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A. वे \(a+\sqrt{7}\) और \(a-\sqrt{7}\) हैं/They are \(a+\sqrt{7}\) and \(a-\sqrt{7}\)
Explanation
Simple Explanation
(p(x)=(x-a)2-7), इसलिए \(x=a\pm\sqrt{7}\) है। पूर्ण वर्ग रूप पहचानना कठिन प्रश्नों में समय बचाता है। / (p(x)=(x-a)2-7), so \(x=a\pm\sqrt{7}\). Recognizing a perfect-square form saves time in hard questions.
स्थिर पद गुणनफल है और (\(4+\sqrt{11}\)\(4-\sqrt{11}\)=16-11=5)। संयुग्मी गुणनफल में बीच का अपरिमेय भाग हट जाता है। / The constant term is the product, and (\(4+\sqrt{11}\)\(4-\sqrt{11}\)=16-11=5). In conjugate products, the irrational middle part cancels.
दूसरा शून्यक \(2-\sqrt{13}\) होगा, इसलिए योग (4) है। एकक बहुपद में (x) का गुणांक (-4) होगा। / The other zero will be \(2-\sqrt{13}\), so the sum is (4). In a monic polynomial, the coefficient of (x) will be (-4).
\(\alpha+\beta=10\) और \(\alpha\beta=25-6=19\), इसलिए \(\alpha^2+\beta^2=100-38=62\)। पहचान (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) उपयोग करें। / \(\alpha+\beta=10\) and \(\alpha\beta=25-6=19\), so \(\alpha^2+\beta^2=100-38=62\). Use (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta).
शून्यक \(5\pm2\sqrt{2}\) हैं, इसलिए अंतर \(4\sqrt{2}\) है। संयुग्मी शून्यकों में अंतर मूल भाग का दोगुना होता है। / The zeroes are \(5\pm2\sqrt{2}\), so the difference is \(4\sqrt{2}\). For conjugate zeroes, the difference is twice the radical part.
सामान्य गुणनखंड हटाने पर \(x^2-6x+7\) मिलता है और (D=36-28=8)। (D) धनात्मक अपूर्ण वर्ग है, इसलिए शून्यक वास्तविक अपरिमेय हैं। / After removing the common factor, we get \(x^2-6x+7\), and (D=36-28=8). Since (D) is positive and not a perfect square, the zeroes are real irrational.
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), इसलिए योग \(3\sqrt{3}\) है। एकक बहुपद में (x) का गुणांक शून्यकों के योग का ऋणात्मक होता है। / \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), so the sum is \(3\sqrt{3}\). In a monic polynomial, the coefficient of (x) is the negative of the sum of zeroes.
A. \(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{7}\)/\(\sqrt{5}\) and \(\sqrt{7}\)
Explanation
Simple Explanation
योग \(\sqrt{5}+\sqrt{7}\) और गुणनफल \(\sqrt{35}\) है। ये दोनों \(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{7}\) से मिलते हैं। / The sum is \(\sqrt{5}+\sqrt{7}\) and the product is \(\sqrt{35}\). Both match \(\sqrt{5}\) and \(\sqrt{7}\).
A. दोनों शून्यक \(\sqrt{10}\) हैं/Both zeroes are \(\sqrt{10}\)
Explanation
Simple Explanation
(p(x)=\(x-\sqrt{10}\)2), इसलिए शून्यक दो बार \(\sqrt{10}\) है। पूर्ण वर्ग रूप से समान शून्यक तुरंत मिलते हैं। / (p(x)=\(x-\sqrt{10}\)2), so the zero \(\sqrt{10}\) occurs twice. A perfect-square form quickly gives equal zeroes.
\(\alpha+\beta=4\) और \(\alpha\beta=-1\), इसलिए \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{4}{-1}=-4\)। पहले योग और गुणनफल निकालें। / \(\alpha+\beta=4\) and \(\alpha\beta=-1\), so \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{4}{-1}=-4\). Find sum and product first.
\(x^2-8x+3\) के लिए (D=64-12=52), जो धनात्मक अपूर्ण वर्ग है। बाकी विकल्पों में शून्यक समान परिमेय, अवास्तविक या परिमेय हैं। / For \(x^2-8x+3\), (D=64-12=52), positive and not a perfect square. The other options give equal rational, non-real, or rational zeroes.
\(\alpha+\beta=2\) और \(\alpha\beta=-1\), इसलिए (\alpha-3+\beta-3=23-3(-1)(2)=14)। घन योग में (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)) लगाएँ। / \(\alpha+\beta=2\) and \(\alpha\beta=-1\), so (\alpha-3+\beta-3=23-3(-1)(2)=14). Use (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)).
योग (14) है, इसलिए (p=-14), और गुणनफल (49-12=37) है, इसलिए (q=37)। अतः (p+q=23) है। / The sum is (14), so (p=-14), and the product is (49-12=37), so (q=37). Hence (p+q=23).
A. (p(x)) के शून्यक परिमेय हैं और (q(x)) के शून्यक अपरिमेय वास्तविक हैं/(p(x)) has rational zeroes and (q(x)) has irrational real zeroes
Explanation
Simple Explanation
(p(x)) के लिए (D=4+32=36) पूर्ण वर्ग है। (q(x)) के लिए (D=4+28=32) धनात्मक अपूर्ण वर्ग है। / For (p(x)), (D=4+32=36), a perfect square. For (q(x)), (D=4+28=32), positive and not a perfect square.
रखने पर \(5+a\sqrt{5}-5=0\), इसलिए \(a\sqrt{5}=0\) और (a=0)। मान रखते समय समान पद पहले सरल करें। / Substitution gives \(5+a\sqrt{5}-5=0\), so \(a\sqrt{5}=0\) and (a=0). Simplify like terms first while substituting.
सूत्र से \(x=\frac{8\pm\sqrt{64-8}}{4}=2\pm\frac{\sqrt{14}}{2}\) है। हर से भाग देते समय पूरे अंश को बाँटें। / By the formula, \(x=\frac{8\pm\sqrt{64-8}}{4}=2\pm\frac{\sqrt{14}}{2}\). Divide the whole numerator by the denominator carefully.
\(\alpha+\beta=2\) और \(\alpha\beta=-4\), इसलिए (\alpha-2+\beta-2=22-2(-4)=12)। शून्यक निकाले बिना सममित मान निकाल सकते हैं। / \(\alpha+\beta=2\) and \(\alpha\beta=-4\), so (\alpha-2+\beta-2=22-2(-4)=12). Symmetric values can be found without finding the zeroes.
