contradiction
Step 1
Concept
विरोधाभास इस बात पर निर्भर करता है कि (p) और (q) सहअभाज्य हैं। / The contradiction depends on (p) and (q) being coprime.
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम रूप न लिखने पर दोनों सम मिलना जरूरी विरोधाभास नहीं कहलाएगा। / Without stating lowest form, both being even is not a decisive contradiction.
Step 3
Exam Tip
इसलिए शुरू में सरलतम रूप अवश्य लिखें। / Therefore mention lowest form at the start.
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किस विकल्प में \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (b) की विभाज्यता का सही आधार दिया गया है?
Which option gives the correct basis for divisibility of (b) in the proof for \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#b-divisibility
#proof-step
A (a=5k) रखने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b\) / Putting (a=5k) gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b\)
B (a=5k) रखने पर (b=5) / Putting (a=5k) gives (b=5)
C (a=5k) रखने पर (b=a) / Putting (a=5k) gives (b=a)
D (a=5k) रखने पर (b=0) / Putting (a=5k) gives (b=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (a=5k) रखने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b\) / Putting (a=5k) gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b\)
Step 1
Concept
(a=5k) को \(a^2=5b^2\) में रखने से \(25k^2=5b^2\) मिलता है। / Substituting (a=5k) in \(a^2=5b^2\) gives \(25k^2=5b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
सरल करने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b^2\) और \(5\mid b\)। / Simplifying gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b^2\) and \(5\mid b\).
Step 3
Exam Tip
यह अंतिम साझा गुणनखंड दिखाता है। / This shows the final common factor.
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यदि कोई छात्र \(\sqrt{3}\approx1.732\) लिखकर उसे अपरिमेय सिद्ध मान लेता है, तो मुख्य कमी क्या है?
If a student writes \(\sqrt{3}\approx1.732\) and treats it as proof of irrationality, what is the main weakness?
#real-numbers
#root3
#decimal-approximation
#proof-quality
A दशमलव अनुमान पूर्ण प्रमाण नहीं होता / A decimal approximation is not a complete proof
B दशमलव लिखना हमेशा निषिद्ध है / Writing decimals is always forbidden
C (1.732) एक पूर्णांक है / (1.732) is an integer
D \(\sqrt{3}=3\) हो जाता है / \(\sqrt{3}=3\) becomes true
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. दशमलव अनुमान पूर्ण प्रमाण नहीं होता / A decimal approximation is not a complete proof
Step 1
Concept
(1.732) केवल निकट मान है, पूरा मान नहीं। / (1.732) is only an approximate value, not the full value.
Step 2
Why this answer is correct
अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए परिमेय मानकर सहअभाज्यता का विरोधाभास दिखाना पड़ता है। / To prove irrationality, we must assume rationality and show a contradiction with coprimality.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में अनुमान नहीं, तार्किक प्रमाण लिखें। / In exams, write a logical proof, not an approximation.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(a^2=5b^2\) से \(5\mid a\) सिद्ध होने के बाद (a=5t) लिखा गया। यह किस बात का संकेत है?
In the proof for \(\sqrt{5}\), after \(5\mid a\) is proved from \(a^2=5b^2\), (a=5t) is written. What does this indicate?
#real-numbers
#root5
#multiple-form
#proof-step
A (a) और (b) बराबर हैं / (a) and (b) are equal
B (a) (5) का गुणज है / (a) is a multiple of (5)
C (b=5) है / (b=5)
D \(\sqrt{5}\) पूर्णांक है / \(\sqrt{5}\) is an integer
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. (a) (5) का गुणज है / (a) is a multiple of (5)
Step 1
Concept
\(5\mid a\) का अर्थ है कि (a) (5) से विभाज्य है। / \(5\mid a\) means (a) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
विभाज्यता को गुणज के रूप में लिखते हैं, इसलिए (a=5t)। / Divisibility is written in multiple form, so (a=5t).
Step 3
Exam Tip
यह रूप आगे (b) की विभाज्यता सिद्ध करने में मदद करता है। / This form helps prove divisibility of (b) next.
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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता में \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) लिखते समय कौन-सा तर्क सबसे मजबूत माना जाएगा?
In the irrationality proof of \(\sqrt{3}\), which reasoning is strongest while writing \(3\mid p\) from \(3\mid p^2\)?
#real-numbers
#root3
#prime-divisibility
#proof-detail
A क्योंकि (3) विषम है / Because (3) is odd
B क्योंकि (3) अभाज्य है और वर्ग में आया अभाज्य गुणनखंड आधार में भी आता है / Because (3) is prime and a prime factor in a square also appears in the base
C क्योंकि (p) हमेशा (3) होता है / Because (p) is always (3)
D क्योंकि (q) शून्य है / Because (q) is zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. क्योंकि (3) अभाज्य है और वर्ग में आया अभाज्य गुणनखंड आधार में भी आता है / Because (3) is prime and a prime factor in a square also appears in the base
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p\) निष्कर्ष सही है। / Since (3) is prime, \(3\mid p\) is a valid conclusion.
Step 3
Exam Tip
केवल विषम कहना पर्याप्त नहीं, अभाज्य होने का कारण लिखें। / Do not say only odd; mention primality for a complete proof.
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किस विकल्प में \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में (3) की भूमिका सही बताई गई है?
Which option correctly states the role of (3) in the proof of irrationality of \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#prime-role
#proof-concept
A (3) अभाज्य गुणनखंड बनकर अंश और हर दोनों में पहुँचता है / (3) acts as a prime factor that reaches both numerator and denominator
B (3) हर को शून्य बना देता है / (3) makes the denominator zero
C (3) भिन्न को पूर्णांक बना देता है / (3) makes the fraction an integer
D (3) को (2) में बदल दिया जाता है / (3) is changed into (2)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (3) अभाज्य गुणनखंड बनकर अंश और हर दोनों में पहुँचता है / (3) acts as a prime factor that reaches both numerator and denominator
Step 1
Concept
समीकरण \(p^2=3q^2\) से (3) पहले (p) में आता है। / From \(p^2=3q^2\), (3) first appears in (p).
Step 2
Why this answer is correct
फिर (p=3k) रखने से (3) (q) में भी आता है। / Then putting (p=3k) makes (3) appear in (q) too.
Step 3
Exam Tip
यही अंश और हर दोनों में साझा गुणनखंड देता है। / This gives a common factor in numerator and denominator.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(5\mid y^2\) से \(5\mid y\) लेते समय कौन-सी शर्त आवश्यक है?
In the proof for \(\sqrt{5}\), which condition is necessary while taking \(5\mid y\) from \(5\mid y^2\)?
#real-numbers
#root5
#prime-condition
#proof-detail
A (5) अभाज्य है / (5) is prime
B (5) सम है / (5) is even
C (y) शून्य है / (y) is zero
D (y) ऋणात्मक है / (y) is negative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (5) अभाज्य है / (5) is prime
Step 1
Concept
\(5\mid y^2\) से \(5\mid y\) निकालने में अभाज्यता का नियम लगता है। / The step from \(5\mid y^2\) to \(5\mid y\) uses the prime-divisibility rule.
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य है, इसलिए यह निष्कर्ष सही है। / Since (5) is prime, the conclusion is valid.
Step 3
Exam Tip
बिना अभाज्यता बताए यह कदम अधूरा लगेगा। / Without mentioning primality, this step looks incomplete.
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किस विकल्प में \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (q) पर पहुँचने की सही दलील है?
Which option gives the correct reasoning to reach (q) in the proof for \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#q-divisibility
#proof
A (p=3k) रखने से \(q^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid q\) / Putting (p=3k) gives \(q^2=3k^2\), so \(3\mid q\)
B (p=3k) रखने से (q=3) / Putting (p=3k) gives (q=3)
C (p=3k) रखने से (q=p) / Putting (p=3k) gives (q=p)
D (p=3k) रखने से (q) सम है / Putting (p=3k) gives (q) even
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p=3k) रखने से \(q^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid q\) / Putting (p=3k) gives \(q^2=3k^2\), so \(3\mid q\)
Step 1
Concept
(p=3k) को \(p^2=3q^2\) में रखें। / Substitute (p=3k) in \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
सरल करने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है, जिससे \(3\mid q^2\) और \(3\mid q\) मिलता है। / Simplifying gives \(q^2=3k^2\), so \(3\mid q^2\) and \(3\mid q\).
Step 3
Exam Tip
यही दूसरा विभाज्यता कदम है। / This is the second divisibility step.
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\(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता में \(5\mid x^2\) से (x=5m) तक जाने में कौन-सी बात छिपी है?
In the irrationality proof of \(\sqrt{5}\), what idea is hidden in moving from \(5\mid x^2\) to (x=5m)?
#real-numbers
#root5
#multiple-form
#proof-detail
A \(5\mid x\) और फिर गुणज रूप / \(5\mid x\) and then multiple form
B (x=5) अवश्य / (x=5) necessarily
C (x) शून्य है / (x) is zero
D (x) (2) से विभाज्य है / (x) is divisible by (2)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(5\mid x\) और फिर गुणज रूप / \(5\mid x\) and then multiple form
Step 1
Concept
पहले अभाज्य नियम से \(5\mid x\) मिलता है। / First, by the prime rule, \(5\mid x\).
