The monic equation is \(x^2-x-6=0\). Since the coefficient of \(x^2\) must be (2), multiply the whole equation by (2).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2x^2-2x-12=0\). The monic equation is \(x^2-x-6=0\). Since the coefficient of \(x^2\) must be (2), multiply the whole equation by (2).
Step 3
Exam Tip
मॉनिक समीकरण \(x^2-x-6=0\) है। \(x^2\) का गुणांक (2) चाहिए, इसलिए पूरे समीकरण को (2) से गुणा करें।
A. कंकाली समीकरण में परमाणु असमान हो सकते हैं पर संतुलित में समान होते हैं/Atoms may be unequal in skeletal equation but equal in balanced equation
Step 1
Concept
A skeletal equation gives only the framework of formulae.
Step 2
Why this answer is correct
Atoms may not be equal in it.
Step 3
Exam Tip
In a balanced equation every element is equal on both sides. चरण 1: कंकाली समीकरण केवल सूत्रों का ढांचा देता है। चरण 2: उसमें परमाणु बराबर न भी हों तो संभव है। चरण 3: संतुलित समीकरण में हर तत्व दोनों ओर बराबर होता है।
A. कंकाली समीकरण में परमाणु बराबर नहीं हो सकते पर संतुलित समीकरण में बराबर होते हैं/Atoms may not be equal in a skeletal equation but are equal in a balanced equation
Step 1
Concept
A skeletal equation gives only the formula framework.
Step 2
Why this answer is correct
A balanced equation has equal atoms of each element on both sides.
Step 3
Exam Tip
Therefore balancing makes it complete. चरण 1: कंकाली समीकरण केवल सूत्रों का ढांचा देता है। चरण 2: संतुलित समीकरण में हर तत्व के परमाणु दोनों ओर बराबर होते हैं। चरण 3: इसलिए संतुलन इसे पूर्ण बनाता है।
A. यह पदार्थों के सूत्र और अनुपात दिखाता है/It shows formulae and ratios of substances
Step 1
Concept
A word equation gives names of substances.
Step 2
Why this answer is correct
A chemical equation shows formulae and balancing.
Step 3
Exam Tip
So it is more precise in exams. चरण 1: शब्द समीकरण पदार्थों के नाम बताता है। चरण 2: रासायनिक समीकरण पदार्थों के सूत्र और संतुलन को दिखाता है। चरण 3: इसलिए परीक्षा में रासायनिक समीकरण अधिक स्पष्ट माना जाता है।
If roots are (4) and (9), then ((x-4)(x-9)=0), that is \(x^2-13x+36=0\). In exams, form factors with opposite signs of roots.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x^2-13x+36=0\). If roots are (4) and (9), then ((x-4)(x-9)=0), that is \(x^2-13x+36=0\). In exams, form factors with opposite signs of roots.
Step 3
Exam Tip
मूल (4) और (9) हों तो ((x-4)(x-9)=0), यानी \(x^2-13x+36=0\) है। परीक्षा में मूलों के विपरीत चिन्ह से गुणनखंड बनाएं।
If roots are (3) and (7), then ((x-3)(x-7)=0), that is \(x^2-10x+21=0\). In exams, form factors with opposite signs of roots.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x^2-10x+21=0\). If roots are (3) and (7), then ((x-3)(x-7)=0), that is \(x^2-10x+21=0\). In exams, form factors with opposite signs of roots.
Step 3
Exam Tip
मूल (3) और (7) हों तो ((x-3)(x-7)=0), यानी \(x^2-10x+21=0\) है। परीक्षा में मूलों के विपरीत चिन्ह से गुणनखंड बनाएं।
If the roots are (2) and (5), the equation is ((x-2)(x-5)=0), that is \(x^2-7x+10=0\). In exams, form factors with opposite signs of roots.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x^2-7x+10=0\). If the roots are (2) and (5), the equation is ((x-2)(x-5)=0), that is \(x^2-7x+10=0\). In exams, form factors with opposite signs of roots.
Step 3
Exam Tip
मूल (2) और (5) हों तो समीकरण ((x-2)(x-5)=0) यानी \(x^2-7x+10=0\) है। परीक्षा में मूलों के विपरीत चिन्ह से गुणनखंड बनाएं।
Here \(\alpha+\beta=5\) and \(\alpha\beta=6\). The new roots are (5) and (6), so the equation is \(x^2-11x+30=0\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x^2-11x+30=0\). Here \(\alpha+\beta=5\) and \(\alpha\beta=6\). The new roots are (5) and (6), so the equation is \(x^2-11x+30=0\).
