(5) is a non zero rational number so \(5\sqrt{3}\) is irrational. Remember multiplication by (0) gives (0).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(5\times\sqrt{3}\). (5) is a non zero rational number so \(5\sqrt{3}\) is irrational. Remember multiplication by (0) gives (0).
Step 3
Exam Tip
(5) गैर शून्य परिमेय है इसलिए \(5\sqrt{3}\) अपरिमेय है। ध्यान रखें (0) से गुणा करने पर परिणाम (0) होता है।
(6) is a non-zero rational number and \(\sqrt{19}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(6\sqrt{19}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
Multiplication by zero is a special case, so focus on non-zero rational factors. चरण 1: (6) अशून्य परिमेय है और \(\sqrt{19}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(6\sqrt{19}\) अपरिमेय रहेगा। चरण 3: शून्य से गुणा करने का मामला अलग है, इसलिए अशून्य परिमेय पर ध्यान दें।
(4) is a non-zero rational number and \(\sqrt{13}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(4\sqrt{13}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
Multiplication by zero is a special case, so focus on non-zero rational factors. चरण 1: (4) अशून्य परिमेय है और \(\sqrt{13}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(4\sqrt{13}\) अपरिमेय रहेगा। चरण 3: शून्य से गुणा करने का मामला अलग है, इसलिए अशून्य परिमेय पर ध्यान दें।
(3) is a non-zero rational number and \(\sqrt{7}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(3\sqrt{7}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
Multiplication by zero is a special case, so focus on non-zero rational factors. चरण 1: (3) अशून्य परिमेय है और \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(3\sqrt{7}\) अपरिमेय रहेगा। चरण 3: शून्य से गुणा करने का मामला अलग होता है, इसलिए अशून्य परिमेय पर ध्यान दें।
A. \(\sqrt{2}\) और \(3\sqrt{2}\)/\(\sqrt{2}\) and \(3\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}=6\), which is rational. In exams remember counterexamples for products of irrational numbers.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}\) और \(3\sqrt{2}\) / \(\sqrt{2}\) and \(3\sqrt{2}\). \(\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}=6\), which is rational. In exams remember counterexamples for products of irrational numbers.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}=6\), जो परिमेय है। परीक्षा में अपरिमेय संख्याओं के गुणनफल के लिए प्रतिउदाहरण याद रखें।
The product of two irrational numbers is not always irrational. चरण 1: \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\), जो परिमेय है। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय नहीं होता।
The product of two irrational numbers is not always irrational. चरण 1: \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(\sqrt{3}\times\sqrt{3}=3\), जो परिमेय है। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय नहीं होता।
A. \(\sqrt{12}\) और \(\sqrt{3}\)/\(\sqrt{12}\) and \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{3}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their product is \(\sqrt{36}=6\), which is rational, and their sum is \(3\sqrt{3}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Check the nature of the sum and product separately. चरण 1: \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) और \(\sqrt{3}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका गुणन \(\sqrt{36}=6\) परिमेय है, और योग \(3\sqrt{3}\) अपरिमेय है। चरण 3: योग और गुणन की प्रकृति अलग-अलग जाँचें।
Adding a rational number cannot make an irrational number rational.
Step 2
Why this answer is correct
If (r+s) were rational, then (s=(r+s)-r) would be rational, which is a contradiction.
Step 3
Exam Tip
Such rules can also be checked by reverse reasoning. चरण 1: परिमेय संख्या जोड़ने से अपरिमेय संख्या परिमेय नहीं बनती। चरण 2: यदि (r+s) परिमेय मान लें, तो (s=(r+s)-r) परिमेय हो जाएगा, जो गलत है। चरण 3: ऐसे नियमों को उलटा सोचकर भी जांच सकते हैं।
(4) is rational and \(\sqrt{13}\) is irrational, so the sum is irrational. In exams identify square roots of perfect squares first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(4+\sqrt{13}\). (4) is rational and \(\sqrt{13}\) is irrational, so the sum is irrational. In exams identify square roots of perfect squares first.
Step 3
Exam Tip
(4) परिमेय है और \(\sqrt{13}\) अपरिमेय है, इसलिए योग अपरिमेय है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग के वर्गमूल को पहले पहचानें।
A rational number minus an irrational number is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
If (r-s) were rational, then (s=r-(r-s)) would be rational, which is impossible.
Step 3
Exam Tip
Use the same reasoning for subtraction as for addition. चरण 1: परिमेय संख्या में से अपरिमेय संख्या घटाने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। चरण 2: यदि (r-s) परिमेय हो, तो (s=r-(r-s)) परिमेय हो जाएगा, जो असंभव है। चरण 3: घटाव में भी वही सोच रखें जो योग में रखते हैं।
\(\sqrt{12}\times\sqrt{3}=\sqrt{36}=6\). The product of two irrational numbers is not always irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{12}\times\sqrt{3}\). \(\sqrt{12}\times\sqrt{3}=\sqrt{36}=6\). The product of two irrational numbers is not always irrational.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{12}\times\sqrt{3}=\sqrt{36}=6\) है। दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय नहीं होता।
(\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=4-3=1) which is rational. In exams remember conjugate multiplication as a counterexample.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)). (\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=4-3=1) which is rational. In exams remember conjugate multiplication as a counterexample.