Step 2
Why this answer is correct
विभाज्यता को गुणज रूप में लिखते हैं, इसलिए (x=5m)। / Divisibility is written in multiple form, so (x=5m).
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में इन दोनों छोटे कदमों को मन में नहीं, उत्तर में लिखें। / In the proof, write these two small steps clearly.
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किस कथन से स्पष्ट होता है कि \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता का प्रमाण दशमलव पर आधारित नहीं है?
Which statement shows that the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\) is not based on decimals?
#real-numbers
#root2
#decimal-vs-proof
#irrationality
A प्रमाण परिमेय मान्यता और सहअभाज्यता के विरोधाभास पर आधारित है / The proof is based on rational assumption and contradiction of coprimality
B प्रमाण केवल (1.414) लिखने पर आधारित है / The proof is based only on writing (1.414)
C प्रमाण मापन पट्टी से किया जाता है / The proof is done using a ruler
D प्रमाण अनुमान से पूरा होता है / The proof is completed by guessing
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. प्रमाण परिमेय मान्यता और सहअभाज्यता के विरोधाभास पर आधारित है / The proof is based on rational assumption and contradiction of coprimality
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) का दशमलव अनुमान प्रमाण नहीं देता। / A decimal approximation of \(\sqrt{2}\) does not prove irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
असली प्रमाण में \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) मानकर विरोधाभास निकाला जाता है। / The real proof assumes \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) and derives a contradiction.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में तार्किक प्रमाण को प्राथमिकता दें। / In exams, give priority to logical proof.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(q^2=2r^2\) मिलने के बाद (q) सम क्यों है?
In the proof for \(\sqrt{2}\), after getting \(q^2=2r^2\), why is (q) even?
#real-numbers
#root2
#final-evenness
#proof-step
A क्योंकि \(q^2\) सम है, इसलिए (q) सम होगा / Because \(q^2\) is even, so (q) will be even
B क्योंकि (r) हमेशा शून्य है / Because (r) is always zero
C क्योंकि \(q^2\) हमेशा विषम है / Because \(q^2\) is always odd
D क्योंकि (q=r) है / Because (q=r)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि \(q^2\) सम है, इसलिए (q) सम होगा / Because \(q^2\) is even, so (q) will be even
Step 1
Concept
\(q^2=2r^2\) से \(q^2\) (2) का गुणज है। / From \(q^2=2r^2\), \(q^2\) is a multiple of (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(q^2\) सम है और पूर्णांक (q) भी सम होगा। / So \(q^2\) is even and the integer (q) is also even.
Step 3
Exam Tip
यह प्रमाण का दूसरा समपन निष्कर्ष है। / This is the second evenness conclusion in the proof.
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कौन-सा विकल्प \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में अनावश्यक है?
Which option is unnecessary in the proof of irrationality of \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#unnecessary-step
#proof-writing
A \(\sqrt{5}\) का लंबा दशमलव मान लिखना / Writing a long decimal value of \(\sqrt{5}\)
B \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) मानना / Assuming \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\)
C \(p^2=5q^2\) बनाना / Forming \(p^2=5q^2\)
D \(5\mid p\) और \(5\mid q\) दिखाना / Showing \(5\mid p\) and \(5\mid q\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\sqrt{5}\) का लंबा दशमलव मान लिखना / Writing a long decimal value of \(\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
लंबा दशमलव मान प्रमाण का जरूरी हिस्सा नहीं है। / A long decimal value is not a necessary part of the proof.
Step 2
Why this answer is correct
असली प्रमाण परिमेय मान्यता और विभाज्यता पर आधारित है। / The real proof is based on rational assumption and divisibility.
Step 3
Exam Tip
समय बचाने के लिए केवल तार्किक कदम लिखें। / To save time, write only the logical steps.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(p^2=3q^2\) से (p) के (3) से विभाज्य होने के बाद (q) तक पहुँचने का सही रास्ता क्या है?
In the proof for \(\sqrt{3}\), after \(p^2=3q^2\) shows (p) divisible by (3), what is the correct path to reach (q)?
#real-numbers
#root3
#proof-path
#substitution
A (p=3k) रखकर \(q^2=3k^2\) पाना / Put (p=3k) and get \(q^2=3k^2\)
B (p=q) रखकर (q=3) पाना / Put (p=q) and get (q=3)
C (q=0) रखकर विरोधाभास पाना / Put (q=0) and get contradiction
D (p=2k) रखकर (q) सम पाना / Put (p=2k) and get (q) even
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p=3k) रखकर \(q^2=3k^2\) पाना / Put (p=3k) and get \(q^2=3k^2\)
Step 1
Concept
\(3\mid p\) से (p=3k) लिखा जाता है। / From \(3\mid p\), write (p=3k).
Step 2
Why this answer is correct
इसे \(p^2=3q^2\) में रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है। / Substituting in \(p^2=3q^2\) gives \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
फिर \(3\mid q\) साबित होता है। / Then \(3\mid q\) is proved.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(p^2=5q^2\) से (p) के (5) से विभाज्य होने के बाद अगला सही कदम क्या है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), after proving from \(p^2=5q^2\) that (p) is divisible by (5), what is the next correct step?
#real-numbers
#root5
#next-step
#proof-writing
A (p=5k) रखकर (q) के (5) से विभाज्य होने को सिद्ध करना / Put (p=5k) and prove that (q) is divisible by (5)
B तुरंत (p=q) लिखना / Immediately write (p=q)
C \(\sqrt{5}=5\) लिखना / Write \(\sqrt{5}=5\)
D (q=0) रखना / Put (q=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p=5k) रखकर (q) के (5) से विभाज्य होने को सिद्ध करना / Put (p=5k) and prove that (q) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(5\mid p\) से (p=5k) लिखना उचित है। / From \(5\mid p\), it is proper to write (p=5k).
Step 2
Why this answer is correct
इसे मूल समीकरण में रखने पर \(q^2=5k^2\) मिलता है। / Substituting it into the original equation gives \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
फिर \(5\mid q\) दिखाकर विरोधाभास पूरा करें। / Then prove \(5\mid q\) and complete the contradiction.
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कौन-सा कथन \(\sqrt{2}\) के प्रमाण को सबसे अधिक कमजोर बना देगा?
Which statement would weaken the proof of \(\sqrt{2}\) the most?
#real-numbers
#root2
#lowest-form
#proof-logic
A \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में न लेना / Not taking \(\frac{p}{q}\) in lowest form
B \(p^2=2q^2\) लिखना / Writing \(p^2=2q^2\)
C (p=2r) लिखना / Writing (p=2r)
D \(q^2=2r^2\) लिखना / Writing \(q^2=2r^2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में न लेना / Not taking \(\frac{p}{q}\) in lowest form
Step 1
Concept
विरोधाभास इसी बात पर निर्भर करता है कि (p) और (q) सहअभाज्य हैं। / The contradiction depends on (p) and (q) being coprime.
Step 2
Why this answer is correct
यदि सरलतम रूप नहीं लिया गया, तो साझा गुणनखंड मिलना विरोधाभास नहीं बनेगा। / If lowest form is not taken, getting a common factor will not be a contradiction.
Step 3
Exam Tip
इसलिए शुरुआत में सरलतम रूप जरूरी है। / Therefore lowest form is essential at the start.
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कौन-सा विकल्प \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता के लिए केवल अधूरा संकेत है, पूर्ण प्रमाण नहीं?
Which option is only an incomplete hint for the irrationality of \(\sqrt{5}\), not a full proof?
#real-numbers
#root5
#decimal
#proof-quality
A \(\sqrt{5}\) का दशमलव समाप्त नहीं दिखता / The decimal of \(\sqrt{5}\) does not seem to terminate
B मानें \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) / Assume \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\)
C \(p^2=5q^2\)
D (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं / Both (p) and (q) turn out divisible by (5)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\sqrt{5}\) का दशमलव समाप्त नहीं दिखता / The decimal of \(\sqrt{5}\) does not seem to terminate
Step 1
Concept
दशमलव को देखकर केवल अनुमान बनता है। / Looking at the decimal only gives an idea.
Step 2
Why this answer is correct
पूर्ण प्रमाण में परिमेय मानकर साझा गुणनखंड का विरोधाभास दिखाते हैं। / A complete proof assumes rationality and shows the common-factor contradiction.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में अनुमान नहीं, प्रमाण लिखें। / In exams, write a proof, not a guess.
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किस विकल्प में \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (p=3r) लिखने का सही आधार है?
Which option gives the correct basis for writing (p=3r) in the proof for \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#proof-basis
#divisibility
A \(3\mid p\) सिद्ध हो चुका है / \(3\mid p\) has been proved
B (p) सम सिद्ध हो चुका है / (p) has been proved even
C (p=q) सिद्ध हो चुका है / (p=q) has been proved
D (q=3) सिद्ध हो चुका है / (q=3) has been proved
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(3\mid p\) सिद्ध हो चुका है / \(3\mid p\) has been proved
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\).
Step 2
Why this answer is correct
अभाज्य नियम से \(3\mid p\), इसलिए (p=3r) लिखा जा सकता है। / By the prime rule, \(3\mid p\), so (p=3r) can be written.
Step 3
Exam Tip
कोई रूप लिखने से पहले उसका कारण जरूर दें। / Give the reason before writing such a form.
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किस कारण से \(\sqrt{2}\) का प्रमाण केवल यह लिखकर पूरा नहीं होता कि \(p^2\) सम है?