Step 3
Exam Tip
\(\alpha+\beta=5\) और \(\alpha\beta=6\) हैं। नई जड़ें (5) और (6) हैं, इसलिए समीकरण \(x^2-11x+30=0\) है।
The sum is \(\frac{5}{4}\) and the product is \(\frac{3}{8}\). Multiply \(x^2-\frac{5}{4}x+\frac{3}{8}=0\) by (8).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(8x^2-10x+3=0\). The sum is \(\frac{5}{4}\) and the product is \(\frac{3}{8}\). Multiply \(x^2-\frac{5}{4}x+\frac{3}{8}=0\) by (8).
Step 3
Exam Tip
जड़ों का योग \(\frac{5}{4}\) और गुणनफल \(\frac{3}{8}\) है। समीकरण \(x^2-\frac{5}{4}x+\frac{3}{8}=0\) को (8) से गुणा करें।
Here \(\alpha+\beta=3\) and \(\alpha\beta=-2\). Thus \(\alpha^2+\beta^2=13\) and \(\alpha^2\beta^2=4\), so the equation is \(x^2-13x+4=0\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x^2-13x+4=0\). Here \(\alpha+\beta=3\) and \(\alpha\beta=-2\). Thus \(\alpha^2+\beta^2=13\) and \(\alpha^2\beta^2=4\), so the equation is \(x^2-13x+4=0\).
Step 3
Exam Tip
\(\alpha+\beta=3\) और \(\alpha\beta=-2\) है। इसलिए \(\alpha^2+\beta^2=13\) और \(\alpha^2\beta^2=4\), अतः समीकरण \(x^2-13x+4=0\) है।
Here \(\alpha+\beta=\frac{10}{3}\) and \(\alpha\beta=1\). The reciprocal roots also have sum \(\frac{10}{3}\) and product (1).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(3x^2-10x+3=0\). Here \(\alpha+\beta=\frac{10}{3}\) and \(\alpha\beta=1\). The reciprocal roots also have sum \(\frac{10}{3}\) and product (1).
Step 3
Exam Tip
यहाँ \(\alpha+\beta=\frac{10}{3}\) और \(\alpha\beta=1\) है। व्युत्क्रम जड़ों का योग \(\frac{10}{3}\) और गुणनफल (1) ही रहता है।
The old sum is (7) and product is (10). The reciprocal roots have sum \(\frac{7}{10}\) and product \(\frac{1}{10}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x^2-\frac{7}{10}x+\frac{1}{10}=0\). The old sum is (7) and product is (10). The reciprocal roots have sum \(\frac{7}{10}\) and product \(\frac{1}{10}\).
Step 3
Exam Tip
पुराने योग (7) और गुणनफल (10) हैं। उलटे मूलों का योग \(\frac{7}{10}\) और गुणनफल \(\frac{1}{10}\) होगा।
The old sum is (4) and product is (3). The new sum is (12) and product is (27), so the equation is \(x^2-12x+27=0\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x^2-12x+27=0\). The old sum is (4) and product is (3). The new sum is (12) and product is (27), so the equation is \(x^2-12x+27=0\).
Step 3
Exam Tip
पुराने योग (4) और गुणनफल (3) हैं। नए योग (12) और गुणनफल (27) होंगे इसलिए \(x^2-12x+27=0\) है।
The old sum is (5) and product is (6). The reciprocal roots have sum \(\frac{5}{6}\) and product \(\frac{1}{6}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x^2-\frac{5}{6}x+\frac{1}{6}=0\). The old sum is (5) and product is (6). The reciprocal roots have sum \(\frac{5}{6}\) and product \(\frac{1}{6}\).
Step 3
Exam Tip
पुराने योग (5) और गुणनफल (6) हैं। उलटे मूलों का योग \(\frac{5}{6}\) और गुणनफल \(\frac{1}{6}\) होगा।
The old sum is (3) and product is (2). The new sum is (6) and product is (8), so the equation is \(x^2-6x+8=0\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x^2-6x+8=0\). The old sum is (3) and product is (2). The new sum is (6) and product is (8), so the equation is \(x^2-6x+8=0\).
Step 3
Exam Tip
पुराने योग (3) और गुणनफल (2) हैं। नए योग (6) और गुणनफल (8) होंगे इसलिए \(x^2-6x+8=0\) है।
Every element must have equal atoms in a balanced equation.
