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This is an odd-degree polynomial with positive leading coefficient.
Step 2
Why this answer is correct
As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\), so every real target value is obtained.
Step 3
Exam Tip
In hard questions, first check the end behavior of odd-degree polynomials. चरण 1: यह विषम घात का बहुपद है जिसका अग्र गुणांक धनात्मक है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) की ओर जाता है इसलिए हर वास्तविक लक्ष्य मान मिल जाता है। चरण 3: कठिन प्रश्नों में भी विषम घात बहुपद का अंत व्यवहार जल्दी पहचानें।
Its minimum value is (-4), so values like (-5) are not obtained.
Step 3
Exam Tip
For even-degree polynomials, completing the square helps find the range. चरण 1: (x-4-4x-2=\(x^2-2\)2-4) लिखा जा सकता है। चरण 2: इसका सबसे छोटा मान (-4) है इसलिए (-5) जैसे मान नहीं मिलते। चरण 3: सम घात वाले बहुपद में वर्ग पूर्ण करके परास निकालना बेहतर रहता है।
Its range is \([-4,\infty\)), exactly the given codomain.
Step 3
Exam Tip
For onto, the equality of range and codomain is more important than the formula alone. चरण 1: (f(x)=\(x^2-2\)2-4) है। चरण 2: इसका परास \([-4,\infty\)) है और वही सहक्षेत्र दिया गया है। चरण 3: आच्छादकता में सूत्र से अधिक महत्वपूर्ण परास और सहक्षेत्र की बराबरी है।
As \(x\to\infty\), it goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\), because the (x)-term dominates.
Step 3
Exam Tip
When a bounded trigonometric term is added to (x), check end behavior. चरण 1: \(x+\sin x\) सतत फलन है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर यह \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है क्योंकि (x) वाला भाग प्रमुख है। चरण 3: सीमित त्रिकोणमितीय भाग के साथ (x) जुड़ा हो तो अंत व्यवहार देखें।
\(\cos x\) is bounded, while (x) grows without bound in both directions.
Step 2
Why this answer is correct
Hence \(x-\cos x\) also goes without bound in both directions and is continuous.
Step 3
Exam Tip
Continuity plus end behavior can prove onto. चरण 1: \(\cos x\) सीमित है और (x) असीम दिशा में बढ़ता या घटता है। चरण 2: इसलिए \(x-\cos x\) का मान भी दोनों दिशाओं में असीम जाता है और फलन सतत है। चरण 3: सततता और अंत व्यवहार मिलकर आच्छादकता सिद्ध कर सकते हैं।
As \(x\to\infty\), \(x-\frac{1}{x}\to\infty\), and the function is continuous.
Step 3
Exam Tip
For open-domain questions, use limits at the ends to understand the range. चरण 1: \(x\to0^+\) पर \(x-\frac{1}{x}\to-\infty\) होता है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर \(x-\frac{1}{x}\to\infty\) होता है और फलन सतत है। चरण 3: खुले प्रांत वाले प्रश्नों में सिरों पर सीमा देखकर परास समझें।
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि परास \([2,\infty\)) है/Not onto because range is \([2,\infty\))
Step 1
Concept
For (x>0), \(x+\frac{1}{x}\ge 2\).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains (1) and negative numbers, which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
Identifying the minimum of \(x+\frac{1}{x}\) is very useful in exams. चरण 1: (x>0) के लिए \(x+\frac{1}{x}\ge 2\) होता है। चरण 2: सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) में (1) और ऋणात्मक संख्याएँ हैं जो नहीं मिलतीं। चरण 3: \(x+\frac{1}{x}\) में न्यूनतम मान पहचानना परीक्षा में बहुत उपयोगी है।
The minimum value of \(x+\frac{1}{x}\) is (2), attained at (x=1).
Step 2
Why this answer is correct
As \(x\to0^+\) or \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), so all of \([2,\infty\)) is obtained.
Step 3
Exam Tip
After finding the minimum, compare it with the codomain. चरण 1: \(x+\frac{1}{x}\) का न्यूनतम मान (2) है जो (x=1) पर मिलता है। चरण 2: \(x\to0^+\) या \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) की ओर जाता है इसलिए \([2,\infty\)) पूरा मिलता है। चरण 3: न्यूनतम मान मिलने के बाद सहक्षेत्र से तुलना करें।
From ((y-2)x=y+3), we get \(x=\frac{y+3}{y-2}\), valid for \(y\ne2\).
