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यह विषम घात का बहुपद है जिसका अग्र गुणांक धनात्मक है। / This is an odd-degree polynomial with positive leading coefficient.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) की ओर जाता है इसलिए हर वास्तविक लक्ष्य मान मिल जाता है। / As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\), so every real target value is obtained.
Step 3
Exam Tip
कठिन प्रश्नों में भी विषम घात बहुपद का अंत व्यवहार जल्दी पहचानें। / In hard questions, first check the end behavior of odd-degree polynomials.
इसका परास \([-4,\infty\)) है और वही सहक्षेत्र दिया गया है। / Its range is \([-4,\infty\)), exactly the given codomain.
Step 3
Exam Tip
आच्छादकता में सूत्र से अधिक महत्वपूर्ण परास और सहक्षेत्र की बराबरी है। / For onto, the equality of range and codomain is more important than the formula alone.
\(x+\sin x\) सतत फलन है। / \(x+\sin x\) is continuous.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर यह \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है क्योंकि (x) वाला भाग प्रमुख है। / As \(x\to\infty\), it goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\), because the (x)-term dominates.
Step 3
Exam Tip
सीमित त्रिकोणमितीय भाग के साथ (x) जुड़ा हो तो अंत व्यवहार देखें। / When a bounded trigonometric term is added to (x), check end behavior.
\(\cos x\) सीमित है और (x) असीम दिशा में बढ़ता या घटता है। / \(\cos x\) is bounded, while (x) grows without bound in both directions.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(x-\cos x\) का मान भी दोनों दिशाओं में असीम जाता है और फलन सतत है। / Hence \(x-\cos x\) also goes without bound in both directions and is continuous.
Step 3
Exam Tip
सततता और अंत व्यवहार मिलकर आच्छादकता सिद्ध कर सकते हैं। / Continuity plus end behavior can prove onto.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि परास \([2,\infty\)) है/Not onto because range is \([2,\infty\))
Step 1
Concept
(x>0) के लिए \(x+\frac{1}{x}\ge 2\) होता है। / For (x>0), \(x+\frac{1}{x}\ge 2\).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) में (1) और ऋणात्मक संख्याएँ हैं जो नहीं मिलतीं। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (1) and negative numbers, which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
\(x+\frac{1}{x}\) में न्यूनतम मान पहचानना परीक्षा में बहुत उपयोगी है। / Identifying the minimum of \(x+\frac{1}{x}\) is very useful in exams.
\(x+\frac{1}{x}\) का न्यूनतम मान (2) है जो (x=1) पर मिलता है। / The minimum value of \(x+\frac{1}{x}\) is (2), attained at (x=1).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to0^+\) या \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) की ओर जाता है इसलिए \([2,\infty\)) पूरा मिलता है। / As \(x\to0^+\) or \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), so all of \([2,\infty\)) is obtained.
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम मान मिलने के बाद सहक्षेत्र से तुलना करें। / After finding the minimum, compare it with the codomain.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि (1) नहीं मिलता/Not onto because (1) is not obtained
Step 1
Concept
\(\frac{x+1}{x+2}=1\) मानने पर (x+1=x+2) मिलता है जो असंभव है। / If \(\frac{x+1}{x+2}=1\), then (x+1=x+2), which is impossible.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (1) परास में नहीं है जबकि सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) है। / Thus (1) is not in the range, while the codomain is \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
रैखिक भिन्न फलन में क्षैतिज सीमा अक्सर छूटा हुआ मान बताती है। / In linear fractional functions, the horizontal limiting value often indicates the missing value.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि परास \(\left[\frac{1}{2},1\right\)) है/Not onto because range is \(\left[\frac{1}{2},1\right\))
Step 1
Concept
(x=0) पर मान \(\frac{1}{2}\) मिलता है। / At (x=0), the value is \(\frac{1}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
(x) बड़ा होने पर मान (1) के पास जाता है पर (1) नहीं बनता। / As (x) becomes large, the value approaches (1) but never becomes (1).
Step 3
Exam Tip
भिन्न में सीमा और वास्तविक प्राप्त मान दोनों अलग-अलग जाँचें। / In rational expressions, check both the limiting value and the actually attained values.
\(t=x^2\ge0\) रखने पर फलन \(\frac{t+1}{t+2}\) बनता है। / Put \(t=x^2\ge0\), so the function becomes \(\frac{t+1}{t+2}\).
Step 2
Why this answer is correct
(t=0) पर \(\frac{1}{2}\) और \(t\to\infty\) पर मान (1) के पास जाता है पर (1) नहीं आता। / At (t=0), the value is \(\frac{1}{2}\), and as \(t\to\infty\), it approaches (1) without reaching it.
Step 3
Exam Tip
\(x^2\) को (t) मानकर कठिन परास प्रश्न सरल हो जाते हैं। / Replacing \(x^2\) by (t) simplifies hard range questions.
B. किसी भी वास्तविक (a) के लिए आच्छादक नहीं है/Not onto for any real (a)
Step 1
Concept
(a=0) पर फलन स्थिर है। / If (a=0), the function is constant.
Step 2
Why this answer is correct
(a>0) पर परास \([1,\infty\)) और (a<0) पर परास (\(-\infty,1]\) होता है। / If (a>0), the range is \([1,\infty\)), and if (a<0), the range is (\(-\infty,1]\).
Step 3
Exam Tip
इनमें से कोई भी परास पूरे \(\mathbb{R}\) के बराबर नहीं है। / None of these ranges equals all of \(\mathbb{R}\).
\(x^3+a x\) विषम घात का बहुपद है। / \(x^3+a x\) is an odd-degree polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
अग्र पद \(x^3\) होने से \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) जाता है। / Since the leading term is \(x^3\), the value goes to \(\infty\) as \(x\to\infty\) and to \(-\infty\) as \(x\to-\infty\).
Step 3
Exam Tip
सतत विषम घात बहुपद \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक होता है। / A continuous odd-degree polynomial from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is onto.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि परास \([1,\infty\)) है/Not onto because range is \([1,\infty\))
Step 1
Concept
\(x^2\ge0\) इसलिए \(e^{x^2}\ge1\)। / Since \(x^2\ge0\), \(e^{x^2}\ge1\).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) में (0) और ऋणात्मक मान हैं जो नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0) and negative values that are not obtained.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन में घात का न्यूनतम मान परास तय करता है। / For exponential functions, the minimum of the exponent decides the range.
