A cubic form is strictly increasing on the whole real domain, so two different (x)-values cannot have the same image.
Step 3
Exam Tip
In such questions, first try to identify a perfect cubic form. चरण 1: दिए गए फलन को (f(x)=(x+2)3+1) के रूप में लिख सकते हैं। चरण 2: घन रूप पूरे वास्तविक प्रांत पर सख्ती से बढ़ता है, इसलिए दो अलग (x) मानों के प्रतिबिंब समान नहीं होंगे। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले पूर्ण घन पहचानने की कोशिश करें।
To show that a function is not one-one, it is enough to find two different inputs with the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(-4)=-64+48+5=-11) and (f(2)=8-24+5=-11), while \(-4\ne2\).
Step 3
Exam Tip
Even a cubic function can repeat values if it has turning points. चरण 1: एकैकी न होने के लिए दो अलग इनपुटों का समान प्रतिबिंब दिखाना पर्याप्त है। चरण 2: (f(-4)=-64+48+5=-11) और (f(2)=8-24+5=-11), जबकि \(-4\ne2\)। चरण 3: घन फलन में भी मोड़ होने पर समान मान मिल सकते हैं।
The domain \([2,\infty\)) lies to the right of the vertex, where the function is strictly increasing.
Step 3
Exam Tip
A quadratic becomes one-one when restricted to one side of its vertex. चरण 1: (f(x)=x-2-4x+6=(x-2)2+2) है। चरण 2: प्रांत \([2,\infty\)) शीर्ष के दाईं ओर है, जहां फलन लगातार बढ़ता है। चरण 3: द्विघात फलन को शीर्ष के एक ओर सीमित करने पर वह एकैकी बन जाता है।
The interval ([2,6]) contains points (2) and (6), equally distant from the vertex, giving equal values.
Step 3
Exam Tip
If an interval extends on both sides of the vertex, a quadratic is not one-one there. चरण 1: (f(x)=(x-4)2-3), इसलिए शीर्ष (x=4) पर है। चरण 2: ([2,6]) में शीर्ष के दोनों ओर समान दूरी वाले बिंदु (2) और (6) हैं जिनके मान समान हैं। चरण 3: यदि अंतराल शीर्ष के दोनों ओर फैला हो, तो द्विघात फलन एकैकी नहीं रहता।
In a one-one function, the (6) elements of the domain must be sent to (6) distinct elements of the (8)-element codomain.
Step 2
Why this answer is correct
The total number is \(8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3=,^{8}P_6\).
Step 3
Exam Tip
For one-one functions, select ordered distinct images from the codomain. चरण 1: एकैकी फलन में प्रांत के (6) अवयवों को सहप्रांत के (8) अलग अवयवों पर भेजना होगा। चरण 2: कुल तरीके \(8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3=,^{8}P_6\) होंगे। चरण 3: एकैकी फलनों की गिनती में सहप्रांत से क्रम सहित चयन किया जाता है।
The remaining (3) elements must be mapped to distinct elements among the remaining (4) elements of (B), giving \(4\cdot3\cdot2=24\).
Step 3
Exam Tip
In fixed-image questions, remove the fixed pair first. चरण 1: (1) का प्रतिबिंब (5) पहले से तय है। चरण 2: बाकी (3) अवयवों के लिए (B) में (4) बचे हुए अलग प्रतिबिंब उपलब्ध हैं, इसलिए संख्या \(4\cdot3\cdot2=24\) है। चरण 3: तय प्रतिबिंब वाले प्रश्नों में पहले निश्चित जोड़ी को अलग कर दें।
From \(\frac{3a-2}{a+5}=\frac{3b-2}{b+5}\), cross-multiplication gives (17a=17b), hence (a=b).
Step 3
Exam Tip
Cross-multiplication is very useful for fractional linear functions. चरण 1: मान लें (f(a)=f(b))। चरण 2: \(\frac{3a-2}{a+5}=\frac{3b-2}{b+5}\) से क्रॉस गुणा करने पर (17a=17b), अतः (a=b)। चरण 3: भिन्नात्मक रैखिक फलनों में क्रॉस गुणा बहुत उपयोगी होता है।
(x+2) gives distinct values for distinct (x)-values, so it is one-one.