Step 3
Exam Tip
For fractional functions, solving (x) in terms of (y) is a strong method. चरण 1: \(y=\frac{2x+3}{x-1}\) मानकर (yx-y=2x+3) मिलता है। चरण 2: ((y-2)x=y+3) से \(x=\frac{y+3}{y-2}\) मिलता है जो \(y\ne2\) पर मान्य है। चरण 3: भिन्न फलन में (y) के रूप में (x) निकालना सबसे मजबूत तरीका है।
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि (1) नहीं मिलता/Not onto because (1) is not obtained
Step 1
Concept
If \(\frac{x+1}{x+2}=1\), then (x+1=x+2), which is impossible.
Step 2
Why this answer is correct
Thus (1) is not in the range, while the codomain is \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
In linear fractional functions, the horizontal limiting value often indicates the missing value. चरण 1: \(\frac{x+1}{x+2}=1\) मानने पर (x+1=x+2) मिलता है जो असंभव है। चरण 2: इसलिए (1) परास में नहीं है जबकि सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) है। चरण 3: रैखिक भिन्न फलन में क्षैतिज सीमा अक्सर छूटा हुआ मान बताती है।
Then ((y-1)x=1-2y), so \(x=\frac{1-2y}{y-1}\), valid for \(y\ne1\).
Step 3
Exam Tip
Removing the missing value from the codomain can make the function onto. चरण 1: \(y=\frac{x+1}{x+2}\) से (yx+2y=x+1) मिलता है। चरण 2: ((y-1)x=1-2y) से \(x=\frac{1-2y}{y-1}\) मिलता है जो \(y\ne1\) पर मान्य है। चरण 3: छूटे हुए मान को सहक्षेत्र से हटाने पर फलन आच्छादक हो सकता है।
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि परास \(\left[\frac{1}{2},1\right\)) है/Not onto because range is \(\left[\frac{1}{2},1\right\))
Step 1
Concept
At (x=0), the value is \(\frac{1}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
As (x) becomes large, the value approaches (1) but never becomes (1).
Step 3
Exam Tip
In rational expressions, check both the limiting value and the actually attained values. चरण 1: (x=0) पर मान \(\frac{1}{2}\) मिलता है। चरण 2: (x) बड़ा होने पर मान (1) के पास जाता है पर (1) नहीं बनता। चरण 3: भिन्न में सीमा और वास्तविक प्राप्त मान दोनों अलग-अलग जाँचें।
Put \(t=x^2\ge0\), so the function becomes \(\frac{t+1}{t+2}\).
Step 2
Why this answer is correct
At (t=0), the value is \(\frac{1}{2}\), and as \(t\to\infty\), it approaches (1) without reaching it.
Step 3
Exam Tip
Replacing \(x^2\) by (t) simplifies hard range questions. चरण 1: \(t=x^2\ge0\) रखने पर फलन \(\frac{t+1}{t+2}\) बनता है। चरण 2: (t=0) पर \(\frac{1}{2}\) और \(t\to\infty\) पर मान (1) के पास जाता है पर (1) नहीं आता। चरण 3: \(x^2\) को (t) मानकर कठिन परास प्रश्न सरल हो जाते हैं।
For onto, (ax+b=y) must be solvable for every \(y\in\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
If \(a\ne0\), then \(x=\frac{y-b}{a}\) is real for every (y).
Step 3
Exam Tip
In a linear function, (a=0) makes it constant. चरण 1: आच्छादकता के लिए हर \(y\in\mathbb{R}\) के लिए (ax+b=y) हल होना चाहिए। चरण 2: यदि \(a\ne0\), तो \(x=\frac{y-b}{a}\) हर (y) के लिए वास्तविक है। चरण 3: रैखिक फलन में (a=0) होने पर फलन स्थिर बन जाता है।
B. किसी भी वास्तविक (a) के लिए आच्छादक नहीं है/Not onto for any real (a)
Step 1
Concept
If (a=0), the function is constant.
