Adding a rational number cannot make an irrational number rational.
Step 2
Why this answer is correct
If (r+s) were rational, then (s=(r+s)-r) would be rational, which is a contradiction.
Step 3
Exam Tip
Such rules can also be checked by reverse reasoning. चरण 1: परिमेय संख्या जोड़ने से अपरिमेय संख्या परिमेय नहीं बनती। चरण 2: यदि (r+s) परिमेय मान लें, तो (s=(r+s)-r) परिमेय हो जाएगा, जो गलत है। चरण 3: ऐसे नियमों को उलटा सोचकर भी जांच सकते हैं।
(4) is rational and \(\sqrt{13}\) is irrational, so the sum is irrational. In exams identify square roots of perfect squares first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(4+\sqrt{13}\). (4) is rational and \(\sqrt{13}\) is irrational, so the sum is irrational. In exams identify square roots of perfect squares first.
Step 3
Exam Tip
(4) परिमेय है और \(\sqrt{13}\) अपरिमेय है, इसलिए योग अपरिमेय है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग के वर्गमूल को पहले पहचानें।
A rational number minus an irrational number is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
If (r-s) were rational, then (s=r-(r-s)) would be rational, which is impossible.
Step 3
Exam Tip
Use the same reasoning for subtraction as for addition. चरण 1: परिमेय संख्या में से अपरिमेय संख्या घटाने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। चरण 2: यदि (r-s) परिमेय हो, तो (s=r-(r-s)) परिमेय हो जाएगा, जो असंभव है। चरण 3: घटाव में भी वही सोच रखें जो योग में रखते हैं।
\(\sqrt{17}\) and \(\sqrt{17}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their difference is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
The difference of equal irrational terms can be rational. चरण 1: \(\sqrt{17}\) और \(\sqrt{17}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका अंतर (0) है, जो परिमेय है। चरण 3: समान अपरिमेय पदों का अंतर परिमेय हो सकता है।
\(\sqrt{7}\) and \(\sqrt{7}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their difference is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
The difference of equal irrational terms can be rational. चरण 1: \(\sqrt{7}\) और \(\sqrt{7}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका अंतर (0) है, जो परिमेय है। चरण 3: समान अपरिमेय पदों का अंतर परिमेय हो सकता है।
\(\sqrt{5}\) and \(\sqrt{5}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their difference is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
The difference of equal irrational terms can be rational. चरण 1: \(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{5}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका अंतर (0) है, जो परिमेय है। चरण 3: समान अपरिमेय पदों का अंतर परिमेय परिणाम दे सकता है।
C. परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखी जा सकती है, जहाँ \(q\neq0\)/Rational numbers can be written as \(\frac{p}{q}\), where \(q\neq0\)
Step 1
Concept
A rational number can be written as \(\frac{p}{q}\), where (p,q) are integers and \(q\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
An irrational number cannot be written in that form.
Step 3
Exam Tip
In definition questions, always check the condition \(q\neq0\). चरण 1: परिमेय संख्या वह है जिसे \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जा सके, जहाँ (p,q) पूर्णांक और \(q\neq0\) हों। चरण 2: अपरिमेय संख्या ऐसे रूप में नहीं लिखी जा सकती। चरण 3: परिभाषा के प्रश्न में \(q\neq0\) अवश्य देखें।
(5) is a non zero rational number so \(5\sqrt{3}\) is irrational. Remember multiplication by (0) gives (0).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(5\times\sqrt{3}\). (5) is a non zero rational number so \(5\sqrt{3}\) is irrational. Remember multiplication by (0) gives (0).
Step 3
Exam Tip
(5) गैर शून्य परिमेय है इसलिए \(5\sqrt{3}\) अपरिमेय है। ध्यान रखें (0) से गुणा करने पर परिणाम (0) होता है।
(6) is a non-zero rational number and \(\sqrt{19}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(6\sqrt{19}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
Multiplication by zero is a special case, so focus on non-zero rational factors. चरण 1: (6) अशून्य परिमेय है और \(\sqrt{19}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(6\sqrt{19}\) अपरिमेय रहेगा। चरण 3: शून्य से गुणा करने का मामला अलग है, इसलिए अशून्य परिमेय पर ध्यान दें।
(4) is a non-zero rational number and \(\sqrt{13}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(4\sqrt{13}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
Multiplication by zero is a special case, so focus on non-zero rational factors. चरण 1: (4) अशून्य परिमेय है और \(\sqrt{13}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(4\sqrt{13}\) अपरिमेय रहेगा। चरण 3: शून्य से गुणा करने का मामला अलग है, इसलिए अशून्य परिमेय पर ध्यान दें।
(3) is a non-zero rational number and \(\sqrt{7}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(3\sqrt{7}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
Multiplication by zero is a special case, so focus on non-zero rational factors. चरण 1: (3) अशून्य परिमेय है और \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(3\sqrt{7}\) अपरिमेय रहेगा। चरण 3: शून्य से गुणा करने का मामला अलग होता है, इसलिए अशून्य परिमेय पर ध्यान दें।
A. जब (a) कोई भी परिमेय संख्या हो/When (a) is any rational number
Step 1
Concept
Adding a rational number to an irrational number gives an irrational result. This simple property often appears in MCQs.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. जब (a) कोई भी परिमेय संख्या हो / When (a) is any rational number. Adding a rational number to an irrational number gives an irrational result. This simple property often appears in MCQs.
