100 results found for "midpoint numberline rational" in Class 10.
If (A=-4.125) and (B=1.875), what is the midpoint of (AB)?
A. ( -1.125 )
मध्य बिंदु \( \frac{-4.125+1.875}{2}=-1.125 \) है। मध्य बिंदु निकालने के लिए औसत लें। / The midpoint is \( \frac{-4.125+1.875}{2}=-1.125 \). Take the average to find the midpoint.
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If (A=-3.25) and (B=2.75), what is the midpoint of (AB)?
B. ( -0.25 )
मध्य बिंदु \( \frac{-3.25+2.75}{2}=-0.25 \) है। मध्य बिंदु निकालने के लिए औसत लें। / The midpoint is \( \frac{-3.25+2.75}{2}=-0.25 \). Take the average to find the midpoint.
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If \(A=-\frac{13}{2}\) and \(B=-\frac{3}{2}\), what is the midpoint on the number line?
B. ( -4 )
मध्य बिंदु \( \frac{-\frac{13}{2}-\frac{3}{2}}{2}=-4 \) है। पहले योग करें फिर (2) से भाग दें। / The midpoint is \( \frac{-\frac{13}{2}-\frac{3}{2}}{2}=-4 \). Add first and then divide by (2).
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If (M) is the midpoint of \(-\frac{5}{3}\) and \( \frac{7}{3} \) on the number line, what is (M)?
A. \( \frac{1}{3} \)
मध्य बिंदु \( \frac{-\frac{5}{3}+\frac{7}{3}}{2}=\frac{1}{3} \) है। मध्य बिंदु के लिए औसत लें। / The midpoint is \( \frac{-\frac{5}{3}+\frac{7}{3}}{2}=\frac{1}{3} \). Take the average to find the midpoint.
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If (A=-2.75) and (B=1.25) on the number line, what is the midpoint of (AB)?
A. ( -0.75 )
मध्य बिंदु \( \frac{-2.75+1.25}{2}=-0.75 \) है। मध्य बिंदु निकालने में औसत लें। / The midpoint is \( \frac{-2.75+1.25}{2}=-0.75 \). Take the average to find a midpoint.
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If \(A=-\frac{9}{2}\) and \(B=-\frac{1}{2}\) on the number line, what is the midpoint of (AB)?
A. \( -\frac{5}{2}\)
मध्य बिंदु \( \frac{-\frac{9}{2}-\frac{1}{2}}{2}=-\frac{5}{2}\) है। भिन्नों में पहले योग करें, फिर (2) से भाग दें। / The midpoint is \( \frac{-\frac{9}{2}-\frac{1}{2}}{2}=-\frac{5}{2}\). Add the fractions first, then divide by (2).
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If (M) is the midpoint of (-1.5) and (4.5) on the number line, what is the value of (M)?
A. (1.5)
मध्य बिंदु \( \frac{-1.5+4.5}{2}=1.5\) है। मध्य बिंदु के लिए दोनों निर्देशांकों का औसत लें। / The midpoint is \( \frac{-1.5+4.5}{2}=1.5\). For a midpoint, take the average of the two coordinates.
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What is the midpoint of \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}\) on the number line?
A. \(\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए मध्य बिंदु \(\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\) है। सरलीकरण के बाद औसत लें। / \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so the midpoint is \(\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\). Simplify first, then average.
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If (M) is the midpoint of \(\frac{5}{6}\) and \(\frac{7}{6}\) on the number line, what is (M)?
A. (1)
मध्य बिंदु \(\frac{\frac{5}{6}+\frac{7}{6}}{2}=1\) है। भिन्नों के मध्य में औसत विधि सबसे सुरक्षित है। / The midpoint is \(\frac{\frac{5}{6}+\frac{7}{6}}{2}=1\). For fractions, the average method is safest.
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What is the midpoint of \(-\sqrt{4}\) and \(\sqrt{16}\) on the number line?
B. (1)
\(-\sqrt{4}=-2\) और \(\sqrt{16}=4\), इसलिए मध्य बिंदु \(\frac{-2+4}{2}=1\) है। पहले वर्गमूल सरल करें। / \(-\sqrt{4}=-2\) and \(\sqrt{16}=4\), so the midpoint is \(\frac{-2+4}{2}=1\). Simplify roots first.
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What is the midpoint of (0.6) and (1.4) on the number line?
B. (1)
मध्य बिंदु \(\frac{0.6+1.4}{2}=1\) है। मध्य बिंदु दोनों सिरों से बराबर दूरी पर होता है। / The midpoint is \(\frac{0.6+1.4}{2}=1\). The midpoint is equally distant from both ends.
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What is the midpoint of (-1.6) and (2.8) on the number line?
B. (0.6)
मध्य बिंदु \(\frac{-1.6+2.8}{2}=0.6\) है। मध्य बिंदु के लिए दोनों मानों का औसत लें। / The midpoint is \(\frac{-1.6+2.8}{2}=0.6\). Take the average of the two values for the midpoint.
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What is the midpoint of (2.4) and (5.6) on the number line?
B. (4)
मध्य बिंदु \(\frac{2.4+5.6}{2}=4\) है। परीक्षा में दशमलव जोड़कर औसत निकालें। / The midpoint is \(\frac{2.4+5.6}{2}=4\). In exams, add decimals and find the average.
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What is the midpoint of \(-\frac{7}{3}\) and \(\frac{2}{3}\) on the number line?
A. \(-\frac{5}{6}\)
मध्य बिंदु \(\frac{-\frac{7}{3}+\frac{2}{3}}{2}=-\frac{5}{6}\) है। परीक्षा में पहले योग फिर (2) से भाग करें। / The midpoint is \(\frac{-\frac{7}{3}+\frac{2}{3}}{2}=-\frac{5}{6}\). In exams, first add and then divide by (2).
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If (M) is the midpoint of (-2) and (4) on the number line, what is the value of (M)?
