A. क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होता है/Because the square of an odd number is odd
Step 1
Concept
If (p) were odd, then \(p^2\) would also be odd.
Step 2
Why this answer is correct
Since \(p^2\) is even, (p) cannot be odd, so (p) is even.
Step 3
Exam Tip
This parity fact is very important in the proof. चरण 1: यदि (p) विषम होता, तो \(p^2\) भी विषम होता। चरण 2: पर \(p^2\) सम मिला है, इसलिए (p) विषम नहीं हो सकता और (p) सम होगा। चरण 3: यह छोटी सी सम-विषम बात प्रमाण में बहुत महत्त्वपूर्ण है।
The remaining sum is \(24\times25-9\times10=510\), not any listed option. This question should be corrected before import.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (660). The remaining sum is \(24\times25-9\times10=510\), not any listed option. This question should be corrected before import.
Step 3
Exam Tip
शेष योग \(24\times25-9\times10=510\) नहीं बल्कि (600-90=510) है, इसलिए दिए विकल्प गलत हैं। प्रश्न आयात से पहले सुधारें।
A. क्योंकि यदि (a) विषम होता तो \(a^2\) भी विषम होता/Because if (a) were odd, then \(a^2\) would also be odd
Step 1
Concept
The square of an odd number is odd.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(a^2\) is even, so (a) cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
Hence (a) must be even. चरण 1: विषम संख्या का वर्ग विषम होता है। चरण 2: यहां \(a^2\) सम मिला है, इसलिए (a) विषम नहीं हो सकता। चरण 3: अतः (a) सम होना निश्चित है।
A. यदि (a) विषम होता, तो \(a^2\) भी विषम होता/If (a) were odd, then \(a^2\) would also be odd
Step 1
Concept
The square of an odd number is always odd.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(a^2\) is even, so (a) cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
Therefore (a) must be even. चरण 1: विषम संख्या का वर्ग हमेशा विषम होता है। चरण 2: यहां \(a^2\) सम मिला है, इसलिए (a) विषम नहीं हो सकता। चरण 3: अतः (a) सम होना चाहिए।
A. क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होता है/Because the square of an odd number is odd
Step 1
Concept
If (p) were odd, then \(p^2\) would also be odd.
Step 2
Why this answer is correct
But \(p^2\) is even, so (p) cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
Thus (p) must be even. चरण 1: यदि (p) विषम होता, तो \(p^2\) भी विषम होता। चरण 2: लेकिन \(p^2\) सम मिला है, इसलिए (p) विषम नहीं हो सकता। चरण 3: इस तरह (p) सम होना तय है।
Therefore this fact is used twice in an important way. चरण 1: पहले \(p^2\) सम होने से (p) सम सिद्ध होता है। चरण 2: फिर \(q^2\) सम होने से (q) सम सिद्ध होता है। चरण 3: इसलिए यह नियम प्रमाण में दो बार महत्वपूर्ण रूप से आता है।
A. क्योंकि (b) सम सिद्ध करने के लिए (a=2k) को समीकरण में रखना होगा/Because to prove (b) even, (a=2k) must be substituted in the equation
Step 1
Concept
(a) being even does not automatically make (b) even.
Step 2
Why this answer is correct
After substituting (a=2k), we get \(b^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
Only then can (b) be proved even. चरण 1: (a) सम होने से (b) अपने आप सम नहीं होता। चरण 2: (a=2k) रखने पर \(b^2=2k^2\) मिलता है। चरण 3: तभी (b) सम सिद्ध किया जा सकता है।
The sum of the first (n) even numbers is (n(n+1)), so (n=25). Exam tip: you can also treat it as the AP \(2,4,6,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (25). The sum of the first (n) even numbers is (n(n+1)), so (n=25). Exam tip: you can also treat it as the AP \(2,4,6,\ldots\).
Step 3
Exam Tip
पहली (n) सम संख्याओं का योग (n(n+1)) होता है इसलिए (n=25)। परीक्षा में इसे समान्तर श्रेणी \(2,4,6,\ldots\) भी मान सकते हैं।
A. (p=2k) रखने से \(q^2=2k^2\) मिलता है/Putting (p=2k) gives \(q^2=2k^2\)
Step 1
Concept
First (p) is proved even, so (p=2k).