Step 3
Exam Tip
(\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=4-3=1) है जो परिमेय है। परीक्षा में संयुग्मी गुणन को प्रतिउदाहरण के रूप में याद रखें।
A. जब (a) कोई भी परिमेय संख्या हो/When (a) is any rational number
Step 1
Concept
Adding a rational number to an irrational number gives an irrational result. This simple property often appears in MCQs.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. जब (a) कोई भी परिमेय संख्या हो / When (a) is any rational number. Adding a rational number to an irrational number gives an irrational result. This simple property often appears in MCQs.
Step 3
Exam Tip
परिमेय में अपरिमेय जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। यह आसान गुण अक्सर MCQ में आता है।
Multiplying an irrational number by a non-zero rational number keeps it irrational.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(2 \times \sqrt{3}=2\sqrt{3}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
The non-zero condition is important because multiplication by (0) gives (0). चरण 1: अशून्य परिमेय संख्या से अपरिमेय संख्या को गुणा करने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। चरण 2: जैसे \(2 \times \sqrt{3}=2\sqrt{3}\), जो अपरिमेय है। चरण 3: यहां अशून्य शर्त जरूरी है, क्योंकि शून्य से गुणा करने पर परिणाम (0) होगा।
\(\sqrt{2}\times\sqrt{5}=\sqrt{10}\), which is irrational. Multiplying equal roots can often give a rational number.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}\times\sqrt{5}\). \(\sqrt{2}\times\sqrt{5}=\sqrt{10}\), which is irrational. Multiplying equal roots can often give a rational number.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\times\sqrt{5}=\sqrt{10}\) है जो अपरिमेय है। समान जड़ों का गुणन अक्सर परिमेय दे सकता है।
The product of two identical irrational square roots becomes the number inside. चरण 1: \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}=5\) परिमेय है। चरण 3: दो समान अपरिमेय वर्गमूलों का गुणनफल भीतर की संख्या बन जाता है।
Multiplying the two irrational numbers gives \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
One valid counterexample is enough to disprove a universal statement. चरण 1: \(\sqrt{2}\) एक अपरिमेय संख्या है। चरण 2: दो समान अपरिमेय संख्याओं का गुणन \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) देता है, जो परिमेय है। चरण 3: किसी सामान्य कथन को गलत दिखाने के लिए एक सही उदाहरण काफी होता है।
\(\sqrt{5}\times\sqrt{20}=\sqrt{100}=10\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Check whether the product inside the square root becomes a perfect square. चरण 1: दोनों संख्याएँ अलग-अलग अपरिमेय हैं। चरण 2: \(\sqrt{5}\times\sqrt{20}=\sqrt{100}=10\), जो परिमेय है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में गुणन के बाद मूल के अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग बन रही है या नहीं, यह देखें।
If \(q\ne0\), then \(q\sqrt{5}\) is irrational and the sum cannot be rational. In exams check the possibility of a zero coefficient.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (q=0). If \(q\ne0\), then \(q\sqrt{5}\) is irrational and the sum cannot be rational. In exams check the possibility of a zero coefficient.
Step 3
Exam Tip
यदि \(q\ne0\), तो \(q\sqrt{5}\) अपरिमेय होगा और योग परिमेय नहीं हो सकता। परीक्षा में शून्य गुणांक की संभावना देखें।
A. जब (a) को दो पूर्ण वर्गों के अनुपात के रूप में लिखा जा सके/When (a) can be written as a ratio of two perfect squares
Step 1
Concept
The square root of a rational fraction is rational when both numerator and denominator can be perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}\), so a ratio of two perfect squares is a safe condition.
Step 3
Exam Tip
Being positive or less than (1) does not guarantee a rational square root. चरण 1: किसी परिमेय भिन्न का वर्गमूल परिमेय तब होता है जब अंश और हर दोनों पूर्ण वर्ग बन सकें। चरण 2: जैसे \(\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}\), इसलिए दो पूर्ण वर्गों का अनुपात सुरक्षित स्थिति है। चरण 3: केवल धनात्मक या (1) से छोटा होना परिमेय वर्गमूल की गारंटी नहीं देता।
If \(\frac{s}{r}\) were rational then \(s=r\cdot\frac{s}{r}\) would be rational which is false. In exams check the non-zero condition.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अपरिमेय / Irrational. If \(\frac{s}{r}\) were rational then \(s=r\cdot\frac{s}{r}\) would be rational which is false. In exams check the non-zero condition.
Step 3
Exam Tip
यदि \(\frac{s}{r}\) परिमेय हो तो \(s=r\cdot\frac{s}{r}\) परिमेय हो जाएगा जो गलत है। परीक्षा में शून्येतर शर्त जरूर देखें।
In \(x^2-4x+1\), the sum is (4) and (D=16-4=12), so the zeroes are irrational. A rational sum does not mean rational zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x^2-4x+1\). In \(x^2-4x+1\), the sum is (4) and (D=16-4=12), so the zeroes are irrational. A rational sum does not mean rational zeroes.
Step 3
Exam Tip
\(x^2-4x+1\) में योग (4) है और (D=16-4=12) से शून्यक अपरिमेय हैं। परिमेय योग का अर्थ परिमेय शून्यक होना नहीं है।
The difference of a rational and an irrational number is irrational. This property helps identify mixed expressions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अपरिमेय संख्या / Irrational number. The difference of a rational and an irrational number is irrational. This property helps identify mixed expressions.
