A. \(p^2=3q^2\) से सीधे (p=3q) लिखना/Directly writing (p=3q) from \(p^2=3q^2\)
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
This means (p) is divisible by (3), but (p=3q) does not follow directly.
Step 3
Exam Tip
The correct way is to write (p=3k). चरण 1: \(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य मिलता है। चरण 2: इससे (p) (3) से विभाज्य है, पर सीधे (p=3q) नहीं मिलता। चरण 3: सही तरीका (p=3k) लिखना है।
\(p^2=3q^2\) usually comes from the proof of \(\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
To identify the proof, look at the factor in the equation. चरण 1: समीकरण में मुख्य गुणनखंड (3) है। चरण 2: \(p^2=3q^2\) सामान्य रूप से \(\sqrt{3}\) की सिद्धि से आता है। चरण 3: प्रमाण पहचानने के लिए समीकरण का गुणनखंड देखें।
Assuming \(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) and squaring gives \(p^2=nq^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Here (n=3), so it relates to \(\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
Identify the square root from the factor in the equation. चरण 1: \(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) मानने पर वर्ग करने से \(p^2=nq^2\) मिलता है। चरण 2: यहां (n=3) है, इसलिए यह \(\sqrt{3}\) से जुड़ा है। चरण 3: समीकरण में गुणनखंड देखकर मूल संख्या पहचानें।
A. यदि \(p^2\) (3) से विभाज्य है, तो (p) (3) से विभाज्य है/If \(p^2\) is divisible by (3), then (p) is divisible by (3)
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{3}\), factor (3) is used.
Step 2
Why this answer is correct
So if \(p^2\) is divisible by (3), (p) is divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
Identify the relevant factor in each proof. चरण 1: \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (3) का गुणनखंड काम करता है। चरण 2: इसलिए \(p^2\) (3) से विभाज्य होने पर (p) (3) से विभाज्य कहा जाता है। चरण 3: हर प्रमाण में संबंधित संख्या का गुणनखंड पहचानें।
A. वर्ग करने के बाद \(p^2=3q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (3) मिलता है/After squaring, \(p^2=3q^2\) is formed and common factor (3) is found
Step 1
Concept
Assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) and squaring gives \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Later, common factor (3) is found in both (p) and (q).
Step 3
Exam Tip
This identifies the proof of \(\sqrt{3}\). चरण 1: \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानकर वर्ग करने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है। चरण 2: आगे (p) और (q) दोनों में (3) साझा गुणनखंड मिलता है। चरण 3: यही \(\sqrt{3}\) की सिद्धि की पहचान है।
A. पहले (p) को (3) से विभाज्य सिद्ध कर (p=3k) रखना पड़ता है/First (p) must be proved divisible by (3) and (p=3k) must be substituted
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), first \(p^2\) and then (p) are found divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
After substituting (p=3k), we get \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
Then (q) is concluded divisible by (3). चरण 1: \(p^2=3q^2\) से पहले \(p^2\) और फिर (p) (3) से विभाज्य मिलता है। चरण 2: (p=3k) रखने के बाद \(q^2=3k^2\) आता है। चरण 3: तब (q) के (3) से विभाज्य होने का निष्कर्ष लिया जाता है।
A. परिमेय मानने पर अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं/Assuming rational makes both numerator and denominator divisible by (3)
Step 1
Concept
Assume \(\sqrt{3}\) rational and write it in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both numerator and denominator divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
This contradicts the condition of a lowest-form fraction. चरण 1: \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न में लिखते हैं। चरण 2: प्रमाण से अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 3: यह सरलतम भिन्न की शर्त से विरोधाभास है।
A. क्योंकि पहले (p) के (3) से विभाज्य होने को सिद्ध कर (p=3k) रखना पड़ता है/Because first (p) must be proved divisible by (3) and (p=3k) must be substituted
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), first \(p^2\) and then (p) are found divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
Only after substituting (p=3k) do we get \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
Keeping the order correct makes the proof strong. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से पहले \(p^2\) और फिर (p) (3) से विभाज्य मिलता है। चरण 2: (p=3k) रखने के बाद ही \(q^2=3k^2\) मिलता है। चरण 3: निष्कर्षों का क्रम सही रखना प्रमाण को मजबूत बनाता है।
A. पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर अंत में असंभव साझा गुणनखंड पाना/First assuming \(\sqrt{2}\) rational and finally getting an impossible common factor
Step 1
Concept
Proof by contradiction assumes the opposite statement.
Step 2
Why this answer is correct
Then that assumption gives an impossible result.
Step 3
Exam Tip
In \(\sqrt{2}\), the common factor (2) is that impossible result. चरण 1: विरोधाभास की विधि में विपरीत बात को मानते हैं। चरण 2: फिर वह मान्यता असंभव परिणाम देती है। चरण 3: \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलना यही असंभव परिणाम है।
A. वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए, पर दाईं ओर एक अतिरिक्त (3) आता है/In a square, the exponent of (3) should be even, but the right side adds one extra (3)
Step 1
Concept
In a perfect square, the exponent of every prime factor is even.
Step 2
Why this answer is correct
In \(p^2=3q^2\), the right side adds one extra factor (3) to \(q^2\), disturbing the exponent balance.
Step 3
Exam Tip
This idea explains why (3) finally appears in both numerator and denominator. चरण 1: किसी पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य गुणनखंड की घात सम होती है। चरण 2: \(p^2=3q^2\) में दाईं ओर \(q^2\) के साथ एक अतिरिक्त (3) जुड़ता है, जिससे (3) की घात का संतुलन टूटता है। चरण 3: इसी सोच से (3) अंश और हर दोनों में आने का विरोधाभास समझ में आता है।
From \(p^2=3q^2\), (p) is proved divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
But to complete the proof, (q) must also be shown divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
Only then does contradiction arise with the coprime condition. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से (p) (3) से विभाज्य सिद्ध होता है। चरण 2: पर प्रमाण पूरा करने के लिए (q) भी (3) से विभाज्य दिखाना होगा। चरण 3: तभी सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास बनेगा।
A. (q) को भी (3) से विभाज्य दिखाना/To show (q) is also divisible by (3)
Step 1
Concept
First (p) is proved divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
Substituting (p=3k) in the equation gives \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
This proves (q) is also divisible by (3). चरण 1: पहले (p) (3) से विभाज्य सिद्ध होता है। चरण 2: (p=3k) को समीकरण में रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है। चरण 3: इससे (q) भी (3) से विभाज्य सिद्ध होता है।
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, जो सहअभाज्य होने से विरोधाभास है/Both (p) and (q) are divisible by (3), which contradicts being coprime
Step 1
Concept
The proof shows both (p) and (q) are divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
But at the start, they were assumed coprime.