C. आच्छादक है क्योंकि हर धनात्मक लक्ष्य (y) के लिए \(x=e^y\) है/Onto because for every positive target (y), \(x=e^y\) works
Step 1
Concept
सहक्षेत्र केवल (\(0,\infty\)) है इसलिए धनात्मक लक्ष्य मान ही जाँचने हैं। / The codomain is only (\(0,\infty\)), so only positive target values must be checked.
Step 2
Why this answer is correct
हर (y>0) के लिए \(x=e^y>0\) और \(\ln x=y\) होता है। / For every (y>0), \(x=e^y>0\) and \(\ln x=y\).
Step 3
Exam Tip
आच्छादकता में सहक्षेत्र के बाहर के मानों की चिंता नहीं की जाती। / For onto, values outside the codomain do not matter.
यह फलन हमेशा (0) और (1) के बीच मान देता है। / This function always gives a value between (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\in(0,1)\) के लिए (x=\ln\left\(\frac{y}{1-y}\right\)) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\in(0,1)\), taking (x=\ln\left\(\frac{y}{1-y}\right\)) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
कठिन आच्छादकता में लक्ष्य (y) से (x) निकालना बहुत उपयोगी है। / In hard onto questions, solving for (x) from target (y) is very useful.
कुल फलन \(2^5=32\) हैं। / Total functions are \(2^5=32\).
Step 2
Why this answer is correct
आच्छादक नहीं होने वाले फलन वे हैं जिनमें सभी (5) सदस्य एक ही लक्ष्य पर जाएँ ऐसे (2) फलन हैं। / Non-onto functions send all (5) elements to just one target; there are (2) such functions.
Step 3
Exam Tip
इसलिए आच्छादक फलन (32-2=30) हैं। / Therefore onto functions are (32-2=30).
(C) के किसी भी (c) के लिए (g) आच्छादक होने से कोई \(b\in B\) है जिससे (g(b)=c)। / For any \(c\in C\), since (g) is onto, there is \(b\in B\) such that (g(b)=c).
Step 2
Why this answer is correct
(f) आच्छादक होने से उस (b) के लिए कोई \(a\in A\) है जिससे (f(a)=b)। / Since (f) is onto, for that (b), there is \(a\in A\) such that (f(a)=b).
Step 3
Exam Tip
तब (g(f(a))=c) इसलिए संयोजन आच्छादक है। / Then (g(f(a))=c), so the composition is onto.
\(g\circ f\) आच्छादक है तो हर \(c\in C\) के लिए कोई \(a\in A\) है जिससे (g(f(a))=c)। / If \(g\circ f\) is onto, then for every \(c\in C\), there is \(a\in A\) such that (g(f(a))=c).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ (f(a)) कोई (B) का सदस्य है इसलिए (g) से (c) मिल रहा है। / Here (f(a)) is an element of (B), so (g) produces (c).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (C) का हर सदस्य (g) के परास में है और (g) आच्छादक है। / Hence every element of (C) is in the range of (g), so (g) is onto.
\(g\circ f\) आच्छादक होने से (g) का पर्याप्त भाग (C) को ढकता है। / If \(g\circ f\) is onto, a sufficient part of (g)'s domain covers (C).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (f) का पूरा (B) ढकना जरूरी नहीं सिद्ध होता। / This does not prove that (f) covers the whole of (B).
Step 3
Exam Tip
संयोजन के उल्टे निष्कर्षों में केवल वही बात मानें जो तर्क से अनिवार्य हो। / In reverse conclusions about composition, accept only what is logically forced.
यह सतत विषम घात का बहुपद है। / This is a continuous odd-degree polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
इसका अवकलज \(5x^4+3x^2+1>0\) है इसलिए यह लगातार बढ़ता है और दोनों अनंत दिशाएँ ढकता है। / Its derivative \(5x^4+3x^2+1>0\), so it is strictly increasing and covers both infinite directions.
Step 3
Exam Tip
बढ़ते हुए बहुपद में परास पहचानना आसान हो जाता है। / For increasing polynomials, identifying the range becomes easier.
\(x^5-x\) सतत विषम घात बहुपद है। / \(x^5-x\) is a continuous odd-degree polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) जाता है। / As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
बीच में मोड़ हों तो भी सततता और अंत व्यवहार पूरे \(\mathbb{R}\) को ढक सकते हैं। / Even with turning points, continuity and end behavior can cover all of \(\mathbb{R}\).
\(x^3\) ([-1,1]) पर लगातार बढ़ता है। / \(x^3\) is continuously increasing on ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
(x=-1) पर (-1) और (x=1) पर (1) मिलता है इसलिए बीच के सभी मान भी मिलते हैं। / At (x=-1), it gives (-1), and at (x=1), it gives (1), so all intermediate values are obtained.
Step 3
Exam Tip
बंद अंतराल पर सतत बढ़ते फलन का परास सिरों से मिल जाता है। / For a continuous increasing function on a closed interval, the range comes from endpoint values.
C. आच्छादक है क्योंकि हर \(y\in[0,1]\) के लिए \(x=\sqrt[3]{y}\) है/Onto because for every \(y\in[0,1]\), \(x=\sqrt[3]{y}\) works
Step 1
Concept
सहक्षेत्र ([0,1]) है इसलिए केवल (0) से (1) तक के लक्ष्य मान जाँचने हैं। / The codomain is ([0,1]), so only target values from (0) to (1) must be checked.
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\in[0,1]\) के लिए \(x=\sqrt[3]{y}\) भी ([-1,1]) में है। / For every \(y\in[0,1]\), \(x=\sqrt[3]{y}\) also lies in ([-1,1]).