Step 3
Exam Tip
परिमेय और अपरिमेय का अंतर अपरिमेय होता है। यह गुण गैर मिश्रित संख्याओं को पहचानने में मदद करता है।
(\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\)=6-2=4), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Identifying conjugates helps remove radicals quickly. चरण 1: पहला विकल्प संयुग्मी पदों का गुणनफल है। चरण 2: (\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\)=6-2=4), जो परिमेय है। चरण 3: संयुग्मी पद पहचानने से वर्गमूल जल्दी हट जाते हैं।
From (r+s=s), subtract (s) from both sides to get (r=0).
Step 2
Why this answer is correct
(0) is rational, so the condition is possible.
Step 3
Exam Tip
Form a simple equation before judging number types. चरण 1: (r+s=s) से दोनों ओर (s) घटाने पर (r=0) मिलता है। चरण 2: (0) परिमेय है इसलिए स्थिति संभव है। चरण 3: सरल समीकरण बनाकर संख्या के प्रकार की जांच करें।
\(\sqrt{19}\) is irrational because (19) is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
(\(\sqrt{19}\)2=19), which is rational.
Step 3
Exam Tip
The square of an irrational number can sometimes be rational. चरण 1: \(\sqrt{19}\) अपरिमेय है क्योंकि (19) पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: (\(\sqrt{19}\)2=19), जो परिमेय है। चरण 3: किसी अपरिमेय संख्या का वर्ग कभी-कभी परिमेय हो सकता है।
If \(\frac{1}{x}\) is rational and non-zero, then its reciprocal is also rational.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore (x) is rational, not irrational.
Step 3
Exam Tip
In reciprocal questions, always check the non-zero condition. चरण 1: यदि \(\frac{1}{x}\) परिमेय है और शून्य नहीं है, तो उसका व्युत्क्रम भी परिमेय होगा। चरण 2: इसलिए (x) परिमेय होगा, अपरिमेय नहीं। चरण 3: व्युत्क्रम वाले प्रश्नों में शून्य की शर्त जरूर देखें।
Dividing by a non-zero rational number is the same as multiplying by its reciprocal.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{1}{r}\) is also a non-zero rational number, so \(\frac{x}{r}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
In division questions, always check that the denominator is not zero. चरण 1: अशून्य परिमेय संख्या से भाग देना उसी के व्युत्क्रम से गुणा करने जैसा है। चरण 2: \(\frac{1}{r}\) भी अशून्य परिमेय है, इसलिए \(\frac{x}{r}\) अपरिमेय रहेगा। चरण 3: भाग वाले प्रश्न में हर के शून्य न होने की शर्त जरूर देखें।
C. परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखी जा सकती है, जहाँ \(q\neq0\)/Rational numbers can be written as \(\frac{p}{q}\), where \(q\neq0\)
Step 1
Concept
A rational number can be written as \(\frac{p}{q}\), where (p,q) are integers and \(q\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
An irrational number cannot be written in that form.
Step 3
Exam Tip
In definition questions, always check the condition \(q\neq0\). चरण 1: परिमेय संख्या वह है जिसे \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जा सके, जहाँ (p,q) पूर्णांक और \(q\neq0\) हों। चरण 2: अपरिमेय संख्या ऐसे रूप में नहीं लिखी जा सकती। चरण 3: परिभाषा के प्रश्न में \(q\neq0\) अवश्य देखें।
B. यह कभी परिमेय नहीं हो सकता/It can never be rational
Step 1
Concept
(3) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
If (x+3) were rational, then (x=(x+3)-3) would also be rational, contradicting the given fact.
Step 3
Exam Tip
The contradiction method is useful in such questions. चरण 1: (3) एक परिमेय संख्या है। चरण 2: यदि (x+3) परिमेय हो, तो (x=(x+3)-3) भी परिमेय होगा, जो दी गई बात के विरुद्ध है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में विरोध विधि तेज काम करती है।
\(\sqrt{17}\) and \(\sqrt{17}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their difference is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
The difference of equal irrational terms can be rational. चरण 1: \(\sqrt{17}\) और \(\sqrt{17}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका अंतर (0) है, जो परिमेय है। चरण 3: समान अपरिमेय पदों का अंतर परिमेय हो सकता है।
Subtracting a rational number from an irrational number leaves an irrational part.
Step 2
Why this answer is correct
If the result were rational, then (q=(q-p)+p) would be rational, which is impossible.
Step 3
Exam Tip
Remember the rules for addition and subtraction of rational and irrational numbers. चरण 1: अपरिमेय संख्या में से परिमेय संख्या घटाने पर अपरिमेय भाग बचता है। चरण 2: यदि परिणाम परिमेय हो, तो (q=(q-p)+p) परिमेय हो जाएगा, जो गलत है। चरण 3: परिमेय और अपरिमेय के जोड़-घटाव के नियम याद रखें।
\(\sqrt{11}\) and \(-\sqrt{11}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Opposite irrational terms can give a rational sum. चरण 1: \(\sqrt{11}\) और \(-\sqrt{11}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग (0) है, जो परिमेय है। चरण 3: विपरीत अपरिमेय पदों का योग परिमेय हो सकता है।
Multiplying a square root by itself gives the number inside.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{k}\times\sqrt{k}=k\), which is rational if (k) is an integer.
