A. पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर अंत में असंभव साझा गुणनखंड पाना/First assuming \(\sqrt{2}\) rational and finally getting an impossible common factor
Step 1
Concept
Proof by contradiction assumes the opposite statement.
Step 2
Why this answer is correct
Then that assumption gives an impossible result.
Step 3
Exam Tip
In \(\sqrt{2}\), the common factor (2) is that impossible result. चरण 1: विरोधाभास की विधि में विपरीत बात को मानते हैं। चरण 2: फिर वह मान्यता असंभव परिणाम देती है। चरण 3: \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलना यही असंभव परिणाम है।
A. \(p^2=3q^2\) से सीधे (p=3q) लिखना/Directly writing (p=3q) from \(p^2=3q^2\)
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
This means (p) is divisible by (3), but (p=3q) does not follow directly.
Step 3
Exam Tip
The correct way is to write (p=3k). चरण 1: \(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य मिलता है। चरण 2: इससे (p) (3) से विभाज्य है, पर सीधे (p=3q) नहीं मिलता। चरण 3: सही तरीका (p=3k) लिखना है।
\(p^2=3q^2\) usually comes from the proof of \(\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
To identify the proof, look at the factor in the equation. चरण 1: समीकरण में मुख्य गुणनखंड (3) है। चरण 2: \(p^2=3q^2\) सामान्य रूप से \(\sqrt{3}\) की सिद्धि से आता है। चरण 3: प्रमाण पहचानने के लिए समीकरण का गुणनखंड देखें।
Assuming \(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) and squaring gives \(p^2=nq^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Here (n=3), so it relates to \(\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
Identify the square root from the factor in the equation. चरण 1: \(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) मानने पर वर्ग करने से \(p^2=nq^2\) मिलता है। चरण 2: यहां (n=3) है, इसलिए यह \(\sqrt{3}\) से जुड़ा है। चरण 3: समीकरण में गुणनखंड देखकर मूल संख्या पहचानें।
A. यदि \(p^2\) (3) से विभाज्य है, तो (p) (3) से विभाज्य है/If \(p^2\) is divisible by (3), then (p) is divisible by (3)
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{3}\), factor (3) is used.
Step 2
Why this answer is correct
So if \(p^2\) is divisible by (3), (p) is divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
Identify the relevant factor in each proof. चरण 1: \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (3) का गुणनखंड काम करता है। चरण 2: इसलिए \(p^2\) (3) से विभाज्य होने पर (p) (3) से विभाज्य कहा जाता है। चरण 3: हर प्रमाण में संबंधित संख्या का गुणनखंड पहचानें।
A. \(p^2=2q^2\) से (p) सम है और यहीं रुक जाना/From \(p^2=2q^2\), (p) is even, and stopping there
Step 1
Concept
Proving (p) even is only half of the proof.
Step 2
Why this answer is correct
We must next put (p=2k) and show (q) is also even.
Step 3
Exam Tip
Without reaching the final contradiction, the answer is incomplete. चरण 1: (p) सम होना केवल आधा प्रमाण है। चरण 2: आगे (p=2k) रखकर (q) का भी सम होना दिखाना पड़ता है। चरण 3: अंतिम विरोधाभास तक पहुँचे बिना उत्तर पूरा नहीं माना जाएगा।
If a square is even, the integer itself is even, so (q) is even.
Step 3
Exam Tip
Now both (p) and (q) are even, completing the contradiction. चरण 1: \(q^2=2k^2\) बताता है कि \(q^2\) सम है। चरण 2: वर्ग सम होने पर मूल पूर्णांक भी सम होता है, इसलिए (q) सम है। चरण 3: अब (p) और (q) दोनों सम होने से विरोधाभास पूरा होता है।
A. (b) को भी समीकरण में रखकर सम सिद्ध करना/Prove (b) even by substituting in the equation
Step 1
Concept
Getting only (a) even does not create contradiction with the coprime condition.
Step 2
Why this answer is correct
Substitute (a=2k) in \(a^2=2b^2\) to get \(b^2=2k^2\), then prove (b) even.
Step 3
Exam Tip
Contradiction occurs only when both have common factor (2). चरण 1: केवल (a) सम मिलना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास नहीं बनाता। चरण 2: (a=2k) को \(a^2=2b^2\) में रखकर \(b^2=2k^2\) और फिर (b) सम सिद्ध करना होगा। चरण 3: विरोधाभास तब बनेगा जब दोनों में (2) साझा गुणनखंड मिले।
A. वर्ग करने के बाद \(p^2=3q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (3) मिलता है/After squaring, \(p^2=3q^2\) is formed and common factor (3) is found
Step 1
Concept
Assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) and squaring gives \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Later, common factor (3) is found in both (p) and (q).
Step 3
Exam Tip
This identifies the proof of \(\sqrt{3}\). चरण 1: \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानकर वर्ग करने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है। चरण 2: आगे (p) और (q) दोनों में (3) साझा गुणनखंड मिलता है। चरण 3: यही \(\sqrt{3}\) की सिद्धि की पहचान है।
A. केवल \(p^2=5q^2\) लिखकर रुक जाना/Stopping after only writing \(p^2=5q^2\)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) is only a middle step.
Step 2
Why this answer is correct
After this, both (p) and (q) must be shown divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Without contradiction and final conclusion, the proof is incomplete. चरण 1: \(p^2=5q^2\) केवल मध्य चरण है। चरण 2: इसके बाद (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाने होते हैं। चरण 3: विरोधाभास और अंतिम निष्कर्ष के बिना प्रमाण पूरा नहीं होता।
So first \(a^2\) is called even, and then (a) is proved even.
Step 3
Exam Tip
Do not change the order of conclusions in exams. चरण 1: \(a^2=2b^2\) में दाईं ओर (2) का गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए पहले \(a^2\) को सम कहा जाएगा और फिर (a) सम सिद्ध होगा। चरण 3: परीक्षा में निष्कर्षों का क्रम न बदलें।
A. वर्ग करने के बाद \(p^2=5q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (5) मिलता है/After squaring, \(p^2=5q^2\) is formed and common factor (5) is found
Step 1
Concept
Assuming \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) and squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
This (5) becomes a common factor in both (p) and (q).
Step 3
Exam Tip
This identifies the proof of \(\sqrt{5}\). चरण 1: \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) मानकर वर्ग करने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। चरण 2: इसी (5) से (p) और (q) दोनों में साझा गुणनखंड मिलता है। चरण 3: यही \(\sqrt{5}\) के प्रमाण की पहचान है।
From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) and then (p) are proved even.
Step 2
Why this answer is correct
But to complete the proof, (q) must also be shown even.