Why is the proof for \(\sqrt{2}\) not complete by only writing that \(p^2\) is even?
#real-numbers
#root2
#incomplete-proof
#contradiction
A क्योंकि (q) के सम होने और विरोधाभास तक पहुँचना भी जरूरी है / Because proving (q) even and reaching contradiction is also necessary
B क्योंकि \(p^2\) सम होना गलत है / Because \(p^2\) being even is wrong
C क्योंकि (q) को शून्य बनाना जरूरी है / Because (q) must be made zero
D क्योंकि \(\sqrt{2}\) को दशमलव में लिखना जरूरी है / Because \(\sqrt{2}\) must be written as a decimal
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (q) के सम होने और विरोधाभास तक पहुँचना भी जरूरी है / Because proving (q) even and reaching contradiction is also necessary
Step 1
Concept
\(p^2\) सम होने से केवल (p) सम मिलता है। / From \(p^2\) even, we only get that (p) is even.
Step 2
Why this answer is correct
पूर्ण विरोधाभास के लिए (q) का भी सम होना दिखाना पड़ता है। / For the full contradiction, (q) must also be shown even.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण को बीच में न छोड़ें, अंतिम टकराव तक लिखें। / Do not stop the proof midway; write until the final conflict.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में कौन-सी बात (3) के अभाज्य होने पर निर्भर करती है?
Which point in the proof of \(\sqrt{3}\) depends on (3) being prime?
#real-numbers
#root3
#prime-property
#proof-detail
A \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) लेना / Concluding \(3\mid p\) from \(3\mid p^2\)
B \(\sqrt{3}\) को वर्ग करना / Squaring \(\sqrt{3}\)
C \(q\neq0\) लिखना / Writing \(q\neq0\)
D भिन्न को \(\frac{p}{q}\) लिखना / Writing the fraction as \(\frac{p}{q}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) लेना / Concluding \(3\mid p\) from \(3\mid p^2\)
Step 1
Concept
\(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) तभी सीधे मिलता है क्योंकि (3) अभाज्य है। / \(3\mid p\) follows from \(3\mid p^2\) because (3) is prime.
Step 2
Why this answer is correct
यह गुण सामान्य भाज्य संख्याओं के लिए ऐसे नहीं लिखा जाता। / This cannot be stated the same way for every composite number.
Step 3
Exam Tip
अभाज्य शब्द को प्रमाण में जरूर जोड़ें। / Mention the word prime in the proof.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(5\mid b^2\) से \(5\mid b\) क्यों निष्कर्षित किया जाता है?
Why is \(5\mid b\) concluded from \(5\mid b^2\) in the proof for \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#prime-divisibility
#proof-writing
#hard
A क्योंकि (5) अभाज्य संख्या है / Because (5) is a prime number
B क्योंकि (b) हमेशा (5) होता है / Because (b) is always (5)
C क्योंकि हर वर्ग संख्या (5) से विभाज्य होती है / Because every square number is divisible by (5)
D क्योंकि \(b^2=b\) होता है / Because \(b^2=b\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (5) अभाज्य संख्या है / Because (5) is a prime number
Step 1
Concept
अभाज्य संख्या का गुणनखंड यदि किसी वर्ग में है, तो मूल संख्या में भी होगा। / If a prime number is a factor of a square, it is also a factor of the original number.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(5\mid b^2\) से \(5\mid b\) मिलता है। / Therefore \(5\mid b^2\) gives \(5\mid b\).
Step 3
Exam Tip
इसे बिना कारण लिखने के बजाय अभाज्य होने का कारण जोड़ें। / Instead of writing it without reason, mention that (5) is prime.
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता सिद्ध करने में किस प्रकार के प्रमाण का प्रयोग सबसे सामान्य है?
Which type of proof is most commonly used to prove the irrationality of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#proof-method
#irrationality
#hard
A विरोधाभास द्वारा प्रमाण / Proof by contradiction
B आरेख द्वारा प्रमाण / Proof by diagram
C मापन द्वारा प्रमाण / Proof by measurement
D अनुमान द्वारा प्रमाण / Proof by guess
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. विरोधाभास द्वारा प्रमाण / Proof by contradiction
Step 1
Concept
इन प्रमाणों में पहले वर्गमूल को परिमेय मानते हैं। / In these proofs, the square root is first assumed rational.
Step 2
Why this answer is correct
फिर अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलने से असंभव स्थिति आती है। / Then an impossible situation appears because numerator and denominator get a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए इसे विरोधाभास द्वारा प्रमाण कहते हैं। / Hence this is called proof by contradiction.
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किस विकल्प में अपरिमेयता के प्रमाण में विरोधाभास की विधि का सही अर्थ है?
Which option correctly explains proof by contradiction in irrationality proofs?
#real-numbers
#contradiction-method
#irrationality
#proof
#hard
A जिसे सिद्ध करना है, उसके विपरीत को मानकर असंभव परिणाम दिखाना / Assume the opposite of what is to be proved and show an impossible result
B सही उत्तर को बिना कारण लिख देना / Write the correct answer without reason
C हर संख्या को दशमलव में बदलना / Convert every number into decimal form
D केवल अनुमान से निष्कर्ष निकालना / Conclude only by guessing
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. जिसे सिद्ध करना है, उसके विपरीत को मानकर असंभव परिणाम दिखाना / Assume the opposite of what is to be proved and show an impossible result
Step 1
Concept
विरोधाभास की विधि में विपरीत मान्यता से शुरुआत होती है। / In proof by contradiction, we begin with the opposite assumption.
Step 2
Why this answer is correct
फिर ऐसा परिणाम मिलता है जो दी गई शर्त से मेल नहीं खाता। / Then we reach a result that conflicts with the given condition.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) के प्रमाण इसी ढाँचे पर आधारित हैं। / The proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) follow this structure.
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यदि \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(p^2=3q^2\) है, तो (p) को किस रूप में लिखना सही होगा?
If \(p^2=3q^2\) in the proof for \(\sqrt{3}\), in what form should (p) be correctly written?
#real-numbers
#root3
#divisibility
#proof-step
#hard
A (p=3k)
B (p=2k)
C (p=k+3)
D \(p=\frac{k}{3}\)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(3\mid p\), और (p=3k) लिखा जा सकता है। / Therefore \(3\mid p\), so (p=3k) can be written.
Step 3
Exam Tip
किस अभाज्य से भाग जा रहा है, उसी के अनुसार रूप लिखें। / Write the form according to the prime divisor involved.
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\(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में \(a^2=5b^2\) से (a) के (5) से विभाज्य होने का कारण क्या है?
In the proof of irrationality of \(\sqrt{5}\), why does \(a^2=5b^2\) imply that (a) is divisible by (5)?
#real-numbers
#root5
#prime-factor
#proof
#hard
A क्योंकि (5) अभाज्य है और \(5\mid a^2\) / Because (5) is prime and \(5\mid a^2\)
B क्योंकि (5) सम संख्या है / Because (5) is an even number
C क्योंकि (b) हमेशा (5) होता है / Because (b) is always (5)
D क्योंकि (a) हमेशा (25) होता है / Because (a) is always (25)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (5) अभाज्य है और \(5\mid a^2\) / Because (5) is prime and \(5\mid a^2\)
Step 1
Concept
\(a^2=5b^2\) से साफ है कि \(a^2\) में (5) गुणनखंड है। / From \(a^2=5b^2\), \(a^2\) clearly has (5) as a factor.
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य होने के कारण (a) में भी (5) गुणनखंड होना चाहिए। / Since (5) is prime, (a) must also have (5) as a factor.
Step 3
Exam Tip
अभाज्य गुणनखंड नियम को ठीक से लागू करें। / Apply the prime-factor rule carefully.
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किस विकल्प में \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता के प्रमाण का सही क्रम दिया गया है?
Which option gives the correct order of proof for the irrationality of \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#proof-order
#hard
A मानें \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), फिर \(a^2=5b^2\), फिर \(5\mid a\), फिर \(5\mid b\) / Assume \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), then \(a^2=5b^2\), then \(5\mid a\), then \(5\mid b\)
B पहले \(5\mid b\), फिर \(\sqrt{5}=a+b\) / First \(5\mid b\), then \(\sqrt{5}=a+b\)
C मानें \(\sqrt{5}=a\), फिर (a=5b) / Assume \(\sqrt{5}=a\), then (a=5b)
D पहले (a=b), फिर (5=1) / First (a=b), then (5=1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. मानें \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), फिर \(a^2=5b^2\), फिर \(5\mid a\), फिर \(5\mid b\) / Assume \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), then \(a^2=5b^2\), then \(5\mid a\), then \(5\mid b\)
Step 1
Concept
सही प्रमाण हमेशा परिमेय मानकर शुरू होता है। / The correct proof starts by assuming the number is rational.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने पर \(a^2=5b^2\) बनता है और फिर (5) की विभाज्यता दोनों पर आती है। / Squaring gives \(a^2=5b^2\), and divisibility by (5) is then forced on both variables.
Step 3
Exam Tip
क्रम सही रखने से पूरा प्रमाण साफ बनता है। / Keeping the order correct makes the proof clear.
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कौन-सा विकल्प \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में गलत कदम है?
Which option is an incorrect step in the proof of \(\sqrt{2}\) being irrational?