Step 3
Exam Tip
The square of an irrational square root can be rational. चरण 1: किसी वर्गमूल को उसी वर्गमूल से गुणा करने पर अंदर की संख्या मिलती है। चरण 2: \(\sqrt{k}\times\sqrt{k}=k\), जो पूर्णांक होने पर परिमेय होता है। चरण 3: अपरिमेय वर्गमूल का वर्ग परिमेय परिणाम दे सकता है।
\(\sqrt{7}\) and \(\sqrt{7}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their difference is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
The difference of equal irrational terms can be rational. चरण 1: \(\sqrt{7}\) और \(\sqrt{7}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका अंतर (0) है, जो परिमेय है। चरण 3: समान अपरिमेय पदों का अंतर परिमेय हो सकता है।
Subtracting an irrational number from a rational number leaves an irrational part.
Step 2
Why this answer is correct
If the result were rational, then (q=p-(p-q)) would be rational, which is impossible.
Step 3
Exam Tip
Remember the rules for addition and subtraction of rational and irrational numbers. चरण 1: परिमेय संख्या में से अपरिमेय संख्या घटाने पर अपरिमेय भाग बचता है। चरण 2: यदि परिणाम परिमेय हो, तो (q=p-(p-q)) परिमेय हो जाएगा, जो गलत है। चरण 3: परिमेय और अपरिमेय के जोड़-घटाव के नियम याद रखें।
\(\sqrt{5}\) and \(-\sqrt{5}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Opposite irrational terms can give a rational sum. चरण 1: \(\sqrt{5}\) और \(-\sqrt{5}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग (0) है, जो परिमेय है। चरण 3: विपरीत अपरिमेय पदों का योग परिमेय हो सकता है।
(\(\sqrt{b}\)2=b), and if (b) is an integer, it is rational.
Step 3
Exam Tip
The square of an irrational square root can give a rational result. चरण 1: वर्गमूल का वर्ग करने पर अंदर की संख्या मिलती है। चरण 2: (\(\sqrt{b}\)2=b), और (b) पूर्णांक हो तो परिमेय होता है। चरण 3: अपरिमेय वर्गमूल का वर्ग परिमेय परिणाम दे सकता है।
A non-zero rational multiplier does not remove irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(4\sqrt{3}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
The non-zero condition is important because multiplying by (0) gives (0). चरण 1: अशून्य परिमेय गुणक अपरिमेयता को समाप्त नहीं करता। चरण 2: जैसे \(4\sqrt{3}\) अपरिमेय रहता है। चरण 3: यहां अशून्य शर्त जरूरी है क्योंकि (0) से गुणा करने पर परिणाम (0) होगा।
\(\sqrt{5}\) and \(\sqrt{5}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their difference is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
The difference of equal irrational terms can be rational. चरण 1: \(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{5}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका अंतर (0) है, जो परिमेय है। चरण 3: समान अपरिमेय पदों का अंतर परिमेय परिणाम दे सकता है।
\(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Opposite irrational numbers can give a rational sum. चरण 1: \(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग (0) है, जो परिमेय संख्या है। चरण 3: विपरीत अपरिमेय संख्याएँ जोड़ने पर परिमेय परिणाम आ सकता है।
Multiplying a square root by itself gives the number inside.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{a}\times\sqrt{a}=a\), and if (a) is an integer, it is rational.
Step 3
Exam Tip
The square of an irrational number can be rational. चरण 1: किसी वर्गमूल को उसी वर्गमूल से गुणा करने पर अंदर की संख्या मिलती है। चरण 2: \(\sqrt{a}\times\sqrt{a}=a\), और (a) पूर्णांक हो तो परिमेय है। चरण 3: अपरिमेय संख्या का वर्ग कई बार परिमेय हो सकता है।
\(\sqrt{15}\) is irrational because (15) is not a perfect square.
Step 3
Exam Tip
In pair questions, check the nature of both numbers separately. चरण 1: (8) परिमेय संख्या है। चरण 2: \(\sqrt{15}\) अपरिमेय है क्योंकि (15) पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 3: युग्म वाले प्रश्न में दोनों संख्याओं की प्रकृति अलग-अलग जांचें।
A non-zero rational multiplier does not remove irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(3\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
The non-zero condition is important because multiplying by zero gives zero. चरण 1: अशून्य परिमेय गुणक अपरिमेयता को समाप्त नहीं करता। चरण 2: जैसे \(3\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 3: यहां अशून्य शर्त जरूरी है क्योंकि शून्य से गुणा करने पर परिणाम शून्य होगा।
\(\sqrt{6}\) is irrational because (6) is not a perfect square.
Step 3
Exam Tip
In a pair, identify each number separately. चरण 1: (3) परिमेय है। चरण 2: \(\sqrt{6}\) अपरिमेय है क्योंकि (6) पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 3: युग्म में दोनों संख्याओं को अलग-अलग पहचानें।
Adding a rational number does not remove the irrational part.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(4+\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
The sum of a rational and an irrational number is an important rule to remember. चरण 1: परिमेय संख्या को जोड़ने से अपरिमेय भाग खत्म नहीं होता। चरण 2: जैसे \(4+\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 3: परिमेय और अपरिमेय का योग याद रखने योग्य नियम है।
\(\sqrt{5}\) is irrational and \(2-\sqrt{5}\) is also irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (2) which is rational.
Step 3
Exam Tip
There is no single always rule for the sum of two irrational numbers. चरण 1: \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है और \(2-\sqrt{5}\) भी अपरिमेय है। चरण 2: उनका योग (2) है जो परिमेय है। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं के योग के लिए एक ही नियम हर बार लागू नहीं होता।
For (a=7,b=2), \(\sqrt{7}+\sqrt{2}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The product is (\(\sqrt{7}\)2-\(\sqrt{2}\)2=7-2=5), which is rational.