Step 2
Why this answer is correct
Imbalance of even one element is enough.
Step 3
Exam Tip
Therefore the equation is unbalanced when oxygen is unequal. चरण 1: संतुलित समीकरण में हर तत्व की संख्या बराबर होनी चाहिए। चरण 2: केवल एक तत्व का असंतुलन भी पर्याप्त है। चरण 3: इसलिए ऑक्सीजन असमान होने पर समीकरण असंतुलित है।
A. कंकाली समीकरण में परमाणु असमान हो सकते हैं पर संतुलित समीकरण में समान होते हैं/Atoms may be unequal in a skeletal equation but equal in a balanced equation
Step 1
Concept
A skeletal equation gives a framework of formulae.
Step 2
Why this answer is correct
Atom numbers may not be equal in it.
Step 3
Exam Tip
In a balanced equation all elements are equal on both sides. चरण 1: कंकाली समीकरण सूत्रों का ढांचा देता है। चरण 2: इसमें परमाणुओं की संख्या बराबर न हो सकती है। चरण 3: संतुलित समीकरण में सभी तत्व दोनों ओर बराबर होते हैं।
A. गुणांक लगाकर परमाणु बराबर करने चाहिए/Coefficients should be used to make atoms equal
Step 1
Concept
A skeletal equation may not have equal atoms.
Step 2
Why this answer is correct
Coefficients are used to make atoms equal on both sides.
Step 3
Exam Tip
This is the correct method of balancing. चरण 1: कंकाली समीकरण में परमाणु बराबर नहीं हो सकते। चरण 2: गुणांक लगाकर दोनों ओर परमाणु बराबर किए जाते हैं। चरण 3: यही संतुलन की सही विधि है।
B. गुणांक लगाकर परमाणु बराबर किए जाते हैं/Coefficients are used to make atoms equal
Step 1
Concept
Atoms may not be equal in a skeletal equation.
Step 2
Why this answer is correct
Coefficients are used to make atoms of each element equal.
Step 3
Exam Tip
This is the correct way to make a balanced equation. चरण 1: कंकाली समीकरण में परमाणु बराबर नहीं हो सकते। चरण 2: गुणांक लगाकर प्रत्येक तत्व के परमाणु बराबर किए जाते हैं। चरण 3: यही संतुलित समीकरण बनाने का सही तरीका है।
Correct chemical formulae are first written from the word equation.
Step 2
Why this answer is correct
After writing formulae atoms are counted.
Step 3
Exam Tip
Then coefficients are used to balance the equation. चरण 1: शब्द समीकरण से पहले सही रासायनिक सूत्र लिखे जाते हैं। चरण 2: सूत्र लिखने के बाद परमाणुओं की गिनती की जाती है। चरण 3: फिर गुणांक लगाकर समीकरण संतुलित किया जाता है।
A. सभी पदार्थों के सही रासायनिक सूत्र लिखना/Writing correct chemical formulae of all substances
Step 1
Concept
A word equation is written in names.
Step 2
Why this answer is correct
Correct formulae are necessary in a chemical equation.
Step 3
Exam Tip
A wrong formula can make the whole equation wrong. चरण 1: शब्द समीकरण नामों में लिखा होता है। चरण 2: रासायनिक समीकरण में सही सूत्र लिखना आवश्यक है। चरण 3: गलत सूत्र से पूरा समीकरण गलत हो सकता है।
A chemical equation writes their correct formulae.
Step 3
Exam Tip
A wrong formula can make the whole equation incorrect. चरण 1: शब्द समीकरण पदार्थों के नाम बताता है। चरण 2: रासायनिक समीकरण में उनके सही सूत्र लिखे जाते हैं। चरण 3: गलत सूत्र होने पर पूरा समीकरण गलत हो सकता है।
A. पदार्थों के सही रासायनिक सूत्र लिखना/Writing correct chemical formulae of substances
Step 1
Concept
A word equation is written in names.
Step 2
Why this answer is correct
It must be converted into formulae.
Step 3
Exam Tip
A correct equation cannot be made without correct formulae. चरण 1: शब्द समीकरण नामों में लिखा होता है। चरण 2: इसे सूत्रों में बदलना आवश्यक है। चरण 3: सही सूत्र लिखे बिना सही समीकरण नहीं बनता।
If \(q\ne0\), then \(q\sqrt{5}\) is irrational and the sum cannot be rational. In exams check the possibility of a zero coefficient.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (q=0). If \(q\ne0\), then \(q\sqrt{5}\) is irrational and the sum cannot be rational. In exams check the possibility of a zero coefficient.