Step 3
Exam Tip
This contradiction completes the proof. चरण 1: प्रमाण से (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। चरण 2: पर शुरुआत में वे सहअभाज्य माने गए थे। चरण 3: यही विरोधाभास सिद्धि को पूरा करता है।
A. यह सरलतम रूप में नहीं रह सकती/It cannot remain in lowest form
Step 1
Concept
If both are divisible by (3), the fraction has common factor (3).
Step 2
Why this answer is correct
Such a fraction can be reduced by (3).
Step 3
Exam Tip
Therefore the lowest-form assumption breaks. चरण 1: दोनों (3) से विभाज्य होने पर भिन्न में (3) साझा गुणनखंड है। चरण 2: ऐसी भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है। चरण 3: इसलिए सरलतम रूप की मान्यता टूटती है।
C. (p=3k) से \(p^2=3k^2\)/From (p=3k), \(p^2=3k^2\)
Step 1
Concept
Squaring (p=3k) gives ((3k)2).
Step 2
Why this answer is correct
The correct value is \(9k^2\), not \(3k^2\).
Step 3
Exam Tip
Square the whole expression. चरण 1: (p=3k) को वर्ग करने पर ((3k)2) मिलेगा। चरण 2: सही मान \(9k^2\) है, \(3k^2\) नहीं। चरण 3: वर्ग करते समय पूरी राशि का वर्ग करें।
B. \(p^2=3q^2\) से सीधे (q) (3) से विभाज्य लिखना/Directly writing (q) is divisible by (3) from \(p^2=3q^2\)
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), first (p) is concluded divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
After substituting (p=3k), \(q^2=3k^2\) is obtained.
Step 3
Exam Tip
Therefore jumping directly to (q) is an order mistake. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से पहले (p) के (3) से विभाज्य होने का निष्कर्ष आता है। चरण 2: (p=3k) रखने के बाद \(q^2=3k^2\) मिलता है। चरण 3: इसलिए सीधे (q) पर जाना क्रम की गलती है।
A. \(q^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है/\(q^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
Step 1
Concept
From \(q^2=3k^2\), \(q^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
Since (3) is prime, (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
Therefore (q=3r) is written. चरण 1: \(q^2=3k^2\) से \(q^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य होगा। चरण 3: इसीलिए (q=3r) लिखा जाता है।
A. (\gcd(p,q)) कम से कम (3) है/(\gcd(p,q)) is at least (3)
Step 1
Concept
(p=3r) and (q=3s) show factor (3) in both.
Step 2
Why this answer is correct
So their greatest common divisor cannot remain (1) and is at least (3).
Step 3
Exam Tip
This contradicts lowest form. चरण 1: (p=3r) और (q=3s) से दोनों में (3) गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए उनका महत्तम समापवर्तक (1) नहीं रह सकता और कम से कम (3) होगा। चरण 3: यही सरलतम रूप से विरोधाभास है।
Do not write ((3k)2) as \(3k^2\). चरण 1: (p=3k) का वर्ग करने पर \(p^2=9k^2\) मिलता है। चरण 2: इसे \(p^2=3q^2\) में रखने पर \(9k^2=3q^2\) होगा। चरण 3: ((3k)2) को \(3k^2\) न लिखें।
A. \(9k^2=3q^2\), इसलिए \(q^2=3k^2\), अतः (q) (3) से विभाज्य है/\(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\), hence (q) is divisible by (3)
Step 1
Concept
If (p=3k), then \(p^2=9k^2\).
Step 2
Why this answer is correct
From \(9k^2=3q^2\), we get \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
By the prime rule, (q) is divisible by (3). चरण 1: (p=3k) रखने पर \(p^2=9k^2\) होगा। चरण 2: \(9k^2=3q^2\) से \(q^2=3k^2\) मिलता है। चरण 3: अभाज्य नियम से (q) (3) से विभाज्य होता है।
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, जो सहअभाज्य होने के विरुद्ध है/Both (p) and (q) are divisible by (3), which contradicts being coprime
Step 1
Concept
The proof shows both (p) and (q) are divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
This contradicts their coprime condition.
Step 3
Exam Tip
After this, the final conclusion is written that \(\sqrt{3}\) is irrational. चरण 1: प्रमाण में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। चरण 2: यह उनके सहअभाज्य होने की शर्त से टकराता है। चरण 3: इसके बाद अंतिम निष्कर्ष लिखा जाता है कि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
Mentioning the type of the new variable makes the proof clear. चरण 1: (p) एक पूर्णांक है और (3) से विभाज्य है। चरण 2: इसलिए (p=3k) लिखा जा सकता है, जहां (k) भी पूर्णांक होगा। चरण 3: ऐसे रूप में नए अक्षर का प्रकार लिखना प्रमाण को स्पष्ट बनाता है।
Taking \(\frac{p}{q}\) in lowest form means (\gcd(p,q)=1).
Step 2
Why this answer is correct
If both are divisible by (3), their greatest common divisor is at least (3).