Step 3
Exam Tip
A conjugate product can give a rational result even when the sum is irrational. चरण 1: (a=7,b=2) पर \(\sqrt{7}+\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 2: गुणन (\(\sqrt{7}\)2-\(\sqrt{2}\)2=7-2=5) परिमेय है। चरण 3: संयुग्मी गुणन अपरिमेय योग को भी परिमेय गुणनफल दे सकता है।
Multiplying it by \(\sqrt{13}\) gives an irrational number.
Step 3
Exam Tip
In products check first whether square roots combine to a perfect square. चरण 1: \(\frac{3}{5}\) शून्य रहित परिमेय है। चरण 2: शून्य रहित परिमेय संख्या से \(\sqrt{13}\) को गुणा करने पर अपरिमेय संख्या मिलती है। चरण 3: गुणनफल में पहले देखें कि वर्गमूल मिलकर पूर्ण वर्ग तो नहीं बना रहे।
A. \(4+\sqrt{6}\) और \(4-\sqrt{6}\)/\(4+\sqrt{6}\) and \(4-\sqrt{6}\)
Step 1
Concept
For rational coefficients, the conjugate \(a-\sqrt{b}\) accompanies \(a+\sqrt{b}\). Hence the first pair is correct.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(4+\sqrt{6}\) और \(4-\sqrt{6}\) / \(4+\sqrt{6}\) and \(4-\sqrt{6}\). For rational coefficients, the conjugate \(a-\sqrt{b}\) accompanies \(a+\sqrt{b}\). Hence the first pair is correct.
Step 3
Exam Tip
परिमेय गुणांकों के लिए \(a+\sqrt{b}\) का संयुग्मी \(a-\sqrt{b}\) साथ आता है। इसलिए पहला युग्म सही है।
Its reciprocal is \(3-\sqrt{8}\), because (\(3+\sqrt{8}\)\(3-\sqrt{8}\)=1). Hence the sum is (6), which is rational.
Step 3
Exam Tip
When conjugates multiply to (1), the reciprocal is easy to identify. चरण 1: \(3+\sqrt{8}=3+2\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 2: इसका व्युत्क्रम \(3-\sqrt{8}\) है, क्योंकि (\(3+\sqrt{8}\)\(3-\sqrt{8}\)=1)। इसलिए योग (6) परिमेय है। चरण 3: जिन संयुग्मियों का गुणन (1) हो, वहाँ व्युत्क्रम तुरंत मिल सकता है।
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so (x) and \(y=-2\sqrt{2}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is \(2\sqrt{2}-2\sqrt{2}=0\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Opposite irrational terms can give a rational sum. चरण 1: \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए (x) और \(y=-2\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग \(2\sqrt{2}-2\sqrt{2}=0\), जो परिमेय है। चरण 3: विपरीत अपरिमेय पदों के योग से परिमेय उत्तर मिल सकता है।
B. \(\sqrt{12}\) और \(\sqrt{3}\)/\(\sqrt{12}\) and \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{3}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\sqrt{4}=2\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
In quotients, check whether the value inside the root becomes a perfect square. चरण 1: \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) और \(\sqrt{3}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: \(\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\sqrt{4}=2\), जो परिमेय है। चरण 3: भागफल में मूल के अंदर का भाग पूर्ण वर्ग बन रहा है या नहीं, यह देखें।
A. \(2+\sqrt{5}\) और \(2-\sqrt{5}\)/\(2+\sqrt{5}\) and \(2-\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
The sum is (\(2+\sqrt{5}\)+\(2-\sqrt{5}\)=4), which is rational. In exams remember conjugate pairs as counterexamples.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2+\sqrt{5}\) और \(2-\sqrt{5}\) / \(2+\sqrt{5}\) and \(2-\sqrt{5}\). The sum is (\(2+\sqrt{5}\)+\(2-\sqrt{5}\)=4), which is rational. In exams remember conjugate pairs as counterexamples.
Step 3
Exam Tip
योग (\(2+\sqrt{5}\)+\(2-\sqrt{5}\)=4) है, जो परिमेय है। परीक्षा में संयुग्मी जोड़ों को प्रतिउदाहरण के रूप में याद रखें।
For \(x^2-8x+3\), (D=64-12=52), positive and not a perfect square. The other options give equal rational, non-real, or rational zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x^2-8x+3\). For \(x^2-8x+3\), (D=64-12=52), positive and not a perfect square. The other options give equal rational, non-real, or rational zeroes.
Step 3
Exam Tip
\(x^2-8x+3\) के लिए (D=64-12=52), जो धनात्मक अपूर्ण वर्ग है। बाकी विकल्पों में शून्यक समान परिमेय, अवास्तविक या परिमेय हैं।
A non zero rational multiplier keeps an irrational number irrational. The condition \(r\neq0\) is important.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अपरिमेय संख्या / Irrational number. A non zero rational multiplier keeps an irrational number irrational. The condition \(r\neq0\) is important.
Step 3
Exam Tip
गैर शून्य परिमेय गुणक अपरिमेय संख्या को अपरिमेय ही रखता है। शर्त \(r\neq0\) महत्वपूर्ण है।
\(\sqrt{11}\) is irrational because (11) is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
(\(\sqrt{11}\)2=11) which is rational.