Step 2
Why this answer is correct
If (a>0), the range is \([1,\infty\)), and if (a<0), the range is (\(-\infty,1]\).
Step 3
Exam Tip
None of these ranges equals all of \(\mathbb{R}\). चरण 1: (a=0) पर फलन स्थिर है। चरण 2: (a>0) पर परास \([1,\infty\)) और (a<0) पर परास (\(-\infty,1]\) होता है। चरण 3: इनमें से कोई भी परास पूरे \(\mathbb{R}\) के बराबर नहीं है।
Since the leading term is \(x^3\), the value goes to \(\infty\) as \(x\to\infty\) and to \(-\infty\) as \(x\to-\infty\).
Step 3
Exam Tip
A continuous odd-degree polynomial from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is onto. चरण 1: \(x^3+a x\) विषम घात का बहुपद है। चरण 2: अग्र पद \(x^3\) होने से \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) जाता है। चरण 3: सतत विषम घात बहुपद \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक होता है।
\(x^3-x\) is an odd-degree polynomial and has range \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
For \(e^u\) with \(u\in\mathbb{R}\), the range is (\(0,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
In composite functions, first check the range of the inner function. चरण 1: \(x^3-x\) विषम घात बहुपद है और उसका परास \(\mathbb{R}\) है। चरण 2: \(e^u\) में \(u\in\mathbb{R}\) रखने पर परास (\(0,\infty\)) मिलता है। चरण 3: संयोजित फलनों में पहले अंदर वाले फलन का परास देखें।
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि परास \([1,\infty\)) है/Not onto because range is \([1,\infty\))
Step 1
Concept
Since \(x^2\ge0\), \(e^{x^2}\ge1\).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0) and negative values that are not obtained.
Step 3
Exam Tip
For exponential functions, the minimum of the exponent decides the range. चरण 1: \(x^2\ge0\) इसलिए \(e^{x^2}\ge1\)। चरण 2: सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) में (0) और ऋणात्मक मान हैं जो नहीं मिलते। चरण 3: घातीय फलन में घात का न्यूनतम मान परास तय करता है।
For any \(y\ge1\), we can take \(x=\sqrt{\ln y}\).
Step 3
Exam Tip
Prove onto clearly by constructing (x) from the target value. चरण 1: (x=0) पर \(e^{x^2}=1\) मिलता है। चरण 2: किसी भी \(y\ge1\) के लिए \(x=\sqrt{\ln y}\) लिया जा सकता है। चरण 3: लक्ष्य मान से (x) बनाकर आच्छादकता को साफ सिद्ध करें।
For any \(y\in\mathbb{R}\), \(x=e^y\) is positive.
Step 2
Why this answer is correct
Then (\ln x=\ln\(e^y\)=y).
Step 3
Exam Tip
The relation between logarithm and exponential helps prove onto quickly. चरण 1: किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=e^y\) धनात्मक होता है। चरण 2: तब (\ln x=\ln\(e^y\)=y) मिलता है। चरण 3: लघुगणक और घातीय फलन के संबंध से आच्छादकता जल्दी सिद्ध होती है।
C. आच्छादक है क्योंकि हर धनात्मक लक्ष्य (y) के लिए \(x=e^y\) है/Onto because for every positive target (y), \(x=e^y\) works
Step 1
Concept
The codomain is only (\(0,\infty\)), so only positive target values must be checked.
Step 2
Why this answer is correct
For every (y>0), \(x=e^y>0\) and \(\ln x=y\).
Step 3
Exam Tip
For onto, values outside the codomain do not matter. चरण 1: सहक्षेत्र केवल (\(0,\infty\)) है इसलिए धनात्मक लक्ष्य मान ही जाँचने हैं। चरण 2: हर (y>0) के लिए \(x=e^y>0\) और \(\ln x=y\) होता है। चरण 3: आच्छादकता में सहक्षेत्र के बाहर के मानों की चिंता नहीं की जाती।
This function always gives a value between (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
For every \(y\in(0,1)\), taking (x=\ln\left\(\frac{y}{1-y}\right\)) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
In hard onto questions, solving for (x) from target (y) is very useful. चरण 1: यह फलन हमेशा (0) और (1) के बीच मान देता है। चरण 2: हर \(y\in(0,1)\) के लिए (x=\ln\left\(\frac{y}{1-y}\right\)) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: कठिन आच्छादकता में लक्ष्य (y) से (x) निकालना बहुत उपयोगी है।
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि (0) और (1) नहीं मिलते/Not onto because (0) and (1) are not obtained
Step 1
Concept
\(\frac{1}{1+e^{-x}}\) is always greater than (0) and less than (1).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain ([0,1]) includes (0) and (1), but they are never attained.