Step 3
Exam Tip
Therefore the condition (\gcd(p,q)=1) breaks. चरण 1: सरलतम रूप में \(\frac{p}{q}\) लेने का अर्थ है (\gcd(p,q)=1)। चरण 2: दोनों (3) से विभाज्य हों तो महत्तम समापवर्तक कम से कम (3) होगा। चरण 3: इसलिए (\gcd(p,q)=1) की शर्त टूट जाती है।
A. यह सरलतम रूप में नहीं हो सकती/It cannot be in lowest form
Step 1
Concept
If both are divisible by (3), numerator and denominator have common factor (3).
Step 2
Why this answer is correct
Such a fraction can be reduced further by (3).
Step 3
Exam Tip
Hence it cannot be in lowest form. चरण 1: दोनों (3) से विभाज्य हैं तो अंश और हर में (3) साझा गुणनखंड है। चरण 2: ऐसी भिन्न को (3) से और सरल किया जा सकता है। चरण 3: इसलिए यह सरलतम रूप में नहीं हो सकती।
A. क्योंकि \(q^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है/Because \(q^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
Step 1
Concept
From \(q^2=3k^2\), \(q^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
Since (3) is prime, (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
Therefore writing (q=3r) is correct. चरण 1: \(q^2=3k^2\) से \(q^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 2: (3) अभाज्य होने से (q) भी (3) से विभाज्य होगा। चरण 3: इसलिए (q=3r) लिखना सही है।
A. क्योंकि \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में माना गया था, पर (3) साझा गुणनखंड मिल गया/Because \(\frac{p}{q}\) was assumed in lowest form, but common factor (3) was found
Step 1
Concept
In the rational assumption, \(\frac{p}{q}\) was taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
(p=3k) and (q=3r) show common factor (3) in both.
Step 3
Exam Tip
This contradicts lowest form, so the rational assumption is false. चरण 1: परिमेय मान्यता में \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लिया गया था। चरण 2: (p=3k) और (q=3r) बताता है कि (p) और (q) दोनों में (3) साझा है। चरण 3: यह सरलतम रूप से विरोधाभास है, इसलिए परिमेय मान्यता गलत है।
A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं हो सकती/\(\frac{p}{q}\) cannot be in lowest form
Step 1
Concept
(p=3r) and (q=3s) mean both (p) and (q) have common factor (3).
Step 2
Why this answer is correct
The numerator and denominator of a lowest-form fraction should be coprime.
Step 3
Exam Tip
Thus this contradicts the lowest-form assumption. चरण 1: (p=3r) और (q=3s) का अर्थ है कि (p) और (q) दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। चरण 2: सरलतम भिन्न के अंश और हर सहअभाज्य होने चाहिए। चरण 3: इसलिए यह सरलतम रूप की मान्यता से विरोधाभास है।
A. \(p^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है/\(p^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
Since (3) is prime, if \(p^2\) is divisible by (3), then (p) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
Then writing (p=3k) is valid. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 2: (3) अभाज्य संख्या है, इसलिए \(p^2\) के (3) से विभाज्य होने पर (p) भी (3) से विभाज्य होगा। चरण 3: तब (p=3k) लिखना सही है।
A. यह सरलतम रूप में नहीं है/It is not in lowest form
Step 1
Concept
If both are divisible by (3), numerator and denominator have common factor (3).
Step 2
Why this answer is correct
Such a fraction can be reduced by (3).
Step 3
Exam Tip
So it cannot be in lowest form. चरण 1: दोनों (3) से विभाज्य हों तो अंश और हर में (3) साझा गुणनखंड है। चरण 2: ऐसी भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है। चरण 3: इसलिए यह सरलतम रूप में नहीं हो सकती।
D. (p=3k) से \(p^2=3k^2\)/From (p=3k), \(p^2=3k^2\)
Step 1
Concept
Squaring (p=3k) gives ((3k)2).
Step 2
Why this answer is correct
Its correct value is \(9k^2\), not \(3k^2\).
Step 3
Exam Tip
Do not forget to square the coefficient. चरण 1: (p=3k) को वर्ग करने पर ((3k)2) मिलता है। चरण 2: इसका सही मान \(9k^2\) है, \(3k^2\) नहीं। चरण 3: गुणांक का वर्ग न भूलें।
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, यह सहअभाज्य होने से विरोधाभास है/Both (p) and (q) are divisible by (3), which contradicts being coprime
Step 1
Concept
In the proof, both (p) and (q) are proved divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
But they were assumed coprime at the start.
Step 3
Exam Tip
This contradiction completes the proof. चरण 1: प्रमाण में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। चरण 2: लेकिन शुरू में वे सहअभाज्य माने गए थे। चरण 3: यही विरोधाभास सिद्धि को पूरा करता है।
A. \(p^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है/\(p^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
Since (3) is prime, (p) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
Therefore writing (p=3k) is valid. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (3) से विभाज्य होगा। चरण 3: इसलिए (p=3k) लिखना उचित है।
Therefore (q=3r) can be written. चरण 1: \(q^2=3k^2\) से \(q^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए (q) (3) से विभाज्य है। चरण 3: इसलिए (q=3r) लिखा जा सकता है।
A. (p) और (q) में (3) साझा गुणनखंड है/(p) and (q) have common factor (3)
Step 1
Concept
(p=3k) means (p) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(q=3r) means (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
Common factor (3) contradicts the coprime condition. चरण 1: (p=3k) से (p) (3) से विभाज्य है। चरण 2: (q=3r) से (q) भी (3) से विभाज्य है। चरण 3: दोनों में साझा गुणनखंड (3) होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है।
If both are divisible by (3), common factor (3) exists.
Step 3
Exam Tip
Therefore it contradicts the coprime condition. चरण 1: सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: दोनों (3) से विभाज्य हों तो साझा गुणनखंड (3) है। चरण 3: इसलिए यह सहअभाज्य होने की शर्त से विरोधाभास बनाता है।
Always remember to square the coefficient. चरण 1: (p=3k) है, इसलिए (p-2=(3k)2)। चरण 2: ((3k)2=9k-2), अतः \(9k^2=3q^2\) मिलेगा। चरण 3: गुणांक का वर्ग करना हमेशा याद रखें।
After squaring, do not forget to multiply by \(q^2\). चरण 1: दोनों ओर वर्ग करने पर \(3=\frac{p^2}{q^2}\) मिलता है। चरण 2: हर हटाने पर \(p^2=3q^2\) मिलेगा। चरण 3: वर्ग करने के बाद दोनों ओर \(q^2\) से गुणा करना न भूलें।
A. \(p^2=3q^2\), (p=3k), \(9k^2=3q^2\), \(q^2=3k^2\)
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), we write (p=3k).