Step 3
Exam Tip
यदि \(q\ne0\), तो \(q\sqrt{5}\) अपरिमेय होगा और योग परिमेय नहीं हो सकता। परीक्षा में शून्य गुणांक की संभावना देखें।
\(0.04\overline{6}\) has a fixed repeating digit, so it is rational but not terminating. A decimal is terminating only when zeros continue after some point.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(0.04\overline{6}\). \(0.04\overline{6}\) has a fixed repeating digit, so it is rational but not terminating. A decimal is terminating only when zeros continue after some point.
Step 3
Exam Tip
\(0.04\overline{6}\) में स्थिर आवर्ती अंक है इसलिए यह परिमेय है पर सांत नहीं है। अंत में केवल शून्य आने पर ही सांत दशमलव माना जाता है।
In \(0.58\overline{23}\), the block (23) repeats regularly, so it is rational. A fixed repeating block is a strong sign of rationality.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(0.58\overline{23}\). In \(0.58\overline{23}\), the block (23) repeats regularly, so it is rational. A fixed repeating block is a strong sign of rationality.
Step 3
Exam Tip
\(0.58\overline{23}\) में (23) स्थिर रूप से दोहरता है, इसलिए यह परिमेय है। स्थिर आवर्ती खंड परिमेयता का मजबूत संकेत है।
\(0.\overline{625}\) is a fixed recurring decimal, so it is rational but not terminating. A decimal is terminating only when zeros continue after some point.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(0.\overline{625}\). \(0.\overline{625}\) is a fixed recurring decimal, so it is rational but not terminating. A decimal is terminating only when zeros continue after some point.
Step 3
Exam Tip
\(0.\overline{625}\) स्थिर आवर्ती दशमलव है, इसलिए परिमेय है पर सांत नहीं है। अंत में केवल शून्य होने पर ही दशमलव सांत माना जाता है।
B. यह सांत दशमलव के बराबर है/It is equal to a terminating decimal
Step 1
Concept
In \(5.27000\ldots\), only zeros occur after a point.
Step 2
Why this answer is correct
So it equals (5.27) and is a terminating decimal.
Step 3
Exam Tip
Continuing zeros at the end still represent a terminating value. चरण 1: \(5.27000\ldots\) में कुछ स्थानों के बाद केवल शून्य आते हैं। चरण 2: इसलिए यह (5.27) के बराबर है और सांत दशमलव है। चरण 3: अंत में शून्य चलते रहें तो भी मान सांत ही माना जाता है।
\(0.\overline{018}\) has a repeating block, so it is rational.
Step 2
Why this answer is correct
It does not end, so it is not a terminating decimal. The other options are either terminating or irrational.
Step 3
Exam Tip
Recurring decimals are rational. चरण 1: \(0.\overline{018}\) में अंकों की पुनरावृत्ति है, इसलिए यह परिमेय है। चरण 2: यह समाप्त नहीं होता, इसलिए सांत दशमलव नहीं है। बाकी सांत हैं या अपरिमेय हैं। चरण 3: आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं।
A rational number has either a terminating decimal or a non-terminating recurring decimal.
Step 2
Why this answer is correct
\(2.01001000100001\ldots\) has no fixed repeating block. So it cannot be rational.
Step 3
Exam Tip
Decide by checking repetition, not merely by seeing a long decimal. चरण 1: परिमेय संख्या का दशमलव या तो सांत होता है या असांत आवर्ती। चरण 2: \(2.01001000100001\ldots\) में कोई स्थिर आवर्ती खंड नहीं है। इसलिए यह परिमेय नहीं हो सकता। चरण 3: लंबा दशमलव देखकर नहीं, पुनरावृत्ति देखकर निर्णय लें।
\(0.\overline{25}\) has a repeating block, so it is rational.
Step 2
Why this answer is correct
It is not terminating because the decimal does not end. \(\sqrt{2}\) and \(\pi\) are irrational.
Step 3
Exam Tip
Rational numbers can be terminating or non-terminating recurring. चरण 1: \(0.\overline{25}\) में अंकों की पुनरावृत्ति है, इसलिए यह परिमेय है। चरण 2: यह सांत नहीं है क्योंकि दशमलव कभी समाप्त नहीं होता। \(\sqrt{2}\) और \(\pi\) अपरिमेय हैं। चरण 3: परिमेय संख्या सांत या असांत आवर्ती दोनों हो सकती है।
\(\frac{27}{99}=\frac{3}{11}\), so the reduced denominator is (11).