Step 3
Exam Tip
Remember the domain condition before simplifying. चरण 1: \(x\ne2\) के लिए \(\frac{x^2-4}{x-2}=x+2\) हो जाता है। चरण 2: (x+2) अलग-अलग (x) मानों को अलग-अलग मान देता है, इसलिए यह एकैकी है। चरण 3: सरल करने से पहले प्रांत की शर्त जरूर याद रखें।
The function contains only even powers of (x), so values at (x) and (-x) can be equal.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1-2=-1) and (f(-1)=1-2=-1), while \(1\ne-1\).
Step 3
Exam Tip
An even function on a symmetric domain is generally not one-one. चरण 1: फलन में केवल (x) की सम घातें हैं, इसलिए (x) और (-x) पर मान समान हो सकते हैं। चरण 2: (f(1)=1-2=-1) और (f(-1)=1-2=-1), जबकि \(1\ne-1\)। चरण 3: सम फलन पूरे सममित प्रांत पर सामान्यतः एकैकी नहीं होता।
On ((0,1]), (f'(x)\le0), so the function is strictly decreasing and one-one.
Step 3
Exam Tip
For such functions, choose one side of the minimum point. चरण 1: (f'(x)=1-\frac{1}{x-2}) है। चरण 2: ((0,1]) पर (f'(x)\le0), इसलिए फलन लगातार घटता है और एकैकी है। चरण 3: ऐसे फलनों में न्यूनतम बिंदु के एक ओर अंतराल चुनना चाहिए।
Both (|x|) and \(x^2\) give the same value at (x) and (-x).
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1+1=2) and (f(-1)=1+1=2), while \(1\ne-1\).
Step 3
Exam Tip
When an expression is symmetric, test (x) and (-x). चरण 1: (|x|) और \(x^2\) दोनों (x) और (-x) पर समान मान देते हैं। चरण 2: (f(1)=1+1=2) और (f(-1)=1+1=2), जबकि \(1\ne-1\)। चरण 3: सममित अभिव्यक्ति दिखे तो (x) और (-x) की जांच करें।
A. ऋणात्मक (x) के लिए (f(x)=0)/For negative (x), (f(x)=0)
Step 1
Concept
When (x<0), (|x|=-x).
Step 2
Why this answer is correct
Hence (f(x)=x-x=0), so many negative numbers have the same image.
Step 3
Exam Tip
If a function is constant on an entire part of its domain, it is not one-one. चरण 1: जब (x<0), तब (|x|=-x) होता है। चरण 2: इसलिए (f(x)=x-x=0), यानी अनेक ऋणात्मक संख्याओं का प्रतिबिंब समान है। चरण 3: किसी पूरे हिस्से पर फलन स्थिर हो जाए तो वह एकैकी नहीं होता।
So (f(x)=x-x=0), meaning all non-negative numbers have the same value.
Step 3
Exam Tip
When many inputs have the same image, one-one nature fails. चरण 1: जब \(x\ge0\), तब (|x|=x) होता है। चरण 2: इसलिए (f(x)=x-x=0), यानी सभी अऋणात्मक संख्याओं का मान एक ही है। चरण 3: समान प्रतिबिंब वाले कई इनपुट मिलने पर एकैकीपन समाप्त हो जाता है।
As (x) increases, both (x+3) and \(\sqrt{x+3}\) increase, so the image does not repeat.
Step 3
Exam Tip
A square-root form is usually increasing on its natural domain. चरण 1: प्रांत \([-3,\infty\)) में \(x+3\ge0\) है। चरण 2: (x) बढ़ने पर (x+3) और \(\sqrt{x+3}\) दोनों बढ़ते हैं, इसलिए प्रतिबिंब नहीं दोहरता। चरण 3: वर्गमूल रूप सामान्यतः अपने प्राकृतिक प्रांत पर बढ़ता हुआ होता है।
As (x) increases, (5-x) decreases and \(\sqrt{5-x}\) also decreases, so the function is one-one.