Step 2
Why this answer is correct
Substituting in \(p^2=2q^2\) gives \(q^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
Thus \(q^2\) is even and hence (q) is even. चरण 1: पहले (p) सम सिद्ध होता है, इसलिए (p=2k)। चरण 2: इसे \(p^2=2q^2\) में रखने से \(q^2=2k^2\) मिलता है। चरण 3: इससे \(q^2\) सम और इसलिए (q) सम होता है।
A. क्योंकि \(q^2\) सम है और सम वर्ग का आधार सम होता है/Because \(q^2\) is even and the base of an even square is even
Step 1
Concept
From \(q^2=2k^2\), \(q^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
If the square of an integer is even, the integer is also even.
Step 3
Exam Tip
Thus both (p) and (q) are found even. चरण 1: \(q^2=2k^2\) से \(q^2\) सम है। चरण 2: यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम है, तो वह पूर्णांक भी सम होता है। चरण 3: इस तरह (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं।
This rule is used immediately in the proof of \(\sqrt{2}\). चरण 1: यदि (x) विषम होता, तो \(x^2\) विषम होता। चरण 2: दिया है कि \(x^2\) सम है, इसलिए (x) सम होना चाहिए। चरण 3: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में यह नियम तुरंत काम आता है।
A. क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है, जबकि वे सहअभाज्य माने गए थे/Because both have common factor (2), while they were assumed coprime
Step 1
Concept
An even number is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
If both are even, (2) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
Coprime numbers cannot have such a common factor. चरण 1: सम संख्या (2) से विभाज्य होती है। चरण 2: दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता।
A. क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है/Because both have (2) as a common factor
Step 1
Concept
An even number is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
If both (p) and (q) are even, both have (2) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
Coprime numbers have no common factor except (1). चरण 1: सम संख्या (2) से विभाज्य होती है। चरण 2: यदि (p) और (q) दोनों सम हैं, तो दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होता।
A. \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में/In the proof of \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{2}\), we get \(p^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
This makes both (p) and (q) even.
Step 3
Exam Tip
The common factor (2) creates the contradiction. चरण 1: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में समीकरण \(p^2=2q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं। चरण 3: (2) वाला साझा गुणनखंड ही विरोधाभास बनाता है।
A. क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा/Because both will have (2) as a common factor
Step 1
Concept
An even number is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
If both (p) and (q) are even, both have (2) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
Coprime numbers do not have a common factor other than (1). चरण 1: सम संख्या (2) से विभाज्य होती है। चरण 2: यदि (p) और (q) दोनों सम हैं, तो दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: सहअभाज्य संख्याओं में साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होता।
An even factor must have exponent of (2) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2) has (3) choices (1,2,3), (3) has (3) choices (0,1,2), and (5) has (2) choices (0,1). Total (18).
Step 3
Exam Tip
While counting even factors, do not take exponent (0) for (2). चरण 1: सम गुणनखंड में (2) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। चरण 2: (2) की घात (1,2,3) के (3) विकल्प, (3) की घात (0,1,2) के (3) विकल्प और (5) की घात (0,1) के (2) विकल्प देती है। कुल \(3 \times 3 \times 2=18\)। चरण 3: सम गुणनखंड गिनते समय (2) की घात (0) न लें।
Multiplying by just one (2) gives the smallest even multiple.
Step 3
Exam Tip
When the smallest multiple is asked, do not increase exponents unnecessarily. चरण 1: दी गई संख्या में (2) नहीं है, इसलिए वह विषम है। चरण 2: सबसे छोटा सम गुणज बनाने के लिए केवल एक (2) गुणा करना पर्याप्त है। चरण 3: सबसे छोटा गुणज पूछे जाने पर अनावश्यक घात न बढ़ाएं।
An even number must contain (2) in its prime factorisation.
Step 2
Why this answer is correct
Only the fourth option contains (2), so it represents an even number.
Step 3
Exam Tip
You do not need to calculate the whole number to check evenness. चरण 1: सम संख्या के अभाज्य गुणनखंडन में (2) अवश्य होता है। चरण 2: केवल चौथे विकल्प में (2) है, इसलिए वही सम संख्या दर्शाता है। चरण 3: समता जांचने के लिए पूरी संख्या निकालने की जरूरत नहीं होती।
An even factor must have exponent of (2) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (2) has (2) choices (1,2), while (3) has (2) choices and (5) has (2) choices. Total \(2 \times 2 \times 2=8\).