Step 3
Exam Tip
The difference between open and closed intervals can decide onto. चरण 1: \(\frac{1}{1+e^{-x}}\) सदा (0) से बड़ा और (1) से छोटा रहता है। चरण 2: सहक्षेत्र ([0,1]) में (0) और (1) शामिल हैं पर वे प्राप्त नहीं होते। चरण 3: खुले और बंद अंतराल का अंतर आच्छादकता में निर्णायक हो सकता है।
Non-onto functions send all (5) elements to just one target; there are (2) such functions.
Step 3
Exam Tip
Therefore onto functions are (32-2=30). चरण 1: कुल फलन \(2^5=32\) हैं। चरण 2: आच्छादक नहीं होने वाले फलन वे हैं जिनमें सभी (5) सदस्य एक ही लक्ष्य पर जाएँ ऐसे (2) फलन हैं। चरण 3: इसलिए आच्छादक फलन (32-2=30) हैं।
The number missing at least one target is \(3\cdot2^5-3\cdot1^5=96-3=93\).
Step 3
Exam Tip
Onto functions are (243-93=150). चरण 1: कुल फलन \(3^5=243\) हैं। चरण 2: कम से कम एक लक्ष्य छूटने पर संख्या \(3\cdot2^5-3\cdot1^5=96-3=93\) घटेगी। चरण 3: आच्छादक फलन (243-93=150) हैं।
For finite sets of equal size, an onto function is also one-one.
Step 2
Why this answer is correct
So it becomes a permutation of (4) elements.
Step 3
Exam Tip
The number is (4!=24). चरण 1: समान आकार के सीमित समुच्चयों में आच्छादक फलन एकैकी भी होता है। चरण 2: इसलिए यह (4) सदस्यों का क्रमचय बन जाता है। चरण 3: संख्या (4!=24) होगी।
In an onto function, every codomain element needs at least one preimage.
Step 2
Why this answer is correct
With (3) domain elements, it is impossible to cover (5) codomain elements.
Step 3
Exam Tip
If (|A|<|B|), the number of onto functions is (0). चरण 1: आच्छादक फलन में सहक्षेत्र के हर सदस्य को कम से कम एक पूर्वप्रतिबिंब चाहिए। चरण 2: (3) प्रांत सदस्यों से (5) सहक्षेत्र सदस्यों को ढकना असंभव है। चरण 3: यदि (|A|<|B|) हो तो आच्छादक फलनों की संख्या (0) होती है।
For any \(c\in C\), since (g) is onto, there is \(b\in B\) such that (g(b)=c).
Step 2
Why this answer is correct
Since (f) is onto, for that (b), there is \(a\in A\) such that (f(a)=b).
Step 3
Exam Tip
Then (g(f(a))=c), so the composition is onto. चरण 1: (C) के किसी भी (c) के लिए (g) आच्छादक होने से कोई \(b\in B\) है जिससे (g(b)=c)। चरण 2: (f) आच्छादक होने से उस (b) के लिए कोई \(a\in A\) है जिससे (f(a)=b)। चरण 3: तब (g(f(a))=c) इसलिए संयोजन आच्छादक है।
If \(g\circ f\) is onto, then for every \(c\in C\), there is \(a\in A\) such that (g(f(a))=c).
Step 2
Why this answer is correct
Here (f(a)) is an element of (B), so (g) produces (c).
Step 3
Exam Tip
Hence every element of (C) is in the range of (g), so (g) is onto. चरण 1: \(g\circ f\) आच्छादक है तो हर \(c\in C\) के लिए कोई \(a\in A\) है जिससे (g(f(a))=c)। चरण 2: यहाँ (f(a)) कोई (B) का सदस्य है इसलिए (g) से (c) मिल रहा है। चरण 3: इसलिए (C) का हर सदस्य (g) के परास में है और (g) आच्छादक है।
If \(g\circ f\) is onto, a sufficient part of (g)'s domain covers (C).