Step 3
Exam Tip
A strictly decreasing function is also one-one. चरण 1: प्रांत में \(x\le5\), इसलिए \(5-x\ge0\) है। चरण 2: (x) बढ़ने पर (5-x) घटता है और \(\sqrt{5-x}\) भी घटता है, इसलिए फलन एकैकी है। चरण 3: घटता हुआ फलन भी एकैकी होता है।
\(\sin x+\cos x\) can be written as (\sqrt{2}\sin\(x+\frac{\pi}{4}\)).
Step 2
Why this answer is correct
It is periodic, so the same value repeats at many different (x)-values.
Step 3
Exam Tip
A periodic function is generally not one-one on the whole real domain. चरण 1: \(\sin x+\cos x\) को (\sqrt{2}\sin\(x+\frac{\pi}{4}\)) लिखा जा सकता है। चरण 2: यह आवर्ती फलन है, इसलिए समान मान कई अलग (x) पर दोहरते हैं। चरण 3: पूरे वास्तविक प्रांत पर आवर्ती फलन सामान्यतः एकैकी नहीं होता।
On \([0,\frac{\pi}{4}]\), (f'(x)\ge0), so the function is increasing and one-one.
Step 3
Exam Tip
When the derivative changes sign, choose a monotonic part. चरण 1: (f'(x)=\cos x-\sin x) है। चरण 2: \([0,\frac{\pi}{4}]\) पर (f'(x)\ge0), इसलिए फलन बढ़ता है और एकैकी है। चरण 3: जब अवकलज का संकेत बदलता हो, तो केवल एकरस भाग चुनें।
\(\arctan x\) is defined on the whole real domain.
Step 2
Why this answer is correct
As (x) increases, \(\arctan x\) also increases, so no value repeats at two different (x)-values.
Step 3
Exam Tip
Remember the standard one-one behaviour of inverse trigonometric functions. चरण 1: \(\arctan x\) पूरे वास्तविक प्रांत पर परिभाषित है। चरण 2: (x) बढ़ने पर \(\arctan x\) भी बढ़ता है, इसलिए कोई मान दो अलग (x) पर नहीं दोहरता। चरण 3: प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मानक एकैकी व्यवहार को याद रखें।
On this domain, as (x) increases, \(\arccos x\) decreases, so two different inputs do not have the same value.
Step 3
Exam Tip
A decreasing inverse trigonometric function is also one-one. चरण 1: \(\arccos x\) का प्रांत ([-1,1]) है। चरण 2: इस प्रांत पर (x) बढ़ने पर \(\arccos x\) घटता है, इसलिए दो अलग इनपुटों का मान समान नहीं होता। चरण 3: घटता हुआ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन भी एकैकी होता है।
A. यह एकैकी है लेकिन आच्छादी नहीं है/It is one-one but not onto
Step 1
Concept
(f(a)=f(b)\Rightarrow2a-1=2b-1\Rightarrow a=b), so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Even natural numbers in the codomain are not obtained as images, so it is not onto.
Step 3
Exam Tip
Test one-one and onto separately. चरण 1: (f(a)=f(b)\Rightarrow2a-1=2b-1\Rightarrow a=b), इसलिए फलन एकैकी है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{N}\) में सम संख्याएं प्रतिबिंब के रूप में नहीं आतीं, इसलिए यह आच्छादी नहीं है। चरण 3: एकैकी और आच्छादी को अलग-अलग जांचना चाहिए।
To prove not one-one, find two different integers with the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) and (f(1)=1-1=0), while \(0\ne1\).
Step 3
Exam Tip
On an integer domain, checking small values is a quick method. चरण 1: एकैकी न होने के लिए दो अलग पूर्णांक खोजें जिनका मान समान हो। चरण 2: (f(0)=0) और (f(1)=1-1=0), जबकि \(0\ne1\)। चरण 3: पूर्णांक प्रांत पर छोटे मानों की जांच तेज तरीका है।
(f(a)=f(b)\Rightarrow a=b) is a direct proof of one-one nature. चरण 1: (f(a)=f(b)) रखने पर (2a+3=2b+3) मिलता है। चरण 2: इससे (2a=2b), अतः (a=b)। चरण 3: (f(a)=f(b)\Rightarrow a=b) एकैकी फलन का सीधा प्रमाण है।
Then (g(f(a))=g(f(b))), meaning (\(g\circ f\)(a)=\(g\circ f\)(b)). Since \(g\circ f\) is one-one, (a=b).