Step 3
Exam Tip
While counting even factors, do not take exponent (0) for (2). चरण 1: सम गुणनखंड में (2) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। चरण 2: (2) की घात (1,2) के (2) विकल्प, (3) की घात (0,1) के (2) विकल्प और (5) की घात (0,1) के (2) विकल्प देती है। कुल \(2 \times 2 \times 2=8\)। चरण 3: सम गुणनखंड गिनते समय (2) की घात शून्य न लें।
To make the smallest even multiple, multiplying by one (2) is enough.
Step 3
Exam Tip
When the smallest multiple is asked, do not increase exponents unnecessarily. चरण 1: दी गई संख्या में (2) नहीं है, इसलिए वह विषम है। चरण 2: सबसे छोटा सम गुणज बनाने के लिए केवल एक (2) गुणा करना पर्याप्त है। चरण 3: सबसे छोटा गुणज पूछे जाने पर अनावश्यक घात न बढ़ाएं।
Only the third option contains (2), so it represents an even number.
Step 3
Exam Tip
To check evenness, calculating the whole number is not necessary. चरण 1: सम संख्या में (2) अभाज्य गुणनखंड अवश्य होता है। चरण 2: केवल तीसरे विकल्प में (2) मौजूद है, इसलिए वही सम संख्या को दर्शाता है। चरण 3: समता जांचने के लिए पूरी संख्या निकालने की जरूरत नहीं है।
An even number must have (2) in its prime factorisation.
Step 2
Why this answer is correct
Only the third option contains (2), so it forms an even number.
Step 3
Exam Tip
You do not need to calculate the whole number to check even or odd. चरण 1: सम संख्या के अभाज्य गुणनखंडन में (2) अवश्य होता है। चरण 2: केवल तीसरे विकल्प में (2) है, इसलिए वही सम संख्या बनाएगा। चरण 3: सम या विषम पहचानने के लिए पूरी संख्या निकालने की जरूरत नहीं होती।
The given number is odd because it has no factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
To make the smallest even multiple, multiply by only one (2).
Step 3
Exam Tip
Do not increase exponents unnecessarily when the smallest value is asked. चरण 1: दी गई संख्या विषम है क्योंकि इसमें (2) नहीं है। चरण 2: सबसे छोटा सम गुणज बनाने के लिए केवल एक (2) गुणा करना पर्याप्त है। चरण 3: सबसे छोटी शर्त पूरी करने के लिए अनावश्यक घात न बढ़ाएं।
A number is even if its prime factorisation contains (2).
Step 2
Why this answer is correct
Only the first option contains (2), so it represents an even number.
Step 3
Exam Tip
To check evenness, look only for the factor (2). चरण 1: कोई संख्या सम तभी होती है जब उसमें (2) अभाज्य गुणनखंड हो। चरण 2: केवल पहले विकल्प में (2) मौजूद है, इसलिए वह सम संख्या है। चरण 3: समता जांचने के लिए पूरे गुणा की जरूरत नहीं, केवल (2) देखें।
Power of (2) has (2) choices, (1) or (2); each of (3,5,7) has (2) choices. Total (=16).
Step 3
Exam Tip
For even factors, exclude the case \(2^0\). चरण 1: सम गुणनखंड में (2) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। चरण 2: (2) की घात (1,2) यानी (2) तरीके; (3,5,7) प्रत्येक के लिए (2) तरीके। कुल \(2\times2\times2\times2=16\)। चरण 3: सम गुणनखंड गिनते समय \(2^0\) वाला मामला छोड़ दें।
When a number is divided by (2), the remainder can be (0) or (1).
Step 2
Why this answer is correct
An even number has remainder (0), so its form is (2q).
Step 3
Exam Tip
Remember (2q) and (2q+1) for even and odd number questions. चरण 1: किसी संख्या को (2) से भाग देने पर शेषफल (0) या (1) हो सकता है। चरण 2: सम संख्या में शेषफल (0) होता है, इसलिए रूप (2q) है। चरण 3: सम और विषम के प्रश्न में (2q) और (2q+1) याद रखें।
This simplifies to (2q). चरण 1: सम संख्या (2) से पूर्ण विभाजित होती है। चरण 2: इसलिए शेषफल (0) होगा और रूप (a=2q+0) बनेगा। चरण 3: इसे सरल करके (2q) लिखा जाता है।
\(91=7\cdot 13\), so the factor (13) in the denominator cancels.