गुणनफल (1-6=-5) है, इसलिए (m=-5)। एकक बहुपद में स्थिर पद शून्यकों का गुणनफल होता है। / The product is (1-6=-5), so (m=-5). In a monic polynomial, the constant term is the product of zeroes.
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए योग \(\sqrt{2}-2\sqrt{2}=-\sqrt{2}\) है। मूलों को पहले सरल करने से गलती कम होती है। / \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so the sum is \(\sqrt{2}-2\sqrt{2}=-\sqrt{2}\). Simplifying radicals first reduces mistakes.
सूत्र से \(x=\frac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{12+4}}{2}=\sqrt{3}\pm2\)। \(\sqrt{16}=4\) को ध्यान से सरल करें। / Using the formula, \(x=\frac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{12+4}}{2}=\sqrt{3}\pm2\). Simplify \(\sqrt{16}=4\) carefully.
गुणनफल \(ab=\sqrt{2}\cdot\sqrt{18}=\sqrt{36}=6\) है। मूलों के गुणन में पहले अंदर के गुणनफल को सरल करें। / The product is \(ab=\sqrt{2}\cdot\sqrt{18}=\sqrt{36}=6\). In radical multiplication, simplify the product inside the root first.
A. \(-2+\sqrt{2}\) और \(-2-\sqrt{2}\)/\(-2+\sqrt{2}\) and \(-2-\sqrt{2}\)
Explanation
Simple Explanation
सूत्र से \(x=\frac{-4\pm\sqrt{16-8}}{2}=-2\pm\sqrt{2}\)। ऋण चिह्न और हर (2) दोनों पर ध्यान दें। / By the formula, \(x=\frac{-4\pm\sqrt{16-8}}{2}=-2\pm\sqrt{2}\). Pay attention to the negative sign and denominator (2).
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=32-4(-2)=17)। यह तरीका शून्यक निकाले बिना उत्तर देता है। / (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=32-4(-2)=17). This method gives the answer without finding the zeroes.
A. दूसरा \(\sqrt{5}\), \(k=\sqrt{5}\)/Other \(\sqrt{5}\), \(k=\sqrt{5}\)
Explanation
Simple Explanation
गुणनफल (5) है, इसलिए दूसरा शून्यक \(\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\) होगा। योग \(2\sqrt{5}=2k\), अतः \(k=\sqrt{5}\) है। / The product is (5), so the other zero is \(\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\). The sum is \(2\sqrt{5}=2k\), hence \(k=\sqrt{5}\).
A. \(b^2-4c\) धनात्मक अपूर्ण वर्ग हो/\(b^2-4c\) is positive and not a perfect square
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक शून्यकों के लिए विविक्तकर धनात्मक चाहिए और अपरिमेय शून्यकों के लिए वह पूर्ण वर्ग नहीं होना चाहिए। परिमेय गुणांकों वाले द्विघात में यही मुख्य जाँच है। / For real zeroes, the discriminant must be positive, and for irrational zeroes it must not be a perfect square. This is the key check for quadratics with rational coefficients.
\(\alpha+\beta=2\) और \(\alpha\beta=-11\), इसलिए (\alpha-2+\beta-2+\alpha\beta=\(\alpha+\beta\)2-\alpha\beta=4+11=15)। सममित व्यंजकों में योग और गुणनफल काफी होते हैं। / \(\alpha+\beta=2\) and \(\alpha\beta=-11\), so (\alpha-2+\beta-2+\alpha\beta=\(\alpha+\beta\)2-\alpha\beta=4+11=15). Sum and product are enough for symmetric expressions.
योग \(3+\sqrt{2}\) और गुणनफल \(3\sqrt{2}\) है। ये (3) और \(\sqrt{2}\) से मिलते हैं। / The sum is \(3+\sqrt{2}\) and the product is \(3\sqrt{2}\). These match (3) and \(\sqrt{2}\).
A. दोनों परिमेय वास्तविक हैं/Both are rational real
Explanation
Simple Explanation
\(x^2-16=0\) से \(x=\pm4\), जो परिमेय वास्तविक हैं। हर वर्गमूल वाला प्रश्न अपरिमेय नहीं होता। / From \(x^2-16=0\), \(x=\pm4\), which are rational real. Not every square-root type question gives irrational roots.
शून्यक \(3\sqrt{2}\) और \(-3\sqrt{2}\) हैं। इसलिए योग (0) और गुणनफल (-18) है। / The zeroes are \(3\sqrt{2}\) and \(-3\sqrt{2}\). Therefore the sum is (0) and the product is (-18).
(D=\(2\sqrt{7}\)2-4\cdot1\cdot6=28-24=4)। अपरिमेय गुणांक होने पर भी विविक्तकर परिमेय हो सकता है। / (D=\(2\sqrt{7}\)2-4\cdot1\cdot6=28-24=4). Even with an irrational coefficient, the discriminant can be rational.
A. \(-\sqrt{7}+1\) और \(-\sqrt{7}-1\)/\(-\sqrt{7}+1\) and \(-\sqrt{7}-1\)
Explanation
Simple Explanation
सूत्र से \(x=\frac{-2\sqrt{7}\pm2}{2}=-\sqrt{7}\pm1\)। पहले विविक्तकर सरल करने से उत्तर साफ मिलता है। / Using the formula, \(x=\frac{-2\sqrt{7}\pm2}{2}=-\sqrt{7}\pm1\). Simplifying the discriminant first gives a clean answer.
योग (4) है और एकक बहुपद में (p=-) योग होता है। गुणनफल (4-7=-3) भी स्थिर पद से मेल खाता है। / The sum is (4), and in a monic polynomial, (p=-) sum. The product (4-7=-3) also matches the constant term.
A. ऐसा कोई वास्तविक (n) नहीं है/No such real (n) exists
Explanation
Simple Explanation
समान शून्यकों के लिए (D=0), यानी (4-4n=0), इसलिए (n=1)। तब शून्यक (1) है, जो अपरिमेय नहीं है। / For equal zeroes, (D=0), so (4-4n=0) and (n=1). Then the zero is (1), which is not irrational.
परिमेय गुणांकों में अपरिमेय भाग का संयुग्मी भी शून्यक होता है। इसलिए \(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\) दूसरा शून्यक है। / With rational coefficients, the conjugate of the irrational part is also a zero. Hence \(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\) is the other zero.
योग (3) और गुणनफल \(\frac{9-5}{4}=1\) है। इसलिए बहुपद \(x^2-3x+1\) है। / The sum is (3) and the product is \(\frac{9-5}{4}=1\). Therefore the polynomial is \(x^2-3x+1\).
