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Subjects List
Class 12 Mathematics Relations and Functions Onto function Hard Level 26

फलन (f:\(0,\infty\)\to\(0,\infty\)), (f(x)=\ln x) के लिए कौन सा निष्कर्ष सही है?

For (f:\(0,\infty\)\to\(0,\infty\)), (f(x)=\ln x), which conclusion is correct?

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Correct Answer

A. यह आच्छादी नहीं हैIt is not onto

Step 1

Concept

\(\ln x\) takes negative, zero, and positive real values.

Step 2

Why this answer is correct

Although every positive (y) has \(x=e^y\), many outputs of \(\ln x\) are outside (\(0,\infty\)).

Step 3

Exam Tip

A function \(A\to B\) must have every output inside (B), so with this codomain it is not a valid function into (B). चरण 1: \(\ln x\) ऋणात्मक, शून्य और धनात्मक सभी वास्तविक मान लेता है। चरण 2: सहप्रांत (\(0,\infty\)) है, लेकिन \(\ln x\) के धनात्मक मान ही सहप्रांत में आते हैं; हर धनात्मक (y) के लिए \(x=e^y\) मिलता है, पर फलन का मान सहप्रांत से बाहर भी जाता है। चरण 3: फलन \(A\to B\) तभी ठीक से परिभाषित माना जाता है जब हर छवि (B) में हो, इसलिए यहाँ दिए गए सहप्रांत के साथ यह मान्य फलन नहीं बनता।

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फलन (f:\(0,\infty\)\to\(0,\infty\)), (f(x)=\ln x) के लिए कौन सा निष्कर्ष सही है? / For (f:\(0,\infty\)\to\(0,\infty\)), (f(x)=\ln x), which conclusion is correct?

Correct Answer: A. यह आच्छादी नहीं है / It is not onto. Explanation: चरण 1: \(\ln x\) ऋणात्मक, शून्य और धनात्मक सभी वास्तविक मान लेता है। चरण 2: सहप्रांत (\(0,\infty\)) है, लेकिन \(\ln x\) के धनात्मक मान ही सहप्रांत में आते हैं; हर धनात्मक (y) के लिए \(x=e^y\) मिलता है, पर फलन का मान सहप्रांत से बाहर भी जाता है। चरण 3: फलन \(A\to B\) तभी ठीक से परिभाषित माना जाता है जब हर छवि (B) में हो, इसलिए यहाँ दिए गए सहप्रांत के साथ यह मान्य फलन नहीं बनता। / Step 1: \(\ln x\) takes negative, zero, and positive real values. Step 2: Although every positive (y) has \(x=e^y\), many outputs of \(\ln x\) are outside (\(0,\infty\)). Step 3: A function \(A\to B\) must have every output inside (B), so with this codomain it is not a valid function into (B).

Which concept should I revise for this Mathematics MCQ?

\(\ln x\) takes negative, zero, and positive real values.

What exam hint can help solve this Mathematics question?

A function \(A\to B\) must have every output inside (B), so with this codomain it is not a valid function into (B). चरण 1: \(\ln x\) ऋणात्मक, शून्य और धनात्मक सभी वास्तविक मान लेता है। चरण 2: सहप्रांत (\(0,\infty\)) है, लेकिन \(\ln x\) के धनात्मक मान ही सहप्रांत में आते हैं; हर धनात्मक (y) के लिए \(x=e^y\) मिलता है, पर फलन का मान सहप्रांत से बाहर भी जाता है। चरण 3: फलन \(A\to B\) तभी ठीक से परिभाषित माना जाता है जब हर छवि (B) में हो, इसलिए यहाँ दिए गए सहप्रांत के साथ यह मान्य फलन नहीं बनता।