Step 3
Exam Tip
Only then a contradiction arises through common factor (2). चरण 1: \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम और फिर (p) सम सिद्ध होता है। चरण 2: लेकिन प्रमाण पूरा करने के लिए (q) भी सम दिखाना होगा। चरण 3: तभी दोनों में साझा गुणनखंड (2) से विरोधाभास बनेगा।
A. यह अधूरा है, पहले (p) सम और फिर प्रतिस्थापन से (q) सम सिद्ध होता है/This is incomplete; first (p) is proved even and then (q) is proved even by substitution
Step 1
Concept
From \(p^2=2q^2\), first only \(p^2\) and then (p) are proved even.
Step 2
Why this answer is correct
After substituting (p=2k), \(q^2=2k^2\) is obtained and then (q) is proved even.
Step 3
Exam Tip
Skipping order is considered an error in proof writing. चरण 1: \(p^2=2q^2\) से पहले केवल \(p^2\) सम और फिर (p) सम मिलता है। चरण 2: (p=2k) रखने के बाद \(q^2=2k^2\) मिलता है और तब (q) सम सिद्ध होता है। चरण 3: प्रमाण में क्रम छोड़ना गलती मानी जाती है।
A. \(p^2=5q^2\) से सीधे (q) (5) से विभाज्य है कहना/Saying directly from \(p^2=5q^2\) that (q) is divisible by (5)
Step 1
Concept
From \(p^2=5q^2\), first \(p^2\) and then (p) are proved divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Only after substituting (p=5k) do we get \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
So directly concluding about (q) is an order mistake. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से पहले \(p^2\) और फिर (p) (5) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। चरण 2: (p=5k) रखने के बाद ही \(q^2=5k^2\) मिलता है। चरण 3: इसलिए सीधे (q) के बारे में निष्कर्ष लेना क्रम की गलती है।
A. पहले \(p^2\) सम और (p) सम सिद्ध करके (p=2k) रखना होता है/First \(p^2\) even and (p) even must be proved, then (p=2k) is substituted
Step 1
Concept
From \(p^2=2q^2\), we immediately get \(p^2\) even.
Step 2
Why this answer is correct
Only after substituting (p=2k) do we get \(q^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
Skipping the order makes the proof weak. चरण 1: \(p^2=2q^2\) से तुरंत \(p^2\) सम मिलता है। चरण 2: फिर (p=2k) रखकर ही \(q^2=2k^2\) मिलता है। चरण 3: क्रम छोड़ने से प्रमाण कमजोर हो जाता है।
A. परिमेय मानना, \(p^2=5q^2\) पाना, (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाना/Assume rational, get \(p^2=5q^2\), show both (p) and (q) divisible by (5)
Step 1
Concept
The proof starts with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
Squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 3
Exam Tip
Then common factor (5) in both gives the contradiction. चरण 1: प्रमाण परिमेय मान्यता से शुरू होता है। चरण 2: वर्ग करने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। चरण 3: फिर दोनों में (5) साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास बनाया जाता है।
A. पहले (p) को (3) से विभाज्य सिद्ध कर (p=3k) रखना पड़ता है/First (p) must be proved divisible by (3) and (p=3k) must be substituted
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), first \(p^2\) and then (p) are found divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
After substituting (p=3k), we get \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
Then (q) is concluded divisible by (3). चरण 1: \(p^2=3q^2\) से पहले \(p^2\) और फिर (p) (3) से विभाज्य मिलता है। चरण 2: (p=3k) रखने के बाद \(q^2=3k^2\) आता है। चरण 3: तब (q) के (3) से विभाज्य होने का निष्कर्ष लिया जाता है।
A. केवल \(p^2=5q^2\) लिखकर रुक जाना/Stopping after only writing \(p^2=5q^2\)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) is a middle step of the proof.
Step 2
Why this answer is correct
After this, both (p) and (q) must be shown divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
The proof is incomplete without contradiction and conclusion. चरण 1: \(p^2=5q^2\) प्रमाण का मध्य चरण है। चरण 2: इसके बाद (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाने होते हैं। चरण 3: विरोधाभास और निष्कर्ष लिखे बिना प्रमाण पूरा नहीं होता।
A. परिमेय मानना, वर्ग करना, (p) और (q) दोनों सम पाना, विरोधाभास लिखना/Assume rational, square, find both (p) and (q) even, write contradiction
Step 1
Concept
In contradiction, first assume \(\sqrt{2}\) rational.
Step 2
Why this answer is correct
Squaring gives evenness conclusions.
Step 3
Exam Tip
Finding both even contradicts the coprime condition. चरण 1: विरोधाभास विधि में पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानते हैं। चरण 2: वर्ग करने से समता के निष्कर्ष मिलते हैं। चरण 3: दोनों सम मिलना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास देता है।
A. (p=5k) रखकर \(q^2=5k^2\) मिलने के बाद/After substituting (p=5k) and getting \(q^2=5k^2\)
Step 1
Concept
First, from \(p^2=5q^2\), (p) is found divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Then substituting (p=5k) gives \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
Then (q) is concluded divisible by (5). चरण 1: पहले \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य मिलता है। चरण 2: फिर (p=5k) रखने पर \(q^2=5k^2\) मिलता है। चरण 3: तब (q) के (5) से विभाज्य होने का निष्कर्ष आता है।
A. परिमेय मानने पर अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं/Assuming rational makes both numerator and denominator divisible by (3)
Step 1
Concept
Assume \(\sqrt{3}\) rational and write it in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both numerator and denominator divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
This contradicts the condition of a lowest-form fraction. चरण 1: \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न में लिखते हैं। चरण 2: प्रमाण से अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 3: यह सरलतम भिन्न की शर्त से विरोधाभास है।
A. क्योंकि पहले (p) के (3) से विभाज्य होने को सिद्ध कर (p=3k) रखना पड़ता है/Because first (p) must be proved divisible by (3) and (p=3k) must be substituted
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), first \(p^2\) and then (p) are found divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
Only after substituting (p=3k) do we get \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
Keeping the order correct makes the proof strong. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से पहले \(p^2\) और फिर (p) (3) से विभाज्य मिलता है। चरण 2: (p=3k) रखने के बाद ही \(q^2=3k^2\) मिलता है। चरण 3: निष्कर्षों का क्रम सही रखना प्रमाण को मजबूत बनाता है।
A. मानें \(\sqrt{5}\) परिमेय है, \(p^2=5q^2\) पाएं, (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाएं/Assume \(\sqrt{5}\) rational, get \(p^2=5q^2\), show both (p) and (q) divisible by (5)
Step 1
Concept
The proof starts with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
Squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 3
Exam Tip
Finally, a common factor (5) in both gives the contradiction. चरण 1: प्रमाण परिमेय मान्यता से शुरू होता है। चरण 2: वर्ग करने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। चरण 3: अंत में दोनों में (5) साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास बनाया जाता है।
A. परिमेय मानें, वर्ग करें, दोनों सम पाएं, सहअभाज्य से विरोधाभास/Assume rational, square, find both even, contradict coprime
Step 1
Concept
Assume \(\sqrt{2}\) rational and write it as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
Squaring leads to both (p) and (q) being even.