Step 3
Exam Tip
परिमेय में अपरिमेय जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। यह आसान गुण अक्सर MCQ में आता है।
Subtracting a rational number from an irrational number leaves an irrational part.
Step 2
Why this answer is correct
If the result were rational, then (q=(q-p)+p) would be rational, which is impossible.
Step 3
Exam Tip
Remember the rules for addition and subtraction of rational and irrational numbers. चरण 1: अपरिमेय संख्या में से परिमेय संख्या घटाने पर अपरिमेय भाग बचता है। चरण 2: यदि परिणाम परिमेय हो, तो (q=(q-p)+p) परिमेय हो जाएगा, जो गलत है। चरण 3: परिमेय और अपरिमेय के जोड़-घटाव के नियम याद रखें।
Subtracting an irrational number from a rational number leaves an irrational part.
Step 2
Why this answer is correct
If the result were rational, then (q=p-(p-q)) would be rational, which is impossible.
Step 3
Exam Tip
Remember the rules for addition and subtraction of rational and irrational numbers. चरण 1: परिमेय संख्या में से अपरिमेय संख्या घटाने पर अपरिमेय भाग बचता है। चरण 2: यदि परिणाम परिमेय हो, तो (q=p-(p-q)) परिमेय हो जाएगा, जो गलत है। चरण 3: परिमेय और अपरिमेय के जोड़-घटाव के नियम याद रखें।
If \(q\ne0\), then \(q\sqrt{5}\) is irrational and the sum cannot be rational. In exams check the possibility of a zero coefficient.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (q=0). If \(q\ne0\), then \(q\sqrt{5}\) is irrational and the sum cannot be rational. In exams check the possibility of a zero coefficient.
Step 3
Exam Tip
यदि \(q\ne0\), तो \(q\sqrt{5}\) अपरिमेय होगा और योग परिमेय नहीं हो सकता। परीक्षा में शून्य गुणांक की संभावना देखें।
A. जब (a) को दो पूर्ण वर्गों के अनुपात के रूप में लिखा जा सके/When (a) can be written as a ratio of two perfect squares
Step 1
Concept
The square root of a rational fraction is rational when both numerator and denominator can be perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}\), so a ratio of two perfect squares is a safe condition.
Step 3
Exam Tip
Being positive or less than (1) does not guarantee a rational square root. चरण 1: किसी परिमेय भिन्न का वर्गमूल परिमेय तब होता है जब अंश और हर दोनों पूर्ण वर्ग बन सकें। चरण 2: जैसे \(\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}\), इसलिए दो पूर्ण वर्गों का अनुपात सुरक्षित स्थिति है। चरण 3: केवल धनात्मक या (1) से छोटा होना परिमेय वर्गमूल की गारंटी नहीं देता।
If \(\frac{s}{r}\) were rational then \(s=r\cdot\frac{s}{r}\) would be rational which is false. In exams check the non-zero condition.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अपरिमेय / Irrational. If \(\frac{s}{r}\) were rational then \(s=r\cdot\frac{s}{r}\) would be rational which is false. In exams check the non-zero condition.
Step 3
Exam Tip
यदि \(\frac{s}{r}\) परिमेय हो तो \(s=r\cdot\frac{s}{r}\) परिमेय हो जाएगा जो गलत है। परीक्षा में शून्येतर शर्त जरूर देखें।
A. \(\sqrt{2}\) और \(3\sqrt{2}\)/\(\sqrt{2}\) and \(3\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}=6\), which is rational. In exams remember counterexamples for products of irrational numbers.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}\) और \(3\sqrt{2}\) / \(\sqrt{2}\) and \(3\sqrt{2}\). \(\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}=6\), which is rational. In exams remember counterexamples for products of irrational numbers.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}=6\), जो परिमेय है। परीक्षा में अपरिमेय संख्याओं के गुणनफल के लिए प्रतिउदाहरण याद रखें।
In \(x^2-4x+1\), the sum is (4) and (D=16-4=12), so the zeroes are irrational. A rational sum does not mean rational zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x^2-4x+1\). In \(x^2-4x+1\), the sum is (4) and (D=16-4=12), so the zeroes are irrational. A rational sum does not mean rational zeroes.
Step 3
Exam Tip
\(x^2-4x+1\) में योग (4) है और (D=16-4=12) से शून्यक अपरिमेय हैं। परिमेय योग का अर्थ परिमेय शून्यक होना नहीं है।
\(\sqrt{12}\times\sqrt{3}=\sqrt{36}=6\). The product of two irrational numbers is not always irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{12}\times\sqrt{3}\). \(\sqrt{12}\times\sqrt{3}=\sqrt{36}=6\). The product of two irrational numbers is not always irrational.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{12}\times\sqrt{3}=\sqrt{36}=6\) है। दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय नहीं होता।
The difference of a rational and an irrational number is irrational. This property helps identify mixed expressions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अपरिमेय संख्या / Irrational number. The difference of a rational and an irrational number is irrational. This property helps identify mixed expressions.
Step 3
Exam Tip
परिमेय और अपरिमेय का अंतर अपरिमेय होता है। यह गुण गैर मिश्रित संख्याओं को पहचानने में मदद करता है।
(\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\)=6-2=4), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Identifying conjugates helps remove radicals quickly. चरण 1: पहला विकल्प संयुग्मी पदों का गुणनफल है। चरण 2: (\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\)=6-2=4), जो परिमेय है। चरण 3: संयुग्मी पद पहचानने से वर्गमूल जल्दी हट जाते हैं।
From (r+s=s), subtract (s) from both sides to get (r=0).