Step 2
Why this answer is correct
Substitution gives \(9k^2=3q^2\), then \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
This correct chain leads to (q) being divisible by (3). चरण 1: \(p^2=3q^2\) से (p=3k) लिखा जाता है। चरण 2: रखने पर \(9k^2=3q^2\) और फिर \(q^2=3k^2\) मिलता है। चरण 3: यही सही श्रृंखला (q) के (3) से विभाज्य होने तक जाती है।
This shows a common factor in (p) and (q). चरण 1: \(q^2=3k^2\) से \(q^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य होगा। चरण 3: यही (p) और (q) में साझा गुणनखंड दिखाता है।
A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं रह सकता/\(\frac{p}{q}\) cannot remain in lowest form
Step 1
Concept
If both are divisible by (3), the fraction has common factor (3).
Step 2
Why this answer is correct
Such a fraction can be reduced further.
Step 3
Exam Tip
So it contradicts the lowest-form assumption. चरण 1: दोनों (3) से विभाज्य होने पर भिन्न में साझा गुणनखंड (3) है। चरण 2: ऐसी भिन्न को और सरल किया जा सकता है। चरण 3: इसलिए यह सरलतम रूप की मान्यता से टकराता है।
The coefficient (3) must also be squared to (9). चरण 1: (p=3k) दिया है। चरण 2: वर्ग करने पर (p-2=(3k)2=9k-2)। चरण 3: गुणांक (3) का भी वर्ग (9) करना जरूरी है।
A. परिमेय मानें, \(p^2=3q^2\) पाएं, (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य दिखाएं/Assume rational, get \(p^2=3q^2\), show both (p) and (q) divisible by (3)
Step 1
Concept
Assume \(\sqrt{3}\) rational and write it in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
Squaring gives \(p^2=3q^2\).
Step 3
Exam Tip
Finally, show common factor (3) in both and write the contradiction. चरण 1: \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न लिखते हैं। चरण 2: वर्ग करने से \(p^2=3q^2\) मिलता है। चरण 3: अंत में दोनों में (3) साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास लिखा जाता है।
This leads to (q) being divisible by (3). चरण 1: \(9k^2=3q^2\) के दोनों पक्षों को (3) से भाग दें। चरण 2: \(3k^2=q^2\), अर्थात \(q^2=3k^2\) मिलेगा। चरण 3: इसी से (q) के (3) से विभाज्य होने का रास्ता बनता है।
A. यदि अभाज्य संख्या किसी वर्ग को विभाजित करे, तो वह मूल संख्या को भी विभाजित करती है/If a prime divides a square, it divides the original number
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(3) is prime, so the prime divisibility rule applies.
Step 3
Exam Tip
Therefore (p) is also divisible by (3). चरण 1: \(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 2: (3) अभाज्य है और अभाज्य विभाज्यता का नियम लागू होता है। चरण 3: इसलिए (p) भी (3) से विभाज्य होगा।
A. केवल \(p^2=3q^2\) लिखकर रुक जाना/Stopping after only writing \(p^2=3q^2\)
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) is a middle step, not the end.
Step 2
Why this answer is correct
After this, both (p) and (q) must be shown divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
The proof is incomplete without contradiction and conclusion. चरण 1: \(p^2=3q^2\) प्रमाण का मध्य चरण है, अंतिम नहीं। चरण 2: इसके बाद (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य दिखाने होते हैं। चरण 3: विरोधाभास और निष्कर्ष लिखे बिना प्रमाण पूरा नहीं होता।
By the prime rule, (b) is also divisible by (3). चरण 1: (a=3k) रखने के बाद \(b^2=3k^2\) मिलता है। चरण 2: इसलिए \(b^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 3: अभाज्य नियम से (b) भी (3) से विभाज्य होगा।
To remove it, we square both sides and get \(3=\frac{p^2}{q^2}\).
Step 3
Exam Tip
Choose the correct algebraic operation to remove the radical. चरण 1: \(\sqrt{3}\) में वर्गमूल मौजूद है। चरण 2: उसे हटाने के लिए दोनों ओर वर्ग किया जाता है, जिससे \(3=\frac{p^2}{q^2}\) मिलता है। चरण 3: वर्गमूल हटाने के लिए सही बीजगणितीय क्रिया चुनें।
A. (p) और (q) में (3) साझा गुणनखंड है/(p) and (q) have (3) as a common factor
Step 1
Concept
(p=3r) means (p) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(q=3s) means (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
Both have common factor (3), so the coprime condition breaks. चरण 1: (p=3r) से (p) (3) से विभाज्य है। चरण 2: (q=3s) से (q) भी (3) से विभाज्य है। चरण 3: दोनों में (3) साझा गुणनखंड है, इसलिए सहअभाज्य शर्त टूटती है।
A. क्योंकि \(a^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है/Because \(a^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
Step 1
Concept
From \(a^2=3b^2\), \(a^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
Since (3) is prime, (a) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
Therefore writing (a=3k) is valid. चरण 1: \(a^2=3b^2\) से \(a^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए (a) भी (3) से विभाज्य होगा। चरण 3: इसलिए (a=3k) लिखना उचित है।
From \(9t^2=3b^2\), divide by (3) to get \(b^2=3t^2\).