A. दो भिन्न वास्तविक अपरिमेय/Two distinct real irrational
Explanation
Simple Explanation
(D=\(2\sqrt{2}\)2-4=8-4=4) है और शून्यक \(\sqrt{2}\pm1\) हैं। ये वास्तविक और अपरिमेय हैं। / (D=\(2\sqrt{2}\)2-4=8-4=4), and the zeroes are \(\sqrt{2}\pm1\). They are real and irrational.
योग \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\) है। मूलों को सरल करके ही अंतिम उत्तर दें। / The sum is \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\). Simplify radicals before giving the final answer.
A. (p(x)) के शून्यक परिमेय और (q(x)) के अपरिमेय वास्तविक हैं/(p(x)) has rational zeroes and (q(x)) has irrational real zeroes
Explanation
Simple Explanation
(p(x)) के लिए (D=121-96=25) पूर्ण वर्ग है। (q(x)) के लिए (D=121-92=29) धनात्मक अपूर्ण वर्ग है। / For (p(x)), (D=121-96=25), a perfect square. For (q(x)), (D=121-92=29), positive and not a perfect square.
A. शून्यकों का गुणनफल \(-3\sqrt{2}\) है/The product of zeroes is \(-3\sqrt{2}\)
Explanation
Simple Explanation
एकक द्विघात में स्थिर पद शून्यकों का गुणनफल होता है। यहाँ \(\alpha\beta=-3\sqrt{2}\) है। / In a monic quadratic, the constant term is the product of zeroes. Here \(\alpha\beta=-3\sqrt{2}\).
A. योग \(6\sqrt{2}\), गुणनफल (17)/Sum \(6\sqrt{2}\), product (17)
Explanation
Simple Explanation
एकक द्विघात में योग (-b) और गुणनफल (c) होता है। इसलिए योग \(6\sqrt{2}\) और गुणनफल (17) है। / In a monic quadratic, the sum is (-b) and the product is (c). Therefore the sum is \(6\sqrt{2}\) and the product is (17).
(D=\(6\sqrt{2}\)2-68=72-68=4), इसलिए शून्यक \(3\sqrt{2}\pm1\) हैं। उनका अंतर (2) है। / (D=\(6\sqrt{2}\)2-68=72-68=4), so the zeroes are \(3\sqrt{2}\pm1\). Their difference is (2).
योग \(4\sqrt{3}\) और गुणनफल (\(2\sqrt{3}\)2-1=11) है। (S) योग और (P) गुणनफल के बराबर है। / The sum is \(4\sqrt{3}\) and the product is (\(2\sqrt{3}\)2-1=11). (S) equals the sum and (P) equals the product.
A. शून्यक \(6+\sqrt{5}\) और \(6-\sqrt{5}\)/Zeroes \(6+\sqrt{5}\) and \(6-\sqrt{5}\)
Explanation
Simple Explanation
परिमेय गुणांकों में अपरिमेय भाग संयुग्मी जोड़े में आता है। केवल \(6+\sqrt{5}\) और \(6-\sqrt{5}\) का योग और गुणनफल दोनों परिमेय हैं। / With rational coefficients, irrational parts occur in conjugate pairs. Only \(6+\sqrt{5}\) and \(6-\sqrt{5}\) have both rational sum and rational product.
(\(1+\sqrt{3}\)2-2\(1+\sqrt{3}\)-2=1+2\sqrt{3}+3-2-2\sqrt{3}-2=0)। वर्ग खोलते समय बीच का पद न भूलें। / (\(1+\sqrt{3}\)2-2\(1+\sqrt{3}\)-2=1+2\sqrt{3}+3-2-2\sqrt{3}-2=0). Do not forget the middle term while expanding the square.
(p\(1+\sqrt{3}\)=0), इसलिए \(1+\sqrt{3}\) शून्यक है। किसी संख्या को शून्यक सिद्ध करने के लिए बहुपद का मान (0) दिखाएँ। / Since (p\(1+\sqrt{3}\)=0), \(1+\sqrt{3}\) is a zero. To prove a number is a zero, show that the polynomial value is (0).
शून्यकों का योग (2) है, इसलिए दूसरा शून्यक (2-\(1+\sqrt{3}\)=1-\sqrt{3}) है। परिमेय गुणांकों में संयुग्मी भी मिलता है। / The sum of zeroes is (2), so the other zero is (2-\(1+\sqrt{3}\)=1-\sqrt{3}). With rational coefficients, the conjugate also appears.
बहुपद (x-2-2ax+\(a^2-b\)) होगा। इसका विविक्तकर (4a-2-4\(a^2-b\)=4b) है। / The polynomial is (x-2-2ax+\(a^2-b\)). Its discriminant is (4a-2-4\(a^2-b\)=4b).
\(\alpha+\beta=8\) और \(\alpha\beta=1\), इसलिए \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}=\frac{64-2}{1}=62\)। ऐसे प्रश्नों में पहले योग और गुणनफल निकालें। / Here \(\alpha+\beta=8\) and \(\alpha\beta=1\), so \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}=\frac{64-2}{1}=62\). In such questions, first find the sum and product.
परिमेय गुणांकों में \(a+\sqrt{b}\) के साथ \(a-\sqrt{b}\) भी शून्यक आता है। परीक्षा में संयुग्मी शून्यकों को तुरंत पहचानें। / With rational coefficients, \(a+\sqrt{b}\) is accompanied by \(a-\sqrt{b}\). In exams identify conjugate zeroes quickly.
गुणनफल (\(5+\sqrt{3}\)\(5-\sqrt{3}\)=25-3=22) है। परीक्षा में ((a+b)(a-b)=a-2-b-2) याद रखें। / The product is (\(5+\sqrt{3}\)\(5-\sqrt{3}\)=25-3=22). In exams remember ((a+b)(a-b)=a-2-b-2).
योग (6) और गुणनफल (7) है, इसलिए बहुपद \(x^2-6x+7\) है। \(परीक्षा में (x^2-(\)योग)x+गुणनफल) प्रयोग करें। \(/ The sum is (6) and the product is (7), so the polynomial is (x^2-6x+7). In exams use (x^2-(\)sum)x+product).
\(x^2=6+2+2\sqrt{12}=8+4\sqrt{3}\) है। परीक्षा में \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) सरल करना न भूलें। / \(x^2=6+2+2\sqrt{12}=8+4\sqrt{3}\). In exams do not forget to simplify \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\).
हर में (7) है, इसलिए दशमलव समाप्त नहीं होगा और परिमेय होने से आवर्ती होगा। परीक्षा में हर को सरलतम रूप में देखकर निर्णय लें। / The denominator contains (7), so the decimal will not terminate and being rational it will recur. In exams decide after checking the denominator in lowest form.