Step 2
Why this answer is correct
(0) is rational, so the condition is possible.
Step 3
Exam Tip
Form a simple equation before judging number types. चरण 1: (r+s=s) से दोनों ओर (s) घटाने पर (r=0) मिलता है। चरण 2: (0) परिमेय है इसलिए स्थिति संभव है। चरण 3: सरल समीकरण बनाकर संख्या के प्रकार की जांच करें।
\(\sqrt{19}\) is irrational because (19) is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
(\(\sqrt{19}\)2=19), which is rational.
Step 3
Exam Tip
The square of an irrational number can sometimes be rational. चरण 1: \(\sqrt{19}\) अपरिमेय है क्योंकि (19) पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: (\(\sqrt{19}\)2=19), जो परिमेय है। चरण 3: किसी अपरिमेय संख्या का वर्ग कभी-कभी परिमेय हो सकता है।
If \(\frac{1}{x}\) is rational and non-zero, then its reciprocal is also rational.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore (x) is rational, not irrational.
Step 3
Exam Tip
In reciprocal questions, always check the non-zero condition. चरण 1: यदि \(\frac{1}{x}\) परिमेय है और शून्य नहीं है, तो उसका व्युत्क्रम भी परिमेय होगा। चरण 2: इसलिए (x) परिमेय होगा, अपरिमेय नहीं। चरण 3: व्युत्क्रम वाले प्रश्नों में शून्य की शर्त जरूर देखें।
Dividing by a non-zero rational number is the same as multiplying by its reciprocal.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{1}{r}\) is also a non-zero rational number, so \(\frac{x}{r}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
In division questions, always check that the denominator is not zero. चरण 1: अशून्य परिमेय संख्या से भाग देना उसी के व्युत्क्रम से गुणा करने जैसा है। चरण 2: \(\frac{1}{r}\) भी अशून्य परिमेय है, इसलिए \(\frac{x}{r}\) अपरिमेय रहेगा। चरण 3: भाग वाले प्रश्न में हर के शून्य न होने की शर्त जरूर देखें।
B. यह कभी परिमेय नहीं हो सकता/It can never be rational
Step 1
Concept
(3) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
If (x+3) were rational, then (x=(x+3)-3) would also be rational, contradicting the given fact.
Step 3
Exam Tip
The contradiction method is useful in such questions. चरण 1: (3) एक परिमेय संख्या है। चरण 2: यदि (x+3) परिमेय हो, तो (x=(x+3)-3) भी परिमेय होगा, जो दी गई बात के विरुद्ध है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में विरोध विधि तेज काम करती है।
\(\sqrt{11}\) and \(-\sqrt{11}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Opposite irrational terms can give a rational sum. चरण 1: \(\sqrt{11}\) और \(-\sqrt{11}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग (0) है, जो परिमेय है। चरण 3: विपरीत अपरिमेय पदों का योग परिमेय हो सकता है।
Multiplying a square root by itself gives the number inside.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{k}\times\sqrt{k}=k\), which is rational if (k) is an integer.
Step 3
Exam Tip
The square of an irrational square root can be rational. चरण 1: किसी वर्गमूल को उसी वर्गमूल से गुणा करने पर अंदर की संख्या मिलती है। चरण 2: \(\sqrt{k}\times\sqrt{k}=k\), जो पूर्णांक होने पर परिमेय होता है। चरण 3: अपरिमेय वर्गमूल का वर्ग परिमेय परिणाम दे सकता है।
\(\sqrt{5}\) and \(-\sqrt{5}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Opposite irrational terms can give a rational sum. चरण 1: \(\sqrt{5}\) और \(-\sqrt{5}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग (0) है, जो परिमेय है। चरण 3: विपरीत अपरिमेय पदों का योग परिमेय हो सकता है।
(\(\sqrt{b}\)2=b), and if (b) is an integer, it is rational.
Step 3
Exam Tip
The square of an irrational square root can give a rational result. चरण 1: वर्गमूल का वर्ग करने पर अंदर की संख्या मिलती है। चरण 2: (\(\sqrt{b}\)2=b), और (b) पूर्णांक हो तो परिमेय होता है। चरण 3: अपरिमेय वर्गमूल का वर्ग परिमेय परिणाम दे सकता है।
A non-zero rational multiplier does not remove irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(4\sqrt{3}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
The non-zero condition is important because multiplying by (0) gives (0). चरण 1: अशून्य परिमेय गुणक अपरिमेयता को समाप्त नहीं करता। चरण 2: जैसे \(4\sqrt{3}\) अपरिमेय रहता है। चरण 3: यहां अशून्य शर्त जरूरी है क्योंकि (0) से गुणा करने पर परिणाम (0) होगा।
\(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Opposite irrational numbers can give a rational sum. चरण 1: \(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग (0) है, जो परिमेय संख्या है। चरण 3: विपरीत अपरिमेय संख्याएँ जोड़ने पर परिमेय परिणाम आ सकता है।
Multiplying a square root by itself gives the number inside.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{a}\times\sqrt{a}=a\), and if (a) is an integer, it is rational.