Step 3
Exam Tip
आच्छादकता सहक्षेत्र पर जाँची जाती है पूरे संभावित परास पर नहीं। / Onto is checked against the codomain, not against extra values outside it.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि हर अरिणात्मक पूर्णांक वर्ग नहीं होता/Not onto because every non-negative integer is not a square
Step 1
Concept
\(n^2\) केवल पूर्ण वर्ग देता है जैसे (0,1,4,9)। / \(n^2\) gives only perfect squares such as (0,1,4,9).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र में (2) और (3) जैसे अरिणात्मक पूर्णांक हैं जो पूर्ण वर्ग नहीं हैं। / The codomain contains non-negative integers like (2) and (3), which are not perfect squares.
Step 3
Exam Tip
सहक्षेत्र अरिणात्मक होने पर भी सभी मान मिलें यह जरूरी नहीं। / Even with a non-negative codomain, not every value must be obtained.
\(\lceil x\rceil\) हर (x) के लिए कोई पूर्णांक देता है। / \(\lceil x\rceil\) gives an integer for every (x).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=k) लेने पर \(\lceil x\rceil=k\) मिलता है। / For any \(k\in\mathbb{Z}\), taking (x=k) gives \(\lceil x\rceil=k\).
Step 3
Exam Tip
छत फलन का सहक्षेत्र \(\mathbb{Z}\) हो तो हर पूर्णांक प्राप्त होता है। / When the codomain of the ceiling function is \(\mathbb{Z}\), every integer is obtained.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि केवल पूर्णांक मान मिलते हैं/Not onto because only integer values are obtained
Step 1
Concept
\(\lceil x\rceil\) का मान हमेशा पूर्णांक होता है। / \(\lceil x\rceil\) is always an integer.
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) में \(\frac{1}{2}\) जैसे मान हैं जो नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains values like \(\frac{1}{2}\), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
मंजिल या छत फलन में सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) हो तो आच्छादकता सावधानी से देखें। / For floor or ceiling functions with codomain \(\mathbb{R}\), check onto carefully.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि परास \([4,\infty\)) है/Not onto because range is \([4,\infty\))
Step 1
Concept
दो बिंदुओं (-2) और (2) से दूरी का योग कम से कम (4) होता है। / The sum of distances from (-2) and (2) is at least (4).
Step 2
Why this answer is correct
([-2,2]) के बीच मान (4) और बाहर जाने पर इससे बड़े मान मिलते हैं। / Between (-2) and (2), the value is (4), and outside this interval larger values are obtained.
Step 3
Exam Tip
मापांक योग में दूरी का अर्थ समझना परास निकालने में मदद करता है। / Interpreting modulus as distance helps find the range.
इस मापांक योग का न्यूनतम मान (4) है। / The minimum value of this modulus sum is (4).
Step 2
Why this answer is correct
(|x|) बड़ा होने पर मान अनंत तक बढ़ सकता है इसलिए (4) से ऊपर के सभी मान मिलते हैं। / As (|x|) becomes large, the value can grow without bound, so all values above (4) are obtained.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक परास सहक्षेत्र के बराबर हो तो फलन आच्छादक है। / If the actual range equals the codomain, the function is onto.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि परास \([1,\infty\)) है/Not onto because range is \([1,\infty\))
Step 1
Concept
\(x^2+1\ge1\) इसलिए \(\sqrt{x^2+1}\ge1\)। / Since \(x^2+1\ge1\), \(\sqrt{x^2+1}\ge1\).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) में (0) और ऋणात्मक मान हैं जो प्राप्त नहीं होते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0) and negative values, which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल फलन में अंदर की न्यूनतम मात्रा परास तय करती है। / For square-root functions, the minimum of the inside expression determines the range.
\(x\ge1\) होने पर \(x-1\ge0\) और हर \(y\ge0\) के लिए \(x=1+\sqrt{y}\) लिया जा सकता है। / Since \(x\ge1\), \(x-1\ge0\), and for every \(y\ge0\), take \(x=1+\sqrt{y}\).
Step 3
Exam Tip
प्रांत की सीमा को ध्यान में रखकर पूर्वप्रतिबिंब चुनें। / Choose the preimage while respecting the domain restriction.
हर \(y\ge0\) के लिए \(x=1-\sqrt{y}\) लेने पर \(x\le1\) और (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\ge0\), taking \(x=1-\sqrt{y}\) gives \(x\le1\) and (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन की अलग शाखा भी सही सहक्षेत्र पर आच्छादक हो सकती है। / A different branch of a quadratic can also be onto for a suitable codomain.
\(x\to-\infty\) पर \(x^3\) के कारण मान \(-\infty\) की ओर जाता है और \(x\to\infty\) पर दोनों पद मिलकर \(\infty\) की ओर जाते हैं। / As \(x\to-\infty\), the \(x^3\) term makes the value go to \(-\infty\), and as \(x\to\infty\), both terms make it go to \(\infty\).
Step 3
Exam Tip
जब सतत फलन दोनों दिशाओं में असीम जाता है तो वह \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक होता है। / When a continuous function goes unbounded in both directions, it is onto \(\mathbb{R}\).
\(x\ge0\) पर \(x^2\) से सभी अरिणात्मक वास्तविक मान मिलते हैं। / For \(x\ge0\), \(x^2\) gives all non-negative real values.
Step 2
Why this answer is correct
(x<0) पर \(-x^2\) से सभी ऋणात्मक वास्तविक मान मिलते हैं और (0) पहले भाग से मिल जाता है। / For (x<0), \(-x^2\) gives all negative real values, and (0) is obtained from the first part.
Step 3
Exam Tip
खंडों में दिए फलन में हर खंड का परास अलग निकालकर उनका सम्मिलित परास देखें। / For a piecewise function, find the range of each part and then take their union.
A. क्योंकि (1) का पूर्वप्रतिबिंब नहीं है/Because (1) has no preimage
Step 1
Concept
(f(x)=x-2+2) का मान हमेशा (2) या उससे बड़ा होता है। / The value of (f(x)=x-2+2) is always at least (2).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (1) है, पर कोई वास्तविक (x) ऐसा नहीं कि \(x^2+2=1\)। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (1), but no real (x) satisfies \(x^2+2=1\).
Step 3
Exam Tip
आच्छादी जाँच में एक भी छूटा हुआ सहप्रांत तत्व पर्याप्त है। / For onto checking, one missing codomain element is enough.