Step 2
Why this answer is correct
The reduced denominator is \(2^2\cdot 5\), containing only (2) and (5). Hence the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
An extra prime factor may cancel with the numerator. चरण 1: \(91=7\cdot 13\), इसलिए हर का (13) कट जाएगा। चरण 2: सरलतम हर \(2^2\cdot 5\) बचेगा, जिसमें केवल (2) और (5) हैं। इसलिए दशमलव सांत होगा। चरण 3: अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड अंश से कट सकता है।
The reduced denominator is (2), so the decimal terminates. In the other options, factors like (3) or (7) do not cancel completely.
Step 3
Exam Tip
Such questions test whether you reduce the fraction first. चरण 1: \(\frac{21}{42}=\frac{1}{2}\) हो जाता है। चरण 2: सरलतम रूप में हर (2) है, इसलिए दशमलव सांत होगा। बाकी विकल्पों में (3) या (7) जैसे गुणनखंड पूरी तरह नहीं कटते। चरण 3: ऐसे प्रश्न सरलतम रूप की जाँच करवाते हैं।
(\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\)=6-2=4), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Identifying conjugates helps remove radicals quickly. चरण 1: पहला विकल्प संयुग्मी पदों का गुणनफल है। चरण 2: (\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\)=6-2=4), जो परिमेय है। चरण 3: संयुग्मी पद पहचानने से वर्गमूल जल्दी हट जाते हैं।
A non-terminating decimal can still be rational if it is recurring.
Step 2
Why this answer is correct
In \(0.37373737\ldots\), the block (37) repeats, so it is rational.
Step 3
Exam Tip
Do not call a decimal irrational just because it is non-terminating; check for a repeating block. चरण 1: असांत दशमलव परिमेय भी हो सकता है, यदि उसमें आवर्तन हो। चरण 2: \(0.37373737\ldots\) में (37) बार-बार आ रहा है, इसलिए यह परिमेय है। चरण 3: असांत देखकर तुरंत अपरिमेय न मानें; आवर्ती भाग को ध्यान से पहचानें।
(9) is a perfect square and \(\sqrt{9}=3\), so it is rational.
Step 3
Exam Tip
In square root questions, first check whether the number inside is a perfect square. चरण 1: पूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय संख्या होता है। चरण 2: (9) पूर्ण वर्ग है और \(\sqrt{9}=3\), इसलिए यह परिमेय है। चरण 3: वर्गमूल वाले प्रश्न में पहले देखें कि अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं।
A. (p=2k) रखने के बाद \(q^2=2k^2\) मिलता है/After substituting (p=2k), \(q^2=2k^2\) is obtained
Step 1
Concept
First (p) is proved even from \(p^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Substituting (p=2k) gives \(q^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
This proves \(q^2\), and then (q), is even. चरण 1: पहले \(p^2=2q^2\) से (p) सम सिद्ध होता है। चरण 2: (p=2k) रखने पर \(q^2=2k^2\) मिलता है। चरण 3: इससे \(q^2\) सम और फिर (q) सम सिद्ध होता है।
A. \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता में/In the irrationality of \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{2}\), \(p^2=2q^2\) is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
This proves both (p) and (q) even.
Step 3
Exam Tip
Both even contradict the coprime condition. चरण 1: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2=2q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) और (q) दोनों सम सिद्ध होते हैं। चरण 3: दोनों सम होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है।
A. दोनों में (2) साझा गुणनखंड है/Both have (2) as a common factor
Step 1
Concept
First (p) is proved even.
Step 2
Why this answer is correct
If (q) is also proved even, both are divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
Common factor (2) breaks the coprime condition. चरण 1: पहले (p) सम सिद्ध होता है। चरण 2: यदि (q) भी सम सिद्ध हो जाए, तो दोनों (2) से विभाज्य होंगे। चरण 3: साझा गुणनखंड (2) सहअभाज्य शर्त को तोड़ता है।
An even integer is written as (2) times an integer.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore in (p=2k), (k) is an integer.