Step 3
Exam Tip
The square of an irrational number can be rational. चरण 1: किसी वर्गमूल को उसी वर्गमूल से गुणा करने पर अंदर की संख्या मिलती है। चरण 2: \(\sqrt{a}\times\sqrt{a}=a\), और (a) पूर्णांक हो तो परिमेय है। चरण 3: अपरिमेय संख्या का वर्ग कई बार परिमेय हो सकता है।
The product of two irrational numbers is not always irrational. चरण 1: \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\), जो परिमेय है। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय नहीं होता।
\(\sqrt{15}\) is irrational because (15) is not a perfect square.
Step 3
Exam Tip
In pair questions, check the nature of both numbers separately. चरण 1: (8) परिमेय संख्या है। चरण 2: \(\sqrt{15}\) अपरिमेय है क्योंकि (15) पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 3: युग्म वाले प्रश्न में दोनों संख्याओं की प्रकृति अलग-अलग जांचें।
A non-zero rational multiplier does not remove irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(3\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
The non-zero condition is important because multiplying by zero gives zero. चरण 1: अशून्य परिमेय गुणक अपरिमेयता को समाप्त नहीं करता। चरण 2: जैसे \(3\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 3: यहां अशून्य शर्त जरूरी है क्योंकि शून्य से गुणा करने पर परिणाम शून्य होगा।
The product of two irrational numbers is not always irrational. चरण 1: \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(\sqrt{3}\times\sqrt{3}=3\), जो परिमेय है। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय नहीं होता।
\(\sqrt{6}\) is irrational because (6) is not a perfect square.
Step 3
Exam Tip
In a pair, identify each number separately. चरण 1: (3) परिमेय है। चरण 2: \(\sqrt{6}\) अपरिमेय है क्योंकि (6) पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 3: युग्म में दोनों संख्याओं को अलग-अलग पहचानें।
Adding a rational number does not remove the irrational part.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(4+\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
The sum of a rational and an irrational number is an important rule to remember. चरण 1: परिमेय संख्या को जोड़ने से अपरिमेय भाग खत्म नहीं होता। चरण 2: जैसे \(4+\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 3: परिमेय और अपरिमेय का योग याद रखने योग्य नियम है।
Multiplying an irrational number by a non-zero rational number keeps it irrational.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(2 \times \sqrt{3}=2\sqrt{3}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
The non-zero condition is important because multiplication by (0) gives (0). चरण 1: अशून्य परिमेय संख्या से अपरिमेय संख्या को गुणा करने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। चरण 2: जैसे \(2 \times \sqrt{3}=2\sqrt{3}\), जो अपरिमेय है। चरण 3: यहां अशून्य शर्त जरूरी है, क्योंकि शून्य से गुणा करने पर परिणाम (0) होगा।
A. \(\sqrt{12}\) और \(\sqrt{3}\)/\(\sqrt{12}\) and \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{3}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their product is \(\sqrt{36}=6\), which is rational, and their sum is \(3\sqrt{3}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Check the nature of the sum and product separately. चरण 1: \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) और \(\sqrt{3}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका गुणन \(\sqrt{36}=6\) परिमेय है, और योग \(3\sqrt{3}\) अपरिमेय है। चरण 3: योग और गुणन की प्रकृति अलग-अलग जाँचें।
\(\sqrt{5}\) is irrational and \(2-\sqrt{5}\) is also irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (2) which is rational.
Step 3
Exam Tip
There is no single always rule for the sum of two irrational numbers. चरण 1: \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है और \(2-\sqrt{5}\) भी अपरिमेय है। चरण 2: उनका योग (2) है जो परिमेय है। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं के योग के लिए एक ही नियम हर बार लागू नहीं होता।
If (r-s) were rational then (s=r-(r-s)) would be rational which is false.
Step 3
Exam Tip
Adding or subtracting a rational and an irrational number gives an irrational number. चरण 1: मान लें परिमेय (r) और अपरिमेय (s) हैं। चरण 2: यदि (r-s) परिमेय हो तो (s=r-(r-s)) परिमेय हो जाएगा जो गलत है। चरण 3: परिमेय और अपरिमेय को जोड़ने या घटाने पर परिणाम अपरिमेय रहता है।
A. \(4+\sqrt{6}\) और \(4-\sqrt{6}\)/\(4+\sqrt{6}\) and \(4-\sqrt{6}\)
Step 1
Concept
For rational coefficients, the conjugate \(a-\sqrt{b}\) accompanies \(a+\sqrt{b}\). Hence the first pair is correct.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(4+\sqrt{6}\) और \(4-\sqrt{6}\) / \(4+\sqrt{6}\) and \(4-\sqrt{6}\). For rational coefficients, the conjugate \(a-\sqrt{b}\) accompanies \(a+\sqrt{b}\). Hence the first pair is correct.
Step 3
Exam Tip
परिमेय गुणांकों के लिए \(a+\sqrt{b}\) का संयुग्मी \(a-\sqrt{b}\) साथ आता है। इसलिए पहला युग्म सही है।
Its reciprocal is \(3-\sqrt{8}\), because (\(3+\sqrt{8}\)\(3-\sqrt{8}\)=1). Hence the sum is (6), which is rational.