\(x\ge 0\) पर (f(x)=\frac{x}{1+x}) और (x<0) पर (f(x)=\frac{x}{1-x}) है। / For \(x\ge 0\), (f(x)=\frac{x}{1+x}), and for (x<0), (f(x)=\frac{x}{1-x}).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in(-1,1)\) के लिए उपयुक्त \(x=\frac{y}{1-y}\) जब \(y\ge0\), और \(x=\frac{y}{1+y}\) जब (y<0) लिया जा सकता है। / For any \(y\in(-1,1)\), choose \(x=\frac{y}{1-y}\) when \(y\ge0\), and \(x=\frac{y}{1+y}\) when (y<0).
Step 3
Exam Tip
टुकड़ों में दिए फलन में चिन्ह के अनुसार पूर्वप्रतिबिंब खोजें। / For piecewise-looking expressions, find the preimage according to sign.
\(e^x\) का परास (\(0,\infty\)) होता है। / The range of \(e^x\) is (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत भी (\(0,\infty\)) है, इसलिए हर धनात्मक (y) के लिए \(x=\ln y\) मिलता है। / The codomain is also (\(0,\infty\)), so every positive (y) has preimage \(x=\ln y\).
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन में (0) परास का भाग नहीं होता, इसलिए सहप्रांत ध्यान से पढ़ें। / In exponential functions, (0) is not in the range, so read the codomain carefully.
\(e^x\) हमेशा धनात्मक होता है। / \(e^x\) is always positive.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक संख्याएँ और (0) भी हैं, जिनका कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative numbers and (0), which have no preimage.
Step 3
Exam Tip
परास (\(0,\infty\)) और सहप्रांत \(\mathbb{R}\) अलग हों तो फलन आच्छादी नहीं होता। / If the range (\(0,\infty\)) differs from codomain \(\mathbb{R}\), the function is not onto.
कुल फलन \(3^5\) होंगे। / Total functions are \(3^5\).
Step 2
Why this answer is correct
समावेशन-बहिष्करण से आच्छादी संख्या \(3^5-\binom{3}{1}2^5+\binom{3}{2}1^5=243-96+3=150\)। / By inclusion-exclusion, onto functions \(=3^5-\binom{3}{1}2^5+\binom{3}{2}1^5=243-96+3=150\).
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चयों में आच्छादी गणना के लिए छूटे हुए सहप्रांत तत्वों को घटाएँ। / For finite sets, subtract functions missing codomain elements.
आच्छादी फलन में सहप्रांत के हर तत्व को कम से कम एक पूर्वप्रतिबिंब चाहिए। / An onto function needs at least one preimage for every codomain element.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में केवल (3) तत्व हैं, इसलिए (B) के (5) तत्वों को पूरा नहीं ढका जा सकता। / (A) has only (3) elements, so it cannot cover all (5) elements of (B).
Step 3
Exam Tip
जब प्रांत के तत्व सहप्रांत से कम हों, सीमित समुच्चयों में आच्छादी फलन असंभव है। / For finite sets, if domain size is less than codomain size, onto functions are impossible.
\(x\to\infty\) पर \(x^3-x\to\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(x^3-x\to-\infty\)। / As \(x\to\infty\), \(x^3-x\to\infty\), and as \(x\to-\infty\), \(x^3-x\to-\infty\).
Step 2
Why this answer is correct
बहुपद सतत है, इसलिए बीच के सभी वास्तविक मान लेता है। / The polynomial is continuous, so it takes every real value in between.
Step 3
Exam Tip
घन बहुपद में सिरों का व्यवहार आच्छादी जाँच में बहुत उपयोगी है। / For cubic polynomials, end behavior is very useful for onto checking.
\(x^4\ge0\) और \(x^2\ge0\), इसलिए (f(x)\ge0)। / Since \(x^4\ge0\) and \(x^2\ge0\), (f(x)\ge0).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक संख्याएँ हैं, जो परास में नहीं आ सकतीं। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative numbers, which are not in the range.
Step 3
Exam Tip
सम घात वाले बहुपद में अक्सर परास नीचे से सीमित होता है। / Even-power polynomials are often bounded below.
(\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)) पर \(\tan x\) का परास पूरा \(\mathbb{R}\) है। / On (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)), the range of \(\tan x\) is all \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\tan^{-1}y\) इसी अंतराल में आता है। / For every real (y), \(x=\tan^{-1}y\) lies in this interval.
Step 3
Exam Tip
\(\tan x\) वाले प्रश्नों में प्रांत बहुत महत्त्वपूर्ण होता है। / In \(\tan x\) questions, the domain is very important.
A. फलन सतत है और \(-\infty\) से \(\infty\) तक मान लेता है/The function is continuous and goes from \(-\infty\) to \(\infty\)
Step 1
Concept
\(x^3+3x\) एक सतत घन बहुपद है। / \(x^3+3x\) is a continuous cubic polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) और \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\), and as \(x\to\infty\), it goes to \(\infty\).
Step 3
Exam Tip
सतत घन बहुपद प्रायः \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर आच्छादी होता है। / Continuous cubic polynomials are often onto from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\).
(|x-5|) कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता। / (|x-5|) can never be negative.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-2) है, पर इसका कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (-2), but it has no preimage.
Step 3
Exam Tip
निरपेक्ष मान फलन को \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर जाँचते समय ऋणात्मक मान देखें। / For absolute value functions from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\), check negative values.
(2n+1) हमेशा विषम पूर्णांक देता है। / (2n+1) always gives odd integers.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में सम पूर्णांक भी हैं, जैसे (2), जिनका पूर्वप्रतिबिंब नहीं। / The codomain \(\mathbb{Z}\) also has even integers, such as (2), with no preimage.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक वाले प्रश्नों में सम और विषम का निरीक्षण तेज तरीका है। / For integer functions, parity is a quick check.
सहप्रांत केवल विषम पूर्णांकों का समुच्चय है। / The codomain is the set of odd integers only.
Step 2
Why this answer is correct
हर विषम (y) को (y=2n+1) लिख सकते हैं जहाँ \(n=\frac{y-1}{2}\in\mathbb{Z}\)। / Every odd (y) can be written as (y=2n+1), where \(n=\frac{y-1}{2}\in\mathbb{Z}\).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत बदलने से वही सूत्र आच्छादी बन सकता है। / Changing the codomain can make the same formula onto.