Step 3
Exam Tip
Do not rush the division step. चरण 1: (a=3t) रखने पर \(a^2=9t^2\) होगा। चरण 2: \(9t^2=3b^2\) से दोनों ओर (3) से भाग करने पर \(b^2=3t^2\) मिलेगा। चरण 3: भाग करने के चरण में जल्दबाजी न करें।
This shows a common factor in (p) and (q). चरण 1: \(q^2=3k^2\) से \(q^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य होगा। चरण 3: इसी से (p) और (q) में साझा गुणनखंड दिखता है।
A. अतः \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
The rational assumption makes both (p) and (q) divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
This contradicts the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
Therefore the final conclusion is that \(\sqrt{3}\) is irrational. चरण 1: परिमेय मान्यता से (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 2: यह सहअभाज्य होने की शर्त से विरोधाभास है। चरण 3: इसलिए अंतिम निष्कर्ष \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
D. \(p^2=3q^2\) से (p=3q)/From \(p^2=3q^2\), (p=3q)
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
This gives (p) divisible by (3), but we cannot directly write (p=3q).
Step 3
Exam Tip
The correct way is to write (p=3k). चरण 1: \(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 2: इससे (p) (3) से विभाज्य है, लेकिन सीधे (p=3q) नहीं लिखा जा सकता। चरण 3: सही तरीका है (p=3k) लिखना।
B. मान लें \(\sqrt{3}\) परिमेय है/Assume \(\sqrt{3}\) is rational
Step 1
Concept
To prove irrationality, we assume the opposite statement.
Step 2
Why this answer is correct
So at the beginning, \(\sqrt{3}\) is assumed rational.
Step 3
Exam Tip
Then it is written as a fraction in lowest form. चरण 1: अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए उलटी बात मानते हैं। चरण 2: इसलिए शुरुआत में \(\sqrt{3}\) को परिमेय माना जाता है। चरण 3: फिर उसे सरलतम भिन्न के रूप में लिखा जाता है।
This leads to (q) being divisible by (3). चरण 1: \(9k^2=3q^2\) के दोनों ओर (3) से भाग करें। चरण 2: \(3k^2=q^2\), यानी \(q^2=3k^2\) मिलेगा। चरण 3: इससे (q) के (3) से विभाज्य होने की राह खुलती है।
In the proof of \(\sqrt{3}\), the fact that (3) is prime is useful.
Step 3
Exam Tip
Understand the difference between perfect square and prime. चरण 1: (3) पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (3) का अभाज्य होना उपयोगी है। चरण 3: पूर्ण वर्ग और अभाज्य में अंतर समझें।
It shows both (a) and (b) divisible by (3). चरण 1: \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानने पर \(a^2=3b^2\) मिलता है। चरण 2: इसलिए (3) का गुणनखंड प्रमाण का मुख्य आधार बनता है। चरण 3: इसी से (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं।
A. दोनों में (3) साझा गुणनखंड है/Both have (3) as a common factor
Step 1
Concept
(a=3k) means (a) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(b=3l) means (b) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
So both have (3) as a common factor. चरण 1: (a=3k) का अर्थ है (a) (3) से विभाज्य है। चरण 2: (b=3l) का अर्थ है (b) भी (3) से विभाज्य है। चरण 3: इसलिए दोनों में (3) साझा गुणनखंड है।
A. मान लें \(\sqrt{3}\) परिमेय है/Assume \(\sqrt{3}\) is rational
Step 1
Concept
To prove irrationality, we take the opposite assumption.
Step 2
Why this answer is correct
So first we assume \(\sqrt{3}\) is rational.
Step 3
Exam Tip
Then we write it as \(\frac{a}{b}\) in lowest form. चरण 1: अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए विपरीत मान्यता लेते हैं। चरण 2: इसलिए पहले \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानते हैं। चरण 3: फिर उसे \(\frac{a}{b}\) के सरलतम रूप में लिखते हैं।
Then conclude that (b) is divisible by (3). चरण 1: \(9k^2=3b^2\) में दोनों ओर (3) से भाग करें। चरण 2: \(3k^2=b^2\) मिलेगा, यानी \(b^2=3k^2\)। चरण 3: फिर (b) के (3) से विभाज्य होने का निष्कर्ष लें।
This form helps show divisibility of (b) later. चरण 1: \(a^2=3b^2\) से (a) (3) से विभाज्य मिलता है। चरण 2: (3) से विभाज्य संख्या को (3k) के रूप में लिखा जाता है। चरण 3: यह रूप आगे (b) की विभाज्यता दिखाने में मदद करता है।
Directly writing (a=3b) from the equation is wrong. चरण 1: \(a^2=3b^2\) से \(a^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 2: फिर (a) (3) से विभाज्य है और (a=3k) लिखते हैं। चरण 3: इस समीकरण से सीधे (a=3b) लिखना गलत है।
A. सहअभाज्य होने की शर्त/The condition of being coprime
Step 1
Concept
Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
If both (a) and (b) are divisible by (3), they have common factor (3).
Step 3
Exam Tip
This is the contradiction in the proof. चरण 1: सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य हों तो साझा गुणनखंड (3) है। चरण 3: यही प्रमाण का विरोधाभास है।
Write this algebraic step carefully in the proof of \(\sqrt{3}\). चरण 1: (a=3k) है। चरण 2: वर्ग करने पर ((3k)2=9k-2) मिलता है। चरण 3: \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यह बीजगणितीय चरण ध्यान से लिखें।
Remember this rule from square to original number. चरण 1: \(a^2=3b^2\) से \(a^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए (a) भी (3) से विभाज्य होगा। चरण 3: वर्ग से मूल संख्या पर आने वाला यह नियम याद रखें।
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं/Both (p) and (q) are divisible by (3)
Step 1
Concept
The rational assumption and squaring steps come first.
Step 2
Why this answer is correct
Near the end, both (p) and (q) are found divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
This creates a contradiction against the coprime condition. चरण 1: पहले परिमेय मान्यता और वर्ग करने के चरण आते हैं। चरण 2: अंत के पास (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 3: इसी से सहअभाज्य शर्त के विरुद्ध विरोधाभास बनता है।
A. \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में/In the proof of \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{3}\), we get \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
This proves both (p) and (q) are divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
The prime under the root becomes the common factor. चरण 1: \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(p^2=3q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। चरण 3: संख्या के नीचे जो अभाज्य है, वही साझा गुणनखंड बनता है।
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं/Both (p) and (q) are found divisible by (3)
Step 1
Concept
At the start, (p) and (q) are taken as coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both are divisible by (3), so they have common factor (3).