A. (1)
मध्य बिंदु \(=\frac{-2+4}{2}=1\) है। विपरीत चिह्न वाले बिंदुओं में भी औसत विधि काम करती है। / The midpoint is \(\frac{-2+4}{2}=1\). The average method also works for points with opposite signs.
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What is the value of the midpoint between (1.2) and (1.3) on the number line?
B. (1.25)
मध्य बिंदु \(=\frac{1.2+1.3}{2}=1.25\) है। दो बिंदुओं का औसत मध्य बिंदु देता है। / The midpoint is \(\frac{1.2+1.3}{2}=1.25\). The average of two points gives the midpoint.
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What is the midpoint of (2) and (6) on the number line?
B. (4)
मध्य बिंदु \(\frac{2+6}{2}=4\) है। परीक्षा में दो संख्याओं का औसत मध्य बिंदु देता है। / The midpoint is \(\frac{2+6}{2}=4\). In exams, the average of two numbers gives the midpoint.
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What is the midpoint between (x=2) and (x=-2) on the number line?
A. (0)
मध्य बिंदु (\frac{2+(-2)}{2}=0) है। विपरीत संख्याओं का मध्य हमेशा (0) होता है। / The midpoint is (\frac{2+(-2)}{2}=0). The midpoint of opposite numbers is always (0).
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What is the midpoint of (-4) and (2) on the number line?
A. -(1)
मध्य बिंदु \(\frac{-4+2}{2}=-1\) है। ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ते समय चिह्न का ध्यान रखें। / The midpoint is \(\frac{-4+2}{2}=-1\). Pay attention to signs when adding negative numbers.
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What is the midpoint of (1) and (5) on the number line?
A. (3)
मध्य बिंदु \(\frac{1+5}{2}=3\) है। दो बिंदुओं के बीच औसत उनका मध्य बिंदु देता है। / The midpoint is \(\frac{1+5}{2}=3\). The average of two points gives their midpoint.
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A. ((4,0))
मध्यबिंदु का (x)-मान \(\frac{-2+10}{2}=4\) है। टिप: (x)-अक्ष पर दोनों बिंदुओं का (y)-मान (0) रहता है। / The (x)-value of the midpoint is \(\frac{-2+10}{2}=4\). Tip: on the (x)-axis both points keep (y=0).
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If the zeroes are (-2) and (6), what is the midpoint of the (x)-axis intersection points?
A. ((2,0))
बिंदु ((-2,0)) और ((6,0)) का मध्यबिंदु ((2,0)) है। टिप: समान (y)-मान हो तो केवल (x)-मानों का औसत लें। / The midpoint of ((-2,0)) and ((6,0)) is ((2,0)). Tip: when (y)-values are equal, average the (x)-values.
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If (p) and (q) are rational numbers and \(p+q\sqrt{5}\) is rational, what is true about (q)?
A. (q=0)
यदि \(q\ne0\), तो \(q\sqrt{5}\) अपरिमेय होगा और योग परिमेय नहीं हो सकता। परीक्षा में शून्य गुणांक की संभावना देखें। / If \(q\ne0\), then \(q\sqrt{5}\) is irrational and the sum cannot be rational. In exams check the possibility of a zero coefficient.
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Which decimal is rational but not equal to a terminating decimal?
B. \(0.04\overline{6}\)
\(0.04\overline{6}\) में स्थिर आवर्ती अंक है इसलिए यह परिमेय है पर सांत नहीं है। अंत में केवल शून्य आने पर ही सांत दशमलव माना जाता है। / \(0.04\overline{6}\) has a fixed repeating digit, so it is rational but not terminating. A decimal is terminating only when zeros continue after some point.
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Which decimal can definitely be called a rational number?
C. \(0.58\overline{23}\)
\(0.58\overline{23}\) में (23) स्थिर रूप से दोहरता है, इसलिए यह परिमेय है। स्थिर आवर्ती खंड परिमेयता का मजबूत संकेत है। / In \(0.58\overline{23}\), the block (23) repeats regularly, so it is rational. A fixed repeating block is a strong sign of rationality.
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Which decimal is rational but not equal to any terminating decimal?
C. \(0.\overline{625}\)
\(0.\overline{625}\) स्थिर आवर्ती दशमलव है, इसलिए परिमेय है पर सांत नहीं है। अंत में केवल शून्य होने पर ही दशमलव सांत माना जाता है। / \(0.\overline{625}\) is a fixed recurring decimal, so it is rational but not terminating. A decimal is terminating only when zeros continue after some point.
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A rational number has decimal expansion \(5.27000\ldots\). Which statement is correct?
B. यह सांत दशमलव के बराबर हैIt is equal to a terminating decimal
\(5.27000\ldots\) में कुछ स्थानों के बाद केवल शून्य आते हैं। / In \(5.27000\ldots\), only zeros occur after a point.
इसलिए यह (5.27) के बराबर है और सांत दशमलव है। / So it equals (5.27) and is a terminating decimal.
अंत में शून्य चलते रहें तो भी मान सांत ही माना जाता है। / Continuing zeros at the end still represent a terminating value.
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Which option gives a number that is rational but not a terminating decimal?
B. \(0.\overline{018}\)
\(0.\overline{018}\) में अंकों की पुनरावृत्ति है, इसलिए यह परिमेय है। / \(0.\overline{018}\) has a repeating block, so it is rational.
यह समाप्त नहीं होता, इसलिए सांत दशमलव नहीं है। बाकी सांत हैं या अपरिमेय हैं। / It does not end, so it is not a terminating decimal. The other options are either terminating or irrational.
आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। / Recurring decimals are rational.
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Which decimal cannot be rational?
A. \(2.01001000100001\ldots\)
परिमेय संख्या का दशमलव या तो सांत होता है या असांत आवर्ती। / A rational number has either a terminating decimal or a non-terminating recurring decimal.
\(2.01001000100001\ldots\) में कोई स्थिर आवर्ती खंड नहीं है। इसलिए यह परिमेय नहीं हो सकता। / \(2.01001000100001\ldots\) has no fixed repeating block. So it cannot be rational.