Step 3
Exam Tip
Squaring may remove the radical. चरण 1: \(\sqrt{11}\) अपरिमेय है क्योंकि (11) पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: (\(\sqrt{11}\)2=11) परिमेय है। चरण 3: वर्ग करने पर वर्गमूल हट सकता है।
B. \(\sqrt{18}\) और \(\sqrt{2}\)/\(\sqrt{18}\) and \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{18}\) and \(\sqrt{2}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}=3\) which is rational.
Step 3
Exam Tip
In quotients check whether the ratio inside the radical becomes a perfect square. चरण 1: \(\sqrt{18}\) और \(\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: \(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}=3\) परिमेय है। चरण 3: भाग में मूल के अंदर अनुपात पूर्ण वर्ग बन रहा है या नहीं यह देखें।
Dividing by a non-zero rational number is the same as multiplying by its reciprocal.
Step 2
Why this answer is correct
An irrational number multiplied by a non-zero rational number remains irrational.
Step 3
Exam Tip
Convert division questions into multiplication for easier reasoning. चरण 1: शून्य रहित परिमेय से भाग देना उसी के व्युत्क्रम से गुणा करना है। चरण 2: अपरिमेय संख्या को शून्य रहित परिमेय से गुणा करने पर अपरिमेय संख्या मिलती है। चरण 3: भाग के प्रश्नों को गुणा में बदलकर सोचें।
To make \(x+\sqrt{2}\) rational, (x) should contain a \(-\sqrt{2}\) part.
Step 2
Why this answer is correct
If \(x=3-\sqrt{2}\), then \(x+\sqrt{2}=3\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Look for cancellation of the irrational part. चरण 1: \(x+\sqrt{2}\) को परिमेय बनाने के लिए (x) में \(-\sqrt{2}\) वाला भाग होना चाहिए। चरण 2: \(x=3-\sqrt{2}\) रखने पर \(x+\sqrt{2}=3\), जो परिमेय है। चरण 3: अपरिमेय भाग के कटने की संभावना खोजें।
Its square is (\(\sqrt{13}\)2=13), which is rational.
Step 3
Exam Tip
The square of an irrational number is not always irrational, so examine examples carefully. चरण 1: \(\sqrt{13}\) अपरिमेय है। चरण 2: इसका वर्ग (\(\sqrt{13}\)2=13) परिमेय है। चरण 3: हर अपरिमेय संख्या का वर्ग अपरिमेय नहीं होता, इसलिए उदाहरण ध्यान से देखें।
Multiplying an irrational number by a non-zero rational number keeps it irrational.
Step 2
Why this answer is correct
If (pq) were rational, then \(q=\frac{pq}{p}\) would be rational, which contradicts the given condition.
Step 3
Exam Tip
Always check that the rational multiplier is not zero. चरण 1: अशून्य परिमेय संख्या से गुणा करने पर अपरिमेयता बनी रहती है। चरण 2: यदि (pq) परिमेय मान लें, तो \(q=\frac{pq}{p}\) परिमेय हो जाएगा, जो गलत है। चरण 3: परीक्षा में ध्यान रखें कि (p) शून्य नहीं होना चाहिए।
Dividing by a non-zero rational number does not remove irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
The condition \(k\neq0\) is necessary because division by zero is not possible. चरण 1: अशून्य परिमेय संख्या से भाग करने पर अपरिमेयता समाप्त नहीं होती। चरण 2: जैसे \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) अपरिमेय रहता है। चरण 3: यहां \(k\neq0\) जरूरी है क्योंकि शून्य से भाग संभव नहीं है।
Dividing by a non-zero rational number does not remove irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
The condition \(k\neq0\) is necessary because division by zero is not possible. चरण 1: अशून्य परिमेय संख्या से भाग करने पर अपरिमेयता समाप्त नहीं होती। चरण 2: जैसे \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) अपरिमेय रहता है। चरण 3: यहां \(k\neq0\) जरूरी है क्योंकि शून्य से भाग संभव नहीं है।
Dividing by a non-zero rational number does not remove irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(\frac{\sqrt{2}}{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
The condition \(r\neq0\) is necessary because division by zero is not possible. चरण 1: अशून्य परिमेय संख्या से भाग करने पर अपरिमेयता समाप्त नहीं होती। चरण 2: जैसे \(\frac{\sqrt{2}}{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: यहां \(r\neq0\) शर्त जरूरी है क्योंकि शून्य से भाग संभव नहीं होता।
Its reciprocal \(\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}\) is also irrational.
Step 3
Exam Tip
Do not assume the reciprocal of a non-zero irrational surd is rational. चरण 1: \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) अपरिमेय है। चरण 2: इसका व्युत्क्रम \(\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}\) भी अपरिमेय है। चरण 3: अशून्य अपरिमेय मूल के व्युत्क्रम को परिमेय मानने की गलती न करें।
The sum of two irrational numbers can be rational.
Step 2
Why this answer is correct
For example, (\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0). Therefore, saying (a+b) is always irrational is false.