Step 3
Exam Tip
This contradiction proves \(\sqrt{3}\) is irrational. चरण 1: शुरुआत में (p) और (q) सहअभाज्य माने जाते हैं। चरण 2: प्रमाण में दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं, यानी साझा गुणनखंड (3) है। चरण 3: यही विरोधाभास \(\sqrt{3}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है।
A. \(p^2=2q^2\) से (p) सम है और यहीं रुक जाना/From \(p^2=2q^2\), (p) is even, and stopping there
Step 1
Concept
Proving (p) even is only half of the proof.
Step 2
Why this answer is correct
We must next put (p=2k) and show (q) is also even.
Step 3
Exam Tip
Without reaching the final contradiction, the answer is incomplete. चरण 1: (p) सम होना केवल आधा प्रमाण है। चरण 2: आगे (p=2k) रखकर (q) का भी सम होना दिखाना पड़ता है। चरण 3: अंतिम विरोधाभास तक पहुँचे बिना उत्तर पूरा नहीं माना जाएगा।
If a square is even, the integer itself is even, so (q) is even.
Step 3
Exam Tip
Now both (p) and (q) are even, completing the contradiction. चरण 1: \(q^2=2k^2\) बताता है कि \(q^2\) सम है। चरण 2: वर्ग सम होने पर मूल पूर्णांक भी सम होता है, इसलिए (q) सम है। चरण 3: अब (p) और (q) दोनों सम होने से विरोधाभास पूरा होता है।
A. (b) को भी समीकरण में रखकर सम सिद्ध करना/Prove (b) even by substituting in the equation
Step 1
Concept
Getting only (a) even does not create contradiction with the coprime condition.
Step 2
Why this answer is correct
Substitute (a=2k) in \(a^2=2b^2\) to get \(b^2=2k^2\), then prove (b) even.
Step 3
Exam Tip
Contradiction occurs only when both have common factor (2). चरण 1: केवल (a) सम मिलना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास नहीं बनाता। चरण 2: (a=2k) को \(a^2=2b^2\) में रखकर \(b^2=2k^2\) और फिर (b) सम सिद्ध करना होगा। चरण 3: विरोधाभास तब बनेगा जब दोनों में (2) साझा गुणनखंड मिले।
A. केवल \(p^2=5q^2\) लिखकर रुक जाना/Stopping after only writing \(p^2=5q^2\)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) is only a middle step.
Step 2
Why this answer is correct
After this, both (p) and (q) must be shown divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Without contradiction and final conclusion, the proof is incomplete. चरण 1: \(p^2=5q^2\) केवल मध्य चरण है। चरण 2: इसके बाद (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाने होते हैं। चरण 3: विरोधाभास और अंतिम निष्कर्ष के बिना प्रमाण पूरा नहीं होता।
So first \(a^2\) is called even, and then (a) is proved even.
Step 3
Exam Tip
Do not change the order of conclusions in exams. चरण 1: \(a^2=2b^2\) में दाईं ओर (2) का गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए पहले \(a^2\) को सम कहा जाएगा और फिर (a) सम सिद्ध होगा। चरण 3: परीक्षा में निष्कर्षों का क्रम न बदलें।
A. वर्ग करने के बाद \(p^2=5q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (5) मिलता है/After squaring, \(p^2=5q^2\) is formed and common factor (5) is found
Step 1
Concept
Assuming \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) and squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
This (5) becomes a common factor in both (p) and (q).
Step 3
Exam Tip
This identifies the proof of \(\sqrt{5}\). चरण 1: \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) मानकर वर्ग करने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। चरण 2: इसी (5) से (p) और (q) दोनों में साझा गुणनखंड मिलता है। चरण 3: यही \(\sqrt{5}\) के प्रमाण की पहचान है।
From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) and then (p) are proved even.
Step 2
Why this answer is correct
But to complete the proof, (q) must also be shown even.
Step 3
Exam Tip
Only then a contradiction arises through common factor (2). चरण 1: \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम और फिर (p) सम सिद्ध होता है। चरण 2: लेकिन प्रमाण पूरा करने के लिए (q) भी सम दिखाना होगा। चरण 3: तभी दोनों में साझा गुणनखंड (2) से विरोधाभास बनेगा।
A. यह अधूरा है, पहले (p) सम और फिर प्रतिस्थापन से (q) सम सिद्ध होता है/This is incomplete; first (p) is proved even and then (q) is proved even by substitution
Step 1
Concept
From \(p^2=2q^2\), first only \(p^2\) and then (p) are proved even.
Step 2
Why this answer is correct
After substituting (p=2k), \(q^2=2k^2\) is obtained and then (q) is proved even.
Step 3
Exam Tip
Skipping order is considered an error in proof writing. चरण 1: \(p^2=2q^2\) से पहले केवल \(p^2\) सम और फिर (p) सम मिलता है। चरण 2: (p=2k) रखने के बाद \(q^2=2k^2\) मिलता है और तब (q) सम सिद्ध होता है। चरण 3: प्रमाण में क्रम छोड़ना गलती मानी जाती है।
A. \(p^2=5q^2\) से सीधे (q) (5) से विभाज्य है कहना/Saying directly from \(p^2=5q^2\) that (q) is divisible by (5)
Step 1
Concept
From \(p^2=5q^2\), first \(p^2\) and then (p) are proved divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Only after substituting (p=5k) do we get \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
So directly concluding about (q) is an order mistake. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से पहले \(p^2\) और फिर (p) (5) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। चरण 2: (p=5k) रखने के बाद ही \(q^2=5k^2\) मिलता है। चरण 3: इसलिए सीधे (q) के बारे में निष्कर्ष लेना क्रम की गलती है।
A. पहले \(p^2\) सम और (p) सम सिद्ध करके (p=2k) रखना होता है/First \(p^2\) even and (p) even must be proved, then (p=2k) is substituted
Step 1
Concept
From \(p^2=2q^2\), we immediately get \(p^2\) even.