Step 3
Exam Tip
Both even contradict the coprime condition. चरण 1: \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) लिखते हैं। चरण 2: वर्ग करने पर दोनों (p) और (q) सम निकलते हैं। चरण 3: दोनों सम होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास देता है।
Therefore this fact is used twice in an important way. चरण 1: पहले \(p^2\) सम होने से (p) सम सिद्ध होता है। चरण 2: फिर \(q^2\) सम होने से (q) सम सिद्ध होता है। चरण 3: इसलिए यह नियम प्रमाण में दो बार महत्वपूर्ण रूप से आता है।
B. लंबे ऐतिहासिक समय को दर्ज करने के लिए/To record long historical time
Step 1
Concept
The Long Count system helped record long dates and royal events. For exams treat Maya chronology as advanced.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. लंबे ऐतिहासिक समय को दर्ज करने के लिए / To record long historical time. The Long Count system helped record long dates and royal events. For exams treat Maya chronology as advanced.
Step 3
Exam Tip
लंबी गणना प्रणाली लंबी तिथियों और राजकीय घटनाओं को दर्ज करने में सहायक थी। परीक्षा में माया कालगणना को उन्नत मानें।
A. लंबी अवधि की तिथि गणना और खगोलीय समझ/Long-term date reckoning and astronomical understanding
Step 1
Concept
The Long Count calendar is famous for long-term date reckoning. Link it with Maya mathematics and astronomy.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. लंबी अवधि की तिथि गणना और खगोलीय समझ / Long-term date reckoning and astronomical understanding. The Long Count calendar is famous for long-term date reckoning. Link it with Maya mathematics and astronomy.
Step 3
Exam Tip
लांग काउंट कैलेंडर लंबी तिथि गणना के लिए प्रसिद्ध है। परीक्षा में इसे माया गणित और खगोल से जोड़ें।
A. लंबी अवधि की तिथि गणना/Long-term date reckoning
Step 1
Concept
The Long Count calendar was useful for long date reckoning. Link it with Maya mathematics and astronomy.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. लंबी अवधि की तिथि गणना / Long-term date reckoning. The Long Count calendar was useful for long date reckoning. Link it with Maya mathematics and astronomy.
Step 3
Exam Tip
लांग काउंट कैलेंडर लंबी तिथि गणना में उपयोगी था। परीक्षा में इसे माया गणित और खगोल ज्ञान से जोड़ें।
The Long Count calendar was useful for recording long periods of dates. Link it with Maya astronomy and calculation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. लंबे समय की तिथि गणना / Long term date reckoning. The Long Count calendar was useful for recording long periods of dates. Link it with Maya astronomy and calculation.
Step 3
Exam Tip
लांग काउंट कैलेंडर लंबी अवधि की तिथियों को दर्ज करने के लिए उपयोगी था। परीक्षा में इसे माया खगोल और गणना से जोड़ें।
A. लंबे समय की तिथियों को दर्ज करने के लिए/Recording long periods of dates
Step 1
Concept
The Long Count calendar was useful for long date reckoning. Connect it with Maya mathematics and astronomy.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. लंबे समय की तिथियों को दर्ज करने के लिए / Recording long periods of dates. The Long Count calendar was useful for long date reckoning. Connect it with Maya mathematics and astronomy.
Step 3
Exam Tip
लांग काउंट कैलेंडर लंबी तिथि गणना के लिए उपयोगी था। परीक्षा में इसे माया गणना और खगोल ज्ञान से जोड़ें।
A. \(\sqrt{3}\) का लंबा दशमलव मान लिखना/Writing a long decimal value of \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
A long decimal value is not a necessary part of the proof.
Step 2
Why this answer is correct
The proof is based on rational assumption, squaring, and prime divisibility.
Step 3
Exam Tip
Avoid unnecessary decimals in exams. चरण 1: लंबा दशमलव मान प्रमाण का जरूरी हिस्सा नहीं है। चरण 2: प्रमाण परिमेय मान्यता, वर्ग और अभाज्य विभाज्यता पर आधारित है। चरण 3: परीक्षा में अनावश्यक दशमलव लिखने से बचें।
The step from \(5\mid b^2\) to \(5\mid b\) uses the prime-factor rule.
Step 2
Why this answer is correct
This rule applies because (5) is prime.
Step 3
Exam Tip
Mentioning this reason makes the proof complete in exams. चरण 1: \(5\mid b^2\) से \(5\mid b\) निकालने में अभाज्य गुणनखंड का नियम लगता है। चरण 2: यह नियम इसलिए लागू है क्योंकि (5) अभाज्य है। चरण 3: परीक्षा में यह कारण लिखने से प्रमाण पूर्ण दिखता है।
D. अतः \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
The proof obtains a contradiction from the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
The contradiction shows that the starting assumption was false.
Step 3
Exam Tip
Therefore the final sentence should clearly state that \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: प्रमाण में परिमेय मान्यता से विरोधाभास प्राप्त होता है। चरण 2: विरोधाभास बताता है कि आरंभिक मान्यता गलत थी। चरण 3: इसलिए अंतिम वाक्य स्पष्ट होना चाहिए कि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
B. विपरीत मान्यता लेकर उससे असंभव परिणाम प्राप्त करना/Assume the opposite and derive an impossible result
Step 1
Concept
In proof by contradiction, the opposite statement is assumed first.
Step 2
Why this answer is correct
Then that assumption leads to a result against the given condition.
Step 3
Exam Tip
The proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) are written by this method. चरण 1: विरोधाभास द्वारा प्रमाण में पहले विपरीत बात मानी जाती है। चरण 2: फिर उस मान्यता से दी गई शर्त के विरुद्ध परिणाम मिलता है। चरण 3: \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) के प्रमाण इसी विधि से लिखे जाते हैं।
A. क्योंकि \(q^2\) सम है और सम वर्ग का आधार सम होता है/Because \(q^2\) is even and the base of an even square is even
Step 1
Concept
From \(q^2=2k^2\), \(q^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
If the square of an integer is even, the integer is also even.
Step 3
Exam Tip
Thus both (p) and (q) are found even. चरण 1: \(q^2=2k^2\) से \(q^2\) सम है। चरण 2: यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम है, तो वह पूर्णांक भी सम होता है। चरण 3: इस तरह (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं।
C. अतः परिमेय मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/Hence the rational assumption is false, so \(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
The proof starts by assuming \(\sqrt{3}\) rational.
Step 2
Why this answer is correct
That assumption gives a common factor against coprimality.
Step 3
Exam Tip
Therefore the final conclusion is that \(\sqrt{3}\) is irrational. चरण 1: प्रमाण में \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर शुरुआत की जाती है। चरण 2: उस मान्यता से सहअभाज्यता के विरुद्ध साझा गुणनखंड मिलता है। चरण 3: इसलिए अंतिम निष्कर्ष यही होगा कि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
C. साझा गुणनखंड मिलना निर्णायक विरोधाभास नहीं बनेगा/Finding a common factor will not become a decisive contradiction
Step 1
Concept
The contradiction depends on (p) and (q) being coprime.