लंबा दशमलव देखकर नहीं, पुनरावृत्ति देखकर निर्णय लें। / Decide by checking repetition, not merely by seeing a long decimal.
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Which number is rational but does not have a terminating decimal expansion?
B. \(0.\overline{25}\)
\(0.\overline{25}\) में अंकों की पुनरावृत्ति है, इसलिए यह परिमेय है। / \(0.\overline{25}\) has a repeating block, so it is rational.
यह सांत नहीं है क्योंकि दशमलव कभी समाप्त नहीं होता। \(\sqrt{2}\) और \(\pi\) अपरिमेय हैं। / It is not terminating because the decimal does not end. \(\sqrt{2}\) and \(\pi\) are irrational.
परिमेय संख्या सांत या असांत आवर्ती दोनों हो सकती है। / Rational numbers can be terminating or non-terminating recurring.
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When \(0.\overline{27}\) is written as a rational number, what will be the reduced denominator?
A. (11)
\(0.\overline{27}=\frac{27}{99}\) है। / \(0.\overline{27}=\frac{27}{99}\).
\(\frac{27}{99}=\frac{3}{11}\), इसलिए सरलतम हर (11) है। / \(\frac{27}{99}=\frac{3}{11}\), so the reduced denominator is (11).
आवर्ती अंकों की संख्या के अनुसार पहले (9) वाला हर बनाइए, फिर सरल कीजिए। / First form a denominator with (9)'s according to the repeating block, then reduce.
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A. सांत होगा और अधिकतम (3) दशमलव स्थान होंगेIt will terminate and have at most (3) decimal places
सरलतम रूप में हर केवल (2) और (5) के घातों से बना है। / In lowest form, the denominator contains only powers of (2) and (5).
इसलिए दशमलव प्रसार सांत होगा। दशमलव स्थानों की संख्या (2) और (5) की घातों में बड़ी घात, यानी (3), तक हो सकती है। / So the decimal expansion is terminating. The number of decimal places can be up to the larger exponent, (3).
परीक्षा में पहले भिन्न को सरलतम रूप में लिखना न भूलें। / In exams, always reduce the fraction first.
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A. असांत आवर्तीNon-terminating repeating
परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार तभी सांत होता है जब सरलतम रूप में हर के अभाज्य गुणनखंड केवल (2) और (5) हों। / A rational number has a terminating decimal only when the denominator in lowest form has prime factors only (2) and (5).
यहां हर में (7) भी है, इसलिए दशमलव प्रसार सांत नहीं होगा, पर परिमेय संख्या होने के कारण वह आवर्ती होगा। / Here the denominator also contains (7), so the decimal will not terminate, but since the number is rational, it will repeat.
परीक्षा में पहले भिन्न को सरलतम रूप में जांचें, फिर हर के अभाज्य गुणनखंड देखें। / In exams, always reduce the fraction first and then check the prime factors of the denominator.
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Which of the following numbers is rational but has a non-terminating recurring decimal?
B. \(\frac{5}{22}\)
\(22=2\times11\) है। / \(22=2\times11\).
सरलतम हर में (11) बचता है, इसलिए दशमलव समाप्त नहीं होगा। / The reduced denominator contains (11), so the decimal will not terminate.
परिमेय भिन्न होने के कारण यह असमाप्त आवर्ती दशमलव देगी। / Since it is a rational fraction, it gives a non-terminating recurring decimal.
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A. कथन सत्य हैThe statement is true
परिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जा सकता है। / A rational number can be written as \(\frac{p}{q}\).
इसका दशमलव या तो समाप्त होता है या निश्चित दोहराव देता है। / Its decimal expansion either terminates or has a fixed repetition.
असमाप्त अनावर्ती दशमलव परिमेय संख्या का नहीं होता। / A non-terminating non-recurring decimal is not rational.
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A. समाप्तTerminating
सरलतम रूप में हर \(8=2^3\) है। / In lowest form, the denominator is \(8=2^3\).
हर में केवल (2) का गुणनखंड है, इसलिए दशमलव प्रसार समाप्त होगा। / It contains only the prime factor (2), so the decimal expansion terminates.
परीक्षा में पहले हर का अभाज्य गुणनखंडन अवश्य देखिए। / In exams, always factorise the denominator first.
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Which option shows a rational but non-terminating recurring decimal?
B. \(0.135135135\ldots\)
\(0.135135135\ldots\) में (135) का समूह बार-बार आ रहा है। / In \(0.135135135\ldots\), the block (135) repeats.
आवर्ती दशमलव परिमेय होता है, लेकिन यह समाप्त नहीं होता। / A recurring decimal is rational, but it does not terminate.
परीक्षा सुझाव: असमाप्त दशमलव में नियमित दोहराव हो तो उसे परिमेय मानें। / Exam tip: If a non-terminating decimal has a regular repeated block, treat it as rational.
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Which case cannot occur in the decimal expansion of a rational number?
C. असमाप्त अनावर्तीNon-terminating non-recurring
परिमेय संख्या का दशमलव समाप्त या आवर्ती होता है। / A rational number has a decimal that either terminates or recurs.
असमाप्त अनावर्ती दशमलव परिमेय संख्या के लिए संभव नहीं है। / Non-terminating non-recurring decimal expansion is not possible for a rational number.
परीक्षा सुझाव: यह अंतर परिमेय और अपरिमेय संख्या को पहचानने में मदद करता है। / Exam tip: This difference helps identify rational and irrational numbers.
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Which decimal is an example of a non-terminating recurring rational number?
B. \(0.727272\ldots\)
\(0.727272\ldots\) में (72) का समूह बार-बार आ रहा है। / In \(0.727272\ldots\), the block (72) repeats.
बार-बार आने वाला दशमलव परिमेय होता है। / A repeating decimal is rational.
परीक्षा सुझाव: केवल लंबा दशमलव नहीं, दोहराव का नियम पहचानें। / Exam tip: Do not only see that a decimal is long; check whether a fixed pattern repeats.