Step 3
Exam Tip
In composition, this is how one concludes that the first function is one-one. चरण 1: मान लें (f(a)=f(b))। चरण 2: तब (g(f(a))=g(f(b))), यानी (\(g\circ f\)(a)=\(g\circ f\)(b))। चूंकि \(g\circ f\) एकैकी है, इसलिए (a=b)। चरण 3: संयोजन में बाएं वाले फलन के एकैकी होने का निष्कर्ष ऐसे निकाला जाता है।
A. यह हमेशा एकैकी नहीं होगा/It will always be not one-one
Step 1
Concept
Even if (g) is not one-one on all of (B), it may give distinct values on the smaller set (f(A)).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, \(g\circ f\) can sometimes be one-one.
Step 3
Exam Tip
In composition, check the behaviour of (g) on (f(A)), not only on all of (B). चरण 1: (g) पूरे (B) पर एकैकी न हो, फिर भी (f(A)) के छोटे भाग पर (g) अलग-अलग मान दे सकता है। चरण 2: इसलिए \(g\circ f\) कभी-कभी एकैकी हो सकता है। चरण 3: संयोजन में केवल पूरे सहप्रांत नहीं, बल्कि (f(A)) पर (g) का व्यवहार भी देखें।
(2x+1) is a strictly increasing linear expression.
Step 2
Why this answer is correct
\(e^u\) is also strictly increasing in (u), so \(e^{2x+1}\) is increasing.
Step 3
Exam Tip
A composition of increasing one-one functions can preserve one-one nature. चरण 1: (2x+1) स्वयं एक सख्ती से बढ़ता हुआ रैखिक रूप है। चरण 2: \(e^u\) भी (u) के साथ सख्ती से बढ़ता है, इसलिए \(e^{2x+1}\) भी बढ़ता है। चरण 3: बढ़ते हुए फलनों का संयोजन भी एकैकीपन बनाए रख सकता है।
Hence (f(1)=e-1) and (f(-1)=e-1), while \(1\ne-1\).
Step 3
Exam Tip
Even with an exponential outer function, an even inner expression can break one-one nature. चरण 1: \(x^2\) का मान (x) और (-x) पर समान होता है। चरण 2: इसलिए (f(1)=e-1) और (f(-1)=e-1), जबकि \(1\ne-1\)। चरण 3: घातांकीय बाहरी फलन होने पर भी अंदर का सम रूप एकैकीपन तोड़ सकता है।
On (\(0,\infty\)), \(x^2\) is strictly increasing.
Step 2
Why this answer is correct
\(\ln u\) is also strictly increasing for (u>0), so (\ln\(x^2\)) is one-one on this domain.
Step 3
Exam Tip
The one-one nature of the same formula can change when the domain changes. चरण 1: (\(0,\infty\)) पर \(x^2\) सख्ती से बढ़ता है। चरण 2: \(\ln u\) भी (u>0) पर सख्ती से बढ़ता है, इसलिए (\ln\(x^2\)) इस प्रांत पर एकैकी है। चरण 3: प्रांत बदलने से उसी सूत्र का एकैकीपन बदल सकता है।
When a domain contains opposite values, check expressions involving \(x^2\). चरण 1: प्रांत में (2) और (-2) दोनों शामिल हैं। चरण 2: (f(2)=\ln4) और (f(-2)=\ln4), जबकि \(2\ne-2\)। चरण 3: जब प्रांत में विपरीत मान दोनों हों, तो \(x^2\) वाले रूपों की जांच करें।
The remaining (4) elements can be mapped one-one to the remaining (4) elements in (4!=24) ways.