Step 3
Exam Tip
First form a denominator with (9)'s according to the repeating block, then reduce. चरण 1: \(0.\overline{27}=\frac{27}{99}\) है। चरण 2: \(\frac{27}{99}=\frac{3}{11}\), इसलिए सरलतम हर (11) है। चरण 3: आवर्ती अंकों की संख्या के अनुसार पहले (9) वाला हर बनाइए, फिर सरल कीजिए।
A. सांत होगा और अधिकतम (3) दशमलव स्थान होंगे/It will terminate and have at most (3) decimal places
Step 1
Concept
In lowest form, the denominator contains only powers of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
So the decimal expansion is terminating. The number of decimal places can be up to the larger exponent, (3).
Step 3
Exam Tip
In exams, always reduce the fraction first. चरण 1: सरलतम रूप में हर केवल (2) और (5) के घातों से बना है। चरण 2: इसलिए दशमलव प्रसार सांत होगा। दशमलव स्थानों की संख्या (2) और (5) की घातों में बड़ी घात, यानी (3), तक हो सकती है। चरण 3: परीक्षा में पहले भिन्न को सरलतम रूप में लिखना न भूलें।
A rational number has a terminating decimal only when the denominator in lowest form has prime factors only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
Here the denominator also contains (7), so the decimal will not terminate, but since the number is rational, it will repeat.
Step 3
Exam Tip
In exams, always reduce the fraction first and then check the prime factors of the denominator. चरण 1: परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार तभी सांत होता है जब सरलतम रूप में हर के अभाज्य गुणनखंड केवल (2) और (5) हों। चरण 2: यहां हर में (7) भी है, इसलिए दशमलव प्रसार सांत नहीं होगा, पर परिमेय संख्या होने के कारण वह आवर्ती होगा। चरण 3: परीक्षा में पहले भिन्न को सरलतम रूप में जांचें, फिर हर के अभाज्य गुणनखंड देखें।
The reduced denominator contains (11), so the decimal will not terminate.
Step 3
Exam Tip
Since it is a rational fraction, it gives a non-terminating recurring decimal. चरण 1: \(22=2\times11\) है। चरण 2: सरलतम हर में (11) बचता है, इसलिए दशमलव समाप्त नहीं होगा। चरण 3: परिमेय भिन्न होने के कारण यह असमाप्त आवर्ती दशमलव देगी।
A rational number can be written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
Its decimal expansion either terminates or has a fixed repetition.
Step 3
Exam Tip
A non-terminating non-recurring decimal is not rational. चरण 1: परिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जा सकता है। चरण 2: इसका दशमलव या तो समाप्त होता है या निश्चित दोहराव देता है। चरण 3: असमाप्त अनावर्ती दशमलव परिमेय संख्या का नहीं होता।
It contains only the prime factor (2), so the decimal expansion terminates.
Step 3
Exam Tip
In exams, always factorise the denominator first. चरण 1: सरलतम रूप में हर \(8=2^3\) है। चरण 2: हर में केवल (2) का गुणनखंड है, इसलिए दशमलव प्रसार समाप्त होगा। चरण 3: परीक्षा में पहले हर का अभाज्य गुणनखंडन अवश्य देखिए।
In \(0.135135135\ldots\), the block (135) repeats.
Step 2
Why this answer is correct
A recurring decimal is rational, but it does not terminate.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: If a non-terminating decimal has a regular repeated block, treat it as rational. चरण 1: \(0.135135135\ldots\) में (135) का समूह बार-बार आ रहा है। चरण 2: आवर्ती दशमलव परिमेय होता है, लेकिन यह समाप्त नहीं होता। चरण 3: परीक्षा सुझाव: असमाप्त दशमलव में नियमित दोहराव हो तो उसे परिमेय मानें।
A rational number has a decimal that either terminates or recurs.