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The decimal expansion of a rational number is always of which type?
A. या तो समाप्त या असमाप्त आवर्तीEither terminating or non-terminating recurring
परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखी जा सकती है। / A rational number can be written as \(\frac{p}{q}\).
इसका दशमलव या तो समाप्त होता है या कोई अंक समूह बार-बार आता है। / Its decimal either terminates or repeats a block of digits.
परीक्षा सुझाव: असमाप्त अनावर्ती दशमलव अपरिमेय संख्या से जुड़ा होता है। / Exam tip: Non-terminating non-recurring decimals are linked with irrational numbers.
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Which number is rational because its decimal expansion terminates?
A. (4.125)
(4.125) में दशमलव के बाद सीमित अंक हैं। / (4.125) has a finite number of digits after the decimal point.
हर समाप्त दशमलव को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए यह परिमेय है। / Every terminating decimal can be written as a fraction, so it is rational.
समाप्त दशमलव पहचानना परिमेयता की आसान पहचान है। / Identifying a terminating decimal is an easy way to identify rationality.
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If the decimal expansion of a rational number is non-terminating, what will it be?
A. हमेशा आवर्तीAlways recurring
परिमेय संख्या का दशमलव या तो समाप्त होता है या असमाप्त आवर्ती होता है। / A rational number has either a terminating decimal or a non-terminating recurring decimal.
इसलिए यदि वह समाप्त नहीं है, तो उसमें कोई अंक या समूह दोहराएगा। / So if it does not terminate, some digit or block will repeat.
परिमेय संख्या को असमाप्त अनावर्ती नहीं मानना चाहिए। / Do not call a rational number non-terminating non-recurring.
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What type of decimal expansion will the rational number \(-\frac{9}{28}\) have?
B. असमाप्त आवर्तीNon-terminating recurring
ऋण चिह्न दशमलव के प्रकार को नहीं बदलता। / The negative sign does not change the type of decimal expansion.
\(28=2^2\times7\), इसलिए भाजक में (7) होने से दशमलव असमाप्त आवर्ती होगा। / \(28=2^2\times7\), so the factor (7) makes the decimal non-terminating recurring.
चिन्ह नहीं, सरल रूप का भाजक देखें। / Check the denominator in lowest form, not the sign.
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Which option gives a decimal that is rational but not terminating?
B. \(0.\overline{12}\)
\(0.\overline{12}\) में (12) बार-बार दोहरता है। / In \(0.\overline{12}\), the block (12) repeats.
आवर्ती दशमलव परिमेय होता है, लेकिन यह समाप्त नहीं है। / A recurring decimal is rational, but it is not terminating.
परिमेय असमाप्त दशमलव में निश्चित आवृत्ति जरूर होती है। / A non-terminating rational decimal always has a fixed repeat.
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What type of decimal expansion will the rational number \(-\frac{17}{200}\) have?
A. समाप्तTerminating
\(-\frac{17}{200}\) में ऋण चिह्न केवल मान को ऋणात्मक बनाता है। / The negative sign in \(-\frac{17}{200}\) only makes the value negative.
\(200=2^3\times5^2\) है, इसलिए भाजक में केवल (2) और (5) हैं और दशमलव समाप्त होगा। / Since \(200=2^3\times5^2\), the denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates.
प्रकार तय करते समय ऋण चिह्न को नहीं, सरल रूप के भाजक को देखें। / To decide the decimal type, check the denominator in lowest form, not the negative sign.
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What type of decimal expansion will the rational number \(\frac{3}{8}\) have?
A. समाप्तTerminating
\(8=2^3\) है। / \(8=2^3\).
भाजक में केवल (2) का गुणनखंड है, इसलिए दशमलव विस्तार समाप्त होगा। / The denominator has only the prime factor (2), so the decimal expansion terminates.
परीक्षा में पहले भिन्न को सरल रूप में देखकर भाजक के गुणनखंड जांचें। / In exams, first check the prime factors of the simplified denominator.
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Which statement proves that just because (5) is rational, \(\sqrt{5}\) does not become rational?
A. परिमेय संख्या का वर्गमूल तभी परिमेय होना जरूरी है जब वह उपयुक्त पूर्ण वर्ग रूप में होThe square root of a rational number is necessarily rational only when it is in a suitable perfect-square form
(5) परिमेय है, लेकिन पूर्ण वर्ग नहीं है। / (5) is rational, but it is not a perfect square.
पूर्ण वर्ग न होने से उसका वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं। / If it is not a perfect square, its square root need not be rational.
\(\sqrt{5}\) की सिद्धि बताती है कि वह वास्तव में अपरिमेय है। / The proof of \(\sqrt{5}\) shows it is actually irrational.
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A student says \(\sqrt{5}\) is rational because (5) is rational. What is the correct correction?
A. परिमेय संख्या का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होताThe square root of a rational number is not always rational
(5) परिमेय है लेकिन पूर्ण वर्ग नहीं है। / (5) is rational but not a perfect square.
अपूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। / The square root of a non-perfect square need not be rational, and \(\sqrt{5}\) is irrational.
संख्या और उसके वर्गमूल का प्रकार अलग-अलग जांचें। / Check a number and its square root separately.
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A. किसी परिमेय संख्या का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होताThe square root of a rational number is not always rational
(5) परिमेय है, लेकिन वह पूर्ण वर्ग नहीं है। / (5) is rational, but it is not a perfect square.
पूर्ण वर्ग न होने पर उसका वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। / The square root of a non-perfect square need not be rational, and \(\sqrt{5}\) is irrational.
संख्या और उसके वर्गमूल के प्रकार को अलग-अलग जांचें। / Check a number and its square root separately.
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If (0<a<1) and (a) is rational, when will \(\sqrt{a}\) definitely be rational?