\(\frac{63}{2^5\cdot5^2\cdot7}\) में (63) और (7) कटने के बाद हर में केवल (2) और (5) बचते हैं। परीक्षा में पहले भिन्न को सरलतम रूप में लाएं। / In \(\frac{63}{2^5\cdot5^2\cdot7}\), after cancelling (63) and (7), only (2) and (5) remain in the denominator. In exams reduce the fraction first.
(ab=\(\sqrt{11}\)2-\(\sqrt{5}\)2=11-5=6) है। परीक्षा में संयुग्मी गुणन से मूल हट जाते हैं। / (ab=\(\sqrt{11}\)2-\(\sqrt{5}\)2=11-5=6). In exams conjugate multiplication removes radicals.
योग (\(3+\sqrt{2}\)+\(3-\sqrt{2}\)=6) है। परीक्षा में संयुग्मी शून्यकों का योग हमेशा परिमेय होता है। / The sum is (\(3+\sqrt{2}\)+\(3-\sqrt{2}\)=6). In exams the sum of conjugate zeroes is always rational.
(\(2+\sqrt{3}\)2=4+3+4\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}) है। परीक्षा में (2ab) वाले पद पर ध्यान दें। / (\(2+\sqrt{3}\)2=4+3+4\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}). In exams pay attention to the (2ab) term.
हर को \(\sqrt{5}+2\) से गुणा करने पर हर (5-4=1) बनता है। परीक्षा में हर का संयुग्मी चुनें। / Multiplying the denominator by \(\sqrt{5}+2\) makes it (5-4=1). In exams choose the conjugate of the denominator.
A. (m) पूर्ण वर्ग नहीं है/(m) is not a perfect square
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है, इसलिए अपरिमेय वर्गमूल के लिए (m) पूर्ण वर्ग नहीं होगा। परीक्षा में पूर्ण वर्ग पहचानना जरूरी है। / The square root of a perfect square is an integer, so for an irrational square root (m) is not a perfect square. In exams identifying perfect squares is important.
\(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\) को \(2+\sqrt{3}\) से परिमेयकृत करने पर \(2+\sqrt{3}\) मिलता है। परीक्षा में हर का संयुग्मी लगाएं। / Rationalizing \(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\) with \(2+\sqrt{3}\) gives \(2+\sqrt{3}\). In exams multiply by the conjugate of the denominator.
(4) परिमेय है और \(\sqrt{13}\) अपरिमेय है, इसलिए योग अपरिमेय है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग के वर्गमूल को पहले पहचानें। / (4) is rational and \(\sqrt{13}\) is irrational, so the sum is irrational. In exams identify square roots of perfect squares first.
A. \(2+\sqrt{5}\) और \(2-\sqrt{5}\)/\(2+\sqrt{5}\) and \(2-\sqrt{5}\)
Explanation
Simple Explanation
योग (\(2+\sqrt{5}\)+\(2-\sqrt{5}\)=4) है, जो परिमेय है। परीक्षा में संयुग्मी जोड़ों को प्रतिउदाहरण के रूप में याद रखें। / The sum is (\(2+\sqrt{5}\)+\(2-\sqrt{5}\)=4), which is rational. In exams remember conjugate pairs as counterexamples.
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हो जाते हैं/Both (p) and (q) become divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) से \(p^2=3q^2\) मिलता है, इसलिए (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हो जाते हैं। परीक्षा में सहअभाज्य शर्त को अंत में उपयोग करें। / From \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), we get \(p^2=3q^2\), so both (p) and (q) become divisible by (3). In exams use the coprime condition at the end.
योग (2) और गुणनफल (1-6=-5) है, इसलिए बहुपद \(x^2-2x-5\) है। परीक्षा में गुणनफल में \(a^2-b^2\) लगाएं। / The sum is (2) and the product is (1-6=-5), so the polynomial is \(x^2-2x-5\). In exams use \(a^2-b^2\) for the product.
A. \(2+\sqrt{5}\) और \(2-\sqrt{5}\)/\(2+\sqrt{5}\) and \(2-\sqrt{5}\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात सूत्र से \(x=\frac{4\pm\sqrt{16+4}}{2}=2\pm\sqrt{5}\) मिलता है। परीक्षा में विविक्तकर को सरल करें। / Using the quadratic formula, \(x=\frac{4\pm\sqrt{16+4}}{2}=2\pm\sqrt{5}\). In exams simplify the discriminant.
\(\sqrt{-9}\) वास्तविक संख्या नहीं है, जबकि बाकी सभी वास्तविक हैं। परीक्षा में ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल वास्तविक संख्या पद्धति में नहीं लेते। / \(\sqrt{-9}\) is not a real number, while the others are real. In exams do not take the square root of a negative number in the real number system.
\(\frac{1}{3+\sqrt{10}}=\sqrt{10}-3\), इसलिए योग \(2\sqrt{10}\) है। परीक्षा में पहले व्युत्क्रम को परिमेयकृत करें। / \(\frac{1}{3+\sqrt{10}}=\sqrt{10}-3\), so the sum is \(2\sqrt{10}\). In exams rationalize the reciprocal first.
\(\alpha+\beta=8\) और \(\alpha\beta=16-15=1\), इसलिए कुल (9) है। परीक्षा में योग और गुणनफल अलग-अलग निकालें। / \(\alpha+\beta=8\) and \(\alpha\beta=16-15=1\), so the total is (9). In exams find the sum and product separately.
सरलीकरण के बाद हर में (7) बचता है, इसलिए दशमलव अनवसानी आवर्ती होगा। परीक्षा में केवल मूल हर देखकर निर्णय न लें। / After simplification, (7) remains in the denominator, so the decimal is non-terminating recurring. In exams do not decide only from the original denominator.
\(\sqrt{20}+\sqrt{45}=2\sqrt{5}+3\sqrt{5}=5\sqrt{5}\), जो अपरिमेय है। परीक्षा में योग को गुणन जैसा न मानें। / \(\sqrt{20}+\sqrt{45}=2\sqrt{5}+3\sqrt{5}=5\sqrt{5}\), which is irrational. In exams do not treat addition like multiplication.
\(x^2=7+3-2\sqrt{21}=10-2\sqrt{21}\) है। परीक्षा में ((a-b)2=a-2+b-2-2ab) लगाएं। / \(x^2=7+3-2\sqrt{21}=10-2\sqrt{21}\). In exams apply ((a-b)2=a-2+b-2-2ab).