Step 3
Exam Tip
When conjugates multiply to (1), the reciprocal is easy to identify. चरण 1: \(3+\sqrt{8}=3+2\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 2: इसका व्युत्क्रम \(3-\sqrt{8}\) है, क्योंकि (\(3+\sqrt{8}\)\(3-\sqrt{8}\)=1)। इसलिए योग (6) परिमेय है। चरण 3: जिन संयुग्मियों का गुणन (1) हो, वहाँ व्युत्क्रम तुरंत मिल सकता है।
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so (x) and \(y=-2\sqrt{2}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is \(2\sqrt{2}-2\sqrt{2}=0\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Opposite irrational terms can give a rational sum. चरण 1: \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए (x) और \(y=-2\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग \(2\sqrt{2}-2\sqrt{2}=0\), जो परिमेय है। चरण 3: विपरीत अपरिमेय पदों के योग से परिमेय उत्तर मिल सकता है।
B. \(\sqrt{12}\) और \(\sqrt{3}\)/\(\sqrt{12}\) and \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{3}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\sqrt{4}=2\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
In quotients, check whether the value inside the root becomes a perfect square. चरण 1: \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) और \(\sqrt{3}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: \(\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\sqrt{4}=2\), जो परिमेय है। चरण 3: भागफल में मूल के अंदर का भाग पूर्ण वर्ग बन रहा है या नहीं, यह देखें।
(\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=4-3=1) which is rational. In exams remember conjugate multiplication as a counterexample.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)). (\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=4-3=1) which is rational. In exams remember conjugate multiplication as a counterexample.
Step 3
Exam Tip
(\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=4-3=1) है जो परिमेय है। परीक्षा में संयुग्मी गुणन को प्रतिउदाहरण के रूप में याद रखें।
A. \(2+\sqrt{5}\) और \(2-\sqrt{5}\)/\(2+\sqrt{5}\) and \(2-\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
The sum is (\(2+\sqrt{5}\)+\(2-\sqrt{5}\)=4), which is rational. In exams remember conjugate pairs as counterexamples.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2+\sqrt{5}\) और \(2-\sqrt{5}\) / \(2+\sqrt{5}\) and \(2-\sqrt{5}\). The sum is (\(2+\sqrt{5}\)+\(2-\sqrt{5}\)=4), which is rational. In exams remember conjugate pairs as counterexamples.
Step 3
Exam Tip
योग (\(2+\sqrt{5}\)+\(2-\sqrt{5}\)=4) है, जो परिमेय है। परीक्षा में संयुग्मी जोड़ों को प्रतिउदाहरण के रूप में याद रखें।
For \(x^2-8x+3\), (D=64-12=52), positive and not a perfect square. The other options give equal rational, non-real, or rational zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x^2-8x+3\). For \(x^2-8x+3\), (D=64-12=52), positive and not a perfect square. The other options give equal rational, non-real, or rational zeroes.
Step 3
Exam Tip
\(x^2-8x+3\) के लिए (D=64-12=52), जो धनात्मक अपूर्ण वर्ग है। बाकी विकल्पों में शून्यक समान परिमेय, अवास्तविक या परिमेय हैं।
A non zero rational multiplier keeps an irrational number irrational. The condition \(r\neq0\) is important.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अपरिमेय संख्या / Irrational number. A non zero rational multiplier keeps an irrational number irrational. The condition \(r\neq0\) is important.
Step 3
Exam Tip
गैर शून्य परिमेय गुणक अपरिमेय संख्या को अपरिमेय ही रखता है। शर्त \(r\neq0\) महत्वपूर्ण है।
\(\sqrt{11}\) is irrational because (11) is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
(\(\sqrt{11}\)2=11) which is rational.
Step 3
Exam Tip
Squaring may remove the radical. चरण 1: \(\sqrt{11}\) अपरिमेय है क्योंकि (11) पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: (\(\sqrt{11}\)2=11) परिमेय है। चरण 3: वर्ग करने पर वर्गमूल हट सकता है।
B. \(\sqrt{18}\) और \(\sqrt{2}\)/\(\sqrt{18}\) and \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{18}\) and \(\sqrt{2}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}=3\) which is rational.
Step 3
Exam Tip
In quotients check whether the ratio inside the radical becomes a perfect square. चरण 1: \(\sqrt{18}\) और \(\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: \(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}=3\) परिमेय है। चरण 3: भाग में मूल के अंदर अनुपात पूर्ण वर्ग बन रहा है या नहीं यह देखें।
Dividing by a non-zero rational number is the same as multiplying by its reciprocal.
Step 2
Why this answer is correct
An irrational number multiplied by a non-zero rational number remains irrational.
Step 3
Exam Tip
Convert division questions into multiplication for easier reasoning. चरण 1: शून्य रहित परिमेय से भाग देना उसी के व्युत्क्रम से गुणा करना है। चरण 2: अपरिमेय संख्या को शून्य रहित परिमेय से गुणा करने पर अपरिमेय संख्या मिलती है। चरण 3: भाग के प्रश्नों को गुणा में बदलकर सोचें।
For (a=7,b=2), \(\sqrt{7}+\sqrt{2}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The product is (\(\sqrt{7}\)2-\(\sqrt{2}\)2=7-2=5), which is rational.
Step 3
Exam Tip
A conjugate product can give a rational result even when the sum is irrational. चरण 1: (a=7,b=2) पर \(\sqrt{7}+\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 2: गुणन (\(\sqrt{7}\)2-\(\sqrt{2}\)2=7-2=5) परिमेय है। चरण 3: संयुग्मी गुणन अपरिमेय योग को भी परिमेय गुणनफल दे सकता है।
To make \(x+\sqrt{2}\) rational, (x) should contain a \(-\sqrt{2}\) part.