Step 3
Exam Tip
For equal-size sets, one-one functions are counted like permutations. चरण 1: (1) का प्रतिबिंब (1) तय है। चरण 2: शेष (4) अवयवों को शेष (4) अवयवों पर एकैकी रूप से भेजने के तरीके (4!=24) हैं। चरण 3: समान आकार के समुच्चय में एकैकी फलन क्रमचय की तरह गिने जाते हैं।
Since the function is one-one, the (7) elements of (A) have (7) distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
(B) also has exactly (7) elements, so all elements of (B) are covered.
Step 3
Exam Tip
For finite sets of equal size, a one-one function is also onto. चरण 1: एकैकी होने से (A) के (7) अवयवों के (7) अलग प्रतिबिंब मिलेंगे। चरण 2: (B) में भी कुल (7) अवयव हैं, इसलिए सभी अवयव छवि में आ जाएंगे। चरण 3: समान आकार के सीमित समुच्चयों में एकैकी फलन आच्छादी भी होता है।
If (x>0), then \(x^3+x\cos^2x>0\), and if (x<0), the value is negative.
Step 2
Why this answer is correct
The function has odd-type behaviour and preserves the direction of values with the sign of (x).
Step 3
Exam Tip
For difficult forms, combine sign behaviour with increasing tendency to judge one-one nature. चरण 1: यदि (x>0), तो \(x^3+x\cos^2x>0\), और यदि (x<0), तो यह मान ऋणात्मक होता है। चरण 2: साथ ही फलन विषम प्रकार का है और (x) के चिन्ह के साथ मान का चिन्ह बदलता है; बढ़ने की दिशा बनाए रखता है। चरण 3: चिन्ह और बढ़ने के व्यवहार को साथ देखकर कठिन रूपों में एकैकीपन समझा जा सकता है।
For large (|x|), the \(3x^2\) part strongly supports increasing behaviour, and the expression is not a repeating periodic form.
Step 3
Exam Tip
A small trigonometric part does not always destroy one-one nature when a dominant cubic part controls the function. चरण 1: (f'(x)=3x-2+\cos x) है। चरण 2: जहां (x) बड़ा है, वहां \(3x^2\) बढ़ने को मजबूत बनाता है, और छोटे भाग में भी \(x^3+\sin x\) समान मानों को दोहराने वाला आवर्ती रूप नहीं है। चरण 3: घन भाग वाले फलनों में आवर्ती छोटा भाग हमेशा एकैकीपन नहीं तोड़ता।
\(1+\sin x\ge0\) for every real (x), and the function does not turn back.
Step 3
Exam Tip
For such functions, a non-negative derivative along with overall increasing behaviour indicates one-one nature. चरण 1: (f'(x)=1+\sin x) है। चरण 2: \(1+\sin x\ge0\) हर वास्तविक (x) के लिए है और फलन पीछे की ओर नहीं लौटता। चरण 3: ऐसे फलनों में अवकलज का गैर-ऋणात्मक रहना और कुल बढ़ने का व्यवहार एकैकीपन का संकेत देता है।
\(1-\sin x\ge0\) for every (x), and the function moves overall in the increasing direction.
Step 3
Exam Tip
A derivative may become zero at points, yet the function can still be one-one if it does not repeat values. चरण 1: (f'(x)=1-\sin x) है। चरण 2: \(1-\sin x\ge0\) हर (x) के लिए है और फलन कुल मिलाकर बढ़ने की दिशा में चलता है। चरण 3: अवकलज शून्य हो सकता है, फिर भी फलन समान मान दोहरा न रहा हो तो एकैकी हो सकता है।
Thus distinct inputs such as (-1) and (-2) both have image (0).
Step 3
Exam Tip
In piecewise-defined functions, first check any constant part. चरण 1: (x<0) के लिए \(\max{x,0}=0\) होता है। चरण 2: इसलिए (-1) और (-2) जैसे अलग इनपुटों का प्रतिबिंब (0) ही है। चरण 3: टुकड़ों में परिभाषित फलनों में स्थिर भाग को पहले जांचें।
A. क्योंकि \(x\ge1\) पर (f(x)=1)/Because (f(x)=1) for \(x\ge1\)
Step 1
Concept
For \(x\ge1\), \(\min{x,1}=1\).