\(y=x^2+1\) से \(x^2=y-1\) मिलता है। / From \(y=x^2+1\), we get \(x^2=y-1\).
Step 2
Why this answer is correct
\(y\ge1\) होने से \(y-1\ge0\), इसलिए \(x=\sqrt{y-1}\) वास्तविक है। / Since \(y\ge1\), \(y-1\ge0\), so \(x=\sqrt{y-1}\) is real.
Step 3
Exam Tip
आच्छादी सिद्ध करते समय (y) से (x) निकालकर जाँचें कि (x) प्रांत में है। / To prove onto, solve for (x) in terms of (y) and check that (x) belongs to the domain.
A. क्योंकि (2) परास में नहीं आता/Because (2) is not in the range
Step 1
Concept
\(\frac{x}{1+x^2}\) का मान सीमित रहता है और (-\frac{1}{2}\le f(x)\le\frac{1}{2})। / \(\frac{x}{1+x^2}\) is bounded and satisfies (-\frac{1}{2}\le f(x)\le\frac{1}{2}).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (2) है, पर (f(x)=2) संभव नहीं। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (2), but (f(x)=2) is impossible.
Step 3
Exam Tip
भिन्नात्मक फलनों में परास की सीमा पहचानें। / For rational expressions, identify range bounds.
(f(x)=\frac{x}{1+x-2}) का अधिकतम \(\frac{1}{2}\) (x=1) पर और न्यूनतम \(-\frac{1}{2}\) (x=-1) पर है। / (f(x)=\frac{x}{1+x-2}) has maximum \(\frac{1}{2}\) at (x=1) and minimum \(-\frac{1}{2}\) at (x=-1).
Step 2
Why this answer is correct
बीच के सभी मान सततता के कारण मिलते हैं। / All intermediate values are obtained by continuity.
Step 3
Exam Tip
बंद अंतराल सहप्रांत हो तो अंतिम बिंदुओं को भी जाँचें। / If the codomain is a closed interval, check endpoints too.
सहप्रांत का हर \(y\ne0\) मान लें। / Take any codomain value \(y\ne0\).
Step 2
Why this answer is correct
(f(x)=y) के लिए \(x=\frac{1}{y}\), जो प्रांत में है क्योंकि \(y\ne0\)। / For (f(x)=y), choose \(x=\frac{1}{y}\), which belongs to the domain because \(y\ne0\).
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम रूप वाले फलन में (0) को प्रांत और सहप्रांत से हटाना जरूरी है। / For reciprocal functions, excluding (0) from domain and codomain is important.
\(1+x^2\ge1\), इसलिए (0<f(x)\le1)। / Since \(1+x^2\ge1\), (0<f(x)\le1).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी (y\in(0,1]) के लिए \(x^2=\frac{1}{y}-1\ge0\), इसलिए वास्तविक (x) मिल जाता है। / For any (y\in(0,1]), \(x^2=\frac{1}{y}-1\ge0\), so a real (x) exists.
Step 3
Exam Tip
परास निकालने के लिए समीकरण को \(x^2\) के रूप में लिखें। / To find range, rewrite the equation in terms of \(x^2\).
([-1,1]) पर \(x^2\) का परास ([0,1]) है। / On ([-1,1]), the range of \(x^2\) is ([0,1]).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\in[0,1]\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) प्रांत में आता है। / For every \(y\in[0,1]\), \(x=\sqrt{y}\) lies in the domain.
Step 3
Exam Tip
सीमित प्रांत में भी फलन आच्छादी हो सकता है यदि सहप्रांत सही चुना जाए। / Even on a restricted domain, a function can be onto if codomain is chosen correctly.
([-1,1]) पर \(x^2\) के मान ([0,1]) में रहते हैं। / On ([-1,1]), values of \(x^2\) lie in ([0,1]).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत ([-1,1]) में ऋणात्मक मान भी हैं, जैसे \(-\frac{1}{2}\), जो नहीं मिलते। / The codomain ([-1,1]) also contains negative values such as \(-\frac{1}{2}\), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
समान प्रांत रखने से आच्छादी होना तय नहीं होता। / Having a similar-looking domain does not guarantee onto.
(y=ax+b) मानकर (x) निकालें। / Put (y=ax+b) and solve for (x).
Step 2
Why this answer is correct
\(x=\frac{y-b}{a}\) हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है क्योंकि \(a\ne0\)। / \(x=\frac{y-b}{a}\) is real for every real (y) because \(a\ne0\).
Step 3
Exam Tip
गैर-शून्य ढाल वाला रैखिक फलन \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर आच्छादी होता है। / A non-zero slope linear function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is onto.
स्थिर फलन का परास केवल ({5}) है। / The range of a constant function is only ({5}).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (6), (0), (-1) जैसे अनेक मान हैं जो नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{R}\) has values such as (6), (0), and (-1), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
स्थिर फलन बड़े सहप्रांत पर आच्छादी नहीं होता। / A constant function is not onto over a large codomain.
(a,b,c) तीनों सहप्रांत तत्व छवि के रूप में आ रहे हैं। / All three codomain elements (a,b,c) appear as images.
Step 2
Why this answer is correct
(a) दो बार आना आच्छादी होने में बाधा नहीं है। / Repetition of (a) does not stop onto property.
Step 3
Exam Tip
आच्छादी में हर सहप्रांत तत्व कम से कम एक बार मिलना चाहिए, केवल एक बार होना जरूरी नहीं। / Onto requires every codomain element at least once, not exactly once.
(C) का कोई भी तत्व (c) लें। / Take any element \(c\in C\).
Step 2
Why this answer is correct
(g) आच्छादी है, इसलिए कोई \(b\in B\) ऐसा है कि (g(b)=c); और (f) आच्छादी है, इसलिए कोई \(a\in A\) ऐसा है कि (f(a)=b)। / Since (g) is onto, some \(b\in B\) has (g(b)=c); since (f) is onto, some \(a\in A\) has (f(a)=b).