Step 2
Why this answer is correct
This does not prove that (f) covers the whole of (B).
Step 3
Exam Tip
In reverse conclusions about composition, accept only what is logically forced. चरण 1: \(g\circ f\) आच्छादक होने से (g) का पर्याप्त भाग (C) को ढकता है। चरण 2: इससे (f) का पूरा (B) ढकना जरूरी नहीं सिद्ध होता। चरण 3: संयोजन के उल्टे निष्कर्षों में केवल वही बात मानें जो तर्क से अनिवार्य हो।
Its derivative \(5x^4+3x^2+1>0\), so it is strictly increasing and covers both infinite directions.
Step 3
Exam Tip
For increasing polynomials, identifying the range becomes easier. चरण 1: यह सतत विषम घात का बहुपद है। चरण 2: इसका अवकलज \(5x^4+3x^2+1>0\) है इसलिए यह लगातार बढ़ता है और दोनों अनंत दिशाएँ ढकता है। चरण 3: बढ़ते हुए बहुपद में परास पहचानना आसान हो जाता है।
As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
Even with turning points, continuity and end behavior can cover all of \(\mathbb{R}\). चरण 1: \(x^5-x\) सतत विषम घात बहुपद है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) जाता है। चरण 3: बीच में मोड़ हों तो भी सततता और अंत व्यवहार पूरे \(\mathbb{R}\) को ढक सकते हैं।
At (x=-1), it gives (-1), and at (x=1), it gives (1), so all intermediate values are obtained.
Step 3
Exam Tip
For a continuous increasing function on a closed interval, the range comes from endpoint values. चरण 1: \(x^3\) ([-1,1]) पर लगातार बढ़ता है। चरण 2: (x=-1) पर (-1) और (x=1) पर (1) मिलता है इसलिए बीच के सभी मान भी मिलते हैं। चरण 3: बंद अंतराल पर सतत बढ़ते फलन का परास सिरों से मिल जाता है।
C. आच्छादक है क्योंकि हर \(y\in[0,1]\) के लिए \(x=\sqrt[3]{y}\) है/Onto because for every \(y\in[0,1]\), \(x=\sqrt[3]{y}\) works
Step 1
Concept
The codomain is ([0,1]), so only target values from (0) to (1) must be checked.
Step 2
Why this answer is correct
For every \(y\in[0,1]\), \(x=\sqrt[3]{y}\) also lies in ([-1,1]).
Step 3
Exam Tip
Onto is checked against the codomain, not against extra values outside it. चरण 1: सहक्षेत्र ([0,1]) है इसलिए केवल (0) से (1) तक के लक्ष्य मान जाँचने हैं। चरण 2: हर \(y\in[0,1]\) के लिए \(x=\sqrt[3]{y}\) भी ([-1,1]) में है। चरण 3: आच्छादकता सहक्षेत्र पर जाँची जाती है पूरे संभावित परास पर नहीं।
\(\cos x\) decreases from (1) to (-1) on \([0,\pi]\).
Step 2
Why this answer is correct
Since it is continuous, every value in ([-1,1]) is obtained.
Step 3
Exam Tip
For trigonometric functions, the chosen interval determines the range. चरण 1: \(\cos x\) \([0,\pi]\) पर (1) से (-1) तक घटता है। चरण 2: सतत होने से ([-1,1]) के सभी मान प्राप्त होते हैं। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलन में चुना हुआ अंतराल परास तय करता है।
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Not onto because negative values are not obtained
Step 1
Concept
\(\sin x\) goes from (0) to (1) on \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain ([-1,1]) has negative values, which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
The same trigonometric formula can give different answers on different intervals. चरण 1: \(\sin x\) \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\) पर (0) से (1) तक जाता है। चरण 2: सहक्षेत्र ([-1,1]) में ऋणात्मक मान हैं जो नहीं मिलते। चरण 3: समान त्रिकोणमितीय सूत्र अलग अंतराल पर अलग उत्तर देता है।
On this interval, \(\sin x\) takes all values from (-1) to (1).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain is also ([-1,1]).