#real-numbers
#root2
#error-analysis
#proof
#hard
A \(p^2=2q^2\) से (p) सम है / From \(p^2=2q^2\), (p) is even
B (p) सम है तो (p=2k) लिखा जा सकता है / If (p) is even, (p=2k) can be written
C \(q^2=2k^2\) से (q) सम है / From \(q^2=2k^2\), (q) is even
D (p) सम है इसलिए (q) अवश्य विषम है / Since (p) is even, (q) must be odd
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. (p) सम है इसलिए (q) अवश्य विषम है / Since (p) is even, (q) must be odd
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) से (p) सम होना सही है। / From \(p^2=2q^2\), it is correct that (p) is even.
Step 2
Why this answer is correct
(p=2k) रखने पर (q) भी सम निकलता है, विषम नहीं। / After putting (p=2k), (q) also becomes even, not odd.
Step 3
Exam Tip
गलत विकल्प पहचानने वाले प्रश्नों में हर कदम को समीकरण से मिलाएँ। / In error-identification questions, match every step with the equation.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में यदि अंत में (p=5m) और (q=5n) मिलते हैं, तो \(\frac{p}{q}\) के सरलतम रूप पर सबसे सटीक टिप्पणी क्या होगी?
In the proof of \(\sqrt{5}\), if finally (p=5m) and (q=5n) are obtained, what is the most accurate comment on the lowest form of \(\frac{p}{q}\)?
#sqrt5 proof
#lowest form
#hard
#class 10
A यह सरलतम रूप नहीं हो सकता, क्योंकि इसे (5) से घटाया जा सकता है / It cannot be in lowest form because it can be reduced by (5)
B यह सरलतम रूप ही है, क्योंकि (5) अभाज्य है / It is still in lowest form because (5) is prime
C यह परिभाषित नहीं है, क्योंकि (q=0) है / It is undefined because (q=0)
D यह (5) के बराबर हो जाता है / It becomes equal to (5)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह सरलतम रूप नहीं हो सकता, क्योंकि इसे (5) से घटाया जा सकता है / It cannot be in lowest form because it can be reduced by (5)
Step 1
Concept
(p=5m) और (q=5n) होने पर अंश और हर दोनों में (5) साझा गुणनखंड है। / If (p=5m) and (q=5n), both numerator and denominator have common factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(\frac{p}{q}=\frac{5m}{5n}=\frac{m}{n}\) लिखा जा सकता है, यानी भिन्न घट सकती है। / So \(\frac{p}{q}=\frac{5m}{5n}=\frac{m}{n}\), meaning the fraction can be reduced.
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम रूप की मान्यता के विरुद्ध है, इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय सिद्ध होती है। / This contradicts the lowest-form assumption, so \(\sqrt{5}\) is proved irrational.
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में \(p^2=3q^2\) को अभाज्य गुणनखंडों की घातों से कैसे समझा जा सकता है?
How can \(p^2=3q^2\) in the proof of \(\sqrt{3}\) be understood using exponents of prime factors?
#sqrt3 proof
#prime exponent
#hard
#class 10
A वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए, पर दाईं ओर एक अतिरिक्त (3) आता है / In a square, the exponent of (3) should be even, but the right side adds one extra (3)
B वर्ग में हर अभाज्य की घात शून्य होती है / In a square, every prime has exponent zero
C (3) पूर्ण वर्ग है, इसलिए कोई समस्या नहीं / (3) is a perfect square, so there is no issue
D (q) शून्य होने से समीकरण बनता है / The equation forms because (q) is zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए, पर दाईं ओर एक अतिरिक्त (3) आता है / In a square, the exponent of (3) should be even, but the right side adds one extra (3)
Step 1
Concept
किसी पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य गुणनखंड की घात सम होती है। / In a perfect square, the exponent of every prime factor is even.
Step 2
Why this answer is correct
\(p^2=3q^2\) में दाईं ओर \(q^2\) के साथ एक अतिरिक्त (3) जुड़ता है, जिससे (3) की घात का संतुलन टूटता है। / In \(p^2=3q^2\), the right side adds one extra factor (3) to \(q^2\), disturbing the exponent balance.
Step 3
Exam Tip
इसी सोच से (3) अंश और हर दोनों में आने का विरोधाभास समझ में आता है। / This idea explains why (3) finally appears in both numerator and denominator.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में अंतिम विरोधाभास से ठीक पहले कौन सा कथन होना चाहिए?
In the proof of \(\sqrt{5}\), which statement should come just before the final contradiction?
#sqrt5 proof
#pre contradiction
#hard
#class 10
A (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हैं / Both (p) and (q) are divisible by (5)
B (q=0)
C \(\sqrt{5}=5\)
D (p=q)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हैं / Both (p) and (q) are divisible by (5)
Step 1
Concept
प्रमाण में पहले (p) (5) से विभाज्य सिद्ध होता है। / First (p) is proved divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिस्थापन के बाद (q) भी (5) से विभाज्य सिद्ध होता है। / After substitution, (q) is also proved divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
इसके बाद दोनों में साझा गुणनखंड (5) से विरोधाभास लिखा जाता है। / After this, contradiction is written using common factor (5).
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में \(a^2=2b^2\) से सीधे (a=2b) लिखना किस प्रकार की गलती है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), what type of error is directly writing (a=2b) from \(a^2=2b^2\)?
#sqrt2 proof
#algebra error
#hard
#class 10
A वर्ग समीकरण से गलत मूल समीकरण निकालना / Incorrectly deriving a root-level equation from a squared equation
B सहअभाज्य शर्त का सही उपयोग / Correct use of coprime condition
C वर्गमूल हटाने का सही तरीका / Correct way to remove the square root
D सरलतम रूप की सही पहचान / Correct identification of lowest form
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. वर्ग समीकरण से गलत मूल समीकरण निकालना / Incorrectly deriving a root-level equation from a squared equation
Step 1
Concept
\(a^2=2b^2\) से सीधे (a=2b) नहीं मिलता। / (a=2b) does not directly follow from \(a^2=2b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
सही निष्कर्ष है कि \(a^2\) सम है और (a) सम है। / The correct conclusion is that \(a^2\) is even and (a) is even.
Step 3
Exam Tip
वर्ग समीकरण से जल्दबाजी में मूल समीकरण न बनाएं। / Do not hastily make a root-level equation from a squared equation.
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में कौन सा कथन सही है पर अंतिम निष्कर्ष नहीं है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), which statement is correct but not the final conclusion?
#sqrt3 proof
#incomplete conclusion
#hard
#class 10
A (p) (3) से विभाज्य है / (p) is divisible by (3)
B \(\sqrt{3}=3\)
C (q=0)
D (p=q)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) (3) से विभाज्य है / (p) is divisible by (3)
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से (p) (3) से विभाज्य सिद्ध होता है। / From \(p^2=3q^2\), (p) is proved divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
पर प्रमाण पूरा करने के लिए (q) भी (3) से विभाज्य दिखाना होगा। / But to complete the proof, (q) must also be shown divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
तभी सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास बनेगा। / Only then does contradiction arise with the coprime condition.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में यदि (a=2m) और (b=2n), तो यह किस बात के विरुद्ध है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if (a=2m) and (b=2n), what does this go against?
#sqrt2 proof
#gcd contradiction
#hard
#class 10
A (\gcd(a,b)=1)
B \(b\neq 0\)
C (a) और (b) पूर्णांक हैं / (a) and (b) are integers
D \(\sqrt{2}\) धनात्मक है / \(\sqrt{2}\) is positive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (\gcd(a,b)=1)
Step 1
Concept
(a=2m) और (b=2n) से दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। / (a=2m) and (b=2n) show common factor (2) in both.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (\gcd(a,b)) (1) नहीं हो सकता। / So (\gcd(a,b)) cannot be (1).
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम रूप की शर्त के विरुद्ध है। / This goes against the lowest-form condition.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में (q) के (5) से विभाज्य होने तक सही रास्ता दिखाता है?
Which option shows the correct route to prove (q) divisible by (5) in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#step chain
#hard
#class 10
A \(p^2=5q^2\), (p=5k), \(25k^2=5q^2\), \(q^2=5k^2\)
B \(p^2=5q^2\), (q=5k), (p=5q)
C \(p^2=5q^2\), (p=q), (q=5)
D \(p^2=5q^2\), (q=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(p^2=5q^2\), (p=5k), \(25k^2=5q^2\), \(q^2=5k^2\)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) से (p=5k) मिलता है। / From \(p^2=5q^2\), (p=5k) is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
रखने पर \(25k^2=5q^2\) और फिर \(q^2=5k^2\) मिलता है। / Substitution gives \(25k^2=5q^2\), then \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
तब (q) (5) से विभाज्य सिद्ध होता है। / Then (q) is proved divisible by (5).
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में (p=3k) रखने का उद्देश्य क्या है?
What is the purpose of substituting (p=3k) in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#substitution purpose
#hard
#class 10
A (q) को भी (3) से विभाज्य दिखाना / To show (q) is also divisible by (3)
B (p=q) सिद्ध करना / To prove (p=q)
C \(\sqrt{3}=3\) सिद्ध करना / To prove \(\sqrt{3}=3\)
D (q=0) सिद्ध करना / To prove (q=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (q) को भी (3) से विभाज्य दिखाना / To show (q) is also divisible by (3)
Step 1
Concept
पहले (p) (3) से विभाज्य सिद्ध होता है। / First (p) is proved divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(p=3k) को समीकरण में रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है। / Substituting (p=3k) in the equation gives \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
इससे (q) भी (3) से विभाज्य सिद्ध होता है। / This proves (q) is also divisible by (3).