Step 2
Why this answer is correct
Without stating lowest form, both being even is not a decisive contradiction.
Step 3
Exam Tip
Therefore mention lowest form at the start. चरण 1: विरोधाभास इस बात पर निर्भर करता है कि (p) और (q) सहअभाज्य हैं। चरण 2: सरलतम रूप न लिखने पर दोनों सम मिलना जरूरी विरोधाभास नहीं कहलाएगा। चरण 3: इसलिए शुरू में सरलतम रूप अवश्य लिखें।
A. (a=5k) रखने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b\)/Putting (a=5k) gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b\)
Step 1
Concept
Substituting (a=5k) in \(a^2=5b^2\) gives \(25k^2=5b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Simplifying gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b^2\) and \(5\mid b\).
Step 3
Exam Tip
This shows the final common factor. चरण 1: (a=5k) को \(a^2=5b^2\) में रखने से \(25k^2=5b^2\) मिलता है। चरण 2: सरल करने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b^2\) और \(5\mid b\)। चरण 3: यह अंतिम साझा गुणनखंड दिखाता है।
A. दशमलव अनुमान पूर्ण प्रमाण नहीं होता/A decimal approximation is not a complete proof
Step 1
Concept
(1.732) is only an approximate value, not the full value.
Step 2
Why this answer is correct
To prove irrationality, we must assume rationality and show a contradiction with coprimality.
Step 3
Exam Tip
In exams, write a logical proof, not an approximation. चरण 1: (1.732) केवल निकट मान है, पूरा मान नहीं। चरण 2: अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए परिमेय मानकर सहअभाज्यता का विरोधाभास दिखाना पड़ता है। चरण 3: परीक्षा में अनुमान नहीं, तार्किक प्रमाण लिखें।
Divisibility is written in multiple form, so (a=5t).
Step 3
Exam Tip
This form helps prove divisibility of (b) next. चरण 1: \(5\mid a\) का अर्थ है कि (a) (5) से विभाज्य है। चरण 2: विभाज्यता को गुणज के रूप में लिखते हैं, इसलिए (a=5t)। चरण 3: यह रूप आगे (b) की विभाज्यता सिद्ध करने में मदद करता है।
B. क्योंकि (3) अभाज्य है और वर्ग में आया अभाज्य गुणनखंड आधार में भी आता है/Because (3) is prime and a prime factor in a square also appears in the base
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Since (3) is prime, \(3\mid p\) is a valid conclusion.
Step 3
Exam Tip
Do not say only odd; mention primality for a complete proof. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p\) निष्कर्ष सही है। चरण 3: केवल विषम कहना पर्याप्त नहीं, अभाज्य होने का कारण लिखें।
A. (3) अभाज्य गुणनखंड बनकर अंश और हर दोनों में पहुँचता है/(3) acts as a prime factor that reaches both numerator and denominator
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), (3) first appears in (p).
Step 2
Why this answer is correct
Then putting (p=3k) makes (3) appear in (q) too.
Step 3
Exam Tip
This gives a common factor in numerator and denominator. चरण 1: समीकरण \(p^2=3q^2\) से (3) पहले (p) में आता है। चरण 2: फिर (p=3k) रखने से (3) (q) में भी आता है। चरण 3: यही अंश और हर दोनों में साझा गुणनखंड देता है।
The step from \(5\mid y^2\) to \(5\mid y\) uses the prime-divisibility rule.
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, the conclusion is valid.
Step 3
Exam Tip
Without mentioning primality, this step looks incomplete. चरण 1: \(5\mid y^2\) से \(5\mid y\) निकालने में अभाज्यता का नियम लगता है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए यह निष्कर्ष सही है। चरण 3: बिना अभाज्यता बताए यह कदम अधूरा लगेगा।
A. (p=3k) रखने से \(q^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid q\)/Putting (p=3k) gives \(q^2=3k^2\), so \(3\mid q\)
Step 1
Concept
Substitute (p=3k) in \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Simplifying gives \(q^2=3k^2\), so \(3\mid q^2\) and \(3\mid q\).
Step 3
Exam Tip
This is the second divisibility step. चरण 1: (p=3k) को \(p^2=3q^2\) में रखें। चरण 2: सरल करने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है, जिससे \(3\mid q^2\) और \(3\mid q\) मिलता है। चरण 3: यही दूसरा विभाज्यता कदम है।
A. \(5\mid x\) और फिर गुणज रूप/\(5\mid x\) and then multiple form
Step 1
Concept
First, by the prime rule, \(5\mid x\).
Step 2
Why this answer is correct
Divisibility is written in multiple form, so (x=5m).
Step 3
Exam Tip
In the proof, write these two small steps clearly. चरण 1: पहले अभाज्य नियम से \(5\mid x\) मिलता है। चरण 2: विभाज्यता को गुणज रूप में लिखते हैं, इसलिए (x=5m)। चरण 3: प्रमाण में इन दोनों छोटे कदमों को मन में नहीं, उत्तर में लिखें।
A. प्रमाण परिमेय मान्यता और सहअभाज्यता के विरोधाभास पर आधारित है/The proof is based on rational assumption and contradiction of coprimality
Step 1
Concept
A decimal approximation of \(\sqrt{2}\) does not prove irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
The real proof assumes \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) and derives a contradiction.
Step 3
Exam Tip
In exams, give priority to logical proof. चरण 1: \(\sqrt{2}\) का दशमलव अनुमान प्रमाण नहीं देता। चरण 2: असली प्रमाण में \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) मानकर विरोधाभास निकाला जाता है। चरण 3: परीक्षा में तार्किक प्रमाण को प्राथमिकता दें।
A. क्योंकि \(q^2\) सम है, इसलिए (q) सम होगा/Because \(q^2\) is even, so (q) will be even
Step 1
Concept
From \(q^2=2r^2\), \(q^2\) is a multiple of (2).
Step 2
Why this answer is correct
So \(q^2\) is even and the integer (q) is also even.
Step 3
Exam Tip
This is the second evenness conclusion in the proof. चरण 1: \(q^2=2r^2\) से \(q^2\) (2) का गुणज है। चरण 2: इसलिए \(q^2\) सम है और पूर्णांक (q) भी सम होगा। चरण 3: यह प्रमाण का दूसरा समपन निष्कर्ष है।
A. \(\sqrt{5}\) का लंबा दशमलव मान लिखना/Writing a long decimal value of \(\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
A long decimal value is not a necessary part of the proof.
Step 2
Why this answer is correct
The real proof is based on rational assumption and divisibility.
Step 3
Exam Tip
To save time, write only the logical steps. चरण 1: लंबा दशमलव मान प्रमाण का जरूरी हिस्सा नहीं है। चरण 2: असली प्रमाण परिमेय मान्यता और विभाज्यता पर आधारित है। चरण 3: समय बचाने के लिए केवल तार्किक कदम लिखें।
A. (p=3k) रखकर \(q^2=3k^2\) पाना/Put (p=3k) and get \(q^2=3k^2\)
Step 1
Concept
From \(3\mid p\), write (p=3k).