Step 3
Exam Tip
On a continuous monotonic part, the trigonometric range is clear. चरण 1: \(\sin x\) इस अंतराल पर (-1) से (1) तक सभी मान लेता है। चरण 2: सहक्षेत्र भी ([-1,1]) है। चरण 3: सतत और एकसमान बढ़ते भाग पर त्रिकोणमितीय फलन का परास साफ मिलता है।
When an integer is divided by (3), the remainder is (0), (1), or (2).
Step 2
Why this answer is correct
For (0), take (n=0); for (1), take (n=1); for (2), take (n=2).
Step 3
Exam Tip
In remainder functions, check whether every possible remainder is obtained. चरण 1: किसी पूर्णांक को (3) से भाग देने पर शेषफल (0), (1), या (2) होता है। चरण 2: (0) के लिए (n=0), (1) के लिए (n=1), और (2) के लिए (n=2) लिया जा सकता है। चरण 3: शेषफल वाले फलन में सभी शेषफल मिलते हैं या नहीं जाँचें।
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि ऋणात्मक पूर्णांक नहीं मिलते/Not onto because negative integers are not obtained
Step 1
Concept
\(n^2\) is never negative.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{Z}\) contains integers like (-1), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
With integer domains, quickly identify missing values of the square function. चरण 1: \(n^2\) कभी ऋणात्मक नहीं होता। चरण 2: सहक्षेत्र \(\mathbb{Z}\) में (-1) जैसे पूर्णांक हैं जो नहीं मिलते। चरण 3: पूर्णांक प्रांत में वर्ग फलन के छूटे हुए मान तुरंत पहचानें।
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि हर अरिणात्मक पूर्णांक वर्ग नहीं होता/Not onto because every non-negative integer is not a square
Step 1
Concept
\(n^2\) gives only perfect squares such as (0,1,4,9).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain contains non-negative integers like (2) and (3), which are not perfect squares.
Step 3
Exam Tip
Even with a non-negative codomain, not every value must be obtained. चरण 1: \(n^2\) केवल पूर्ण वर्ग देता है जैसे (0,1,4,9)। चरण 2: सहक्षेत्र में (2) और (3) जैसे अरिणात्मक पूर्णांक हैं जो पूर्ण वर्ग नहीं हैं। चरण 3: सहक्षेत्र अरिणात्मक होने पर भी सभी मान मिलें यह जरूरी नहीं।
\(\lceil x\rceil\) gives an integer for every (x).
Step 2
Why this answer is correct
For any \(k\in\mathbb{Z}\), taking (x=k) gives \(\lceil x\rceil=k\).
Step 3
Exam Tip
When the codomain of the ceiling function is \(\mathbb{Z}\), every integer is obtained. चरण 1: \(\lceil x\rceil\) हर (x) के लिए कोई पूर्णांक देता है। चरण 2: किसी भी \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=k) लेने पर \(\lceil x\rceil=k\) मिलता है। चरण 3: छत फलन का सहक्षेत्र \(\mathbb{Z}\) हो तो हर पूर्णांक प्राप्त होता है।
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि केवल पूर्णांक मान मिलते हैं/Not onto because only integer values are obtained
Step 1
Concept
\(\lceil x\rceil\) is always an integer.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains values like \(\frac{1}{2}\), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
For floor or ceiling functions with codomain \(\mathbb{R}\), check onto carefully. चरण 1: \(\lceil x\rceil\) का मान हमेशा पूर्णांक होता है। चरण 2: सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) में \(\frac{1}{2}\) जैसे मान हैं जो नहीं मिलते। चरण 3: मंजिल या छत फलन में सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) हो तो आच्छादकता सावधानी से देखें।
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि परास \([4,\infty\)) है/Not onto because range is \([4,\infty\))
Step 1
Concept
The sum of distances from (-2) and (2) is at least (4).
Step 2
Why this answer is correct
Between (-2) and (2), the value is (4), and outside this interval larger values are obtained.
Step 3
Exam Tip
Interpreting modulus as distance helps find the range. चरण 1: दो बिंदुओं (-2) और (2) से दूरी का योग कम से कम (4) होता है। चरण 2: ([-2,2]) के बीच मान (4) और बाहर जाने पर इससे बड़े मान मिलते हैं। चरण 3: मापांक योग में दूरी का अर्थ समझना परास निकालने में मदद करता है।
As (|x|) becomes large, the value can grow without bound, so all values above (4) are obtained.