\(\sqrt{11}=0+\sqrt{11}\) का संयुग्मी \(-\sqrt{11}\) है। परीक्षा में (a=0) वाला संयुग्मी भी पहचानें। / The conjugate of \(\sqrt{11}=0+\sqrt{11}\) is \(-\sqrt{11}\). In exams also identify the case (a=0).
विविक्तकर (100-92=8) है और \(\sqrt{8}\) अपरिमेय है, इसलिए शून्यक वास्तविक अपरिमेय हैं। परीक्षा में विविक्तकर का वर्गमूल देखें। / The discriminant is (100-92=8), and \(\sqrt{8}\) is irrational, so the zeroes are real irrational. In exams check the square root of the discriminant.
\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) और \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\), इसलिए मान \(2\sqrt{2}\) है। परीक्षा में चिन्हों को सावधानी से रखें। / \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) and \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\), so the value is \(2\sqrt{2}\). In exams handle signs carefully.
क्योंकि (9<13<16), इसलिए \(3<\sqrt{13}<4\) और \(\sqrt{13}\) अपरिमेय है। परीक्षा में वर्गों के बीच तुलना करें। / Since (9<13<16), \(3<\sqrt{13}<4\), and \(\sqrt{13}\) is irrational. In exams compare between squares.
A. \(4+\sqrt{5}\) और \(4-\sqrt{5}\)/\(4+\sqrt{5}\) and \(4-\sqrt{5}\)
Explanation
Simple Explanation
\(4+\sqrt{5}\) और \(4-\sqrt{5}\) का योग (8) और गुणनफल (16-5=11) है। परीक्षा में विकल्पों का योग और गुणनफल जांचें। / The sum of \(4+\sqrt{5}\) and \(4-\sqrt{5}\) is (8), and the product is (16-5=11). In exams check the sum and product of options.
मुख्य वर्गमूल हमेशा अऋणात्मक होता है, इसलिए \(\sqrt{a^2}=|a|\) है। परीक्षा में (a) ऋणात्मक होने की संभावना न भूलें। / The principal square root is always non-negative, so \(\sqrt{a^2}=|a|\). In exams do not forget the possibility of negative (a).
(x-2-y-2=(x-y)(x+y)=\(2\sqrt{2}\)\(2\sqrt{5}\)=4\sqrt{10}) है। परीक्षा में पहचान का प्रयोग करके लंबी गणना बचाएं। / (x-2-y-2=(x-y)(x+y)=\(2\sqrt{2}\)\(2\sqrt{5}\)=4\sqrt{10}). In exams use identities to avoid long calculation.
\(\sqrt{17}\) अपरिमेय है, इसलिए इसका दशमलव अनवसानी अनावर्ती होगा। परीक्षा में अपरिमेय और आवर्ती दशमलव में अंतर रखें। / \(\sqrt{17}\) is irrational, so its decimal expansion is non-terminating non-recurring. In exams distinguish irrational decimals from recurring decimals.
समान (x) पद कट जाते हैं और मान \(2\sqrt{2}\) बचता है। परीक्षा में बीजीय सरलीकरण में संख्या के प्रकार से भ्रमित न हों। / The like (x) terms cancel and the value left is \(2\sqrt{2}\). In exams do not be confused by the type of number during algebraic simplification.
A. \(\sqrt{2}\) और \(3\sqrt{2}\)/\(\sqrt{2}\) and \(3\sqrt{2}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}=6\), जो परिमेय है। परीक्षा में अपरिमेय संख्याओं के गुणनफल के लिए प्रतिउदाहरण याद रखें। / \(\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}=6\), which is rational. In exams remember counterexamples for products of irrational numbers.
साथी शून्यक \(2-\sqrt{3}\) होगा, इसलिए गुणनखंड (x-\(2-\sqrt{3}\)) है। परीक्षा में शून्यक और गुणनखंड का संबंध \(x-\alpha\) याद रखें। / The companion zero is \(2-\sqrt{3}\), so the factor is (x-\(2-\sqrt{3}\)). In exams remember the relation between a zero and factor as \(x-\alpha\).
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) और \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\), इसलिए वर्ग (\(5\sqrt{3}\)2=75) होना चाहिए, पर विकल्पों में विस्तार विधि से सही मान (75) अकेला नहीं है। परीक्षा में पहले सरलीकरण करें। / \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\), so the square is (\(5\sqrt{3}\)2=75); none of the expanded radical options except the simplified value idea fits. In exams simplify before expanding.
\(\sqrt{12}+\sqrt{27}=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}\), इसलिए वर्ग (75) है। परीक्षा में समान मूलों को पहले जोड़ें। / \(\sqrt{12}+\sqrt{27}=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}\), so the square is (75). In exams add like radicals first.
योग (12) और गुणनफल (36-11=25) है, इसलिए बहुपद \(x^2-12x+25\) है। परीक्षा में मानक रूप ठीक से लिखें। / The sum is (12) and the product is (36-11=25), so the polynomial is \(x^2-12x+25\). In exams write the standard form correctly.
हर का संयुग्मी \(\sqrt{7}-\sqrt{6}\) है और हर (7-6=1) बनता है। परीक्षा में अंतर (1) होने पर उत्तर सरल हो जाता है। / The conjugate of the denominator is \(\sqrt{7}-\sqrt{6}\), and the denominator becomes (7-6=1). In exams the answer simplifies when the difference is (1).
A. \(\sqrt{8}\) और \(-\sqrt{8}\)/\(\sqrt{8}\) and \(-\sqrt{8}\)
Explanation
Simple Explanation
(\sqrt{8}+\(-\sqrt{8}\)=0), जो परिमेय है। परीक्षा में गलत सार्वत्रिक कथन तोड़ने के लिए एक प्रतिउदाहरण काफी है। / (\sqrt{8}+\(-\sqrt{8}\)=0), which is rational. In exams one counterexample is enough to disprove a universal statement.
यदि \(q\ne0\), तो \(q\sqrt{5}\) अपरिमेय होगा और योग परिमेय नहीं हो सकता। परीक्षा में शून्य गुणांक की संभावना देखें। / If \(q\ne0\), then \(q\sqrt{5}\) is irrational and the sum cannot be rational. In exams check the possibility of a zero coefficient.
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर हर (1) और अंश (\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)2=5+2\sqrt{6}) बनता है। परीक्षा में एक ही चरण में संयुग्मी लगाएं। / Multiplying by the conjugate of the denominator gives denominator (1) and numerator (\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)2=5+2\sqrt{6}). In exams apply the conjugate in one step.
गुणनफल \(k^2-7=9\) से \(k^2=16\) मिलता है और दिए रूप में (k=4) उपयुक्त है। परीक्षा में गुणनफल से अज्ञात निकालें। / From the product \(k^2-7=9\), we get \(k^2=16\), and (k=4) fits the given form. In exams use the product to find the unknown.