Step 2
Why this answer is correct
Hence (f(2)=1) and (f(3)=1), while \(2\ne3\).
Step 3
Exam Tip
A function that is constant on a ray cannot be one-one. चरण 1: \(x\ge1\) होने पर \(\min{x,1}=1\) होता है। चरण 2: इसलिए (f(2)=1) और (f(3)=1), जबकि \(2\ne3\)। चरण 3: किसी किरण पर स्थिर फलन एकैकी नहीं रह सकता।
The images of the four domain elements are (2,4,1,3).
Step 2
Why this answer is correct
All of them are distinct, so no two different inputs have the same image.
Step 3
Exam Tip
For finite sets, list the images to check one-one nature quickly. चरण 1: चारों प्रांत अवयवों के प्रतिबिंब क्रमशः (2,4,1,3) हैं। चरण 2: ये सभी अलग-अलग हैं, इसलिए कोई दो अलग इनपुट समान प्रतिबिंब नहीं देते। चरण 3: सीमित समुच्चय में प्रतिबिंबों की सूची बनाकर एकैकीपन तुरंत जांचें।
Each domain element has an image, so it is a function.
Step 2
Why this answer is correct
Both (1) and (2) have image (3), so distinct inputs do not have distinct images.
Step 3
Exam Tip
Repeated images destroy one-one nature. चरण 1: हर प्रांत अवयव का एक प्रतिबिंब दिया है, इसलिए यह फलन है। चरण 2: (1) और (2) दोनों का प्रतिबिंब (3) है, इसलिए अलग इनपुटों के प्रतिबिंब अलग नहीं हैं। चरण 3: दोहराए गए प्रतिबिंब एकैकीपन को समाप्त कर देते हैं।
The function contains \(x^2\), so opposite (x)-values may give equal outputs.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=\frac{1}{2}) and (f(-1)=\frac{1}{2}), while \(1\ne-1\).
Step 3
Exam Tip
For even-form rational functions, always test (x) and (-x). चरण 1: दिए गए फलन में \(x^2\) है, इसलिए विपरीत (x) मानों पर समान मान मिल सकता है। चरण 2: (f(1)=\frac{1}{2}) और (f(-1)=\frac{1}{2}), जबकि \(1\ne-1\)। चरण 3: सम रूप वाले भिन्नों में (x) और (-x) को जरूर जांचें।
This is always negative for (x>1), so the function is strictly decreasing.
Step 3
Exam Tip
A strictly decreasing function is also one-one. चरण 1: (f'(x)=\frac{(x-1)-(x+2)}{(x-1)2}=\frac{-3}{(x-1)2}) है। चरण 2: यह (x>1) पर हमेशा ऋणात्मक है, इसलिए फलन सख्ती से घटता है। चरण 3: सख्ती से घटता हुआ फलन भी एकैकी होता है।
\(x^6\) is an even power, so it gives the same value at (x) and (-x).
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=2) and (f(-1)=2), while \(1\ne-1\).
Step 3
Exam Tip
Do not assume an even-power polynomial is one-one on the whole real domain. चरण 1: \(x^6\) सम घात है, इसलिए (x) और (-x) पर समान मान देता है। चरण 2: (f(1)=2) और (f(-1)=2), जबकि \(1\ne-1\)। चरण 3: सम घात वाले बहुपद को पूरे वास्तविक प्रांत पर एकैकी मानने की गलती न करें।
On this domain, as (x) increases, \(x^6+1\) increases, so the same value is not obtained at two different (x)-values.