Step 3
Exam Tip
Mentioning the type of (k) makes the proof clear. चरण 1: सम पूर्णांक को (2) गुणा किसी पूर्णांक के रूप में लिखा जाता है। चरण 2: इसलिए (p=2k) में (k) पूर्णांक है। चरण 3: (k) का प्रकार लिखना प्रमाण को स्पष्ट बनाता है।
Finding a common factor contradicts the lowest-form condition. चरण 1: सम संख्या हमेशा (2) से विभाज्य होती है। चरण 2: दोनों सम हैं, इसलिए (2) दोनों का साझा गुणनखंड है। चरण 3: साझा गुणनखंड मिलना सरलतम रूप की शर्त से टकराता है।
An even integer is written as (2) times an integer.
Step 2
Why this answer is correct
So in (a=2k), (k) is an integer.
Step 3
Exam Tip
It is good to mention the type of (k) in such forms. चरण 1: सम पूर्णांक को (2) गुणा किसी पूर्णांक के रूप में लिखा जाता है। चरण 2: इसलिए (a=2k) में (k) पूर्णांक होता है। चरण 3: ऐसे रूपों में (k) का प्रकार साफ लिखना अच्छा होता है।
A. (p=2k), जहां (k) पूर्णांक है/(p=2k), where (k) is an integer
Step 1
Concept
An even number is completely divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore if (p) is even, we can write (p=2k).
Step 3
Exam Tip
Writing an even number as (2k) makes the proof easier. चरण 1: सम संख्या (2) से पूरी तरह विभाजित होती है। चरण 2: इसलिए (p) सम होने पर (p=2k) लिखा जा सकता है। चरण 3: प्रमाण में सम संख्या को (2k) लिखना आसान रास्ता देता है।
If the square of an integer is even, then the integer itself is even.
Step 2
Why this answer is correct
So if \(p^2\) is even, (p) is also even.
Step 3
Exam Tip
This small fact is very important in the proof of \(\sqrt{2}\). चरण 1: किसी पूर्णांक का वर्ग सम हो तो वह पूर्णांक भी सम होता है। चरण 2: इसलिए \(p^2\) सम होने पर (p) भी सम होगा। चरण 3: यह छोटी बात \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में बहुत महत्वपूर्ण है।
Since \(62=2\cdot 31\), the factor (31) cancels and the reduced denominator is \(2^3\cdot 5^3\). If an extra prime appears, check cancellation first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{62}{2^4\cdot 5^3\cdot 31}\). Since \(62=2\cdot 31\), the factor (31) cancels and the reduced denominator is \(2^3\cdot 5^3\). If an extra prime appears, check cancellation first.
Step 3
Exam Tip
\(62=2\cdot 31\) है इसलिए (31) कट जाता है और सरल हर \(2^3\cdot 5^3\) बचता है। अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड दिखे तो पहले कटौती देखें।
Since \(58=2\cdot 29\), the factor (29) cancels and the reduced denominator is \(2^2\cdot 5^2\). If an extra prime appears, check cancellation first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{58}{2^3\cdot 5^2\cdot 29}\). Since \(58=2\cdot 29\), the factor (29) cancels and the reduced denominator is \(2^2\cdot 5^2\). If an extra prime appears, check cancellation first.
Step 3
Exam Tip
\(58=2\cdot 29\) है इसलिए (29) कट जाता है और सरल हर \(2^2\cdot 5^2\) बचता है। अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड दिखे तो पहले कटौती देखें।
Since \(38=2\cdot 19\), the factor (19) cancels and the reduced denominator is \(2\cdot 5^3\). Even if an extra prime appears, check cancellation first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(\frac{38}{2^2\cdot 5^3\cdot 19}\). Since \(38=2\cdot 19\), the factor (19) cancels and the reduced denominator is \(2\cdot 5^3\). Even if an extra prime appears, check cancellation first.
Step 3
Exam Tip
\(38=2\cdot 19\), इसलिए (19) कट जाता है और सरल हर \(2\cdot 5^3\) बचता है। अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड दिखे तो भी पहले कटौती देखें।
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{7}\), and \(\pi\) are all irrational. Identify square roots of perfect squares and fractions separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{7}\), \(\pi\). \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{7}\), and \(\pi\) are all irrational. Identify square roots of perfect squares and fractions separately.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{7}\) और \(\pi\) सभी अपरिमेय हैं। पूर्ण वर्ग की जड़ और भिन्न को अलग पहचानें।
An irrational number cannot be written exactly in the form \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
(14) is not a perfect square, so \(\sqrt{14}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In square-root questions, first check whether the number inside is a perfect square. चरण 1: अपरिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में ठीक-ठीक नहीं लिखा जा सकता। चरण 2: (14) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{14}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल में अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं, पहले यही जांचें।
An irrational number cannot be written exactly as a fraction.