Step 3
Exam Tip
Be careful with universal statements about two irrational numbers. चरण 1: दो अपरिमेय संख्याओं का योग कभी परिमेय भी हो सकता है। चरण 2: उदाहरण (\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) है। इसलिए (a+b) हमेशा अपरिमेय कहना गलत है। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं पर हमेशा वाले नियम बहुत सावधानी से लगाएँ।
A. गुणनफल परिमेय या अपरिमेय दोनों हो सकता है/The product can be rational or irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\) is rational but \(\sqrt{5}\times\sqrt{2}=\sqrt{10}\) is irrational. So it depends on the case.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. गुणनफल परिमेय या अपरिमेय दोनों हो सकता है / The product can be rational or irrational. \(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\) is rational but \(\sqrt{5}\times\sqrt{2}=\sqrt{10}\) is irrational. So it depends on the case.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\) परिमेय है पर \(\sqrt{5}\times\sqrt{2}=\sqrt{10}\) अपरिमेय है। इसलिए स्थिति पर निर्भर करता है।
\(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) is rational but \(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\) is irrational. So it is not always one type.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. हमेशा निश्चित नहीं / Not always fixed. \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) is rational but \(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\) is irrational. So it is not always one type.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) परिमेय है लेकिन \(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\) अपरिमेय है। इसलिए हमेशा एक जैसा नहीं होता।
A rational number has either a terminating decimal or a non-terminating recurring decimal.
Step 2
Why this answer is correct
\(2.01001000100001\ldots\) has no fixed repeating block. So it cannot be rational.
Step 3
Exam Tip
Decide by checking repetition, not merely by seeing a long decimal. चरण 1: परिमेय संख्या का दशमलव या तो सांत होता है या असांत आवर्ती। चरण 2: \(2.01001000100001\ldots\) में कोई स्थिर आवर्ती खंड नहीं है। इसलिए यह परिमेय नहीं हो सकता। चरण 3: लंबा दशमलव देखकर नहीं, पुनरावृत्ति देखकर निर्णय लें।
A rational number has a decimal that either terminates or recurs.
Step 2
Why this answer is correct
Non-terminating non-recurring decimal expansion is not possible for a rational number.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: This difference helps identify rational and irrational numbers. चरण 1: परिमेय संख्या का दशमलव समाप्त या आवर्ती होता है। चरण 2: असमाप्त अनावर्ती दशमलव परिमेय संख्या के लिए संभव नहीं है। चरण 3: परीक्षा सुझाव: यह अंतर परिमेय और अपरिमेय संख्या को पहचानने में मदद करता है।
First look for perfect-square factors inside the radical. चरण 1: पूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय होता है। चरण 2: \(\sqrt{49}=7\) है इसलिए यह परिमेय है। चरण 3: संख्या के अंदर पूर्ण वर्ग गुणनखंड देखकर सरल करें।
\(\sqrt{6}+\sqrt{24}=\sqrt{6}+2\sqrt{6}=3\sqrt{6}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Radicals may cancel in multiplication, but not always in addition. चरण 1: पहले प्रत्येक विकल्प को सरल करें। चरण 2: \(\sqrt{6}+\sqrt{24}=\sqrt{6}+2\sqrt{6}=3\sqrt{6}\), जो अपरिमेय है। चरण 3: गुणन में मूल कट सकते हैं, पर योग में हमेशा ऐसा नहीं होता।
A non-terminating decimal can still be rational if it is recurring.
Step 2
Why this answer is correct
In \(0.37373737\ldots\), the block (37) repeats, so it is rational.
Step 3
Exam Tip
Do not call a decimal irrational just because it is non-terminating; check for a repeating block. चरण 1: असांत दशमलव परिमेय भी हो सकता है, यदि उसमें आवर्तन हो। चरण 2: \(0.37373737\ldots\) में (37) बार-बार आ रहा है, इसलिए यह परिमेय है। चरण 3: असांत देखकर तुरंत अपरिमेय न मानें; आवर्ती भाग को ध्यान से पहचानें।
Terminating decimals, fractions, and recurring decimals are rational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{63}=3\sqrt{7}\), and \(\sqrt{7}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Simplifying the square-root option is a good way to check it. चरण 1: समाप्त दशमलव, भिन्न और आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। चरण 2: \(\sqrt{63}=3\sqrt{7}\), और \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल वाले विकल्प को सरल करके जांचना अच्छा तरीका है।
Terminating decimals, fractions, and recurring decimals are rational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Simplify the square root to identify its nature. चरण 1: समाप्त दशमलव, भिन्न और आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। चरण 2: \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल को सरल करके उसकी प्रकृति पहचानें।
(9) is a perfect square and \(\sqrt{9}=3\), so it is rational.
Step 3
Exam Tip
In square root questions, first check whether the number inside is a perfect square. चरण 1: पूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय संख्या होता है। चरण 2: (9) पूर्ण वर्ग है और \(\sqrt{9}=3\), इसलिए यह परिमेय है। चरण 3: वर्गमूल वाले प्रश्न में पहले देखें कि अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं।
A. \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) हमेशा/\(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) always
Step 1
Concept
\(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) is generally false, for example \(\sqrt{9+16}\ne3+4\). In exams do not split addition inside a radical.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) हमेशा / \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) always. \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) is generally false, for example \(\sqrt{9+16}\ne3+4\). In exams do not split addition inside a radical.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) सामान्यतः गलत है, जैसे \(\sqrt{9+16}\ne3+4\)। परीक्षा में मूल के अंदर योग को अलग-अलग न तोड़ें।
Real numbers include both rational and irrational numbers. These are placed on the number line.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वास्तविक संख्याएँ / Real numbers. Real numbers include both rational and irrational numbers. These are placed on the number line.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक संख्याओं में परिमेय और अपरिमेय दोनों शामिल होते हैं। संख्या रेखा पर इन्हीं का स्थान होता है।
If (r-s) were rational then (s=r-(r-s)) would be rational which is false.