A. जब (a) को दो पूर्ण वर्गों के अनुपात के रूप में लिखा जा सकेWhen (a) can be written as a ratio of two perfect squares
किसी परिमेय भिन्न का वर्गमूल परिमेय तब होता है जब अंश और हर दोनों पूर्ण वर्ग बन सकें। / The square root of a rational fraction is rational when both numerator and denominator can be perfect squares.
जैसे \(\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}\), इसलिए दो पूर्ण वर्गों का अनुपात सुरक्षित स्थिति है। / For example, \(\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}\), so a ratio of two perfect squares is a safe condition.
केवल धनात्मक या (1) से छोटा होना परिमेय वर्गमूल की गारंटी नहीं देता। / Being positive or less than (1) does not guarantee a rational square root.
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If (r) is rational and (s) is irrational, when can (r+s) be rational?
B. कभी नहींNever
परिमेय संख्या जोड़ने से अपरिमेय संख्या परिमेय नहीं बनती। / Adding a rational number cannot make an irrational number rational.
यदि (r+s) परिमेय मान लें, तो (s=(r+s)-r) परिमेय हो जाएगा, जो गलत है। / If (r+s) were rational, then (s=(r+s)-r) would be rational, which is a contradiction.
ऐसे नियमों को उलटा सोचकर भी जांच सकते हैं। / Such rules can also be checked by reverse reasoning.
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A. ((-4,0))
मध्यबिंदु (\left\(\frac{-17+9}{2},0\right\)=(-4,0)) है। टिप: (x)-अक्ष पर मध्यबिंदु का (y)-मान (0) रहता है। / The midpoint is (\left\(\frac{-17+9}{2},0\right\)=(-4,0)). Tip: on the (x)-axis the midpoint has (y=0).
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A. ((-3,0))
मध्यबिंदु (\left\(\frac{-13+7}{2},0\right\)=(-3,0)) है। टिप: (x)-अक्ष पर मध्यबिंदु का (y)-मान (0) रहता है। / The midpoint is (\left\(\frac{-13+7}{2},0\right\)=(-3,0)). Tip: on the (x)-axis the midpoint has (y=0).
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A. ((-3,0))
मध्यबिंदु (\left\(\frac{-11+5}{2},0\right\)=(-3,0)) है। टिप: (x)-अक्ष पर मध्यबिंदु का (y)-मान (0) रहता है। / The midpoint is (\left\(\frac{-11+5}{2},0\right\)=(-3,0)). Tip: on the (x)-axis the midpoint has (y=0).
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A. ((-3,0))
मध्यबिंदु (\left\(\frac{-9+3}{2},0\right\)=(-3,0)) है। टिप: (x)-अक्ष पर मध्यबिंदु का (y)-मान (0) रहता है। / The midpoint is (\left\(\frac{-9+3}{2},0\right\)=(-3,0)). Tip: on the (x)-axis the midpoint has (y=0).
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A. ((-3,0))
मध्यबिंदु (\left\(\frac{-7+1}{2},0\right\)=(-3,0)) है। टिप: (x)-अक्ष पर मध्यबिंदु का (y)-मान (0) रहता है। / The midpoint is (\left\(\frac{-7+1}{2},0\right\)=(-3,0)). Tip: on the (x)-axis the midpoint has (y=0).
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B. असांत आवर्तीNon-terminating recurring
\(9=3^2\), इसलिए सरलतम हर में (3) का गुणनखंड है। / \(9=3^2\), so the reduced denominator contains the prime factor (3).
हर में (2) और (5) के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड हो तो दशमलव असांत आवर्ती होता है। / If a reduced denominator has a prime other than (2) and (5), the decimal is non-terminating recurring.
संयुक्त संख्याओं को पहले अभाज्य रूप में तोड़ें। / Break composite factors into primes first.
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C. हर में (2) और (5) के अलावा कम से कम एक अभाज्य गुणनखंड होगाThe denominator has at least one prime factor other than (2) and (5)
परिमेय संख्या का असांत दशमलव आवर्ती होता है। / A non-terminating decimal of a rational number is recurring.
ऐसा तब होता है जब सरलतम हर में (2) और (5) के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड बचता है। इसलिए विकल्प (C) सही है। / This happens when the reduced denominator has at least one prime factor other than (2) and (5). So option (C) is correct.
(2) या (5) साथ में हो सकते हैं, पर कोई अन्य गुणनखंड भी होगा। / (2) or (5) may also be present, but some other prime must remain.
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A. छह (9) वाला हरA denominator with six (9)'s
आवर्ती भाग (142857) में (6) अंक हैं। / The repeating block (142857) has (6) digits.
पूर्ण आवर्ती दशमलव के लिए सरल करने से पहले हर में उतने ही (9) लिखे जाते हैं। इसलिए हर (999999) होगा। / For a purely recurring decimal, before reducing, the denominator has the same number of (9)'s. So it is (999999).
आवर्ती अंकों की संख्या सीधे (9) की संख्या बताती है। / The number of repeating digits tells the number of (9)'s.
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A. (r)
सरलतम हर केवल (2) और (5) की घातों से बना है। / The reduced denominator has only powers of (2) and (5).
दशमलव स्थानों की संख्या बड़ी घात के बराबर होती है। (r>s) होने पर बड़ी घात (r) है। / The number of decimal places equals the larger exponent. Since (r>s), the larger exponent is (r).
दशमलव स्थान के लिए हमेशा (\max(r,s)) याद रखें। / Remember (\max(r,s)) for decimal places.
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Which rational form is equal to \(0.12\overline{3}\)?
A. \(\frac{37}{300}\)
मान लें \(x=0.12333\ldots\)। / Let \(x=0.12333\ldots\).
\(100x=12.333\ldots\) और \(1000x=123.333\ldots\)। घटाने पर (900x=111), इसलिए \(x=\frac{111}{900}=\frac{37}{300}\)। / Then \(100x=12.333\ldots\) and \(1000x=123.333\ldots\). Subtracting gives (900x=111), so \(x=\frac{111}{900}=\frac{37}{300}\).