Step 2
Why this answer is correct
Substituting in \(p^2=3q^2\) gives \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
Then \(3\mid q\) is proved. चरण 1: \(3\mid p\) से (p=3k) लिखा जाता है। चरण 2: इसे \(p^2=3q^2\) में रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है। चरण 3: फिर \(3\mid q\) साबित होता है।
A. (p=5k) रखकर (q) के (5) से विभाज्य होने को सिद्ध करना/Put (p=5k) and prove that (q) is divisible by (5)
Step 1
Concept
From \(5\mid p\), it is proper to write (p=5k).
Step 2
Why this answer is correct
Substituting it into the original equation gives \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
Then prove \(5\mid q\) and complete the contradiction. चरण 1: \(5\mid p\) से (p=5k) लिखना उचित है। चरण 2: इसे मूल समीकरण में रखने पर \(q^2=5k^2\) मिलता है। चरण 3: फिर \(5\mid q\) दिखाकर विरोधाभास पूरा करें।
A. \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में न लेना/Not taking \(\frac{p}{q}\) in lowest form
Step 1
Concept
The contradiction depends on (p) and (q) being coprime.
Step 2
Why this answer is correct
If lowest form is not taken, getting a common factor will not be a contradiction.
Step 3
Exam Tip
Therefore lowest form is essential at the start. चरण 1: विरोधाभास इसी बात पर निर्भर करता है कि (p) और (q) सहअभाज्य हैं। चरण 2: यदि सरलतम रूप नहीं लिया गया, तो साझा गुणनखंड मिलना विरोधाभास नहीं बनेगा। चरण 3: इसलिए शुरुआत में सरलतम रूप जरूरी है।
A. \(\sqrt{5}\) का दशमलव समाप्त नहीं दिखता/The decimal of \(\sqrt{5}\) does not seem to terminate
Step 1
Concept
Looking at the decimal only gives an idea.
Step 2
Why this answer is correct
A complete proof assumes rationality and shows the common-factor contradiction.
Step 3
Exam Tip
In exams, write a proof, not a guess. चरण 1: दशमलव को देखकर केवल अनुमान बनता है। चरण 2: पूर्ण प्रमाण में परिमेय मानकर साझा गुणनखंड का विरोधाभास दिखाते हैं। चरण 3: परीक्षा में अनुमान नहीं, प्रमाण लिखें।
A. \(3\mid p\) सिद्ध हो चुका है/\(3\mid p\) has been proved
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\).
Step 2
Why this answer is correct
By the prime rule, \(3\mid p\), so (p=3r) can be written.
Step 3
Exam Tip
Give the reason before writing such a form. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। चरण 2: अभाज्य नियम से \(3\mid p\), इसलिए (p=3r) लिखा जा सकता है। चरण 3: कोई रूप लिखने से पहले उसका कारण जरूर दें।
A. क्योंकि (q) के सम होने और विरोधाभास तक पहुँचना भी जरूरी है/Because proving (q) even and reaching contradiction is also necessary
Step 1
Concept
From \(p^2\) even, we only get that (p) is even.
Step 2
Why this answer is correct
For the full contradiction, (q) must also be shown even.
Step 3
Exam Tip
Do not stop the proof midway; write until the final conflict. चरण 1: \(p^2\) सम होने से केवल (p) सम मिलता है। चरण 2: पूर्ण विरोधाभास के लिए (q) का भी सम होना दिखाना पड़ता है। चरण 3: प्रमाण को बीच में न छोड़ें, अंतिम टकराव तक लिखें।
A. \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) लेना/Concluding \(3\mid p\) from \(3\mid p^2\)
Step 1
Concept
\(3\mid p\) follows from \(3\mid p^2\) because (3) is prime.
Step 2
Why this answer is correct
This cannot be stated the same way for every composite number.
Step 3
Exam Tip
Mention the word prime in the proof. चरण 1: \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) तभी सीधे मिलता है क्योंकि (3) अभाज्य है। चरण 2: यह गुण सामान्य भाज्य संख्याओं के लिए ऐसे नहीं लिखा जाता। चरण 3: अभाज्य शब्द को प्रमाण में जरूर जोड़ें।
A. क्योंकि (5) अभाज्य संख्या है/Because (5) is a prime number
Step 1
Concept
If a prime number is a factor of a square, it is also a factor of the original number.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore \(5\mid b^2\) gives \(5\mid b\).
Step 3
Exam Tip
Instead of writing it without reason, mention that (5) is prime. चरण 1: अभाज्य संख्या का गुणनखंड यदि किसी वर्ग में है, तो मूल संख्या में भी होगा। चरण 2: इसलिए \(5\mid b^2\) से \(5\mid b\) मिलता है। चरण 3: इसे बिना कारण लिखने के बजाय अभाज्य होने का कारण जोड़ें।
In these proofs, the square root is first assumed rational.
Step 2
Why this answer is correct
Then an impossible situation appears because numerator and denominator get a common factor.
Step 3
Exam Tip
Hence this is called proof by contradiction. चरण 1: इन प्रमाणों में पहले वर्गमूल को परिमेय मानते हैं। चरण 2: फिर अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलने से असंभव स्थिति आती है। चरण 3: इसलिए इसे विरोधाभास द्वारा प्रमाण कहते हैं।
A. जिसे सिद्ध करना है, उसके विपरीत को मानकर असंभव परिणाम दिखाना/Assume the opposite of what is to be proved and show an impossible result
Step 1
Concept
In proof by contradiction, we begin with the opposite assumption.
Step 2
Why this answer is correct
Then we reach a result that conflicts with the given condition.
Step 3
Exam Tip
The proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) follow this structure. चरण 1: विरोधाभास की विधि में विपरीत मान्यता से शुरुआत होती है। चरण 2: फिर ऐसा परिणाम मिलता है जो दी गई शर्त से मेल नहीं खाता। चरण 3: \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) के प्रमाण इसी ढाँचे पर आधारित हैं।
Write the form according to the prime divisor involved. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। चरण 2: इसलिए \(3\mid p\), और (p=3k) लिखा जा सकता है। चरण 3: किस अभाज्य से भाग जा रहा है, उसी के अनुसार रूप लिखें।
A. क्योंकि (5) अभाज्य है और \(5\mid a^2\)/Because (5) is prime and \(5\mid a^2\)
Step 1
Concept
From \(a^2=5b^2\), \(a^2\) clearly has (5) as a factor.
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, (a) must also have (5) as a factor.
Step 3
Exam Tip
Apply the prime-factor rule carefully. चरण 1: \(a^2=5b^2\) से साफ है कि \(a^2\) में (5) गुणनखंड है। चरण 2: (5) अभाज्य होने के कारण (a) में भी (5) गुणनखंड होना चाहिए। चरण 3: अभाज्य गुणनखंड नियम को ठीक से लागू करें।
A. मानें \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), फिर \(a^2=5b^2\), फिर \(5\mid a\), फिर \(5\mid b\)/Assume \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), then \(a^2=5b^2\), then \(5\mid a\), then \(5\mid b\)
Step 1
Concept
The correct proof starts by assuming the number is rational.