A. \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) हमेशा/\(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) always
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) सामान्यतः गलत है, जैसे \(\sqrt{9+16}\ne3+4\)। परीक्षा में मूल के अंदर योग को अलग-अलग न तोड़ें। / \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) is generally false, for example \(\sqrt{9+16}\ne3+4\). In exams do not split addition inside a radical.
क्योंकि \(2<\frac{5}{2}<3\), इसलिए \(\sqrt{2}<\sqrt{\frac{5}{2}}<\sqrt{3}\) और यह अपरिमेय है। परीक्षा में वर्ग करके तुलना करें। / Since \(2<\frac{5}{2}<3\), \(\sqrt{2}<\sqrt{\frac{5}{2}}<\sqrt{3}\), and it is irrational. In exams compare by squaring.
साथी शून्यक \(5-2\sqrt{6}\) होगा, योग (10) और गुणनफल (25-24=1) है। परीक्षा में संयुग्मी लेकर बहुपद बनाएं। / The companion zero is \(5-2\sqrt{6}\), with sum (10) and product (25-24=1). In exams form the polynomial using the conjugate.
गुणनफल (\(3+\sqrt{2}\)\(3-\sqrt{2}\)=9-2=7) है, इसलिए (k=7) होगा। परीक्षा में स्थिर पद को शून्यकों के गुणनफल से जोड़ें। / The product (\(3+\sqrt{2}\)\(3-\sqrt{2}\)=9-2=7), so (k=7). In exams connect the constant term with the product of zeroes.
हर के संयुग्मी \(\sqrt{11}+3\) से गुणा करने पर हर (11-9=2) बनता है और (2) कट जाता है। परीक्षा में हर का संयुग्मी सही चुनें। / Multiplying by the conjugate \(\sqrt{11}+3\) makes the denominator (11-9=2), and (2) cancels. In exams choose the conjugate of the denominator correctly.
क्योंकि (\(\sqrt{13}+\sqrt{12}\)\(\sqrt{13}-\sqrt{12}\)=1), इसलिए व्युत्क्रम \(\sqrt{13}-\sqrt{12}\) है। परीक्षा में (a-b=1) वाले संयुग्मी जल्दी पहचानें। / Since (\(\sqrt{13}+\sqrt{12}\)\(\sqrt{13}-\sqrt{12}\)=1), the reciprocal is \(\sqrt{13}-\sqrt{12}\). In exams quickly identify conjugates where (a-b=1).
\(154=2\cdot7\cdot11\), इसलिए कटने के बाद हर में केवल \(5^2\) बचता है। परीक्षा में निर्णय हमेशा सरलतम रूप के हर से करें। / \(154=2\cdot7\cdot11\), so after cancellation only \(5^2\) remains in the denominator. In exams decide from the denominator in lowest form.
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), इसलिए \(\sqrt{3}+\sqrt{12}=3\sqrt{3}\) है। परीक्षा में मूलों को जोड़ने से पहले समान मूल बनाएं। / \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), so \(\sqrt{3}+\sqrt{12}=3\sqrt{3}\). In exams make radicals like terms before adding.
परिमेय गुणांकों में \(a+\sqrt{b}\) के साथ \(a-\sqrt{b}\) भी शून्यक होता है। परीक्षा में संयुग्मी शून्यक तुरंत पहचानें। / With rational coefficients \(a+\sqrt{b}\) is accompanied by \(a-\sqrt{b}\). In exams identify conjugate zeroes quickly.
\(x^2=7+5+2\sqrt{35}=12+2\sqrt{35}\) है। परीक्षा में ((a+b)2) में (2ab) न छोड़ें। / \(x^2=7+5+2\sqrt{35}=12+2\sqrt{35}\). In exams do not miss (2ab) in ((a+b)2).
(\(\sqrt{28}\)\(\sqrt{7}\)=\sqrt{196}=14) है जो परिमेय है। परीक्षा में गुणन और जोड़ के नियम अलग रखें। / (\(\sqrt{28}\)\(\sqrt{7}\)=\sqrt{196}=14) which is rational. In exams keep multiplication and addition rules separate.
हर में (11) है इसलिए दशमलव समाप्त नहीं होगा। परिमेय संख्या होने के कारण यह आवर्ती होगा। / The denominator contains (11) so the decimal will not terminate. Since it is rational it will be recurring.
A. \(\sqrt{3}=-\frac{p}{q}\) होगा जो असंभव है/\(\sqrt{3}=-\frac{p}{q}\) would be true which is impossible
Explanation
Simple Explanation
\(-\frac{p}{q}\) परिमेय है इसलिए इससे \(\sqrt{3}\) परिमेय हो जाएगा जो गलत है। परीक्षा में विरोधाभास विधि पहचानें। / \(-\frac{p}{q}\) is rational so it would make \(\sqrt{3}\) rational which is false. In exams recognize the contradiction method.
हर का संयुग्मी \(\sqrt{13}+2\) है और हर (13-4=9) बनता है। इसलिए मान (\frac{3\(\sqrt{13}+2\)}{9}=\frac{\sqrt{13}+2}{3}) है। / The conjugate of the denominator is \(\sqrt{13}+2\) and the denominator becomes (13-4=9). Hence the value is (\frac{3\(\sqrt{13}+2\)}{9}=\frac{\sqrt{13}+2}{3}).
(\(4-\sqrt{15}\)\(4+\sqrt{15}\)=1) है। इसलिए व्युत्क्रम \(4+\sqrt{15}\) होगा। / (\(4-\sqrt{15}\)\(4+\sqrt{15}\)=1). Therefore the reciprocal is \(4+\sqrt{15}\).
योग (12) और गुणनफल (36-5=31) है। परीक्षा में संयुग्मी जोड़े का योग और गुणनफल अलग निकालें। / The sum is (12) and the product is (36-5=31). In exams find the sum and product of conjugate pairs separately.
(\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=4-3=1) है जो परिमेय है। परीक्षा में संयुग्मी गुणन को प्रतिउदाहरण के रूप में याद रखें। / (\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=4-3=1) which is rational. In exams remember conjugate multiplication as a counterexample.
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य होंगे/Both (p) and (q) will be divisible by (5)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) से \(p^2=5q^2\) मिलता है इसलिए (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य होते हैं। यह सहअभाज्य शर्त के विरुद्ध है। / From \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) we get \(p^2=5q^2\) so both (p) and (q) are divisible by (5). This contradicts the coprime condition.