सांत और आवर्ती भाग अलग-अलग देखकर गुणा करें। / Separate the non-repeating and repeating parts before multiplying.
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A. ठीक (4) दशमलव स्थानों पर समाप्त होगाIt terminates exactly after (4) decimal places
\(2^4\cdot 5^4=10^4\) है। / \(2^4\cdot 5^4=10^4\).
सरलतम हर \(10^4\) होने से दशमलव (4) स्थानों पर समाप्त होगा। अंश (10) से विभाज्य नहीं होने की बात यह भरोसा देती है कि आगे और सरलता नहीं छिपी है। / A reduced denominator of \(10^4\) gives a decimal terminating after (4) places. The numerator condition assures no hidden further reduction.
सरलतम हर \(10^k\) हो तो (k) दशमलव स्थान सोचें। / If the reduced denominator is \(10^k\), think of (k) decimal places.
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C. सरलतम हर (625) हैThe reduced denominator is (625)
\(0.00048=\frac{48}{100000}\) है। / \(0.00048=\frac{48}{100000}\).
सरल करने पर \(\frac{48}{100000}=\frac{3}{625}\), और \(625=5^4\) है। / Reducing gives \(\frac{48}{100000}=\frac{3}{625}\), and \(625=5^4\).
दशमलव अंकों की संख्या सीधे अंतिम हर नहीं बताती; पहले भिन्न को सरल करें। / The number of decimal digits does not always give the final denominator; reduce first.
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Which of the following decimals does not represent a rational number?
C. \(2.10110111011110\ldots\)
(0.75) समाप्त दशमलव है और \(0.\overline{3}\), \(5.2\overline{4}\) आवर्ती हैं। / (0.75) is terminating, while \(0.\overline{3}\) and \(5.2\overline{4}\) are recurring.
\(2.10110111011110\ldots\) में निश्चित दोहराव नहीं दिखता। / \(2.10110111011110\ldots\) has no fixed repetition.
असमाप्त अनावर्ती दशमलव परिमेय संख्या नहीं दर्शाता। / A non-terminating non-recurring decimal does not represent a rational number.
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Choose the correct statement about the decimal expansion of the rational number \(\frac{7}{45}\).
B. असमाप्त आवर्ती होगाIt will be non-terminating recurring
\(45=3^2\times5\) है। / \(45=3^2\times5\).
हर में (3) भी है, इसलिए यह (2) और (5) तक सीमित नहीं है। / The denominator also has (3), so it is not made only of (2) and (5).
सहअभाज्य रूप में हर में अन्य अभाज्य आने पर दशमलव असमाप्त आवर्ती होता है। / If any other prime remains in the reduced denominator, the decimal expansion is non-terminating recurring.
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A. कथन और कारण दोनों सही हैं, और कारण कथन को समझाता हैBoth assertion and reason are true, and the reason explains the assertion
आवर्ती दशमलव में अंकों का निश्चित समूह दोहरता है। / In a recurring decimal, a fixed block of digits repeats.
ऐसे दशमलव को भिन्न \(\frac{p}{q}\) में बदला जा सकता है, इसलिए वह परिमेय है। / Such a decimal can be converted into a fraction \(\frac{p}{q}\), so it is rational.
कारण-प्रकार प्रश्नों में कारण का संबंध कथन से जरूर जांचें। / In assertion-reason questions, check whether the reason supports the assertion.
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Which rational form represents (0.125)?
A. \(\frac{1}{8}\)
\(0.125=\frac{125}{1000}\) है। / \(0.125=\frac{125}{1000}\).
सरल करने पर \(\frac{125}{1000}=\frac{1}{8}\) मिलता है। / Reducing gives \(\frac{125}{1000}=\frac{1}{8}\).
तीन दशमलव स्थान हों तो पहले (1000) भाजक लें। / For three decimal places, start with denominator (1000).
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A. \(2^m5^n\)
समाप्त दशमलव के लिए भाजक केवल (2) और (5) से बनना चाहिए। / For a terminating decimal, the denominator must be made only from (2) and (5).
इसलिए उसका रूप \(2^m5^n\) होता है। / So its form is \(2^m5^n\).
(m) या (n) शून्य भी हो सकते हैं, इसलिए केवल (2) या केवल (5) भी चलेगा। / (m) or (n) may be zero, so only (2) or only (5) is also allowed.
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Which of the following decimals is not the decimal expansion of a rational number?
C. \(0.10100100010000\ldots\)
परिमेय संख्या का दशमलव या तो समाप्त होता है या असमाप्त आवर्ती होता है। / The decimal expansion of a rational number is either terminating or non-terminating recurring.
\(0.10100100010000\ldots\) में कोई स्थायी आवृत्ति नहीं है, इसलिए यह परिमेय नहीं है। / \(0.10100100010000\ldots\) has no fixed repeating block, so it is not rational.
आवर्ती और अनावर्ती में अंतर पहचानना जरूरी है। / Learn to distinguish recurring from non-recurring decimals.
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When (0.75) is written as a rational number, which form is obtained?
A. \(\frac{3}{4}\)
\(0.75=\frac{75}{100}\) है। / \(0.75=\frac{75}{100}\).
सरल करने पर \(\frac{75}{100}=\frac{3}{4}\) मिलता है। / Reducing gives \(\frac{75}{100}=\frac{3}{4}\).
समाप्त दशमलव को पहले (10,100,1000) जैसे भाजक में लिखें। / Write terminating decimals with denominators like (10,100,1000) first.
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Which number is represented exactly midway between (0) and (1) on the number line?
A. \(\frac{1}{2}\)
(0) और (1) का मध्य बिंदु \(\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}\) होता है। संख्या रेखा में मध्य निकालने के लिए औसत लें। / The midpoint of (0) and (1) is \(\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}\). To find a midpoint on a number line, take the average.
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Which number will lie exactly midway between \(\frac{2}{5}\) and \(\frac{4}{5}\) on the number line?