Step 2
Why this answer is correct
Squaring gives \(a^2=5b^2\), and divisibility by (5) is then forced on both variables.
Step 3
Exam Tip
Keeping the order correct makes the proof clear. चरण 1: सही प्रमाण हमेशा परिमेय मानकर शुरू होता है। चरण 2: वर्ग करने पर \(a^2=5b^2\) बनता है और फिर (5) की विभाज्यता दोनों पर आती है। चरण 3: क्रम सही रखने से पूरा प्रमाण साफ बनता है।
D. (p) सम है इसलिए (q) अवश्य विषम है/Since (p) is even, (q) must be odd
Step 1
Concept
From \(p^2=2q^2\), it is correct that (p) is even.
Step 2
Why this answer is correct
After putting (p=2k), (q) also becomes even, not odd.
Step 3
Exam Tip
In error-identification questions, match every step with the equation. चरण 1: \(p^2=2q^2\) से (p) सम होना सही है। चरण 2: (p=2k) रखने पर (q) भी सम निकलता है, विषम नहीं। चरण 3: गलत विकल्प पहचानने वाले प्रश्नों में हर कदम को समीकरण से मिलाएँ।
A. यह सरलतम रूप नहीं हो सकता, क्योंकि इसे (5) से घटाया जा सकता है/It cannot be in lowest form because it can be reduced by (5)
Step 1
Concept
If (p=5m) and (q=5n), both numerator and denominator have common factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
So \(\frac{p}{q}=\frac{5m}{5n}=\frac{m}{n}\), meaning the fraction can be reduced.
Step 3
Exam Tip
This contradicts the lowest-form assumption, so \(\sqrt{5}\) is proved irrational. चरण 1: (p=5m) और (q=5n) होने पर अंश और हर दोनों में (5) साझा गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए \(\frac{p}{q}=\frac{5m}{5n}=\frac{m}{n}\) लिखा जा सकता है, यानी भिन्न घट सकती है। चरण 3: यह सरलतम रूप की मान्यता के विरुद्ध है, इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय सिद्ध होती है।
A. वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए, पर दाईं ओर एक अतिरिक्त (3) आता है/In a square, the exponent of (3) should be even, but the right side adds one extra (3)
Step 1
Concept
In a perfect square, the exponent of every prime factor is even.
Step 2
Why this answer is correct
In \(p^2=3q^2\), the right side adds one extra factor (3) to \(q^2\), disturbing the exponent balance.
Step 3
Exam Tip
This idea explains why (3) finally appears in both numerator and denominator. चरण 1: किसी पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य गुणनखंड की घात सम होती है। चरण 2: \(p^2=3q^2\) में दाईं ओर \(q^2\) के साथ एक अतिरिक्त (3) जुड़ता है, जिससे (3) की घात का संतुलन टूटता है। चरण 3: इसी सोच से (3) अंश और हर दोनों में आने का विरोधाभास समझ में आता है।
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हैं/Both (p) and (q) are divisible by (5)
Step 1
Concept
First (p) is proved divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
After substitution, (q) is also proved divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
After this, contradiction is written using common factor (5). चरण 1: प्रमाण में पहले (p) (5) से विभाज्य सिद्ध होता है। चरण 2: प्रतिस्थापन के बाद (q) भी (5) से विभाज्य सिद्ध होता है। चरण 3: इसके बाद दोनों में साझा गुणनखंड (5) से विरोधाभास लिखा जाता है।
A. वर्ग समीकरण से गलत मूल समीकरण निकालना/Incorrectly deriving a root-level equation from a squared equation
Step 1
Concept
(a=2b) does not directly follow from \(a^2=2b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct conclusion is that \(a^2\) is even and (a) is even.
Step 3
Exam Tip
Do not hastily make a root-level equation from a squared equation. चरण 1: \(a^2=2b^2\) से सीधे (a=2b) नहीं मिलता। चरण 2: सही निष्कर्ष है कि \(a^2\) सम है और (a) सम है। चरण 3: वर्ग समीकरण से जल्दबाजी में मूल समीकरण न बनाएं।
From \(p^2=3q^2\), (p) is proved divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
But to complete the proof, (q) must also be shown divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
Only then does contradiction arise with the coprime condition. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से (p) (3) से विभाज्य सिद्ध होता है। चरण 2: पर प्रमाण पूरा करने के लिए (q) भी (3) से विभाज्य दिखाना होगा। चरण 3: तभी सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास बनेगा।
This goes against the lowest-form condition. चरण 1: (a=2m) और (b=2n) से दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए (\gcd(a,b)) (1) नहीं हो सकता। चरण 3: यह सरलतम रूप की शर्त के विरुद्ध है।
A. \(p^2=5q^2\), (p=5k), \(25k^2=5q^2\), \(q^2=5k^2\)
Step 1
Concept
From \(p^2=5q^2\), (p=5k) is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
Substitution gives \(25k^2=5q^2\), then \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
Then (q) is proved divisible by (5). चरण 1: \(p^2=5q^2\) से (p=5k) मिलता है। चरण 2: रखने पर \(25k^2=5q^2\) और फिर \(q^2=5k^2\) मिलता है। चरण 3: तब (q) (5) से विभाज्य सिद्ध होता है।
A. (q) को भी (3) से विभाज्य दिखाना/To show (q) is also divisible by (3)
Step 1
Concept
First (p) is proved divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
Substituting (p=3k) in the equation gives \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
This proves (q) is also divisible by (3). चरण 1: पहले (p) (3) से विभाज्य सिद्ध होता है। चरण 2: (p=3k) को समीकरण में रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है। चरण 3: इससे (q) भी (3) से विभाज्य सिद्ध होता है।
B. (p) (5) से विभाज्य है क्योंकि \(\sqrt{5}\) धनात्मक है/(p) is divisible by (5) because \(\sqrt{5}\) is positive
Step 1
Concept
(p) being divisible by (5) can be a true conclusion.
Step 2
Why this answer is correct
But its reason is not the positivity of \(\sqrt{5}\).
Step 3
Exam Tip
The correct reason is \(p^2=5q^2\) and (5) being prime. चरण 1: (p) का (5) से विभाज्य होना सही निष्कर्ष हो सकता है। चरण 2: पर इसका कारण \(\sqrt{5}\) का धनात्मक होना नहीं है। चरण 3: सही कारण \(p^2=5q^2\) और (5) का अभाज्य होना है।
An even integer is written as (2k), where (k) is an integer.