Step 2
Why this answer is correct
If \(x=3-\sqrt{2}\), then \(x+\sqrt{2}=3\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Look for cancellation of the irrational part. चरण 1: \(x+\sqrt{2}\) को परिमेय बनाने के लिए (x) में \(-\sqrt{2}\) वाला भाग होना चाहिए। चरण 2: \(x=3-\sqrt{2}\) रखने पर \(x+\sqrt{2}=3\), जो परिमेय है। चरण 3: अपरिमेय भाग के कटने की संभावना खोजें।
Its square is (\(\sqrt{13}\)2=13), which is rational.
Step 3
Exam Tip
The square of an irrational number is not always irrational, so examine examples carefully. चरण 1: \(\sqrt{13}\) अपरिमेय है। चरण 2: इसका वर्ग (\(\sqrt{13}\)2=13) परिमेय है। चरण 3: हर अपरिमेय संख्या का वर्ग अपरिमेय नहीं होता, इसलिए उदाहरण ध्यान से देखें।
Multiplying an irrational number by a non-zero rational number keeps it irrational.
Step 2
Why this answer is correct
If (pq) were rational, then \(q=\frac{pq}{p}\) would be rational, which contradicts the given condition.
Step 3
Exam Tip
Always check that the rational multiplier is not zero. चरण 1: अशून्य परिमेय संख्या से गुणा करने पर अपरिमेयता बनी रहती है। चरण 2: यदि (pq) परिमेय मान लें, तो \(q=\frac{pq}{p}\) परिमेय हो जाएगा, जो गलत है। चरण 3: परीक्षा में ध्यान रखें कि (p) शून्य नहीं होना चाहिए।
Dividing by a non-zero rational number does not remove irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
The condition \(k\neq0\) is necessary because division by zero is not possible. चरण 1: अशून्य परिमेय संख्या से भाग करने पर अपरिमेयता समाप्त नहीं होती। चरण 2: जैसे \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) अपरिमेय रहता है। चरण 3: यहां \(k\neq0\) जरूरी है क्योंकि शून्य से भाग संभव नहीं है।
Dividing by a non-zero rational number does not remove irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
The condition \(k\neq0\) is necessary because division by zero is not possible. चरण 1: अशून्य परिमेय संख्या से भाग करने पर अपरिमेयता समाप्त नहीं होती। चरण 2: जैसे \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) अपरिमेय रहता है। चरण 3: यहां \(k\neq0\) जरूरी है क्योंकि शून्य से भाग संभव नहीं है।
Dividing by a non-zero rational number does not remove irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(\frac{\sqrt{2}}{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
The condition \(r\neq0\) is necessary because division by zero is not possible. चरण 1: अशून्य परिमेय संख्या से भाग करने पर अपरिमेयता समाप्त नहीं होती। चरण 2: जैसे \(\frac{\sqrt{2}}{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: यहां \(r\neq0\) शर्त जरूरी है क्योंकि शून्य से भाग संभव नहीं होता।
\(\sqrt{2}\times\sqrt{5}=\sqrt{10}\), which is irrational. Multiplying equal roots can often give a rational number.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}\times\sqrt{5}\). \(\sqrt{2}\times\sqrt{5}=\sqrt{10}\), which is irrational. Multiplying equal roots can often give a rational number.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\times\sqrt{5}=\sqrt{10}\) है जो अपरिमेय है। समान जड़ों का गुणन अक्सर परिमेय दे सकता है।
Its reciprocal \(\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}\) is also irrational.
Step 3
Exam Tip
Do not assume the reciprocal of a non-zero irrational surd is rational. चरण 1: \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) अपरिमेय है। चरण 2: इसका व्युत्क्रम \(\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}\) भी अपरिमेय है। चरण 3: अशून्य अपरिमेय मूल के व्युत्क्रम को परिमेय मानने की गलती न करें।
The sum of two irrational numbers can be rational.
Step 2
Why this answer is correct
For example, (\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0). Therefore, saying (a+b) is always irrational is false.
Step 3
Exam Tip
Be careful with universal statements about two irrational numbers. चरण 1: दो अपरिमेय संख्याओं का योग कभी परिमेय भी हो सकता है। चरण 2: उदाहरण (\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) है। इसलिए (a+b) हमेशा अपरिमेय कहना गलत है। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं पर हमेशा वाले नियम बहुत सावधानी से लगाएँ।
A rational number has either a terminating decimal or a non-terminating recurring decimal.
Step 2
Why this answer is correct
\(2.01001000100001\ldots\) has no fixed repeating block. So it cannot be rational.
Step 3
Exam Tip
Decide by checking repetition, not merely by seeing a long decimal. चरण 1: परिमेय संख्या का दशमलव या तो सांत होता है या असांत आवर्ती। चरण 2: \(2.01001000100001\ldots\) में कोई स्थिर आवर्ती खंड नहीं है। इसलिए यह परिमेय नहीं हो सकता। चरण 3: लंबा दशमलव देखकर नहीं, पुनरावृत्ति देखकर निर्णय लें।
A rational number has a decimal that either terminates or recurs.