Step 2
Why this answer is correct
Non-terminating non-recurring decimal expansion is not possible for a rational number.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: This difference helps identify rational and irrational numbers. चरण 1: परिमेय संख्या का दशमलव समाप्त या आवर्ती होता है। चरण 2: असमाप्त अनावर्ती दशमलव परिमेय संख्या के लिए संभव नहीं है। चरण 3: परीक्षा सुझाव: यह अंतर परिमेय और अपरिमेय संख्या को पहचानने में मदद करता है।
Exam tip: Do not only see that a decimal is long; check whether a fixed pattern repeats. चरण 1: \(0.727272\ldots\) में (72) का समूह बार-बार आ रहा है। चरण 2: बार-बार आने वाला दशमलव परिमेय होता है। चरण 3: परीक्षा सुझाव: केवल लंबा दशमलव नहीं, दोहराव का नियम पहचानें।
A. या तो समाप्त या असमाप्त आवर्ती/Either terminating or non-terminating recurring
Step 1
Concept
A rational number can be written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
Its decimal either terminates or repeats a block of digits.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: Non-terminating non-recurring decimals are linked with irrational numbers. चरण 1: परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखी जा सकती है। चरण 2: इसका दशमलव या तो समाप्त होता है या कोई अंक समूह बार-बार आता है। चरण 3: परीक्षा सुझाव: असमाप्त अनावर्ती दशमलव अपरिमेय संख्या से जुड़ा होता है।
(4.125) has a finite number of digits after the decimal point.
Step 2
Why this answer is correct
Every terminating decimal can be written as a fraction, so it is rational.
Step 3
Exam Tip
Identifying a terminating decimal is an easy way to identify rationality. चरण 1: (4.125) में दशमलव के बाद सीमित अंक हैं। चरण 2: हर समाप्त दशमलव को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए यह परिमेय है। चरण 3: समाप्त दशमलव पहचानना परिमेयता की आसान पहचान है।
A rational number has either a terminating decimal or a non-terminating recurring decimal.
Step 2
Why this answer is correct
So if it does not terminate, some digit or block will repeat.
Step 3
Exam Tip
Do not call a rational number non-terminating non-recurring. चरण 1: परिमेय संख्या का दशमलव या तो समाप्त होता है या असमाप्त आवर्ती होता है। चरण 2: इसलिए यदि वह समाप्त नहीं है, तो उसमें कोई अंक या समूह दोहराएगा। चरण 3: परिमेय संख्या को असमाप्त अनावर्ती नहीं मानना चाहिए।
The negative sign does not change the type of decimal expansion.
Step 2
Why this answer is correct
\(28=2^2\times7\), so the factor (7) makes the decimal non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
Check the denominator in lowest form, not the sign. चरण 1: ऋण चिह्न दशमलव के प्रकार को नहीं बदलता। चरण 2: \(28=2^2\times7\), इसलिए भाजक में (7) होने से दशमलव असमाप्त आवर्ती होगा। चरण 3: चिन्ह नहीं, सरल रूप का भाजक देखें।
A recurring decimal is rational, but it is not terminating.
Step 3
Exam Tip
A non-terminating rational decimal always has a fixed repeat. चरण 1: \(0.\overline{12}\) में (12) बार-बार दोहरता है। चरण 2: आवर्ती दशमलव परिमेय होता है, लेकिन यह समाप्त नहीं है। चरण 3: परिमेय असमाप्त दशमलव में निश्चित आवृत्ति जरूर होती है।
The negative sign in \(-\frac{17}{200}\) only makes the value negative.
Step 2
Why this answer is correct
Since \(200=2^3\times5^2\), the denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
To decide the decimal type, check the denominator in lowest form, not the negative sign. चरण 1: \(-\frac{17}{200}\) में ऋण चिह्न केवल मान को ऋणात्मक बनाता है। चरण 2: \(200=2^3\times5^2\) है, इसलिए भाजक में केवल (2) और (5) हैं और दशमलव समाप्त होगा। चरण 3: प्रकार तय करते समय ऋण चिह्न को नहीं, सरल रूप के भाजक को देखें।
The denominator has only the prime factor (2), so the decimal expansion terminates.
Step 3
Exam Tip
In exams, first check the prime factors of the simplified denominator. चरण 1: \(8=2^3\) है। चरण 2: भाजक में केवल (2) का गुणनखंड है, इसलिए दशमलव विस्तार समाप्त होगा। चरण 3: परीक्षा में पहले भिन्न को सरल रूप में देखकर भाजक के गुणनखंड जांचें।
A. परिमेय संख्या का वर्गमूल तभी परिमेय होना जरूरी है जब वह उपयुक्त पूर्ण वर्ग रूप में हो/The square root of a rational number is necessarily rational only when it is in a suitable perfect-square form
Step 1
Concept
(5) is rational, but it is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
If it is not a perfect square, its square root need not be rational.