B. \(\frac{3}{5}\)
मध्य संख्या \(\frac{\frac{2}{5}+\frac{4}{5}}{2}=\frac{3}{5}\) है। दो बिंदुओं के ठीक बीच के लिए उनका औसत लें। / The midpoint is \(\frac{\frac{2}{5}+\frac{4}{5}}{2}=\frac{3}{5}\). To find the exact middle point, take the average of the two points.
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On the number line, \(0.333\ldots\) can be represented by which rational form?
A. \(\frac{1}{3}\)
\(0.333\ldots=\frac{1}{3}\), इसलिए यह परिमेय संख्या है। आवर्ती दशमलव हमेशा परिमेय होते हैं। / \(0.333\ldots=\frac{1}{3}\), so it is rational. Repeating decimals are always rational.
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Which of the following equations has two real rational and distinct roots?
A. \(x^2-17x+72=0\)
विकल्प (A) में (D=(-17)2-4(1)(72)=1) है। धनात्मक पूर्ण वर्ग (D) परिमेय असमान मूल देता है। / In option (A), (D=(-17)2-4(1)(72)=1). A positive perfect-square (D) gives rational distinct roots.
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Which equation has real, rational and distinct roots?
A. \(x^2-9x+20=0\)
पहले समीकरण में (D=(-9)2-4(1)(20)=1) है। इसलिए मूल वास्तविक, परिमेय और भिन्न हैं। / In the first equation (D=(-9)2-4(1)(20)=1). Hence the roots are real, rational and distinct.
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A. अपरिमेयIrrational
यदि \(\frac{s}{r}\) परिमेय हो तो \(s=r\cdot\frac{s}{r}\) परिमेय हो जाएगा जो गलत है। परीक्षा में शून्येतर शर्त जरूर देखें। / If \(\frac{s}{r}\) were rational then \(s=r\cdot\frac{s}{r}\) would be rational which is false. In exams check the non-zero condition.
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If (m) is a positive integer and \(\sqrt{m}\) is rational, which conclusion about (m) is correct?
A. (m) पूर्ण वर्ग है(m) is a perfect square
धनात्मक पूर्णांक का परिमेय वर्गमूल तभी पूर्णांक होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। परीक्षा में पूर्ण वर्ग पहचानना जरूरी है। / The rational square root of a positive integer is an integer only when it is a perfect square. In exams identifying perfect squares is important.
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Which expression is a rational number?
A. (\(\sqrt{28}\)\(\sqrt{7}\))
(\(\sqrt{28}\)\(\sqrt{7}\)=\sqrt{196}=14) है जो परिमेय है। परीक्षा में गुणन और जोड़ के नियम अलग रखें। / (\(\sqrt{28}\)\(\sqrt{7}\)=\sqrt{196}=14) which is rational. In exams keep multiplication and addition rules separate.
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In which option is the product of two different irrational numbers rational?
A. \(\sqrt{2}\) और \(3\sqrt{2}\)\(\sqrt{2}\) and \(3\sqrt{2}\)
\(\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}=6\), जो परिमेय है। परीक्षा में अपरिमेय संख्याओं के गुणनफल के लिए प्रतिउदाहरण याद रखें। / \(\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}=6\), which is rational. In exams remember counterexamples for products of irrational numbers.
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In which option is the sum of a rational and an irrational number irrational?
A. \(4+\sqrt{13}\)
(4) परिमेय है और \(\sqrt{13}\) अपरिमेय है, इसलिए योग अपरिमेय है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग के वर्गमूल को पहले पहचानें। / (4) is rational and \(\sqrt{13}\) is irrational, so the sum is irrational. In exams identify square roots of perfect squares first.
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If \(\sqrt{m}\) is rational and (m) is a positive integer, what is true about (m)?
B. (m) पूर्ण वर्ग है(m) is a perfect square
धनात्मक पूर्णांक (m) के लिए \(\sqrt{m}\) परिमेय तभी होगा जब (m) पूर्ण वर्ग हो। परीक्षा में पूर्ण वर्ग पहचानना जरूरी है। / For a positive integer (m), \(\sqrt{m}\) is rational only when (m) is a perfect square. Identifying perfect squares is important in exams.
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Which option can form a quadratic polynomial with rational coefficients?
A. शून्यक \(6+\sqrt{5}\) और \(6-\sqrt{5}\)Zeroes \(6+\sqrt{5}\) and \(6-\sqrt{5}\)
परिमेय गुणांकों में अपरिमेय भाग संयुग्मी जोड़े में आता है। केवल \(6+\sqrt{5}\) और \(6-\sqrt{5}\) का योग और गुणनफल दोनों परिमेय हैं। / With rational coefficients, irrational parts occur in conjugate pairs. Only \(6+\sqrt{5}\) and \(6-\sqrt{5}\) have both rational sum and rational product.
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A. \(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\)
परिमेय गुणांकों में अपरिमेय भाग का संयुग्मी भी शून्यक होता है। इसलिए \(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\) दूसरा शून्यक है। / With rational coefficients, the conjugate of the irrational part is also a zero. Hence \(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\) is the other zero.
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A. (-4)
दूसरा शून्यक \(2-\sqrt{13}\) होगा, इसलिए योग (4) है। एकक बहुपद में (x) का गुणांक (-4) होगा। / The other zero will be \(2-\sqrt{13}\), so the sum is (4). In a monic polynomial, the coefficient of (x) will be (-4).
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If one zero of (p(x)=x-2+ax+7) is \(\sqrt{7}\) and (a) is rational, what is (a)?
A. (0)
दूसरा शून्यक \(-\sqrt{7}\) होगा, इसलिए योग (0) और (a=-0=0) है। परिमेय गुणांक में संयुग्मी शून्यक लेना जरूरी है। / The other zero will be \(-\sqrt{7}\), so the sum is (0) and (a=-0=0). With rational coefficients, take the conjugate zero.
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Which polynomial has a rational sum of zeroes but both zeroes are irrational?