Step 2
Why this answer is correct
Only after substituting (p=2k) do we get \(q^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
Skipping the order makes the proof weak. चरण 1: \(p^2=2q^2\) से तुरंत \(p^2\) सम मिलता है। चरण 2: फिर (p=2k) रखकर ही \(q^2=2k^2\) मिलता है। चरण 3: क्रम छोड़ने से प्रमाण कमजोर हो जाता है।
A. परिमेय मानना, \(p^2=5q^2\) पाना, (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाना/Assume rational, get \(p^2=5q^2\), show both (p) and (q) divisible by (5)
Step 1
Concept
The proof starts with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
Squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 3
Exam Tip
Then common factor (5) in both gives the contradiction. चरण 1: प्रमाण परिमेय मान्यता से शुरू होता है। चरण 2: वर्ग करने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। चरण 3: फिर दोनों में (5) साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास बनाया जाता है।
A. केवल \(p^2=5q^2\) लिखकर रुक जाना/Stopping after only writing \(p^2=5q^2\)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) is a middle step of the proof.
Step 2
Why this answer is correct
After this, both (p) and (q) must be shown divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
The proof is incomplete without contradiction and conclusion. चरण 1: \(p^2=5q^2\) प्रमाण का मध्य चरण है। चरण 2: इसके बाद (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाने होते हैं। चरण 3: विरोधाभास और निष्कर्ष लिखे बिना प्रमाण पूरा नहीं होता।
A. परिमेय मानना, वर्ग करना, (p) और (q) दोनों सम पाना, विरोधाभास लिखना/Assume rational, square, find both (p) and (q) even, write contradiction
Step 1
Concept
In contradiction, first assume \(\sqrt{2}\) rational.
Step 2
Why this answer is correct
Squaring gives evenness conclusions.
Step 3
Exam Tip
Finding both even contradicts the coprime condition. चरण 1: विरोधाभास विधि में पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानते हैं। चरण 2: वर्ग करने से समता के निष्कर्ष मिलते हैं। चरण 3: दोनों सम मिलना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास देता है।
A. (p=5k) रखकर \(q^2=5k^2\) मिलने के बाद/After substituting (p=5k) and getting \(q^2=5k^2\)
Step 1
Concept
First, from \(p^2=5q^2\), (p) is found divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Then substituting (p=5k) gives \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
Then (q) is concluded divisible by (5). चरण 1: पहले \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य मिलता है। चरण 2: फिर (p=5k) रखने पर \(q^2=5k^2\) मिलता है। चरण 3: तब (q) के (5) से विभाज्य होने का निष्कर्ष आता है।
A. मानें \(\sqrt{5}\) परिमेय है, \(p^2=5q^2\) पाएं, (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाएं/Assume \(\sqrt{5}\) rational, get \(p^2=5q^2\), show both (p) and (q) divisible by (5)
Step 1
Concept
The proof starts with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
Squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 3
Exam Tip
Finally, a common factor (5) in both gives the contradiction. चरण 1: प्रमाण परिमेय मान्यता से शुरू होता है। चरण 2: वर्ग करने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। चरण 3: अंत में दोनों में (5) साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास बनाया जाता है।
A. परिमेय मानें, वर्ग करें, दोनों सम पाएं, सहअभाज्य से विरोधाभास/Assume rational, square, find both even, contradict coprime
Step 1
Concept
Assume \(\sqrt{2}\) rational and write it as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
Squaring leads to both (p) and (q) being even.
Step 3
Exam Tip
Both even contradict the coprime condition. चरण 1: \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) लिखते हैं। चरण 2: वर्ग करने पर दोनों (p) और (q) सम निकलते हैं। चरण 3: दोनों सम होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास देता है।
A. अभाज्य गुणनखंड वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है/If a prime factor divides a square, it also divides the original number
Step 1
Concept
In \(\sqrt{3}\), the prime factor is (3), and in \(\sqrt{5}\), the prime factor is (5).
Step 2
Why this answer is correct
When \(p^2\) is divisible by that prime, (p) is also divisible by the same prime.
Step 3
Exam Tip
This idea later shows a common factor in (p) and (q), creating contradiction. चरण 1: \(\sqrt{3}\) में (3) और \(\sqrt{5}\) में (5) अभाज्य गुणनखंड हैं। चरण 2: जब \(p^2\) इनसे विभाज्य होता है, तो (p) भी उसी अभाज्य संख्या से विभाज्य होता है। चरण 3: यही विचार आगे (p) और (q) में साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास बनाता है।
A. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है क्योंकि परिमेय मानने पर (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं/\(\sqrt{3}\) is irrational because assuming rational makes both (p) and (q) divisible by (3)
This contradicts coprime condition, so \(\sqrt{3}\) is irrational. चरण 1: \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। चरण 3: यह सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
A. जब (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य मिलें/When both (a) and (b) are found divisible by (3)
Step 1
Concept
Coprime numbers have no common factor other than (1).
Step 2
Why this answer is correct
If both are divisible by (3), the common factor is (3).
Step 3
Exam Tip
This contradiction proves \(\sqrt{3}\) irrational. चरण 1: सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: यदि दोनों (3) से विभाज्य मिलें, तो साझा गुणनखंड (3) होगा। चरण 3: यही विरोधाभास \(\sqrt{3}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है।
B. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं/Both (p) and (q) are divisible by (3)
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{3}\), both (p) and (q) are found divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
But they were assumed coprime at the beginning.