Step 3
Exam Tip
Clearly mentioning the type of the new variable strengthens the proof. चरण 1: (a) पूर्णांक है और सम सिद्ध हुआ है। चरण 2: सम पूर्णांक को (2k) के रूप में लिखा जाता है, जहां (k) पूर्णांक होता है। चरण 3: नए अक्षर का प्रकार स्पष्ट लिखना प्रमाण को मजबूत बनाता है।
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, जो सहअभाज्य होने से विरोधाभास है/Both (p) and (q) are divisible by (3), which contradicts being coprime
Step 1
Concept
The proof shows both (p) and (q) are divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
But at the start, they were assumed coprime.
Step 3
Exam Tip
This contradiction completes the proof. चरण 1: प्रमाण से (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। चरण 2: पर शुरुआत में वे सहअभाज्य माने गए थे। चरण 3: यही विरोधाभास सिद्धि को पूरा करता है।
A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं थी/\(\frac{p}{q}\) was not in lowest form
Step 1
Concept
If both are divisible by (5), the fraction has common factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
Such a fraction can be reduced.
Step 3
Exam Tip
Therefore it cannot be in lowest form, which is the contradiction. चरण 1: दोनों (5) से विभाज्य होने पर भिन्न में (5) साझा गुणनखंड है। चरण 2: ऐसी भिन्न को घटाया जा सकता है। चरण 3: इसलिए यह सरलतम रूप में नहीं हो सकती, जो विरोधाभास है।
A. पहले (a) सम सिद्ध कर (a=2k) रखना जरूरी है/First (a) must be proved even and (a=2k) must be substituted
Step 1
Concept
From \(a^2=2b^2\), first \(a^2\), then (a), is proved even.
Step 2
Why this answer is correct
To prove (b) even, (a=2k) must be substituted.
Step 3
Exam Tip
Jumping directly to (b) is an order error. चरण 1: \(a^2=2b^2\) से तुरंत \(a^2\) और फिर (a) सम मिलता है। चरण 2: (b) को सम सिद्ध करने के लिए (a=2k) रखना पड़ता है। चरण 3: सीधे (b) पर जाना प्रमाण की क्रम-गलती है।
A. क्योंकि यदि (a) विषम होता तो \(a^2\) भी विषम होता/Because if (a) were odd, then \(a^2\) would also be odd
Step 1
Concept
The square of an odd number is odd.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(a^2\) is even, so (a) cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
Hence (a) must be even. चरण 1: विषम संख्या का वर्ग विषम होता है। चरण 2: यहां \(a^2\) सम मिला है, इसलिए (a) विषम नहीं हो सकता। चरण 3: अतः (a) सम होना निश्चित है।
A. यह सरलतम रूप में नहीं रह सकती/It cannot remain in lowest form
Step 1
Concept
If both are divisible by (3), the fraction has common factor (3).
Step 2
Why this answer is correct
Such a fraction can be reduced by (3).
Step 3
Exam Tip
Therefore the lowest-form assumption breaks. चरण 1: दोनों (3) से विभाज्य होने पर भिन्न में (3) साझा गुणनखंड है। चरण 2: ऐसी भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है। चरण 3: इसलिए सरलतम रूप की मान्यता टूटती है।
C. (p=3k) से \(p^2=3k^2\)/From (p=3k), \(p^2=3k^2\)
Step 1
Concept
Squaring (p=3k) gives ((3k)2).
Step 2
Why this answer is correct
The correct value is \(9k^2\), not \(3k^2\).
Step 3
Exam Tip
Square the whole expression. चरण 1: (p=3k) को वर्ग करने पर ((3k)2) मिलेगा। चरण 2: सही मान \(9k^2\) है, \(3k^2\) नहीं। चरण 3: वर्ग करते समय पूरी राशि का वर्ग करें।
A. \(\frac{a}{b}\) को \(\frac{m}{n}\) तक घटाया जा सकता है/\(\frac{a}{b}\) can be reduced to \(\frac{m}{n}\)
Step 1
Concept
(a=2m) and (b=2n) show common factor (2) in numerator and denominator.
Step 2
Why this answer is correct
So \(\frac{2m}{2n}=\frac{m}{n}\).
Step 3
Exam Tip
This contradicts lowest form. चरण 1: (a=2m) और (b=2n) से अंश और हर दोनों में (2) साझा है। चरण 2: इसलिए \(\frac{2m}{2n}=\frac{m}{n}\) लिखा जा सकता है। चरण 3: यह सरलतम रूप के विरुद्ध है।
A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं/(p) and (q) are coprime
Step 1
Concept
(p=5k) and (q=5r) show factor (5) in both (p) and (q).
Step 2
Why this answer is correct
So they cannot be coprime.
Step 3
Exam Tip
This breaks the initial lowest-form condition. चरण 1: (p=5k) और (q=5r) से (p) और (q) दोनों में (5) गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए वे सहअभाज्य नहीं हो सकते। चरण 3: यह आरंभिक सरलतम रूप की शर्त को तोड़ता है।
B. \(p^2=3q^2\) से सीधे (q) (3) से विभाज्य लिखना/Directly writing (q) is divisible by (3) from \(p^2=3q^2\)
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), first (p) is concluded divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
After substituting (p=3k), \(q^2=3k^2\) is obtained.
Step 3
Exam Tip
Therefore jumping directly to (q) is an order mistake. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से पहले (p) के (3) से विभाज्य होने का निष्कर्ष आता है। चरण 2: (p=3k) रखने के बाद \(q^2=3k^2\) मिलता है। चरण 3: इसलिए सीधे (q) पर जाना क्रम की गलती है।
But to complete the proof, (b) must also be proved even.
Step 3
Exam Tip
Only when both are even does contradiction arise with the coprime condition. चरण 1: \(a^2=2b^2\) से (a) सम सिद्ध होता है। चरण 2: पर प्रमाण पूरा करने के लिए (b) भी सम सिद्ध करना होगा। चरण 3: दोनों सम मिलने पर ही सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास बनेगा।
A. (\gcd(a,b)) कम से कम (2) है/(\gcd(a,b)) is at least (2)
Step 1
Concept
(a=2k) and (b=2r) show both are divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
So their greatest common divisor cannot remain (1).
Step 3
Exam Tip
This breaks the initial coprime condition. चरण 1: (a=2k) और (b=2r) से दोनों (2) से विभाज्य हैं। चरण 2: इसलिए उनका महत्तम समापवर्तक (1) नहीं रह सकता। चरण 3: यह सहअभाज्य होने की आरंभिक शर्त को तोड़ता है।
Therefore (p=5k) is valid. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य होने के कारण (p) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: इसलिए (p=5k) लिखना वैध है।
A. (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों सम निकले/(a) and (b) were assumed coprime, but both turned out even
Step 1
Concept
In lowest form, (a) and (b) were assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both are even, so both have common factor (2).
Step 3
Exam Tip
This is the correct final contradiction. चरण 1: सरलतम रूप में (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे। चरण 2: प्रमाण में दोनों सम मिलते हैं, यानी दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: यही सही अंतिम विरोधाभास है।
If (p=5k) and (q=5r), both numerator and denominator share (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{5k}{5r}\) can be reduced to \(\frac{k}{r}\).