Step 2
Why this answer is correct
Non-terminating non-recurring decimal expansion is not possible for a rational number.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: This difference helps identify rational and irrational numbers. चरण 1: परिमेय संख्या का दशमलव समाप्त या आवर्ती होता है। चरण 2: असमाप्त अनावर्ती दशमलव परिमेय संख्या के लिए संभव नहीं है। चरण 3: परीक्षा सुझाव: यह अंतर परिमेय और अपरिमेय संख्या को पहचानने में मदद करता है।
First look for perfect-square factors inside the radical. चरण 1: पूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय होता है। चरण 2: \(\sqrt{49}=7\) है इसलिए यह परिमेय है। चरण 3: संख्या के अंदर पूर्ण वर्ग गुणनखंड देखकर सरल करें।
\(\sqrt{6}+\sqrt{24}=\sqrt{6}+2\sqrt{6}=3\sqrt{6}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Radicals may cancel in multiplication, but not always in addition. चरण 1: पहले प्रत्येक विकल्प को सरल करें। चरण 2: \(\sqrt{6}+\sqrt{24}=\sqrt{6}+2\sqrt{6}=3\sqrt{6}\), जो अपरिमेय है। चरण 3: गुणन में मूल कट सकते हैं, पर योग में हमेशा ऐसा नहीं होता।
A non-terminating decimal can still be rational if it is recurring.
Step 2
Why this answer is correct
In \(0.37373737\ldots\), the block (37) repeats, so it is rational.
Step 3
Exam Tip
Do not call a decimal irrational just because it is non-terminating; check for a repeating block. चरण 1: असांत दशमलव परिमेय भी हो सकता है, यदि उसमें आवर्तन हो। चरण 2: \(0.37373737\ldots\) में (37) बार-बार आ रहा है, इसलिए यह परिमेय है। चरण 3: असांत देखकर तुरंत अपरिमेय न मानें; आवर्ती भाग को ध्यान से पहचानें।
Terminating decimals, fractions, and recurring decimals are rational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{63}=3\sqrt{7}\), and \(\sqrt{7}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Simplifying the square-root option is a good way to check it. चरण 1: समाप्त दशमलव, भिन्न और आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। चरण 2: \(\sqrt{63}=3\sqrt{7}\), और \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल वाले विकल्प को सरल करके जांचना अच्छा तरीका है।
Terminating decimals, fractions, and recurring decimals are rational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Simplify the square root to identify its nature. चरण 1: समाप्त दशमलव, भिन्न और आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। चरण 2: \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल को सरल करके उसकी प्रकृति पहचानें।
(9) is a perfect square and \(\sqrt{9}=3\), so it is rational.
Step 3
Exam Tip
In square root questions, first check whether the number inside is a perfect square. चरण 1: पूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय संख्या होता है। चरण 2: (9) पूर्ण वर्ग है और \(\sqrt{9}=3\), इसलिए यह परिमेय है। चरण 3: वर्गमूल वाले प्रश्न में पहले देखें कि अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं।
A. \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) हमेशा/\(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) always
Step 1
Concept
\(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) is generally false, for example \(\sqrt{9+16}\ne3+4\). In exams do not split addition inside a radical.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) हमेशा / \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) always. \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) is generally false, for example \(\sqrt{9+16}\ne3+4\). In exams do not split addition inside a radical.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) सामान्यतः गलत है, जैसे \(\sqrt{9+16}\ne3+4\)। परीक्षा में मूल के अंदर योग को अलग-अलग न तोड़ें।
Real numbers include both rational and irrational numbers. These are placed on the number line.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वास्तविक संख्याएँ / Real numbers. Real numbers include both rational and irrational numbers. These are placed on the number line.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक संख्याओं में परिमेय और अपरिमेय दोनों शामिल होते हैं। संख्या रेखा पर इन्हीं का स्थान होता है।
The product of two identical irrational square roots becomes the number inside. चरण 1: \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}=5\) परिमेय है। चरण 3: दो समान अपरिमेय वर्गमूलों का गुणनफल भीतर की संख्या बन जाता है।
\(4+\sqrt{7}\) and \(4-\sqrt{7}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (8), which is rational.
Step 3
Exam Tip
In such examples, equal irrational parts cancel with opposite signs. चरण 1: \(4+\sqrt{7}\) और \(4-\sqrt{7}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग (8) है, जो परिमेय है। चरण 3: ऐसे उदाहरणों में समान अपरिमेय पद विपरीत चिह्न के साथ कटते हैं।
\(\sqrt{5}\) and \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) are both irrational and different.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{20}}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{2}\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
A common irrational factor can cancel in a quotient. चरण 1: \(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) दोनों अपरिमेय हैं और अलग-अलग हैं। चरण 2: \(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{20}}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{2}\), जो परिमेय है। चरण 3: भागफल में समान अपरिमेय गुणनखंड कट सकता है।
Multiplying the two irrational numbers gives \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
One valid counterexample is enough to disprove a universal statement. चरण 1: \(\sqrt{2}\) एक अपरिमेय संख्या है। चरण 2: दो समान अपरिमेय संख्याओं का गुणन \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) देता है, जो परिमेय है। चरण 3: किसी सामान्य कथन को गलत दिखाने के लिए एक सही उदाहरण काफी होता है।
\(\sqrt{5}\) and \(-\sqrt{5}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Before applying a general rule for two irrationals, test possible counterexamples. चरण 1: \(\sqrt{5}\) और \(-\sqrt{5}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग (0) है, जो परिमेय संख्या है। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं के योग पर सामान्य नियम लगाने से पहले उदाहरण जाँचें।
\(\sqrt{5}\times\sqrt{20}=\sqrt{100}=10\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Check whether the product inside the square root becomes a perfect square. चरण 1: दोनों संख्याएँ अलग-अलग अपरिमेय हैं। चरण 2: \(\sqrt{5}\times\sqrt{20}=\sqrt{100}=10\), जो परिमेय है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में गुणन के बाद मूल के अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग बन रही है या नहीं, यह देखें।
B. क्योंकि परिमेय संख्या में अपरिमेय संख्या जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय होता है/Because adding an irrational number to a rational number gives an irrational result
Step 1
Concept
\(\frac{3}{2}\) is rational and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
If their sum were rational, then \(\sqrt{5}\) would become the difference of two rational numbers, which is impossible.