Step 2
Why this answer is correct
(15) is not a perfect square, so \(\sqrt{15}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
For square-root options, first check whether the number inside is a perfect square. चरण 1: अपरिमेय संख्या को ठीक-ठीक भिन्न रूप में नहीं लिखा जा सकता। चरण 2: (15) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{15}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल वाले विकल्पों में अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं, पहले यही देखें।
(10) is not a perfect square, so \(\sqrt{10}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Use nearby perfect squares to locate square roots. चरण 1: (9<10<16), इसलिए \(3<\sqrt{10}<4\)। चरण 2: (10) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{10}\) अपरिमेय है। चरण 3: दो पूर्ण वर्गों के बीच की संख्या का वर्गमूल अंतराल बताता है।
An irrational number cannot be written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{2}\) is not the square root of a perfect square, so it is irrational.
Step 3
Exam Tip
If the number under a square root is not a perfect square, it is usually irrational. चरण 1: अपरिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में नहीं लिखा जा सकता। चरण 2: \(\sqrt{2}\) पूर्ण वर्ग का वर्गमूल नहीं है, इसलिए यह अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल में संख्या पूर्ण वर्ग न हो तो वह अक्सर अपरिमेय होती है।
Therefore the rational assumption is proved false. चरण 1: (p,q) को सरलतम रूप में सहअभाज्य माना गया था। चरण 2: दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड बनता है। चरण 3: इसलिए परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है।
A. विषम संख्या का वर्ग विषम होना चाहिए/The square of an odd number should be odd
Step 1
Concept
The square of an odd integer is always odd.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(p^2\) is even, so (p) cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
Thus (p) is proved even. चरण 1: विषम पूर्णांक का वर्ग हमेशा विषम होता है। चरण 2: यहाँ \(p^2\) सम है, इसलिए (p) विषम नहीं हो सकता। चरण 3: इस प्रकार (p) सम सिद्ध होता है।
If both numerator and denominator are divisible by (2), the fraction can be reduced by (2).
Step 3
Exam Tip
This contradicts the lowest-form assumption. चरण 1: सम होने का अर्थ (2) से विभाज्य होना है। चरण 2: यदि अंश और हर दोनों (2) से विभाज्य हैं, तो भिन्न (2) से घट सकती है। चरण 3: यह सरलतम रूप की मान्यता के विरुद्ध है।
A. दोनों में (2) साझा गुणनखंड है/Both have (2) as a common factor
Step 1
Concept
(p=2m) shows \(2\mid p\).
Step 2
Why this answer is correct
(q=2n) shows \(2\mid q\).
Step 3
Exam Tip
Together, they make (2) a common factor. चरण 1: (p=2m) बताता है कि \(2\mid p\)। चरण 2: (q=2n) बताता है कि \(2\mid q\)। चरण 3: दोनों मिलकर (2) को साझा गुणनखंड बनाते हैं।
A. सम होना अकेले कारण नहीं है; प्रमाण में सरलतम भिन्न का विरोधाभास चाहिए/Being even alone is not the reason; the proof needs contradiction of a lowest-form fraction
Step 1
Concept
The fact that (2) is even is not enough by itself.
Step 2
Why this answer is correct
The real proof assumes \(\sqrt{2}\) rational and shows numerator and denominator both even.
Step 3
Exam Tip
Write the full reason, not a short guess. चरण 1: केवल (2) का सम होना पर्याप्त कारण नहीं है। चरण 2: असली प्रमाण में \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर अंश और हर दोनों सम निकलते हैं। चरण 3: कारण को पूरा लिखें, छोटा अनुमान नहीं।
A. \(\sqrt{2}\) परिमेय है/\(\sqrt{2}\) is rational
Step 1
Concept
We initially assumed that \(\sqrt{2}\) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
That assumption led to a common factor in a lowest-form fraction.