Step 3
Exam Tip
This is the final contradiction. चरण 1: \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 2: लेकिन शुरुआत में वे सहअभाज्य माने गए थे। चरण 3: यही अंतिम विरोधाभास है।
A. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
Assuming rationality makes both (p) and (q) divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
This goes against their being coprime.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(\sqrt{3}\) is not rational, but irrational. चरण 1: परिमेय मानने पर (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 2: यह उनके सहअभाज्य होने के विरुद्ध है। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं, बल्कि अपरिमेय है।
A. \(\sqrt{3}\) का लंबा दशमलव मान लिखना/Writing a long decimal value of \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
A long decimal value is not a necessary part of the proof.
Step 2
Why this answer is correct
The proof is based on rational assumption, squaring, and prime divisibility.
Step 3
Exam Tip
Avoid unnecessary decimals in exams. चरण 1: लंबा दशमलव मान प्रमाण का जरूरी हिस्सा नहीं है। चरण 2: प्रमाण परिमेय मान्यता, वर्ग और अभाज्य विभाज्यता पर आधारित है। चरण 3: परीक्षा में अनावश्यक दशमलव लिखने से बचें।
The step from \(5\mid b^2\) to \(5\mid b\) uses the prime-factor rule.
Step 2
Why this answer is correct
This rule applies because (5) is prime.
Step 3
Exam Tip
Mentioning this reason makes the proof complete in exams. चरण 1: \(5\mid b^2\) से \(5\mid b\) निकालने में अभाज्य गुणनखंड का नियम लगता है। चरण 2: यह नियम इसलिए लागू है क्योंकि (5) अभाज्य है। चरण 3: परीक्षा में यह कारण लिखने से प्रमाण पूर्ण दिखता है।
D. अतः \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
The proof obtains a contradiction from the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
The contradiction shows that the starting assumption was false.
Step 3
Exam Tip
Therefore the final sentence should clearly state that \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: प्रमाण में परिमेय मान्यता से विरोधाभास प्राप्त होता है। चरण 2: विरोधाभास बताता है कि आरंभिक मान्यता गलत थी। चरण 3: इसलिए अंतिम वाक्य स्पष्ट होना चाहिए कि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
B. विपरीत मान्यता लेकर उससे असंभव परिणाम प्राप्त करना/Assume the opposite and derive an impossible result
Step 1
Concept
In proof by contradiction, the opposite statement is assumed first.
Step 2
Why this answer is correct
Then that assumption leads to a result against the given condition.
Step 3
Exam Tip
The proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) are written by this method. चरण 1: विरोधाभास द्वारा प्रमाण में पहले विपरीत बात मानी जाती है। चरण 2: फिर उस मान्यता से दी गई शर्त के विरुद्ध परिणाम मिलता है। चरण 3: \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) के प्रमाण इसी विधि से लिखे जाते हैं।
A. क्योंकि \(q^2\) सम है और सम वर्ग का आधार सम होता है/Because \(q^2\) is even and the base of an even square is even
Step 1
Concept
From \(q^2=2k^2\), \(q^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
If the square of an integer is even, the integer is also even.
Step 3
Exam Tip
Thus both (p) and (q) are found even. चरण 1: \(q^2=2k^2\) से \(q^2\) सम है। चरण 2: यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम है, तो वह पूर्णांक भी सम होता है। चरण 3: इस तरह (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं।
C. अतः परिमेय मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/Hence the rational assumption is false, so \(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
The proof starts by assuming \(\sqrt{3}\) rational.
Step 2
Why this answer is correct
That assumption gives a common factor against coprimality.
Step 3
Exam Tip
Therefore the final conclusion is that \(\sqrt{3}\) is irrational. चरण 1: प्रमाण में \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर शुरुआत की जाती है। चरण 2: उस मान्यता से सहअभाज्यता के विरुद्ध साझा गुणनखंड मिलता है। चरण 3: इसलिए अंतिम निष्कर्ष यही होगा कि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
C. साझा गुणनखंड मिलना निर्णायक विरोधाभास नहीं बनेगा/Finding a common factor will not become a decisive contradiction
Step 1
Concept
The contradiction depends on (p) and (q) being coprime.
Step 2
Why this answer is correct
Without stating lowest form, both being even is not a decisive contradiction.
Step 3
Exam Tip
Therefore mention lowest form at the start. चरण 1: विरोधाभास इस बात पर निर्भर करता है कि (p) और (q) सहअभाज्य हैं। चरण 2: सरलतम रूप न लिखने पर दोनों सम मिलना जरूरी विरोधाभास नहीं कहलाएगा। चरण 3: इसलिए शुरू में सरलतम रूप अवश्य लिखें।
A. (a=5k) रखने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b\)/Putting (a=5k) gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b\)
Step 1
Concept
Substituting (a=5k) in \(a^2=5b^2\) gives \(25k^2=5b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Simplifying gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b^2\) and \(5\mid b\).
Step 3
Exam Tip
This shows the final common factor. चरण 1: (a=5k) को \(a^2=5b^2\) में रखने से \(25k^2=5b^2\) मिलता है। चरण 2: सरल करने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b^2\) और \(5\mid b\)। चरण 3: यह अंतिम साझा गुणनखंड दिखाता है।
A. दशमलव अनुमान पूर्ण प्रमाण नहीं होता/A decimal approximation is not a complete proof
Step 1
Concept
(1.732) is only an approximate value, not the full value.
Step 2
Why this answer is correct
To prove irrationality, we must assume rationality and show a contradiction with coprimality.
Step 3
Exam Tip
In exams, write a logical proof, not an approximation. चरण 1: (1.732) केवल निकट मान है, पूरा मान नहीं। चरण 2: अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए परिमेय मानकर सहअभाज्यता का विरोधाभास दिखाना पड़ता है। चरण 3: परीक्षा में अनुमान नहीं, तार्किक प्रमाण लिखें।
Divisibility is written in multiple form, so (a=5t).
Step 3
Exam Tip
This form helps prove divisibility of (b) next. चरण 1: \(5\mid a\) का अर्थ है कि (a) (5) से विभाज्य है। चरण 2: विभाज्यता को गुणज के रूप में लिखते हैं, इसलिए (a=5t)। चरण 3: यह रूप आगे (b) की विभाज्यता सिद्ध करने में मदद करता है।