Step 3
Exam Tip
The proof of \(\sqrt{5}\) shows it is actually irrational. चरण 1: (5) परिमेय है, लेकिन पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: पूर्ण वर्ग न होने से उसका वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं। चरण 3: \(\sqrt{5}\) की सिद्धि बताती है कि वह वास्तव में अपरिमेय है।
A. परिमेय संख्या का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होता/The square root of a rational number is not always rational
Step 1
Concept
(5) is rational but not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
The square root of a non-perfect square need not be rational, and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Check a number and its square root separately. चरण 1: (5) परिमेय है लेकिन पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: अपूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: संख्या और उसके वर्गमूल का प्रकार अलग-अलग जांचें।
A. किसी परिमेय संख्या का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होता/The square root of a rational number is not always rational
Step 1
Concept
(5) is rational, but it is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
The square root of a non-perfect square need not be rational, and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Check a number and its square root separately. चरण 1: (5) परिमेय है, लेकिन वह पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: पूर्ण वर्ग न होने पर उसका वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: संख्या और उसके वर्गमूल के प्रकार को अलग-अलग जांचें।
A. जब (a) को दो पूर्ण वर्गों के अनुपात के रूप में लिखा जा सके/When (a) can be written as a ratio of two perfect squares
Step 1
Concept
The square root of a rational fraction is rational when both numerator and denominator can be perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}\), so a ratio of two perfect squares is a safe condition.
Step 3
Exam Tip
Being positive or less than (1) does not guarantee a rational square root. चरण 1: किसी परिमेय भिन्न का वर्गमूल परिमेय तब होता है जब अंश और हर दोनों पूर्ण वर्ग बन सकें। चरण 2: जैसे \(\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}\), इसलिए दो पूर्ण वर्गों का अनुपात सुरक्षित स्थिति है। चरण 3: केवल धनात्मक या (1) से छोटा होना परिमेय वर्गमूल की गारंटी नहीं देता।
Adding a rational number cannot make an irrational number rational.
Step 2
Why this answer is correct
If (r+s) were rational, then (s=(r+s)-r) would be rational, which is a contradiction.
Step 3
Exam Tip
Such rules can also be checked by reverse reasoning. चरण 1: परिमेय संख्या जोड़ने से अपरिमेय संख्या परिमेय नहीं बनती। चरण 2: यदि (r+s) परिमेय मान लें, तो (s=(r+s)-r) परिमेय हो जाएगा, जो गलत है। चरण 3: ऐसे नियमों को उलटा सोचकर भी जांच सकते हैं।
A. वे एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं/They are reciprocals of each other
Step 1
Concept
\(6\cdot\frac{1}{6}=1\), so the roots are reciprocals. Reciprocal roots have product (1).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वे एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं / They are reciprocals of each other. \(6\cdot\frac{1}{6}=1\), so the roots are reciprocals. Reciprocal roots have product (1).
Step 3
Exam Tip
\(6\cdot\frac{1}{6}=1\) है इसलिए दोनों व्युत्क्रम मूल हैं। व्युत्क्रम मूलों का गुणनफल (1) होता है।
A. मूल एक दूसरे के विपरीत हैं/The roots are opposites of each other
Step 1
Concept
If \(\alpha+\beta=0\), then \(\beta=-\alpha\). Therefore the roots can be opposites.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. मूल एक दूसरे के विपरीत हैं / The roots are opposites of each other. If \(\alpha+\beta=0\), then \(\beta=-\alpha\). Therefore the roots can be opposites.
Step 3
Exam Tip
यदि \(\alpha+\beta=0\) है तो \(\beta=-\alpha\) होता है। इसलिए मूल विपरीत हो सकते हैं।
From (x+6=0), (x=-6), and from (x-2=0), (x=2). The sign changes when finding a root from a factor.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (-6) और (2) / (-6) and (2). From (x+6=0), (x=-6), and from (x-2=0), (x=2). The sign changes when finding a root from a factor.
Step 3
Exam Tip
(x+6=0) से (x=-6) और (x-2=0) से (x=2) मिलता है। गुणनखंड से मूल निकालते समय चिन्ह बदलता है।
Here \(\alpha+\beta=-5\) and \(\alpha\beta=-36\). Therefore \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{-5}{-36}=\frac{5}{36}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{5}{36}\). Here \(\alpha+\beta=-5\) and \(\alpha\beta=-36\). Therefore \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{-5}{-36}=\frac{5}{36}\).
Step 3
Exam Tip
यहां \(\alpha+\beta=-5\) और \(\alpha\beta=-36\) है। इसलिए \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{-5}{-36}=\frac{5}{36}\) है।
Since (D=81>0), there will be two distinct real roots. (D>0) indicates different roots.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दो भिन्न वास्तविक मूल / Two distinct real roots. Since (D=81>0), there will be two distinct real roots. (D>0) indicates different roots.