A. \(4+\sqrt{3}\) और \(4-\sqrt{3}\)/\(4+\sqrt{3}\) and \(4-\sqrt{3}\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात सूत्र से \(x=\frac{8\pm\sqrt{64-52}}{2}=4\pm\sqrt{3}\) मिलता है। परीक्षा में विविक्तकर को सरल करें। / Using the quadratic formula \(x=\frac{8\pm\sqrt{64-52}}{2}=4\pm\sqrt{3}\). In exams simplify the discriminant.
\(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\), \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) और \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) है। इसलिए मान \(6\sqrt{3}\) है। / \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\), \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) and \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\). Hence the value is \(6\sqrt{3}\).
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए \(\sqrt{8}-\sqrt{2}=\sqrt{2}\) है। परीक्षा में पहले मूलों को सरल करें। / \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so \(\sqrt{8}-\sqrt{2}=\sqrt{2}\). In exams simplify radicals first.
A. \(\frac{1}{5+\sqrt{2}}\) के लिए \(5-\sqrt{2}\)/For \(\frac{1}{5+\sqrt{2}}\) use \(5-\sqrt{2}\)
Explanation
Simple Explanation
\(5+\sqrt{2}\) का संयुग्मी \(5-\sqrt{2}\) है। परीक्षा में बीच का चिन्ह बदलना ही संयुग्मी बनाने की मुख्य बात है। / The conjugate of \(5+\sqrt{2}\) is \(5-\sqrt{2}\). In exams changing the middle sign is the key idea of a conjugate.
\(\alpha+\beta=14\) और \(\alpha\beta=43\) है इसलिए (\alpha-2+\beta-2=(14)2-2(43)=110)। परीक्षा में पहचान (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) लगाएं। / \(\alpha+\beta=14\) and \(\alpha\beta=43\) so (\alpha-2+\beta-2=(14)2-2(43)=110). In exams use (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta).
\(\frac{1}{2+\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}-2}{3}\) नहीं बल्कि हर (4-7=-3) से मान \(\frac{2-\sqrt{7}}{3}\) है इसलिए सीधा विकल्प नहीं बनेगा। सही सरलीकरण जांचे बिना उत्तर न चुनें। / \(\frac{1}{2+\sqrt{7}}\) equals \(\frac{2-\sqrt{7}}{-3}=\frac{\sqrt{7}-2}{3}\). So \(x+\frac{1}{x}=2+\sqrt{7}+\frac{\sqrt{7}-2}{3}=\frac{4+4\sqrt{7}}{3}\).
\(\frac{1}{2+\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}-2}{3}\) है इसलिए कुल \(\frac{4+4\sqrt{7}}{3}\) मिलता है। परीक्षा में व्युत्क्रम को पहले परिमेयकृत करें। / \(\frac{1}{2+\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}-2}{3}\) so the total is \(\frac{4+4\sqrt{7}}{3}\). In exams rationalize the reciprocal first.
गुणनफल \(k^2-5=20\) से \(k^2=25\) और धनात्मक (k=5) है। परीक्षा में गुणनफल से अज्ञात निकालें। / From the product \(k^2-5=20\) we get \(k^2=25\) and positive (k=5). In exams find the unknown from the product.
\(\sqrt{9+16}=5\) है जबकि \(\sqrt{9}+\sqrt{16}=7\) है। परीक्षा में मूल के अंदर के योग को अलग-अलग न तोड़ें। / \(\sqrt{9+16}=5\) while \(\sqrt{9}+\sqrt{16}=7\). In exams do not split addition inside a radical.
क्योंकि (9<15<16), इसलिए \(3<\sqrt{15}<4\) है और \(\sqrt{15}\) अपरिमेय है। परीक्षा में वर्गों के बीच तुलना करें। / Since (9<15<16), \(3<\sqrt{15}<4\) and \(\sqrt{15}\) is irrational. In exams compare between squares.
धनात्मक पूर्णांक का परिमेय वर्गमूल तभी पूर्णांक होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। परीक्षा में पूर्ण वर्ग पहचानना जरूरी है। / The rational square root of a positive integer is an integer only when it is a perfect square. In exams identifying perfect squares is important.
\(x^2=11+2-2\sqrt{22}=13-2\sqrt{22}\) है। परीक्षा में ((a-b)2) का मध्य पद न भूलें। / \(x^2=11+2-2\sqrt{22}=13-2\sqrt{22}\). In exams do not forget the middle term of ((a-b)2).
(\alpha\beta=25-\(2\sqrt{6}\)2=25-24=1) है। परीक्षा में संयुग्मी गुणन में वर्ग सही करें। / (\alpha\beta=25-\(2\sqrt{6}\)2=25-24=1). In exams square terms correctly in conjugate multiplication.
(\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=1), इसलिए प्रतिलोम \(2-\sqrt{3}\) है। परीक्षा में गुणनफल (1) जांचें। / (\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=1), so the inverse is \(2-\sqrt{3}\). In exams check that the product is (1).
विविक्तकर (196-180=16) है और \(\sqrt{16}=4\) परिमेय है। इसलिए शून्यक वास्तविक परिमेय हैं। / The discriminant is (196-180=16) and \(\sqrt{16}=4\) is rational. Hence the zeroes are real rational.
विविक्तकर (196-160=36) है इसलिए शून्यक परिमेय होंगे यह कथन गलत नहीं बल्कि सही है। यहां सही प्रकार वास्तविक परिमेय होना चाहिए। / The discriminant is (196-160=36) so the zeroes are rational. The correct type should be real rational.
विविक्तकर (196-152=44) है और \(\sqrt{44}\) अपरिमेय है। इसलिए शून्यक वास्तविक अपरिमेय हैं। / The discriminant is (196-152=44) and \(\sqrt{44}\) is irrational. Hence the zeroes are real irrational.
\(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) है। इसलिए मान \(3\sqrt{2}\) है। / \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\). Hence the value is \(3\sqrt{2}\).
यदि \(\frac{s}{r}\) परिमेय हो तो \(s=r\cdot\frac{s}{r}\) परिमेय हो जाएगा जो गलत है। परीक्षा में शून्येतर शर्त जरूर देखें। / If \(\frac{s}{r}\) were rational then \(s=r\cdot\frac{s}{r}\) would be rational which is false. In exams check the non-zero condition.
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर अंश (\(\sqrt{5}-\sqrt{3}\)2=8-2\sqrt{15}) और हर (2) बनता है। इसलिए मान \(4-\sqrt{15}\) है पर सही सरल विकल्प A है। / Multiplying by the conjugate gives numerator (\(\sqrt{5}-\sqrt{3}\)2=8-2\sqrt{15}) and denominator (2). So the value is \(4-\sqrt{15}\) and the correct simple option is A.