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में गलत कारण के साथ सही कथन देता है?
Which option gives a true statement with a wrong reason in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#wrong reason
#hard
#class 10
A (p) (5) से विभाज्य है क्योंकि \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है / (p) is divisible by (5) because \(p^2=5q^2\) makes \(p^2\) divisible by (5)
B (p) (5) से विभाज्य है क्योंकि \(\sqrt{5}\) धनात्मक है / (p) is divisible by (5) because \(\sqrt{5}\) is positive
C (q) (5) से विभाज्य है क्योंकि \(q^2=5k^2\) / (q) is divisible by (5) because \(q^2=5k^2\)
D (p) और (q) सहअभाज्य माने गए हैं / (p) and (q) are assumed coprime
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. (p) (5) से विभाज्य है क्योंकि \(\sqrt{5}\) धनात्मक है / (p) is divisible by (5) because \(\sqrt{5}\) is positive
Step 1
Concept
(p) का (5) से विभाज्य होना सही निष्कर्ष हो सकता है। / (p) being divisible by (5) can be a true conclusion.
Step 2
Why this answer is correct
पर इसका कारण \(\sqrt{5}\) का धनात्मक होना नहीं है। / But its reason is not the positivity of \(\sqrt{5}\).
Step 3
Exam Tip
सही कारण \(p^2=5q^2\) और (5) का अभाज्य होना है। / The correct reason is \(p^2=5q^2\) and (5) being prime.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में यदि \(a^2=2b^2\) से (a=2k) मिलता है, तो (k) के बारे में क्या सही है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if (a=2k) is obtained from \(a^2=2b^2\), what is true about (k)?
#sqrt2 proof
#integer parameter
#hard
#class 10
A (k) पूर्णांक है / (k) is an integer
B (k) अपरिमेय है / (k) is irrational
C (k=0) ही है / (k) is only (0)
D \(k=\sqrt{2}\) है / \(k=\sqrt{2}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (k) पूर्णांक है / (k) is an integer
Step 1
Concept
(a) पूर्णांक है और सम सिद्ध हुआ है। / (a) is an integer and has been proved even.
Step 2
Why this answer is correct
सम पूर्णांक को (2k) के रूप में लिखा जाता है, जहां (k) पूर्णांक होता है। / An even integer is written as (2k), where (k) is an integer.
Step 3
Exam Tip
नए अक्षर का प्रकार स्पष्ट लिखना प्रमाण को मजबूत बनाता है। / Clearly mentioning the type of the new variable strengthens the proof.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता की सिद्धि को सही ढंग से पूरा करता है?
Which option correctly completes the proof of irrationality of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#completion
#hard
#class 10
A (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, जो सहअभाज्य होने से विरोधाभास है / Both (p) and (q) are divisible by (3), which contradicts being coprime
B \(\sqrt{3}=3\), इसलिए सिद्धि पूरी / \(\sqrt{3}=3\), so the proof is complete
C (q=0), इसलिए विरोधाभास है / (q=0), so there is contradiction
D (p=q), इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / (p=q), so \(\sqrt{3}\) is irrational
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, जो सहअभाज्य होने से विरोधाभास है / Both (p) and (q) are divisible by (3), which contradicts being coprime
Step 1
Concept
प्रमाण से (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। / The proof shows both (p) and (q) are divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
पर शुरुआत में वे सहअभाज्य माने गए थे। / But at the start, they were assumed coprime.
Step 3
Exam Tip
यही विरोधाभास सिद्धि को पूरा करता है। / This contradiction completes the proof.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। यह किस बात को उजागर करता है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), both (p) and (q) are found divisible by (5). What does this reveal?
#sqrt5 proof
#lowest form
#hard
#class 10
A \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं थी / \(\frac{p}{q}\) was not in lowest form
B \(\sqrt{5}=5\) था / \(\sqrt{5}=5\)
C \(\frac{p}{q}\) शून्य थी / \(\frac{p}{q}\) was zero
D (q=0) था / (q=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं थी / \(\frac{p}{q}\) was not in lowest form
Step 1
Concept
दोनों (5) से विभाज्य होने पर भिन्न में (5) साझा गुणनखंड है। / If both are divisible by (5), the fraction has common factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसी भिन्न को घटाया जा सकता है। / Such a fraction can be reduced.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सरलतम रूप में नहीं हो सकती, जो विरोधाभास है। / Therefore it cannot be in lowest form, which is the contradiction.
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यदि \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में कोई \(a^2=2b^2\) से सीधे (b) सम लिखे, तो गलती क्या है?
If someone writes (b) is even directly from \(a^2=2b^2\) in the proof of \(\sqrt{2}\), what is the mistake?
#sqrt2 proof
#error spotting
#hard
#class 10
A पहले (a) सम सिद्ध कर (a=2k) रखना जरूरी है / First (a) must be proved even and (a=2k) must be substituted
B (b) कभी सम नहीं हो सकता / (b) can never be even
C (2) अभाज्य नहीं है / (2) is not prime
D (b=0) होना चाहिए / (b) must be (0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. पहले (a) सम सिद्ध कर (a=2k) रखना जरूरी है / First (a) must be proved even and (a=2k) must be substituted
Step 1
Concept
\(a^2=2b^2\) से तुरंत \(a^2\) और फिर (a) सम मिलता है। / From \(a^2=2b^2\), first \(a^2\), then (a), is proved even.
Step 2
Why this answer is correct
(b) को सम सिद्ध करने के लिए (a=2k) रखना पड़ता है। / To prove (b) even, (a=2k) must be substituted.
Step 3
Exam Tip
सीधे (b) पर जाना प्रमाण की क्रम-गलती है। / Jumping directly to (b) is an order error.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में यदि \(a^2\) सम है, तो (a) सम क्यों होना चाहिए?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if \(a^2\) is even, why must (a) be even?
#sqrt2 proof
#even square
#logic
#hard
A क्योंकि यदि (a) विषम होता तो \(a^2\) भी विषम होता / Because if (a) were odd, then \(a^2\) would also be odd
B क्योंकि हर संख्या सम होती है / Because every number is even
C क्योंकि (a=b) होता है / Because (a=b)
D क्योंकि (b=0) होता है / Because (b=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि यदि (a) विषम होता तो \(a^2\) भी विषम होता / Because if (a) were odd, then \(a^2\) would also be odd
Step 1
Concept
विषम संख्या का वर्ग विषम होता है। / The square of an odd number is odd.
Step 2
Why this answer is correct
यहां \(a^2\) सम मिला है, इसलिए (a) विषम नहीं हो सकता। / Here \(a^2\) is even, so (a) cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
अतः (a) सम होना निश्चित है। / Hence (a) must be even.
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यदि \(\sqrt{3}\) की सिद्धि में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, तो \(\frac{p}{q}\) के सरलतम रूप पर क्या असर पड़ेगा?
If in the proof of \(\sqrt{3}\), both (p) and (q) are divisible by (3), what is the effect on the lowest form of \(\frac{p}{q}\)?
#sqrt3 proof
#lowest form
#hard
#class 10
A यह सरलतम रूप में नहीं रह सकती / It cannot remain in lowest form
B यह अवश्य (3) हो जाएगी / It must become (3)
C यह शून्य हो जाएगी / It will become zero
D यह परिभाषित नहीं होगी / It will be undefined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह सरलतम रूप में नहीं रह सकती / It cannot remain in lowest form
Step 1
Concept
दोनों (3) से विभाज्य होने पर भिन्न में (3) साझा गुणनखंड है। / If both are divisible by (3), the fraction has common factor (3).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसी भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है। / Such a fraction can be reduced by (3).
Step 3
Exam Tip
इसलिए सरलतम रूप की मान्यता टूटती है। / Therefore the lowest-form assumption breaks.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) की सिद्धि में गलत बीजगणितीय सरलीकरण है?
Which option is a wrong algebraic simplification in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#algebra mistake
#hard
#class 10
A (p=3k) से \(p^2=9k^2\) / From (p=3k), \(p^2=9k^2\)
B \(9k^2=3q^2\) से \(q^2=3k^2\) / From \(9k^2=3q^2\), \(q^2=3k^2\)
C (p=3k) से \(p^2=3k^2\) / From (p=3k), \(p^2=3k^2\)
D \(q^2=3k^2\) से (q) (3) से विभाज्य है / From \(q^2=3k^2\), (q) is divisible by (3)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. (p=3k) से \(p^2=3k^2\) / From (p=3k), \(p^2=3k^2\)
Step 1
Concept
(p=3k) को वर्ग करने पर ((3k)2 ) मिलेगा। / Squaring (p=3k) gives ((3k)2 ).
Step 2
Why this answer is correct
सही मान \(9k^2\) है, \(3k^2\) नहीं। / The correct value is \(9k^2\), not \(3k^2\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग करते समय पूरी राशि का वर्ग करें। / Square the whole expression.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में है। यदि (a=2m) और (b=2n) मिले, तो कौन सा निष्कर्ष सबसे ठीक है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), \(\frac{a}{b}\) is in lowest form. If (a=2m) and (b=2n), which conclusion is most suitable?