Step 3
Exam Tip
For rational-plus-irrational questions, contradiction is a very useful method. चरण 1: \(\frac{3}{2}\) परिमेय संख्या है और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय संख्या है। चरण 2: यदि उनका योग परिमेय मानें तो \(\sqrt{5}\) को दो परिमेय संख्याओं के अंतर के रूप में लिखना पड़ेगा जो असंभव है। चरण 3: परिमेय और अपरिमेय के योग वाले प्रश्नों में विरोधाभास विधि बहुत उपयोगी है।
A. \(\sqrt{8}\) और \(-\sqrt{8}\)/\(\sqrt{8}\) and \(-\sqrt{8}\)
Step 1
Concept
(\sqrt{8}+\(-\sqrt{8}\)=0), which is rational. In exams one counterexample is enough to disprove a universal statement.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{8}\) और \(-\sqrt{8}\) / \(\sqrt{8}\) and \(-\sqrt{8}\). (\sqrt{8}+\(-\sqrt{8}\)=0), which is rational. In exams one counterexample is enough to disprove a universal statement.
Step 3
Exam Tip
(\sqrt{8}+\(-\sqrt{8}\)=0), जो परिमेय है। परीक्षा में गलत सार्वत्रिक कथन तोड़ने के लिए एक प्रतिउदाहरण काफी है।
B. \(\sqrt{3}\) और \(2\sqrt{3}\)/\(\sqrt{3}\) and \(2\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) and \(2\sqrt{3}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is \(3\sqrt{3}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
In sum questions, identify whether like surds cancel or combine. चरण 1: \(\sqrt{3}\) और \(2\sqrt{3}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग \(3\sqrt{3}\) है, जो अपरिमेय है। चरण 3: योग वाले प्रश्नों में कटने वाले और जुड़ने वाले समान मूल अलग-अलग पहचानें।
A simple way to get a rational difference is to use square roots of perfect squares. चरण 1: \(\sqrt{25}=5\) और \(\sqrt{9}=3\) हैं। चरण 2: अंतर (5-3=2) परिमेय है। चरण 3: परिमेय अंतर पाने का सरल तरीका पूर्ण वर्गों के वर्गमूल लेना है।
\(0.04\overline{6}\) has a fixed repeating digit, so it is rational but not terminating. A decimal is terminating only when zeros continue after some point.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(0.04\overline{6}\). \(0.04\overline{6}\) has a fixed repeating digit, so it is rational but not terminating. A decimal is terminating only when zeros continue after some point.
Step 3
Exam Tip
\(0.04\overline{6}\) में स्थिर आवर्ती अंक है इसलिए यह परिमेय है पर सांत नहीं है। अंत में केवल शून्य आने पर ही सांत दशमलव माना जाता है।
In \(0.58\overline{23}\), the block (23) repeats regularly, so it is rational. A fixed repeating block is a strong sign of rationality.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(0.58\overline{23}\). In \(0.58\overline{23}\), the block (23) repeats regularly, so it is rational. A fixed repeating block is a strong sign of rationality.
Step 3
Exam Tip
\(0.58\overline{23}\) में (23) स्थिर रूप से दोहरता है, इसलिए यह परिमेय है। स्थिर आवर्ती खंड परिमेयता का मजबूत संकेत है।
\(0.\overline{625}\) is a fixed recurring decimal, so it is rational but not terminating. A decimal is terminating only when zeros continue after some point.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(0.\overline{625}\). \(0.\overline{625}\) is a fixed recurring decimal, so it is rational but not terminating. A decimal is terminating only when zeros continue after some point.
Step 3
Exam Tip
\(0.\overline{625}\) स्थिर आवर्ती दशमलव है, इसलिए परिमेय है पर सांत नहीं है। अंत में केवल शून्य होने पर ही दशमलव सांत माना जाता है।
B. यह सांत दशमलव के बराबर है/It is equal to a terminating decimal
Step 1
Concept
In \(5.27000\ldots\), only zeros occur after a point.
Step 2
Why this answer is correct
So it equals (5.27) and is a terminating decimal.
Step 3
Exam Tip
Continuing zeros at the end still represent a terminating value. चरण 1: \(5.27000\ldots\) में कुछ स्थानों के बाद केवल शून्य आते हैं। चरण 2: इसलिए यह (5.27) के बराबर है और सांत दशमलव है। चरण 3: अंत में शून्य चलते रहें तो भी मान सांत ही माना जाता है।
\(0.\overline{018}\) has a repeating block, so it is rational.
Step 2
Why this answer is correct
It does not end, so it is not a terminating decimal. The other options are either terminating or irrational.
Step 3
Exam Tip
Recurring decimals are rational. चरण 1: \(0.\overline{018}\) में अंकों की पुनरावृत्ति है, इसलिए यह परिमेय है। चरण 2: यह समाप्त नहीं होता, इसलिए सांत दशमलव नहीं है। बाकी सांत हैं या अपरिमेय हैं। चरण 3: आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं।