Step 3
Exam Tip
संयोजन में पूर्वप्रतिबिंब को पीछे की ओर खोजें। / In composition, trace the preimage backward.
\(y=x^3+1\) से \(x^3=y-1\) मिलता है। / From \(y=x^3+1\), we get \(x^3=y-1\).
Step 2
Why this answer is correct
हर वास्तविक (y) के लिए \(\sqrt[3]{y-1}\) वास्तविक होता है। / For every real (y), \(\sqrt[3]{y-1}\) is real.
Step 3
Exam Tip
घनमूल हर वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है, इसलिए यह आच्छादी सिद्ध करने में सहायक है। / Cube root is defined for every real number, so it helps prove onto.
\(x\ge0\) होने से \(x^3+1\ge1\)। / Since \(x\ge0\), \(x^3+1\ge1\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) और ऋणात्मक मान हैं, जो प्राप्त नहीं होते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0) and negative values, which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
सूत्र के साथ प्रांत की सीमा बदलने से परास बदल जाता है। / Changing the domain restriction changes the range.
\(x^6\ge0\), इसलिए \(x^6+1\ge1\)। / Since \(x^6\ge0\), \(x^6+1\ge1\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) और ऋणात्मक मान हैं, जो प्राप्त नहीं होते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0) and negative values, which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
सम घात और धनात्मक जोड़ वाले फलन का परास नीचे से सीमित होता है। / Even powers with a positive shift have a range bounded below.
\(\ln x\) ऋणात्मक, शून्य और धनात्मक सभी वास्तविक मान लेता है। / \(\ln x\) takes negative, zero, and positive real values.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत (\(0,\infty\)) है, लेकिन \(\ln x\) के धनात्मक मान ही सहप्रांत में आते हैं; हर धनात्मक (y) के लिए \(x=e^y\) मिलता है, पर फलन का मान सहप्रांत से बाहर भी जाता है। / Although every positive (y) has \(x=e^y\), many outputs of \(\ln x\) are outside (\(0,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
फलन \(A\to B\) तभी ठीक से परिभाषित माना जाता है जब हर छवि (B) में हो, इसलिए यहाँ दिए गए सहप्रांत के साथ यह मान्य फलन नहीं बनता। / A function \(A\to B\) must have every output inside (B), so with this codomain it is not a valid function into (B).
\(\lfloor x\rfloor\) हमेशा पूर्णांक मान देता है। / \(\lfloor x\rfloor\) always gives an integer value.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में \(\frac{1}{2}\) जैसे अपूर्णांक मान हैं, जिनका कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains non-integers such as \(\frac{1}{2}\), with no preimage.
Step 3
Exam Tip
महत्तम पूर्णांक फलन में परास \(\mathbb{Z}\) होता है, \(\mathbb{R}\) नहीं। / The greatest integer function has range \(\mathbb{Z}\), not \(\mathbb{R}\).
\(y=\frac{3x+1}{x+2}\) मानकर (x) निकालें। / Put \(y=\frac{3x+1}{x+2}\) and solve for (x).
Step 2
Why this answer is correct
(yx+2y=3x+1), इसलिए \(x=\frac{1-2y}{y-3}\), जो हर \(y\ne3\) के लिए परिभाषित है। / (yx+2y=3x+1), so \(x=\frac{1-2y}{y-3}\), which is defined for every \(y\ne3\).
Step 3
Exam Tip
भिन्नात्मक फलन में जिस मान पर हर कटता है, उसे सहप्रांत से हटाकर आच्छादी जाँची जाती है। / In rational functions, the value that makes solving impossible is often excluded from the codomain.
दिए गए अंतराल पर \(\sin x\) लगातार बढ़ता है। / On the given interval, \(\sin x\) increases continuously.
Step 2
Why this answer is correct
\(x=-\frac{\pi}{2}\) पर मान (-1) और \(x=\frac{\pi}{2}\) पर मान (1) है, इसलिए बीच के सभी मान मिलते हैं। / At \(x=-\frac{\pi}{2}\), the value is (-1), and at \(x=\frac{\pi}{2}\), the value is (1), so all values between them are obtained.
Step 3
Exam Tip
बंद अंतराल में अंतिम बिंदुओं के मान जाँचकर आच्छादी को जल्दी पहचाना जा सकता है। / On a closed interval, checking endpoint values helps identify onto behavior quickly.
कुल फलन \(3^6\) होंगे। / Total functions are \(3^6\).
Step 2
Why this answer is correct
समावेशन-बहिष्करण से आच्छादी फलन \(3^6-\binom{3}{1}2^6+\binom{3}{2}1^6=729-192+3=540\) मिलते हैं। / By inclusion-exclusion, onto functions \(=3^6-\binom{3}{1}2^6+\binom{3}{2}1^6=729-192+3=540\).
Step 3
Exam Tip
आच्छादी फलनों की गिनती में पहले सभी फलन लें, फिर छूटे हुए सहप्रांत तत्वों वाले फलन घटाएँ। / For counting onto functions, start with all functions and subtract those missing codomain elements.
A. हाँ क्योंकि \(m\in\mathbb{Z}\) के लिए (n=m-5) लिया जा सकता है/Yes because for \(m\in\mathbb{Z}\), (n=m-5) can be taken
Step 1
Concept
सहप्रांत का कोई भी अवयव \(m\in\mathbb{Z}\) मानें। / Take any codomain element \(m\in\mathbb{Z}\).
Step 2
Why this answer is correct
(n=m-5) भी पूर्णांक है और (f(n)=m) हो जाता है। / (n=m-5) is also an integer and (f(n)=m).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों पर स्थानांतरण वाले फलन सामान्यतः सर्वाच्छादकता के लिए उल्टा मान देकर जाँचे जाते हैं। / For translation functions on integers, test onto by writing the preimage directly.
A. सर्वाच्छादक है क्योंकि हर \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) है/It is onto because for every \(y\ge0\), \(x=\sqrt{y}\) exists
Step 1
Concept
यहाँ सहप्रांत केवल \([0,\infty\)) है। / Here the codomain is only \([0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
इस सहप्रांत के हर (y) के लिए \(\sqrt{y}\) भी प्रांत में है और (f\(\sqrt{y}\)=y) है। / For every (y) in this codomain, \(\sqrt{y}\) lies in the domain and (f\(\sqrt{y}\)=y).