#sqrt2 proof
#fraction reduction
#hard
#class 10
A \(\frac{a}{b}\) को \(\frac{m}{n}\) तक घटाया जा सकता है / \(\frac{a}{b}\) can be reduced to \(\frac{m}{n}\)
B \(\frac{a}{b}=2\)
C \(\frac{a}{b}=0\)
D \(\frac{a}{b}\) परिभाषित नहीं है / \(\frac{a}{b}\) is undefined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{a}{b}\) को \(\frac{m}{n}\) तक घटाया जा सकता है / \(\frac{a}{b}\) can be reduced to \(\frac{m}{n}\)
Step 1
Concept
(a=2m) और (b=2n) से अंश और हर दोनों में (2) साझा है। / (a=2m) and (b=2n) show common factor (2) in numerator and denominator.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(\frac{2m}{2n}=\frac{m}{n}\) लिखा जा सकता है। / So \(\frac{2m}{2n}=\frac{m}{n}\).
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम रूप के विरुद्ध है। / This contradicts lowest form.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में (p=5k) और (q=5r) मिलने पर कौन सी आरंभिक शर्त टूटती है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), if (p=5k) and (q=5r) are obtained, which initial condition breaks?
#sqrt5 proof
#coprime condition
#hard
#class 10
A (p) और (q) सहअभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime
B \(q\neq 0\)
C (p) और (q) पूर्णांक हैं / (p) and (q) are integers
D \(\sqrt{5}\) धनात्मक है / \(\sqrt{5}\) is positive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime
Step 1
Concept
(p=5k) और (q=5r) से (p) और (q) दोनों में (5) गुणनखंड है। / (p=5k) and (q=5r) show factor (5) in both (p) and (q).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए वे सहअभाज्य नहीं हो सकते। / So they cannot be coprime.
Step 3
Exam Tip
यह आरंभिक सरलतम रूप की शर्त को तोड़ता है। / This breaks the initial lowest-form condition.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) की सिद्धि में तार्किक क्रम को बिगाड़ता है?
Which option disturbs the logical order in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#logical order
#hard
#class 10
A \(p^2=3q^2\) से पहले (p) और फिर (q) के (3) से विभाज्य होने तक जाना / From \(p^2=3q^2\), first show (p), then (q), divisible by (3)
B \(p^2=3q^2\) से सीधे (q) (3) से विभाज्य लिखना / Directly writing (q) is divisible by (3) from \(p^2=3q^2\)
C (p=3k) रखने पर \(q^2=3k^2\) पाना / Getting \(q^2=3k^2\) after putting (p=3k)
D (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य होने पर विरोधाभास लिखना / Writing contradiction when both (p) and (q) are divisible by (3)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. \(p^2=3q^2\) से सीधे (q) (3) से विभाज्य लिखना / Directly writing (q) is divisible by (3) from \(p^2=3q^2\)
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से पहले (p) के (3) से विभाज्य होने का निष्कर्ष आता है। / From \(p^2=3q^2\), first (p) is concluded divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(p=3k) रखने के बाद \(q^2=3k^2\) मिलता है। / After substituting (p=3k), \(q^2=3k^2\) is obtained.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सीधे (q) पर जाना क्रम की गलती है। / Therefore jumping directly to (q) is an order mistake.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में कौन सा विकल्प सही लेकिन अधूरा निष्कर्ष है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), which option is a correct but incomplete conclusion?
#sqrt2 proof
#incomplete conclusion
#hard
#class 10
A (a) सम है / (a) is even
B (a=b)
C (b=0)
D \(\sqrt{2}=2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (a) सम है / (a) is even
Step 1
Concept
\(a^2=2b^2\) से (a) सम सिद्ध होता है। / From \(a^2=2b^2\), (a) is proved even.
Step 2
Why this answer is correct
पर प्रमाण पूरा करने के लिए (b) भी सम सिद्ध करना होगा। / But to complete the proof, (b) must also be proved even.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम मिलने पर ही सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास बनेगा। / Only when both are even does contradiction arise with the coprime condition.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (a=2k) और (b=2r) मिलने पर (\gcd(a,b)) के बारे में कौन सा कथन सही है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if (a=2k) and (b=2r), which statement about (\gcd(a,b)) is correct?
#sqrt2 proof
#gcd
#hard
#class 10
A (\gcd(a,b)) कम से कम (2) है / (\gcd(a,b)) is at least (2)
B (\gcd(a,b)=1) ही रहेगा / (\gcd(a,b)) will remain (1)
C (\gcd(a,b)=0)
D (\gcd(a,b)=a+b)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (\gcd(a,b)) कम से कम (2) है / (\gcd(a,b)) is at least (2)
Step 1
Concept
(a=2k) और (b=2r) से दोनों (2) से विभाज्य हैं। / (a=2k) and (b=2r) show both are divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए उनका महत्तम समापवर्तक (1) नहीं रह सकता। / So their greatest common divisor cannot remain (1).
Step 3
Exam Tip
यह सहअभाज्य होने की आरंभिक शर्त को तोड़ता है। / This breaks the initial coprime condition.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में \(p^2=5q^2\) से (p=5k) लिखना किस शर्त पर निर्भर करता है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), writing (p=5k) from \(p^2=5q^2\) depends on which condition?
#sqrt5 proof
#prime condition
#hard
#class 10
A (5) अभाज्य है / (5) is prime
B (5) सम है / (5) is even
C (q=0) है / (q=0)
D \(\sqrt{5}=5\) है / \(\sqrt{5}=5\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (5) अभाज्य है / (5) is prime
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य होने के कारण (p) भी (5) से विभाज्य होगा। / Since (5) is prime, (p) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (p=5k) लिखना वैध है। / Therefore (p=5k) is valid.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) की सिद्धि में अंतिम विरोधाभास को सबसे सही रूप में बताता है?
Which option states the final contradiction in the proof of \(\sqrt{2}\) most correctly?
#sqrt2 proof
#final contradiction
#hard
#class 10
A (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों सम निकले / (a) and (b) were assumed coprime, but both turned out even
B \(\sqrt{2}\) धनात्मक है, इसलिए विरोधाभास है / \(\sqrt{2}\) is positive, so there is contradiction
C \(b\neq 0\), इसलिए विरोधाभास है / \(b\neq 0\), so there is contradiction
D (a) और (b) पूर्णांक हैं, इसलिए विरोधाभास है / (a) and (b) are integers, so there is contradiction
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों सम निकले / (a) and (b) were assumed coprime, but both turned out even
Step 1
Concept
सरलतम रूप में (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे। / In lowest form, (a) and (b) were assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में दोनों सम मिलते हैं, यानी दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। / The proof shows both are even, so both have common factor (2).
Step 3
Exam Tip
यही सही अंतिम विरोधाभास है। / This is the correct final contradiction.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यदि (p=5k) और (q=5r) मिलें, तो \(\frac{p}{q}\) को कैसे घटाया जा सकता है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), if (p=5k) and (q=5r), how can \(\frac{p}{q}\) be reduced?
#sqrt5 proof
#fraction reduction
#hard
#class 10
A \(\frac{p}{q}=\frac{5k}{5r}=\frac{k}{r}\)
B \(\frac{p}{q}=\frac{k}{5r}\)
C \(\frac{p}{q}=5kr\)
D \(\frac{p}{q}=\frac{25k}{r}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{p}{q}=\frac{5k}{5r}=\frac{k}{r}\)
Step 1
Concept
(p=5k) और (q=5r) होने पर अंश और हर दोनों में (5) साझा है। / If (p=5k) and (q=5r), both numerator and denominator share (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{5k}{5r}\) को घटाकर \(\frac{k}{r}\) लिखा जा सकता है। / \(\frac{5k}{5r}\) can be reduced to \(\frac{k}{r}\).
Step 3
Exam Tip
इससे साफ होता है कि भिन्न सरलतम रूप में नहीं थी। / This shows the fraction was not in lowest form.
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में \(q^2=3k^2\) मिलने के बाद (q=3r) लिखने का आधार क्या है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), what is the basis for writing (q=3r) after getting \(q^2=3k^2\)?
#sqrt3 proof
#q divisibility
#hard
#class 10
A \(q^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है / \(q^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
B (q=3) पहले से है / (q=3) already
C (k=q) है / (k=q)
D (q) शून्य है / (q) is zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(q^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है / \(q^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
Step 1
Concept
\(q^2=3k^2\) से \(q^2\) (3) से विभाज्य है। / From \(q^2=3k^2\), \(q^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य होगा। / Since (3) is prime, (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
इसीलिए (q=3r) लिखा जाता है। / Therefore (q=3r) is written.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में \(p^2=5q^2\) से कौन सा निष्कर्ष तुरंत नहीं निकाला जा सकता?
In the proof of \(\sqrt{5}\), which conclusion cannot be drawn immediately from \(p^2=5q^2\)?