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर \(\frac{8-2\sqrt{15}}{2}=4-\sqrt{15}\) मिलता है। परीक्षा में अंत में भिन्न को सरल करें। / Multiplying by the conjugate gives \(\frac{8-2\sqrt{15}}{2}=4-\sqrt{15}\). In exams simplify the fraction at the end.
साथी शून्यक \(3-\sqrt{8}\) है। योग (6) और गुणनफल (9-8=1) से बहुपद \(x^2-6x+1\) बनता है। / The companion zero is \(3-\sqrt{8}\). Sum (6) and product (9-8=1) form \(x^2-6x+1\).
A. यदि (a<0), तो \(\sqrt{a^2}=|a|\) होता है/If (a<0), then \(\sqrt{a^2}=|a|\)
Explanation
Simple Explanation
मुख्य वर्गमूल अऋणात्मक होता है इसलिए \(\sqrt{a^2}=|a|\) है। परीक्षा में ऋणात्मक (a) के लिए सावधान रहें। / The principal square root is non-negative so \(\sqrt{a^2}=|a|\). In exams be careful when (a) is negative.
(x-2-y-2=(x-y)(x+y)=\(2\sqrt{5}\)\(2\sqrt{6}\)=4\sqrt{30}) है। परीक्षा में पहचान से लंबी गणना बचती है। / (x-2-y-2=(x-y)(x+y)=\(2\sqrt{5}\)\(2\sqrt{6}\)=4\sqrt{30}). In exams identities save long calculations.
B. \(5+\sqrt{5}\) और \(5-\sqrt{5}\)/\(5+\sqrt{5}\) and \(5-\sqrt{5}\)
Explanation
Simple Explanation
\(5+\sqrt{5}\) और \(5-\sqrt{5}\) का योग (10) और गुणनफल (25-5=20) है इसलिए यह भी नहीं है। सही युग्म (5+2) और (5-2) परिमेय होगा इसलिए दिए विकल्पों में कोई नहीं। / The pair \(5+\sqrt{5}\) and \(5-\sqrt{5}\) has sum (10) and product (20) so it also fails. The pair (5+2) and (5-2) would be rational so none of the given options fits.
(7+3=10) और \(7\cdot3=21\) है। परीक्षा में केवल अपरिमेय रूप देखकर उत्तर न चुनें। / (7+3=10) and \(7\cdot3=21\). In exams do not choose only by seeing an irrational form.
A. हर अपरिमेय संख्या वास्तविक संख्या है/Every irrational number is a real number
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक संख्याओं में परिमेय और अपरिमेय दोनों शामिल हैं। परीक्षा में संख्या पद्धति का समावेशन याद रखें। / Real numbers include both rational and irrational numbers. In exams remember the inclusion of number systems.
\(231=3\cdot7\cdot11\) कटने के बाद हर में \(2\cdot5^2\) बचता है। इसलिए दशमलव समाप्त होगा। / After cancelling \(231=3\cdot7\cdot11\), the denominator left is \(2\cdot5^2\). Therefore the decimal terminates.
\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), \(3\sqrt{8}=6\sqrt{2}\) और \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) है। इसलिए मान \(8\sqrt{2}\) है। / \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), \(3\sqrt{8}=6\sqrt{2}\) and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\). Hence the value is \(8\sqrt{2}\).
\(x^2=3+2\sqrt{2}\) और \(x^3=7+5\sqrt{2}\), इसलिए \(x^3-3x=4+2\sqrt{2}\) होता है। सही मान विकल्पों में नहीं है इसलिए गणना सावधानी से करें। / \(x^2=3+2\sqrt{2}\) and \(x^3=7+5\sqrt{2}\), so \(x^3-3x=4+2\sqrt{2}\). The correct value is not in the options so calculate carefully.
\(x^3=7+5\sqrt{2}\) और \(3x=3+3\sqrt{2}\), इसलिए अंतर \(4+2\sqrt{2}\) है। परीक्षा में घातों की गणना चरणों में करें। / \(x^3=7+5\sqrt{2}\) and \(3x=3+3\sqrt{2}\), so the difference is \(4+2\sqrt{2}\). In exams calculate powers step by step.
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर हर (10-9=1) बनता है। इसलिए मान \(\sqrt{10}+3\) है। / Multiplying by the conjugate of the denominator makes the denominator (10-9=1). Therefore the value is \(\sqrt{10}+3\).
दूसरा शून्यक \(5-\sqrt{21}\) होगा। योग (10) और गुणनफल (25-21=4) से बहुपद \(x^2-10x+4\) बनता है। / The other zero will be \(5-\sqrt{21}\). Sum (10) and product (25-21=4) give the polynomial \(x^2-10x+4\).
A. \(9+\sqrt{7}\) और \(9-\sqrt{7}\)/\(9+\sqrt{7}\) and \(9-\sqrt{7}\)
Explanation
Simple Explanation
\(9+\sqrt{7}\) और \(9-\sqrt{7}\) का योग (18) और गुणनफल (81-7=74) है। परीक्षा में विकल्पों का योग और गुणनफल दोनों जांचें। / The sum of \(9+\sqrt{7}\) and \(9-\sqrt{7}\) is (18), and the product is (81-7=74). In exams check both sum and product of options.
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर \(\frac{30+2\sqrt{221}}{4}=\frac{15+\sqrt{221}}{2}\) मिलता है। परीक्षा में अंत में समान गुणनखंड से भाग जरूर करें। / Multiplying by the conjugate gives \(\frac{30+2\sqrt{221}}{4}=\frac{15+\sqrt{221}}{2}\). In exams divide by the common factor at the end.
\(385=5\cdot7\cdot11\) कटने के बाद हर में केवल \(2^3\) बचता है। परीक्षा में हमेशा सरलतम रूप के हर को देखें। / After cancelling \(385=5\cdot7\cdot11\), only \(2^3\) remains in the denominator. In exams always check the denominator in lowest form.
पहला गुणनफल (14-6=8) है और \(\sqrt{84}=2\sqrt{21}\) है। परीक्षा में संयुग्मी गुणन और मूल सरलीकरण दोनों करें। / The first product is (14-6=8), and \(\sqrt{84}=2\sqrt{21}\). In exams use both conjugate multiplication and radical simplification.
दूसरा शून्यक \(6-\sqrt{19}\) होगा और गुणनफल (36-19=17) है। परीक्षा में स्थिर पद को शून्यकों के गुणनफल से जोड़ें। / The other zero will be \(6-\sqrt{19}\), and the product is (36-19=17). In exams connect the constant term with the product of zeroes.