Step 3
Exam Tip
वही सूत्र अलग सहप्रांत के साथ अलग उत्तर दे सकता है। / The same formula may give a different answer when the codomain changes.
A. क्योंकि किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\frac{y+7}{2}\) मिल जाता है/Because for any \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\frac{y+7}{2}\) exists
Step 1
Concept
सहप्रांत की कोई भी वास्तविक संख्या (y) लें। / Take any real number (y) from the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
समीकरण (y=2x-7) हल करने पर \(x=\frac{y+7}{2}\) वास्तविक मिलता है। / Solving (y=2x-7) gives \(x=\frac{y+7}{2}\), which is real.
Step 3
Exam Tip
रैखिक फलन में गुणांक शून्य न हो तो वास्तविक से वास्तविक पर सर्वाच्छादकता मिलती है। / A non-constant linear function from real numbers to real numbers is onto.
A. शून्य और ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ छवि नहीं बनतीं/Zero and negative real numbers are not images
Step 1
Concept
\(e^x\) हर वास्तविक (x) के लिए धनात्मक होता है। / \(e^x\) is positive for every real (x).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) और ऋणात्मक संख्याएँ भी हैं पर वे नहीं मिलतीं। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0) and negative numbers, but they are not obtained.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन में परास को सहप्रांत से मिलाकर देखें। / For exponential functions, compare the range carefully with the codomain.
A. नहीं क्योंकि प्रांत में सहप्रांत से कम अवयव हैं/No because the domain has fewer elements than the codomain
Step 1
Concept
सर्वाच्छादक फलन में सहप्रांत का हर अवयव कम से कम एक बार छवि बनना चाहिए। / In an onto function, every codomain element must be hit at least once.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में केवल (3) अवयव हैं पर (B) में (4) अवयव हैं। / (A) has only (3) elements, while (B) has (4) elements.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चयों में सर्वाच्छादकता के लिए प्रांत का आकार सहप्रांत से कम नहीं होना चाहिए। / For finite sets, the domain size cannot be less than the codomain size for an onto function.
कुल फलन \(3^5\) हैं। / The total number of functions is \(3^5\).
Step 2
Why this answer is correct
कम से कम एक सहप्रांत अवयव छूटने वाले फलनों को घटाएँ: \(\binom{3}{1}2^5\), और दो छूटने पर \(\binom{3}{2}1^5\) जोड़ें। / Subtract functions missing at least one codomain element: \(\binom{3}{1}2^5\), then add those missing two: \(\binom{3}{2}1^5\).
Step 3
Exam Tip
समावेशन-बहिष्करण विधि सर्वाच्छादक फलनों की गिनती में बहुत उपयोगी है। / Inclusion-exclusion is the key tool for counting onto functions.
A. क्योंकि ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ छवि नहीं बनतीं/Because negative real numbers are not images
Step 1
Concept
(|x|) हमेशा (0) या धनात्मक होता है। / (|x|) is always (0) or positive.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक संख्याएँ हैं, पर वे परास में नहीं आतीं। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative numbers, but they are not in the range.
Step 3
Exam Tip
मापांक वाले फलनों में ऋणात्मक सहप्रांत मानों की जाँच जल्दी करें। / For modulus functions, quickly check negative codomain values.
A. यह सतत है और \(x\to\infty\) पर (f(x)\to\infty), \(x\to-\infty\) पर (f(x)\to-\infty)/It is continuous and (f(x)\to\infty) as \(x\to\infty\), (f(x)\to-\infty) as \(x\to-\infty\)
Step 1
Concept
\(x^3+x\) सतत बहुपद है। / \(x^3+x\) is a continuous polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
बहुत बड़े धनात्मक (x) पर मान बहुत बड़ा धनात्मक और बहुत बड़े ऋणात्मक (x) पर बहुत बड़ा ऋणात्मक होता है। / For very large positive (x), its value is very large positive, and for very large negative (x), its value is very large negative.
Step 3
Exam Tip
सतत बहुपद के अंत व्यवहार से पूरे वास्तविक परास का संकेत मिलता है। / The end behavior of a continuous odd-degree polynomial supports onto over \(\mathbb{R}\).
A. हाँ क्योंकि हर (y\in(0,1]) के लिए \(x=\sqrt{\frac{1}{y}-1}\) लिया जा सकता है/Yes because for every (y\in(0,1]), \(x=\sqrt{\frac{1}{y}-1}\) can be taken
Step 1
Concept
\(\frac{1}{1+x^2}\) का मान (0) से बड़ा और (1) तक होता है। / \(\frac{1}{1+x^2}\) takes values greater than (0) and up to (1).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(0<y\le1\) के लिए \(\frac{1}{y}-1\ge0\), इसलिए उपयुक्त (x) मिल जाता है। / For any \(0<y\le1\), \(\frac{1}{y}-1\ge0\), so a suitable (x) exists.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में पहले परास की सीमा पहचानें। / In such questions, identify the range interval first.
A. क्योंकि (1) कभी छवि नहीं बनता/Because (1) is never an image
Step 1
Concept
\(\frac{x^2}{1+x^2}<1\) हर वास्तविक (x) के लिए है।
Step 2
Why this answer is correct
(x=0) पर (0) मिलता है, पर (1) नहीं मिलता जबकि (1) सहप्रांत में है। / (0) is obtained at (x=0), but (1) is not obtained though it is in the codomain.
Step 3
Exam Tip
जहाँ चर हर और अंश दोनों में हो, सीमा मानों को ध्यान से जाँचें। / When a variable occurs in both numerator and denominator, check endpoint values carefully.
A. \(\frac{1}{2}\) जैसे वास्तविक मान छवि नहीं बनते/Real values like \(\frac{1}{2}\) are not images
Step 1
Concept
\(\lfloor x\rfloor\) हमेशा पूर्णांक देता है। / \(\lfloor x\rfloor\) always gives an integer.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में \(\frac{1}{2}\) है, पर वह कभी छवि नहीं बनता। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains \(\frac{1}{2}\), but it is never an image.