Step 3
Exam Tip
An even-power function can become one-one when the domain is suitably restricted. चरण 1: प्रांत \([0,\infty\)) में ऋणात्मक मान नहीं हैं। चरण 2: इस प्रांत पर (x) बढ़ने से \(x^6+1\) बढ़ता है, इसलिए समान मान दो अलग (x) पर नहीं आता। चरण 3: सम घात फलन उचित प्रांत पर सीमित होने पर एकैकी बन सकता है।
((x-1)3+1) is strictly increasing on all of \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
Recognizing a perfect cubic form saves time in exams. चरण 1: (x-3-3x-2+3x=(x-1)3+1) है। चरण 2: ((x-1)3+1) पूरे \(\mathbb{R}\) पर सख्ती से बढ़ता है। चरण 3: पूर्ण घन के रूप में पहचानना परीक्षा में समय बचाता है।
One pair of different inputs with the same image is enough to reject one-one nature. चरण 1: समान मान खोजने के लिए सरल संख्याएं रखें। चरण 2: (f(0)=0) और (f(3)=27-27=0), जबकि \(0\ne3\)। चरण 3: एक ही प्रतिबिंब देने वाली एक जोड़ी मिलते ही फलन एकैकी नहीं रहता।
The cube-root function is defined for every real number.
Step 2
Why this answer is correct
As (x) increases, \(\sqrt[3]{x}\) also increases, so two different inputs do not give the same value.
Step 3
Exam Tip
The cube-root function is one-one on the whole real domain. चरण 1: घनमूल हर वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है। चरण 2: (x) बढ़ने पर \(\sqrt[3]{x}\) भी बढ़ता है, इसलिए दो अलग इनपुट समान मान नहीं देते। चरण 3: घनमूल फलन पूरे वास्तविक प्रांत पर एकैकी होता है।
Because of \(x^2\), the inside value is the same at (x) and (-x).
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=\sqrt[3]{1}=1) and (f(-1)=\sqrt[3]{1}=1), while \(1\ne-1\).
Step 3
Exam Tip
Even with a cube-root outer form, the square inside breaks one-one nature. चरण 1: \(x^2\) के कारण (x) और (-x) पर अंदर का मान समान होता है। चरण 2: (f(1)=\sqrt[3]{1}=1) और (f(-1)=\sqrt[3]{1}=1), जबकि \(1\ne-1\)। चरण 3: घनमूल बाहरी रूप होने पर भी अंदर का वर्ग एकैकीपन तोड़ता है।
(f) sends distinct inputs of (A) to distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
(S) is only a smaller part of (A), so distinct elements of (S) also keep distinct images.
Step 3
Exam Tip
A restriction of a one-one function is also one-one. चरण 1: (f) पूरे (A) पर अलग इनपुटों को अलग प्रतिबिंब देता है। चरण 2: (S) तो (A) का छोटा हिस्सा है, इसलिए (S) के अलग अवयवों के प्रतिबिंब भी अलग रहेंगे। चरण 3: एकैकी फलन का प्रतिबंध भी एकैकी होता है।
On (\(-\infty,-1]\), the function is strictly decreasing and hence one-one.
Step 3
Exam Tip
Remember that a quadratic decreases to the left of its vertex and increases to the right. चरण 1: (f(x)=(x+1)2+1), इसलिए शीर्ष (x=-1) है। चरण 2: (\(-\infty,-1]\) पर यह फलन लगातार घटता है और इसलिए एकैकी है। चरण 3: द्विघात फलन में शीर्ष के बाईं ओर घटता और दाईं ओर बढ़ता व्यवहार याद रखें।
Since (a>0) and (b>0), \(3ax^2+b>0\) for every real (x).
Step 3
Exam Tip
If the derivative is always positive, the function is strictly increasing and one-one. चरण 1: (f'(x)=3ax-2+b) है। चरण 2: (a>0) और (b>0) होने से \(3ax^2+b>0\) हर वास्तविक (x) के लिए है। चरण 3: अवकलज हमेशा धनात्मक हो तो फलन सख्ती से बढ़ता है और एकैकी होता है।
This is non-negative for every real (x), and the function does not repeat values, so it is one-one.
Step 3
Exam Tip
For rational functions, checking the sign of the derivative is a reliable method. चरण 1: अवकलज निकालने पर (f'(x)=\frac{x-2\(x^2+3\)}{\(1+x^2\)2}) मिलता है। चरण 2: यह हर वास्तविक (x) के लिए अऋणात्मक है और फलन मानों को दोहराता नहीं है, इसलिए फलन एकैकी है। चरण 3: भिन्न वाले फलनों में अवकलज का संकेत जांचना एक सुरक्षित तरीका है।