Step 3
Exam Tip
Adding or subtracting a rational and an irrational number gives an irrational number. चरण 1: मान लें परिमेय (r) और अपरिमेय (s) हैं। चरण 2: यदि (r-s) परिमेय हो तो (s=r-(r-s)) परिमेय हो जाएगा जो गलत है। चरण 3: परिमेय और अपरिमेय को जोड़ने या घटाने पर परिणाम अपरिमेय रहता है।
\(4+\sqrt{7}\) and \(4-\sqrt{7}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (8), which is rational.
Step 3
Exam Tip
In such examples, equal irrational parts cancel with opposite signs. चरण 1: \(4+\sqrt{7}\) और \(4-\sqrt{7}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग (8) है, जो परिमेय है। चरण 3: ऐसे उदाहरणों में समान अपरिमेय पद विपरीत चिह्न के साथ कटते हैं।
\(\sqrt{5}\) and \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) are both irrational and different.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{20}}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{2}\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
A common irrational factor can cancel in a quotient. चरण 1: \(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) दोनों अपरिमेय हैं और अलग-अलग हैं। चरण 2: \(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{20}}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{2}\), जो परिमेय है। चरण 3: भागफल में समान अपरिमेय गुणनखंड कट सकता है।
\(\sqrt{5}\) and \(-\sqrt{5}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Before applying a general rule for two irrationals, test possible counterexamples. चरण 1: \(\sqrt{5}\) और \(-\sqrt{5}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग (0) है, जो परिमेय संख्या है। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं के योग पर सामान्य नियम लगाने से पहले उदाहरण जाँचें।
B. क्योंकि परिमेय संख्या में अपरिमेय संख्या जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय होता है/Because adding an irrational number to a rational number gives an irrational result
Step 1
Concept
\(\frac{3}{2}\) is rational and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
If their sum were rational, then \(\sqrt{5}\) would become the difference of two rational numbers, which is impossible.
Step 3
Exam Tip
For rational-plus-irrational questions, contradiction is a very useful method. चरण 1: \(\frac{3}{2}\) परिमेय संख्या है और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय संख्या है। चरण 2: यदि उनका योग परिमेय मानें तो \(\sqrt{5}\) को दो परिमेय संख्याओं के अंतर के रूप में लिखना पड़ेगा जो असंभव है। चरण 3: परिमेय और अपरिमेय के योग वाले प्रश्नों में विरोधाभास विधि बहुत उपयोगी है।
A. \(\sqrt{8}\) और \(-\sqrt{8}\)/\(\sqrt{8}\) and \(-\sqrt{8}\)
Step 1
Concept
(\sqrt{8}+\(-\sqrt{8}\)=0), which is rational. In exams one counterexample is enough to disprove a universal statement.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{8}\) और \(-\sqrt{8}\) / \(\sqrt{8}\) and \(-\sqrt{8}\). (\sqrt{8}+\(-\sqrt{8}\)=0), which is rational. In exams one counterexample is enough to disprove a universal statement.
Step 3
Exam Tip
(\sqrt{8}+\(-\sqrt{8}\)=0), जो परिमेय है। परीक्षा में गलत सार्वत्रिक कथन तोड़ने के लिए एक प्रतिउदाहरण काफी है।
B. \(\sqrt{3}\) और \(2\sqrt{3}\)/\(\sqrt{3}\) and \(2\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) and \(2\sqrt{3}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is \(3\sqrt{3}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
In sum questions, identify whether like surds cancel or combine. चरण 1: \(\sqrt{3}\) और \(2\sqrt{3}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग \(3\sqrt{3}\) है, जो अपरिमेय है। चरण 3: योग वाले प्रश्नों में कटने वाले और जुड़ने वाले समान मूल अलग-अलग पहचानें।
(\(\sqrt{11}+1\)\(\sqrt{11}-1\)) is a conjugate product.
Step 2
Why this answer is correct
Its value is (11-1=10), which is rational.
Step 3
Exam Tip
In conjugate forms, irrational terms can cancel. चरण 1: (\(\sqrt{11}+1\)\(\sqrt{11}-1\)) संयुग्मी गुणन है। चरण 2: इसका मान (11-1=10), जो परिमेय है। चरण 3: जहाँ संयुग्मी रूप हो, वहाँ अपरिमेय पद कट सकते हैं।
The product of a non-zero rational number and an irrational number remains irrational. In exams the condition \(a\ne0\) is very important.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. हमेशा अपरिमेय / Always irrational. The product of a non-zero rational number and an irrational number remains irrational. In exams the condition \(a\ne0\) is very important.
Step 3
Exam Tip
अशून्य परिमेय संख्या से अपरिमेय संख्या का गुणन अपरिमेय रहता है। परीक्षा में \(a\ne0\) शर्त बहुत महत्वपूर्ण है।
For (a=6,b=15), (ab=90), which is not a perfect square, so \(\sqrt{90}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In multiplication, the key check is whether the product inside the root is a perfect square. चरण 1: \(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) होता है। चरण 2: (a=6,b=15) पर (ab=90), जो पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{90}\) अपरिमेय है। चरण 3: गुणन में अंदर का गुणनफल पूर्ण वर्ग है या नहीं, यह मुख्य जाँच है।