Step 3
Exam Tip
If the actual range equals the codomain, the function is onto. चरण 1: इस मापांक योग का न्यूनतम मान (4) है। चरण 2: (|x|) बड़ा होने पर मान अनंत तक बढ़ सकता है इसलिए (4) से ऊपर के सभी मान मिलते हैं। चरण 3: वास्तविक परास सहक्षेत्र के बराबर हो तो फलन आच्छादक है।
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि परास \([1,\infty\)) है/Not onto because range is \([1,\infty\))
Step 1
Concept
Since \(x^2+1\ge1\), \(\sqrt{x^2+1}\ge1\).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0) and negative values, which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
For square-root functions, the minimum of the inside expression determines the range. चरण 1: \(x^2+1\ge1\) इसलिए \(\sqrt{x^2+1}\ge1\)। चरण 2: सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) में (0) और ऋणात्मक मान हैं जो प्राप्त नहीं होते। चरण 3: वर्गमूल फलन में अंदर की न्यूनतम मात्रा परास तय करती है।
Then \(x^2=y^2-1\), so \(x=\sqrt{y^2-1}\) is real.
Step 3
Exam Tip
If you can construct (x) from the target value, onto is proved. चरण 1: किसी भी \(y\ge1\) के लिए \(y=\sqrt{x^2+1}\) मानें। चरण 2: इससे \(x^2=y^2-1\) और \(x=\sqrt{y^2-1}\) वास्तविक मिलता है। चरण 3: लक्ष्य मान से (x) बना सके तो आच्छादकता सिद्ध हो जाती है।
Since \(x\ge1\), \(x-1\ge0\), and for every \(y\ge0\), take \(x=1+\sqrt{y}\).
Step 3
Exam Tip
Choose the preimage while respecting the domain restriction. चरण 1: (x-2-2x+1=(x-1)2) है। चरण 2: \(x\ge1\) होने पर \(x-1\ge0\) और हर \(y\ge0\) के लिए \(x=1+\sqrt{y}\) लिया जा सकता है। चरण 3: प्रांत की सीमा को ध्यान में रखकर पूर्वप्रतिबिंब चुनें।
For every \(y\ge0\), taking \(x=1-\sqrt{y}\) gives \(x\le1\) and (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
A different branch of a quadratic can also be onto for a suitable codomain. चरण 1: (f(x)=(x-1)2) है। चरण 2: हर \(y\ge0\) के लिए \(x=1-\sqrt{y}\) लेने पर \(x\le1\) और (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: द्विघात फलन की अलग शाखा भी सही सहक्षेत्र पर आच्छादक हो सकती है।
As \(x\to-\infty\), the \(x^3\) term makes the value go to \(-\infty\), and as \(x\to\infty\), both terms make it go to \(\infty\).
Step 3
Exam Tip
When a continuous function goes unbounded in both directions, it is onto \(\mathbb{R}\). चरण 1: \(x^3+e^x\) सतत है। चरण 2: \(x\to-\infty\) पर \(x^3\) के कारण मान \(-\infty\) की ओर जाता है और \(x\to\infty\) पर दोनों पद मिलकर \(\infty\) की ओर जाते हैं। चरण 3: जब सतत फलन दोनों दिशाओं में असीम जाता है तो वह \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक होता है।
For \(x\ge0\), \(x^2\) gives all non-negative real values.
Step 2
Why this answer is correct
For (x<0), \(-x^2\) gives all negative real values, and (0) is obtained from the first part.
Step 3
Exam Tip
For a piecewise function, find the range of each part and then take their union. चरण 1: \(x\ge0\) पर \(x^2\) से सभी अरिणात्मक वास्तविक मान मिलते हैं। चरण 2: (x<0) पर \(-x^2\) से सभी ऋणात्मक वास्तविक मान मिलते हैं और (0) पहले भाग से मिल जाता है। चरण 3: खंडों में दिए फलन में हर खंड का परास अलग निकालकर उनका सम्मिलित परास देखें।