Step 3
Exam Tip
क्योंकि (D=81>0) है इसलिए दो भिन्न वास्तविक मूल होंगे। (D>0) मूलों के अलग होने का संकेत है।
A. वे एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं/They are reciprocals of each other
Step 1
Concept
\(5\cdot\frac{1}{5}=1\), so the roots are reciprocals. Reciprocal roots have product (1).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वे एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं / They are reciprocals of each other. \(5\cdot\frac{1}{5}=1\), so the roots are reciprocals. Reciprocal roots have product (1).
Step 3
Exam Tip
\(5\cdot\frac{1}{5}=1\) है इसलिए दोनों व्युत्क्रम मूल हैं। व्युत्क्रम मूलों का गुणनफल (1) होता है।
A. एक मूल धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक है/One root is positive and the other is negative
Step 1
Concept
A negative product occurs only when the roots have opposite signs. Therefore one root will be positive and the other negative.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. एक मूल धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक है / One root is positive and the other is negative. A negative product occurs only when the roots have opposite signs. Therefore one root will be positive and the other negative.
Step 3
Exam Tip
ऋणात्मक गुणनफल तभी होता है जब मूलों के चिन्ह विपरीत हों। इसलिए एक मूल धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक होगा।
From (x-4=0), (x=4), and from (x+7=0), (x=-7). The sign changes when finding a root from a factor.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (4) और (-7) / (4) and (-7). From (x-4=0), (x=4), and from (x+7=0), (x=-7). The sign changes when finding a root from a factor.
Step 3
Exam Tip
(x-4=0) से (x=4) और (x+7=0) से (x=-7) मिलता है। गुणनखंड का चिन्ह उलटकर मूल मिलता है।
Here \(\alpha+\beta=-5\) and \(\alpha\beta=-14\). Therefore \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{-5}{-14}=\frac{5}{14}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{5}{14}\). Here \(\alpha+\beta=-5\) and \(\alpha\beta=-14\). Therefore \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{-5}{-14}=\frac{5}{14}\).
Step 3
Exam Tip
यहां \(\alpha+\beta=-5\) और \(\alpha\beta=-14\) है। इसलिए \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{-5}{-14}=\frac{5}{14}\) है।
Since (D=64>0), there will be two distinct real roots. When (D>0), the roots are different.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दो भिन्न वास्तविक मूल / Two distinct real roots. Since (D=64>0), there will be two distinct real roots. When (D>0), the roots are different.
Step 3
Exam Tip
क्योंकि (D=64>0) है इसलिए दो भिन्न वास्तविक मूल होंगे। (D>0) होने पर मूल अलग अलग होते हैं।
Since the equation becomes true after substituting (x=a), (a) is a root. In exams check a root by direct substitution.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. मूल / Root. Since the equation becomes true after substituting (x=a), (a) is a root. In exams check a root by direct substitution.
Step 3
Exam Tip
क्योंकि (x=a) रखने पर समीकरण सत्य हो जाता है इसलिए (a) मूल है। परीक्षा में मूल की जांच सीधे प्रतिस्थापन से करें।
A. वे एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं/They are reciprocals of each other
Step 1
Concept
\(4\cdot\frac{1}{4}=1\), so the roots are reciprocals. Reciprocal roots have product (1).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वे एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं / They are reciprocals of each other. \(4\cdot\frac{1}{4}=1\), so the roots are reciprocals. Reciprocal roots have product (1).
Step 3
Exam Tip
\(4\cdot\frac{1}{4}=1\) है इसलिए दोनों व्युत्क्रम मूल हैं। व्युत्क्रम मूलों का गुणनफल (1) होता है।
A. कम से कम एक मूल (0) है/At least one root is (0)
Step 1
Concept
If \(\alpha\beta=0\), then \(\alpha=0\) or \(\beta=0\). If the product is zero, always check for a zero root.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. कम से कम एक मूल (0) है / At least one root is (0). If \(\alpha\beta=0\), then \(\alpha=0\) or \(\beta=0\). If the product is zero, always check for a zero root.
Step 3
Exam Tip
यदि \(\alpha\beta=0\) है तो \(\alpha=0\) या \(\beta=0\) होगा। गुणनफल शून्य हो तो शून्य मूल जरूर देखें।