#sqrt5 proof
#immediate conclusion
#hard
#class 10
A \(p^2\) (5) से विभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (5)
B (p) (5) से विभाज्य है / (p) is divisible by (5)
C (p=5k) किसी पूर्णांक (k) के लिए / (p=5k) for some integer (k)
D (q) (5) से विभाज्य है / (q) is divisible by (5)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. (q) (5) से विभाज्य है / (q) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) से पहले \(p^2\) और फिर (p) (5) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। / From \(p^2=5q^2\), first \(p^2\), then (p), is proved divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(p=5k) रखने के बाद ही \(q^2=5k^2\) मिलेगा। / Only after putting (p=5k) do we get \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (q) की विभाज्यता तुरंत नहीं आती। / So divisibility of (q) is not immediate.
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में (p=3r) और (q=3s) मिलने पर (\gcd(p,q)) के बारे में क्या निश्चित है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), if (p=3r) and (q=3s), what is definite about (\gcd(p,q))?
#sqrt3 proof
#gcd
#hard
#class 10
A (\gcd(p,q)) कम से कम (3) है / (\gcd(p,q)) is at least (3)
B (\gcd(p,q)=1) ही रहेगा / (\gcd(p,q)) will remain (1)
C (\gcd(p,q)=0)
D (\gcd(p,q)=p+q)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (\gcd(p,q)) कम से कम (3) है / (\gcd(p,q)) is at least (3)
Step 1
Concept
(p=3r) और (q=3s) से दोनों में (3) गुणनखंड है। / (p=3r) and (q=3s) show factor (3) in both.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए उनका महत्तम समापवर्तक (1) नहीं रह सकता और कम से कम (3) होगा। / So their greatest common divisor cannot remain (1) and is at least (3).
Step 3
Exam Tip
यही सरलतम रूप से विरोधाभास है। / This contradicts lowest form.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (a) सम सिद्ध होने के तुरंत बाद (b) सम कहना क्यों अधूरा तर्क है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), why is saying (b) is even immediately after proving (a) even an incomplete reasoning?
#sqrt2 proof
#logical order
#hard
#class 10
A क्योंकि (b) सम सिद्ध करने के लिए (a=2k) को समीकरण में रखना होगा / Because to prove (b) even, (a=2k) must be substituted in the equation
B क्योंकि (b) कभी सम नहीं हो सकता / Because (b) can never be even
C क्योंकि (b=0) होता है / Because (b=0)
D क्योंकि (a=b) सिद्ध हो चुका है / Because (a=b) is already proved
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (b) सम सिद्ध करने के लिए (a=2k) को समीकरण में रखना होगा / Because to prove (b) even, (a=2k) must be substituted in the equation
Step 1
Concept
(a) सम होने से (b) अपने आप सम नहीं होता। / (a) being even does not automatically make (b) even.
Step 2
Why this answer is correct
(a=2k) रखने पर \(b^2=2k^2\) मिलता है। / After substituting (a=2k), we get \(b^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
तभी (b) सम सिद्ध किया जा सकता है। / Only then can (b) be proved even.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में कौन सा कथन बीजगणितीय रूप से गलत है?
Which statement is algebraically wrong in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#algebra error
#hard
#class 10
A (p=5k) से \(p^2=25k^2\) / From (p=5k), \(p^2=25k^2\)
B \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है / From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5)
C (p=5k) से \(p^2=5k^2\) / From (p=5k), \(p^2=5k^2\)
D \(q^2=5k^2\) से (q) (5) से विभाज्य है / From \(q^2=5k^2\), (q) is divisible by (5)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. (p=5k) से \(p^2=5k^2\) / From (p=5k), \(p^2=5k^2\)
Step 1
Concept
(p=5k) का वर्ग ((5k)2 ) होगा। / The square of (p=5k) is ((5k)2 ).
Step 2
Why this answer is correct
((5k)2 =25k-2 ), इसलिए \(5k^2\) लिखना गलत है। / ((5k)2 =25k-2 ), so writing \(5k^2\) is wrong.
Step 3
Exam Tip
गुणांक का वर्ग करना कभी न भूलें। / Never forget to square the coefficient.
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में (p=3k) रखने पर \(p^2=3q^2\) से कौन सा मध्य समीकरण सही है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), after putting (p=3k), which middle equation is correct from \(p^2=3q^2\)?
#sqrt3 proof
#algebra
#hard
#class 10
A \(9k^2=3q^2\)
B \(3k^2=3q^2\)
C \(k^2=3q^2\)
D \(p^2=9q^2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(9k^2=3q^2\)
Step 1
Concept
(p=3k) का वर्ग करने पर \(p^2=9k^2\) मिलता है। / Squaring (p=3k) gives \(p^2=9k^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसे \(p^2=3q^2\) में रखने पर \(9k^2=3q^2\) होगा। / Substitution in \(p^2=3q^2\) gives \(9k^2=3q^2\).
Step 3
Exam Tip
((3k)2 ) को \(3k^2\) न लिखें। / Do not write ((3k)2 ) as \(3k^2\).
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (a=2r) रखने पर \(a^2=2b^2\) से \(b^2\) का सही रूप क्या मिलेगा?
In the proof of \(\sqrt{2}\), after putting (a=2r), what correct form of \(b^2\) follows from \(a^2=2b^2\)?
#sqrt2 proof
#b square
#hard
#class 10
A \(b^2=4r^2\)
B \(b^2=r^2\)
C \(b^2=2r^2\)
D (b=2r)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. \(b^2=2r^2\)
Step 1
Concept
(a=2r) रखने पर \(a^2=4r^2\) होगा। / If (a=2r), then \(a^2=4r^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(4r^2=2b^2\) से (2) से भाग करने पर \(b^2=2r^2\) मिलता है। / From \(4r^2=2b^2\), dividing by (2) gives \(b^2=2r^2\).
Step 3
Exam Tip
इसी से (b) के सम होने का आधार मिलता है। / This becomes the basis for proving (b) even.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) की सिद्धि में (p=3k) रखने के बाद सही आगे का तर्क देता है?
Which option gives the correct further reasoning after substituting (p=3k) in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#substitution reasoning
#hard
A \(9k^2=3q^2\), इसलिए \(q^2=3k^2\), अतः (q) (3) से विभाज्य है / \(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\), hence (q) is divisible by (3)
B \(3k^2=3q^2\), इसलिए (q=k), अतः प्रमाण पूरा / \(3k^2=3q^2\), so (q=k), hence proof complete
C (p=q), इसलिए विरोधाभास / (p=q), so contradiction
D (q=0), इसलिए भिन्न अमान्य / (q=0), so fraction invalid
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(9k^2=3q^2\), इसलिए \(q^2=3k^2\), अतः (q) (3) से विभाज्य है / \(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\), hence (q) is divisible by (3)
Step 1
Concept
(p=3k) रखने पर \(p^2=9k^2\) होगा। / If (p=3k), then \(p^2=9k^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(9k^2=3q^2\) से \(q^2=3k^2\) मिलता है। / From \(9k^2=3q^2\), we get \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
अभाज्य नियम से (q) (3) से विभाज्य होता है। / By the prime rule, (q) is divisible by (3).
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यदि \(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं, तो यह किस कथन को खंडित करता है?
If both (p) and (q) are found even in the proof of \(\sqrt{2}\), which statement does it refute?
#sqrt2 proof
#gcd contradiction
#hard
#class 10
A (\gcd(p,q)=1)
B \(q\neq 0\)
C (p) पूर्णांक है / (p) is an integer
D \(\sqrt{2}\) धनात्मक है / \(\sqrt{2}\) is positive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (\gcd(p,q)=1)
Step 1
Concept
दोनों सम होने पर (p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य हैं। / If both are even, both (p) and (q) are divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
तब उनका महत्तम समापवर्तक (1) नहीं रह सकता। / Then their greatest common divisor cannot remain (1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (\gcd(p,q)=1) की शर्त खंडित होती है। / Therefore the condition (\gcd(p,q)=1) is refuted.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यदि \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में है, तो (p=5k) और (q=5r) मिलने पर कौन सा कथन सही है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), if \(\frac{p}{q}\) is in lowest form, which statement is correct when (p=5k) and (q=5r) are obtained?
#sqrt5 proof
#lowest form contradiction
#hard
A यह परिणाम असंभव है क्योंकि भिन्न घट सकती है / This result is impossible because the fraction can be reduced
B यह परिणाम सिद्ध करता है कि \(\sqrt{5}=5\) / This result proves \(\sqrt{5}=5\)
C यह परिणाम (q=0) बताता है / This result shows (q=0)
D यह परिणाम बताता है कि (5) पूर्ण वर्ग है / This result shows (5) is a perfect square
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह परिणाम असंभव है क्योंकि भिन्न घट सकती है / This result is impossible because the fraction can be reduced
Step 1
Concept
(p=5k) और (q=5r) का अर्थ है कि दोनों में (5) साझा है। / (p=5k) and (q=5r) mean both have common factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसी भिन्न को (5) से घटाया जा सकता है। / Such a fraction can be reduced by (5).
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सरलतम रूप की मान्यता के लिए असंभव परिणाम है। / Hence this is an impossible result for the lowest-form assumption.
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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता की सिद्धि में अंतिम निष्कर्ष से ठीक पहले कौन सा कथन होना चाहिए?
In the proof of irrationality of \(\sqrt{3}\), which statement should come just before the final conclusion?