Step 3
Exam Tip
This shows the fraction was not in lowest form. चरण 1: (p=5k) और (q=5r) होने पर अंश और हर दोनों में (5) साझा है। चरण 2: \(\frac{5k}{5r}\) को घटाकर \(\frac{k}{r}\) लिखा जा सकता है। चरण 3: इससे साफ होता है कि भिन्न सरलतम रूप में नहीं थी।
A. \(q^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है/\(q^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
Step 1
Concept
From \(q^2=3k^2\), \(q^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
Since (3) is prime, (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
Therefore (q=3r) is written. चरण 1: \(q^2=3k^2\) से \(q^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य होगा। चरण 3: इसीलिए (q=3r) लिखा जाता है।
From \(p^2=5q^2\), first \(p^2\), then (p), is proved divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Only after putting (p=5k) do we get \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
So divisibility of (q) is not immediate. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से पहले \(p^2\) और फिर (p) (5) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। चरण 2: (p=5k) रखने के बाद ही \(q^2=5k^2\) मिलेगा। चरण 3: इसलिए (q) की विभाज्यता तुरंत नहीं आती।
A. (\gcd(p,q)) कम से कम (3) है/(\gcd(p,q)) is at least (3)
Step 1
Concept
(p=3r) and (q=3s) show factor (3) in both.
Step 2
Why this answer is correct
So their greatest common divisor cannot remain (1) and is at least (3).
Step 3
Exam Tip
This contradicts lowest form. चरण 1: (p=3r) और (q=3s) से दोनों में (3) गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए उनका महत्तम समापवर्तक (1) नहीं रह सकता और कम से कम (3) होगा। चरण 3: यही सरलतम रूप से विरोधाभास है।
A. क्योंकि (b) सम सिद्ध करने के लिए (a=2k) को समीकरण में रखना होगा/Because to prove (b) even, (a=2k) must be substituted in the equation
Step 1
Concept
(a) being even does not automatically make (b) even.
Step 2
Why this answer is correct
After substituting (a=2k), we get \(b^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
Only then can (b) be proved even. चरण 1: (a) सम होने से (b) अपने आप सम नहीं होता। चरण 2: (a=2k) रखने पर \(b^2=2k^2\) मिलता है। चरण 3: तभी (b) सम सिद्ध किया जा सकता है।
C. (p=5k) से \(p^2=5k^2\)/From (p=5k), \(p^2=5k^2\)
Step 1
Concept
The square of (p=5k) is ((5k)2).
Step 2
Why this answer is correct
((5k)2=25k-2), so writing \(5k^2\) is wrong.
Step 3
Exam Tip
Never forget to square the coefficient. चरण 1: (p=5k) का वर्ग ((5k)2) होगा। चरण 2: ((5k)2=25k-2), इसलिए \(5k^2\) लिखना गलत है। चरण 3: गुणांक का वर्ग करना कभी न भूलें।
Do not write ((3k)2) as \(3k^2\). चरण 1: (p=3k) का वर्ग करने पर \(p^2=9k^2\) मिलता है। चरण 2: इसे \(p^2=3q^2\) में रखने पर \(9k^2=3q^2\) होगा। चरण 3: ((3k)2) को \(3k^2\) न लिखें।
From \(4r^2=2b^2\), dividing by (2) gives \(b^2=2r^2\).
Step 3
Exam Tip
This becomes the basis for proving (b) even. चरण 1: (a=2r) रखने पर \(a^2=4r^2\) होगा। चरण 2: \(4r^2=2b^2\) से (2) से भाग करने पर \(b^2=2r^2\) मिलता है। चरण 3: इसी से (b) के सम होने का आधार मिलता है।
A. \(9k^2=3q^2\), इसलिए \(q^2=3k^2\), अतः (q) (3) से विभाज्य है/\(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\), hence (q) is divisible by (3)
Step 1
Concept
If (p=3k), then \(p^2=9k^2\).
Step 2
Why this answer is correct
From \(9k^2=3q^2\), we get \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
By the prime rule, (q) is divisible by (3). चरण 1: (p=3k) रखने पर \(p^2=9k^2\) होगा। चरण 2: \(9k^2=3q^2\) से \(q^2=3k^2\) मिलता है। चरण 3: अभाज्य नियम से (q) (3) से विभाज्य होता है।
If both are even, both (p) and (q) are divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
Then their greatest common divisor cannot remain (1).
Step 3
Exam Tip
Therefore the condition (\gcd(p,q)=1) is refuted. चरण 1: दोनों सम होने पर (p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य हैं। चरण 2: तब उनका महत्तम समापवर्तक (1) नहीं रह सकता। चरण 3: इसलिए (\gcd(p,q)=1) की शर्त खंडित होती है।
A. यह परिणाम असंभव है क्योंकि भिन्न घट सकती है/This result is impossible because the fraction can be reduced
Step 1
Concept
(p=5k) and (q=5r) mean both have common factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
Such a fraction can be reduced by (5).
Step 3
Exam Tip
Hence this is an impossible result for the lowest-form assumption. चरण 1: (p=5k) और (q=5r) का अर्थ है कि दोनों में (5) साझा है। चरण 2: ऐसी भिन्न को (5) से घटाया जा सकता है। चरण 3: इसलिए यह सरलतम रूप की मान्यता के लिए असंभव परिणाम है।
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, जो सहअभाज्य होने के विरुद्ध है/Both (p) and (q) are divisible by (3), which contradicts being coprime
Step 1
Concept
The proof shows both (p) and (q) are divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
This contradicts their coprime condition.
Step 3
Exam Tip
After this, the final conclusion is written that \(\sqrt{3}\) is irrational. चरण 1: प्रमाण में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। चरण 2: यह उनके सहअभाज्य होने की शर्त से टकराता है। चरण 3: इसके बाद अंतिम निष्कर्ष लिखा जाता है कि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
A. वर्ग समीकरण से मूल समीकरण गलत तरीके से निकालना/Incorrectly taking a root-level equation from a squared equation
Step 1
Concept
(p=5q) does not directly follow from \(p^2=5q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct conclusion is that \(p^2\) is divisible by (5), then (p) is divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Do not hastily derive a root-level equation from a squared equation. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से सीधे (p=5q) नहीं मिलता। चरण 2: सही निष्कर्ष है कि \(p^2\) (5) से विभाज्य है और फिर (p) (5) से विभाज्य है। चरण 3: वर्ग समीकरण से जल्दबाजी में मूल समीकरण न निकालें।
A. बाद में (p) और (q) दोनों सम मिलने पर विरोधाभास दिखाना/To show contradiction when both (p) and (q) are later found even
Step 1
Concept
In lowest form, (p) and (q) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both (p) and (q) are even.
Step 3
Exam Tip
Both being even breaks the lowest-form condition. चरण 1: सरलतम रूप में (p) और (q) सहअभाज्य होते हैं। चरण 2: प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं। चरण 3: दोनों सम होना सरलतम रूप की शर्त को तोड़ता है।