Step 3
Exam Tip
महत्तम पूर्णांक फलन में परास पूर्णांकों तक सीमित रहता है। / The greatest integer function has range limited to integers.
A. क्योंकि (5) छवि नहीं बनता/Because (5) is not an image
Step 1
Concept
\(x\in[0,2]\) होने पर \(x^2\in[0,4]\) होता है। / If \(x\in[0,2]\), then \(x^2\in[0,4]\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत में (5) है पर \(x^2=5\) के लिए \(x=\sqrt{5}\), जो प्रांत में नहीं है। / The codomain contains (5), but \(x^2=5\) gives \(x=\sqrt{5}\), which is not in the domain.
Step 3
Exam Tip
सीमित प्रांत में सबसे बड़े और सबसे छोटे संभव मान जाँचना जरूरी है। / With restricted domains, check the maximum and minimum possible output values.
A. हाँ क्योंकि यह विषम घात का सतत बहुपद है और दोनों दिशाओं में असीमित जाता है/Yes because it is a continuous odd-degree polynomial and is unbounded in both directions
Step 1
Concept
\(x^3-3x\) सतत है। / \(x^3-3x\) is continuous.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) की ओर और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to\infty\), it goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
स्थानीय मोड़ होने पर भी अंत व्यवहार सर्वाच्छादकता दिखा सकता है। / Even with turning points, end behavior can show onto property.
(|x-2|) का परास \([0,\infty\)) है। / The range of (|x-2|) is \([0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\ge0\) के लिए (x=y+2) लेने पर (|x-2|=y) मिलता है। / For any \(y\ge0\), choosing (x=y+2) gives (|x-2|=y).
Step 3
Exam Tip
मापांक में स्थानांतरण परास को नहीं बदलता, केवल शिखर की जगह बदलता है। / A horizontal shift of a modulus function changes the vertex location but not the range type.
A. (1) किसी भी (x) की छवि नहीं हो सकता/(1) cannot be the image of any (x)
Step 1
Concept
\(-x^2\) कभी धनात्मक नहीं होता। / \(-x^2\) is never positive.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (1) है पर कोई वास्तविक (x) ऐसा नहीं कि \(-x^2=1\)। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (1), but no real (x) satisfies \(-x^2=1\).
Step 3
Exam Tip
सर्वाच्छादकता न होने के लिए एक छूटा मान दिखाना पर्याप्त है। / Showing one missed codomain value is enough to prove not onto.
A. क्योंकि हर \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\tan^{-1}y\) इसी प्रांत में होता है/Because for every \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\tan^{-1}y\) lies in this domain
Step 1
Concept
\(\tan x\) का मुख्य अंतराल (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) पूरे \(\mathbb{R}\) पर फैलता है। / On the principal interval (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)), \(\tan x\) covers all real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\tan^{-1}y\) इसी अंतराल में मिलता है। / For every real (y), \(x=\tan^{-1}y\) lies in that interval.
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय मान सर्वाच्छादकता दिखाने में मदद करते हैं। / Inverse trigonometric values help prove onto property.
इस फलन का परास ((-1,1)) है। / The range of this function is ((-1,1)).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\in(-1,1)\) के लिए \(y\ge0\) होने पर \(x=\frac{y}{1-y}\) और (y<0) होने पर \(x=\frac{y}{1+y}\) लिया जा सकता है। / For \(y\ge0\), take \(x=\frac{y}{1-y}\), and for (y<0), take \(x=\frac{y}{1+y}\).
Step 3
Exam Tip
खंडों में परिभाषित व्यवहार को अलग-अलग जाँचना लाभदायक है। / For modulus-based expressions, checking cases separately is helpful.
A. ऋणात्मक संख्याएँ और (0) छवि नहीं बनते/Negative numbers and (0) are not images
Step 1
Concept
\(2^x\) हर वास्तविक (x) के लिए धनात्मक है। / \(2^x\) is positive for every real (x).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (0) और ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ सहप्रांत में होकर भी परास में नहीं हैं। / Therefore (0) and negative real numbers are in the codomain but not in the range.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलनों का प्राकृतिक परास (\(0,\infty\)) ध्यान रखें। / Remember that the natural range of exponential functions is (\(0,\infty\)).
(t=|x|) रखने पर \(t\ge0\) और (f(x)=t-2+t)। / Put (t=|x|), so \(t\ge0\) and (f(x)=t-2+t).
Step 2
Why this answer is correct
\(t^2+t\) \([0,\infty\)) पर (0) से \(\infty\) तक सभी मान लेता है, क्योंकि \(t=\frac{-1+\sqrt{1+4y}}{2}\) मिल जाता है। / On \([0,\infty\)), \(t^2+t\) takes every value from (0) to \(\infty\), since \(t=\frac{-1+\sqrt{1+4y}}{2}\) works.
Step 3
Exam Tip
मापांक वाले कठिन प्रश्नों में नया चर रखना उपयोगी है। / For harder modulus questions, substitution is useful.
(t=|x|) रखने पर \(t\ge0\) और (f(x)=t-2+t+1) है। / Put (t=|x|), so \(t\ge0\) and (f(x)=t-2+t+1).
Step 2
Why this answer is correct
यह (t=0) पर (1) देता है और (t) बढ़ने पर बिना अंतराल छोड़े \(\infty\) तक जाता है। / It gives (1) at (t=0) and increases continuously to \(\infty\) without missing values.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत \([1,\infty\)) बिल्कुल इसी परास के बराबर है। / The codomain \([1,\infty\)) exactly matches this range.
A. क्योंकि (0) और (1) कभी छवि नहीं बनते/Because (0) and (1) are never images
Step 1
Concept
\(e^{-x}\) हर वास्तविक (x) के लिए धनात्मक होता है। / \(e^{-x}\) is positive for every real (x).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(\frac{1}{1+e^{-x}}\) हमेशा (0) और (1) के बीच रहता है, पर (0) या (1) के बराबर नहीं होता। / So \(\frac{1}{1+e^{-x}}\) always lies between (0) and (1), but never equals (0) or (1).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत में अंतिम बिंदु हों तो जाँचें कि वे वास्तव में छवि बनते हैं या नहीं। / When endpoints are in the codomain, check whether they are actually attained.