#sqrt3 proof
#pre final step
#hard
#class 10
A (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, जो सहअभाज्य होने के विरुद्ध है / Both (p) and (q) are divisible by (3), which contradicts being coprime
B (q=0), इसलिए भिन्न नहीं बन सकती / (q=0), so the fraction cannot be formed
C \(\sqrt{3}=3\), इसलिए विरोधाभास है / \(\sqrt{3}=3\), so it is a contradiction
D (p=q), इसलिए प्रमाण पूरा है / (p=q), so the proof is complete
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, जो सहअभाज्य होने के विरुद्ध है / Both (p) and (q) are divisible by (3), which contradicts being coprime
Step 1
Concept
प्रमाण में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। / The proof shows both (p) and (q) are divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
यह उनके सहअभाज्य होने की शर्त से टकराता है। / This contradicts their coprime condition.
Step 3
Exam Tip
इसके बाद अंतिम निष्कर्ष लिखा जाता है कि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / After this, the final conclusion is written that \(\sqrt{3}\) is irrational.
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यदि \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में कोई \(p^2=5q^2\) से (p=5q) लिखता है, तो गलती किस प्रकार की है?
If someone writes (p=5q) from \(p^2=5q^2\) in the proof of \(\sqrt{5}\), what type of error is it?
#sqrt5 proof
#algebra error
#hard
#class 10
A वर्ग समीकरण से मूल समीकरण गलत तरीके से निकालना / Incorrectly taking a root-level equation from a squared equation
B सहअभाज्य शर्त सही लिखना / Correctly writing the coprime condition
C अभाज्य गुणनखंड का सही उपयोग / Correct use of prime factor
D सरलतम रूप की सही पहचान / Correct identification of lowest form
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. वर्ग समीकरण से मूल समीकरण गलत तरीके से निकालना / Incorrectly taking a root-level equation from a squared equation
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) से सीधे (p=5q) नहीं मिलता। / (p=5q) does not directly follow from \(p^2=5q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
सही निष्कर्ष है कि \(p^2\) (5) से विभाज्य है और फिर (p) (5) से विभाज्य है। / The correct conclusion is that \(p^2\) is divisible by (5), then (p) is divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
वर्ग समीकरण से जल्दबाजी में मूल समीकरण न निकालें। / Do not hastily derive a root-level equation from a squared equation.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप मानने की भूमिका बताता है?
Which option tells the role of assuming \(\frac{p}{q}\) in lowest form in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#lowest form role
#hard
#class 10
A बाद में (p) और (q) दोनों सम मिलने पर विरोधाभास दिखाना / To show contradiction when both (p) and (q) are later found even
B दशमलव मान निकालना / To find decimal value
C हर को शून्य बनाना / To make the denominator zero
D \(\sqrt{2}=2\) सिद्ध करना / To prove \(\sqrt{2}=2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. बाद में (p) और (q) दोनों सम मिलने पर विरोधाभास दिखाना / To show contradiction when both (p) and (q) are later found even
Step 1
Concept
सरलतम रूप में (p) और (q) सहअभाज्य होते हैं। / In lowest form, (p) and (q) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं। / The proof shows both (p) and (q) are even.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होना सरलतम रूप की शर्त को तोड़ता है। / Both being even breaks the lowest-form condition.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यदि \(p^2=3q^2\) से (p) (3) से विभाज्य है, तो (p=3k) में (k) कैसा होगा?
In the proof of \(\sqrt{3}\), if (p) is divisible by (3) from \(p^2=3q^2\), what type of number is (k) in (p=3k)?
#sqrt3 proof
#integer parameter
#hard
#class 10
A पूर्णांक / Integer
B अपरिमेय संख्या / Irrational number
C वर्गमूल / Square root
D शून्य ही / Only zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. पूर्णांक / Integer
Step 1
Concept
(p) एक पूर्णांक है और (3) से विभाज्य है। / (p) is an integer and is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (p=3k) लिखा जा सकता है, जहां (k) भी पूर्णांक होगा। / Therefore (p=3k), where (k) is also an integer.
Step 3
Exam Tip
ऐसे रूप में नए अक्षर का प्रकार लिखना प्रमाण को स्पष्ट बनाता है। / Mentioning the type of the new variable makes the proof clear.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में कौन सा कथन सही है लेकिन गलत कारण के साथ दिया गया है?
Which statement is true but given with a wrong reason in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#wrong reason
#hard
#class 10
A (p) सम है क्योंकि \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है / (p) is even because \(p^2=2q^2\) makes \(p^2\) even
B (p) सम है क्योंकि \(\sqrt{2}\) धनात्मक है / (p) is even because \(\sqrt{2}\) is positive
C (q) सम है क्योंकि \(q^2=2k^2\) / (q) is even because \(q^2=2k^2\)
D (p) और (q) सहअभाज्य माने गए हैं / (p) and (q) are assumed coprime
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. (p) सम है क्योंकि \(\sqrt{2}\) धनात्मक है / (p) is even because \(\sqrt{2}\) is positive
Step 1
Concept
(p) का सम होना सही हो सकता है, पर इसका कारण \(\sqrt{2}\) का धनात्मक होना नहीं है। / (p) being even may be true, but the reason is not the positivity of \(\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
सही कारण \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम मिलना है। / The correct reason is that \(p^2=2q^2\) makes \(p^2\) even.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में सही कथन के साथ सही कारण भी जरूरी है। / In proof writing, a true statement must have the correct reason.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (\gcd(p,q)=1) के विरुद्ध परिणाम देता है?
Which option gives a result against (\gcd(p,q)=1) in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#gcd
#common factor
#hard
A (p=5m) और (q=5n) / (p=5m) and (q=5n)
B \(q\neq 0\)
C (p) और (q) पूर्णांक हैं / (p) and (q) are integers
D \(\sqrt{5}\) धनात्मक है / \(\sqrt{5}\) is positive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p=5m) और (q=5n) / (p=5m) and (q=5n)
Step 1
Concept
(\gcd(p,q)=1) का अर्थ है कि (p) और (q) सहअभाज्य हैं। / (\gcd(p,q)=1) means (p) and (q) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(p=5m) और (q=5n) होने पर (5) उनका साझा गुणनखंड है। / If (p=5m) and (q=5n), (5) is their common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह (\gcd(p,q)=1) के विरुद्ध है। / Therefore this goes against (\gcd(p,q)=1).
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (p=2k) और (q=2r) मिलने पर \(\frac{p}{q}\) को कैसे घटाया जा सकता है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if (p=2k) and (q=2r), how can \(\frac{p}{q}\) be reduced?
#sqrt2 proof
#fraction reduction
#hard
#class 10
A \(\frac{p}{q}=\frac{2k}{2r}=\frac{k}{r}\)
B \(\frac{p}{q}=\frac{k}{2r}\)
C \(\frac{p}{q}=\frac{2k}{r}\)
D \(\frac{p}{q}=2kr\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{p}{q}=\frac{2k}{2r}=\frac{k}{r}\)
Step 1
Concept
(p=2k) और (q=2r) होने पर अंश और हर में (2) साझा है। / If (p=2k) and (q=2r), both numerator and denominator have common factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(\frac{2k}{2r}\) को (2) से घटाकर \(\frac{k}{r}\) लिखा जा सकता है। / So \(\frac{2k}{2r}\) can be reduced to \(\frac{k}{r}\).
Step 3
Exam Tip
यह दिखाता है कि \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं था। / This shows \(\frac{p}{q}\) was not in lowest form.
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यदि \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं, तो इससे कौन सा महत्तम समापवर्तक संबंध निश्चित रूप से टूटता है?
If in the proof of \(\sqrt{3}\), both (p) and (q) turn out divisible by (3), which greatest common divisor condition definitely breaks?
#sqrt3 proof
#gcd
#coprime
#hard
A (\gcd(p,q)=1)
B (\gcd(p,q)=3q)
C (\gcd(p,q)=0)
D (\gcd(p,q)=p+q)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (\gcd(p,q)=1)
Step 1
Concept
सरलतम रूप में \(\frac{p}{q}\) लेने का अर्थ है (\gcd(p,q)=1)। / Taking \(\frac{p}{q}\) in lowest form means (\gcd(p,q)=1).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों (3) से विभाज्य हों तो महत्तम समापवर्तक कम से कम (3) होगा। / If both are divisible by (3), their greatest common divisor is at least (3).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (\gcd(p,q)=1) की शर्त टूट जाती है। / Therefore the condition (\gcd(p,q)=1) breaks.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(p^2=5q^2\) मिलने के बाद कौन सा निष्कर्ष तुरंत नहीं निकाला जा सकता?
In the proof of \(\sqrt{5}\), after getting \(p^2=5q^2\), which conclusion cannot be drawn immediately?
#sqrt5 proof
#immediate conclusion
#hard
#class 10
A (q) (5) से विभाज्य है / (q) is divisible by (5)
B \(p^2\) (5) से विभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (5)
C (p) (5) से विभाज्य है / (p) is divisible by (5)
D (p=5k) किसी पूर्णांक (k) के लिए / (p=5k) for some integer (k)
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Correct Answer
A. (q) (5) से विभाज्य है / (q) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) से तुरंत \(p^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is immediately divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
फिर (p) (5) से विभाज्य और (p=5k) लिखा जा सकता है। / Then (p) is divisible by (5) and (p=5k) can be written.
Step 3
Exam Tip
(q) की विभाज्यता (p=5k) रखने के बाद आती है, तुरंत नहीं। / Divisibility of (q) comes after substituting (p=5k), not immediately.
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