A. \(x^2-4x+1\)
\(x^2-4x+1\) में योग (4) है और (D=16-4=12) से शून्यक अपरिमेय हैं। परिमेय योग का अर्थ परिमेय शून्यक होना नहीं है। / In \(x^2-4x+1\), the sum is (4) and (D=16-4=12), so the zeroes are irrational. A rational sum does not mean rational zeroes.
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A. दूसरा शून्यक \(-\sqrt{13}\) होगाThe other zero will be \(-\sqrt{13}\)
परिमेय गुणांकों के लिए \(\sqrt{13}\) का संयुग्मी \(-\sqrt{13}\) भी आता है, जब रैखिक गुणांक परिमेय हो। यह नियम \(a+\sqrt{b}\) और \(a-\sqrt{b}\) पर आधारित है। / For rational coefficients, the conjugate \(-\sqrt{13}\) of \(\sqrt{13}\) also appears when the linear coefficient is rational. This follows from \(a+\sqrt{b}\) and \(a-\sqrt{b}\).
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Which pair can be irrational zeroes of a quadratic polynomial with rational coefficients?
A. \(4+\sqrt{6}\) और \(4-\sqrt{6}\)\(4+\sqrt{6}\) and \(4-\sqrt{6}\)
परिमेय गुणांकों के लिए \(a+\sqrt{b}\) का संयुग्मी \(a-\sqrt{b}\) साथ आता है। इसलिए पहला युग्म सही है। / For rational coefficients, the conjugate \(a-\sqrt{b}\) accompanies \(a+\sqrt{b}\). Hence the first pair is correct.
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Which option gives a polynomial with rational coefficients and irrational conjugate zeroes?
A. \(x^2-6x+7\)
\(x^2-6x+7\) में (D=36-28=8) है। गुणांक परिमेय हैं और शून्यक \(3\pm\sqrt{2}\) होंगे। / For \(x^2-6x+7\), (D=36-28=8). The coefficients are rational and the zeroes are \(3\pm\sqrt{2}\).
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If zeroes of \(x^2-4x+r\) are rational, what happens when (r=3)?
A. कथन सही हैThe statement is true
(r=3) पर (D=16-12=4) है, जो पूर्ण वर्ग है। इसलिए शून्यक परिमेय हैं। / For (r=3), (D=16-12=4), which is a perfect square. Therefore the zeroes are rational.
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A. (8)
दूसरा शून्यक \(4-\sqrt{11}\) होगा। योग (\(4+\sqrt{11}\)+\(4-\sqrt{11}\)=8) है। / The other zero will be \(4-\sqrt{11}\). The sum is (\(4+\sqrt{11}\)+\(4-\sqrt{11}\)=8).
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Which option is a rational number between \(\sqrt{99}\) and \(\sqrt{100}\)?
A. (9.98)
\(\sqrt{99}\) लगभग (9.95) है और \(\sqrt{100}=10\) है। (9.98) इनके बीच की परिमेय संख्या है। / \(\sqrt{99}\) is about (9.95) and \(\sqrt{100}=10\). (9.98) is a rational number between them.
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If \(\sqrt{m}=a\), where (a) is rational and (m) is a positive integer, what is necessary for (m)?
A. (m) पूर्ण वर्ग होना चाहिए(m) must be a perfect square
धनात्मक पूर्णांक की वर्गमूल परिमेय तभी होती है जब वह पूर्ण वर्ग हो। यह जड़ों की प्रकृति का मुख्य नियम है। / The square root of a positive integer is rational only when it is a perfect square. This is the key rule for roots.
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Which option is a rational number satisfying \(\sqrt{50}<x<\sqrt{72}\)?
A. (8)
\(\sqrt{50}\approx7.07\) और \(\sqrt{72}\approx8.49\), इसलिए (8) इनके बीच है। (8) परिमेय है। / \(\sqrt{50}\approx7.07\) and \(\sqrt{72}\approx8.49\), so (8) lies between them. (8) is rational.
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Which option makes \(12-\sqrt{m}\) rational?
A. (m=225)
\(\sqrt{225}=15\) परिमेय है इसलिए \(12-\sqrt{225}\) परिमेय होगा। पूर्ण वर्ग की जड़ परिमेय होती है। / \(\sqrt{225}=15\) is rational so \(12-\sqrt{225}\) will be rational. The root of a perfect square is rational.
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If \(\sqrt{m}\) is rational and (m) is a positive integer, which (m) can be correct?
A. (m=400)
\(400=20^2\) पूर्ण वर्ग है इसलिए \(\sqrt{400}\) परिमेय है। बाकी विकल्प पूर्ण वर्ग नहीं हैं। / \(400=20^2\) is a perfect square so \(\sqrt{400}\) is rational. The other options are not perfect squares.
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Which option is a rational number between (6) and (7)?
A. \(\frac{25}{4}\)
\(\frac{25}{4}=6.25\) है जो (6) और (7) के बीच है। भिन्न रूप परिमेयता बताता है। / \(\frac{25}{4}=6.25\), which lies between (6) and (7). Fraction form shows rationality.
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Which option represents a rational number?
A. \(7.\overline{125}\)
ऊपर की रेखा (125) के आवर्तन को बताती है। आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। / The bar shows repetition of (125). A repeating decimal is rational.
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Which option makes \(5+\sqrt{m}\) rational?
A. (m=121)
\(\sqrt{121}=11\) परिमेय है इसलिए \(5+\sqrt{121}\) परिमेय होगा। पूर्ण वर्ग वाली जड़ परिमेय होती है। / \(\sqrt{121}=11\) is rational so \(5+\sqrt{121}\) will be rational. The root of a perfect square is rational.
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Which option makes \(9-\sqrt{m}\) rational?
A. (m=100)
\(\sqrt{100}=10\) परिमेय है इसलिए \(9-\sqrt{100}\) परिमेय होगा। पूर्ण वर्ग वाली जड़ परिमेय होती है। / \(\sqrt{100}=10\) is rational so \(9-\sqrt{100}\) will be rational. The root of a perfect square is rational.
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