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Subjects
Class 12 Mathematics Relations and Functions Onto function Hard Level 26

फलन (f:\(0,\infty\)\to\(0,\infty\)), (f(x)=\ln x) के लिए कौन सा निष्कर्ष सही है?

For (f:\(0,\infty\)\to\(0,\infty\)), (f(x)=\ln x), which conclusion is correct?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published:
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Correct Answer

A. यह आच्छादी नहीं हैIt is not onto

Step 1

Concept

\(\ln x\) ऋणात्मक, शून्य और धनात्मक सभी वास्तविक मान लेता है। / \(\ln x\) takes negative, zero, and positive real values.

Step 2

Why this answer is correct

सहप्रांत (\(0,\infty\)) है, लेकिन \(\ln x\) के धनात्मक मान ही सहप्रांत में आते हैं; हर धनात्मक (y) के लिए \(x=e^y\) मिलता है, पर फलन का मान सहप्रांत से बाहर भी जाता है। / Although every positive (y) has \(x=e^y\), many outputs of \(\ln x\) are outside (\(0,\infty\)).

Step 3

Exam Tip

फलन \(A\to B\) तभी ठीक से परिभाषित माना जाता है जब हर छवि (B) में हो, इसलिए यहाँ दिए गए सहप्रांत के साथ यह मान्य फलन नहीं बनता। / A function \(A\to B\) must have every output inside (B), so with this codomain it is not a valid function into (B).

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फलन (f:\(0,\infty\)\to\(0,\infty\)), (f(x)=\ln x) के लिए कौन सा निष्कर्ष सही है? / For (f:\(0,\infty\)\to\(0,\infty\)), (f(x)=\ln x), which conclusion is correct?

Correct Answer: A. यह आच्छादी नहीं है / It is not onto. Explanation: चरण 1: \(\ln x\) ऋणात्मक, शून्य और धनात्मक सभी वास्तविक मान लेता है। चरण 2: सहप्रांत (\(0,\infty\)) है, लेकिन \(\ln x\) के धनात्मक मान ही सहप्रांत में आते हैं; हर धनात्मक (y) के लिए \(x=e^y\) मिलता है, पर फलन का मान सहप्रांत से बाहर भी जाता है। चरण 3: फलन \(A\to B\) तभी ठीक से परिभाषित माना जाता है जब हर छवि (B) में हो, इसलिए यहाँ दिए गए सहप्रांत के साथ यह मान्य फलन नहीं बनता। / Step 1: \(\ln x\) takes negative, zero, and positive real values. Step 2: Although every positive (y) has \(x=e^y\), many outputs of \(\ln x\) are outside (\(0,\infty\)). Step 3: A function \(A\to B\) must have every output inside (B), so with this codomain it is not a valid function into (B).

Why is option A correct in this Mathematics MCQ?

सहप्रांत (\(0,\infty\)) है, लेकिन \(\ln x\) के धनात्मक मान ही सहप्रांत में आते हैं; हर धनात्मक (y) के लिए \(x=e^y\) मिलता है, पर फलन का मान सहप्रांत से बाहर भी जाता है। / Although every positive (y) has \(x=e^y\), many outputs of \(\ln x\) are outside (\(0,\infty\)).

What should I remember for this Mathematics concept?

फलन \(A\to B\) तभी ठीक से परिभाषित माना जाता है जब हर छवि (B) में हो, इसलिए यहाँ दिए गए सहप्रांत के साथ यह मान्य फलन नहीं बनता। / A function \(A\to B\) must have every output inside (B), so with this codomain it is not a valid function into (B).