Step 3
Exam Tip
Therefore the initial rational assumption is proved false. चरण 1: हमने शुरुआत में \(\sqrt{2}\) को परिमेय माना था। चरण 2: उसी मान्यता से सरलतम भिन्न में साझा गुणनखंड आ गया। चरण 3: इसलिए प्रारंभिक परिमेय मान्यता झूठी सिद्ध होती है।
If both (p) and (q) are even, \(\frac{p}{q}\) can be reduced by (2).
Step 3
Exam Tip
This contradicts lowest form. चरण 1: सम होने का अर्थ (2) से विभाज्य होना है। चरण 2: यदि (p) और (q) दोनों सम हैं, तो \(\frac{p}{q}\) को (2) से घटाया जा सकता है। चरण 3: यही सरलतम रूप के विरुद्ध है।
A. यह सरलतम रूप में नहीं हो सकता/It cannot be in lowest form
Step 1
Concept
Both being even means both have (2) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
A fraction in lowest form cannot have such a common factor.
Step 3
Exam Tip
This breaks the rational assumption. चरण 1: दोनों सम होने का अर्थ है कि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 2: सरलतम भिन्न में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता। चरण 3: इसी से परिमेय मान्यता टूटती है।
A. क्योंकि \(q^2\) सम है, इसलिए (q) सम होगा/Because \(q^2\) is even, so (q) will be even
Step 1
Concept
From \(q^2=2r^2\), \(q^2\) is a multiple of (2).
Step 2
Why this answer is correct
So \(q^2\) is even and the integer (q) is also even.
Step 3
Exam Tip
This is the second evenness conclusion in the proof. चरण 1: \(q^2=2r^2\) से \(q^2\) (2) का गुणज है। चरण 2: इसलिए \(q^2\) सम है और पूर्णांक (q) भी सम होगा। चरण 3: यह प्रमाण का दूसरा समपन निष्कर्ष है।
A. क्योंकि (q) के सम होने और विरोधाभास तक पहुँचना भी जरूरी है/Because proving (q) even and reaching contradiction is also necessary
Step 1
Concept
From \(p^2\) even, we only get that (p) is even.
Step 2
Why this answer is correct
For the full contradiction, (q) must also be shown even.
Step 3
Exam Tip
Do not stop the proof midway; write until the final conflict. चरण 1: \(p^2\) सम होने से केवल (p) सम मिलता है। चरण 2: पूर्ण विरोधाभास के लिए (q) का भी सम होना दिखाना पड़ता है। चरण 3: प्रमाण को बीच में न छोड़ें, अंतिम टकराव तक लिखें।
A. \(\frac{p}{q}\) का सरलतम रूप होना/The fraction \(\frac{p}{q}\) being in lowest form
Step 1
Concept
In lowest form, numerator and denominator have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
If both are even, (2) becomes a common factor.
Step 3
Exam Tip
So the lowest-form condition fails. चरण 1: सरलतम रूप में अंश और हर में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड बन जाता है। चरण 3: इसलिए सरलतम रूप की शर्त टूटती है।
A. आरंभिक परिमेय मान्यता गलत है/The initial rational assumption is false
Step 1
Concept
Both being even means both have (2) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
But (p) and (q) were taken coprime.
Step 3
Exam Tip
Therefore the assumption that \(\sqrt{2}\) is rational is false. चरण 1: दोनों सम होने का अर्थ है कि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 2: लेकिन (p) और (q) को सहअभाज्य लिया गया था। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानना गलत है।
A. \(\sqrt{3}=-\frac{p}{q}\) होगा जो असंभव है/\(\sqrt{3}=-\frac{p}{q}\) would be true which is impossible
Step 1
Concept
\(-\frac{p}{q}\) is rational so it would make \(\sqrt{3}\) rational which is false. In exams recognize the contradiction method.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{3}=-\frac{p}{q}\) होगा जो असंभव है / \(\sqrt{3}=-\frac{p}{q}\) would be true which is impossible. \(-\frac{p}{q}\) is rational so it would make \(\sqrt{3}\) rational which is false. In exams recognize the contradiction method.
Step 3
Exam Tip
\(-\frac{p}{q}\) परिमेय है इसलिए इससे \(\sqrt{3}\) परिमेय हो जाएगा जो गलत है। परीक्षा में विरोधाभास विधि पहचानें।
A. \(\sqrt{2}=-\frac{p}{q}\), इसलिए \(\sqrt{2}\) परिमेय होगा जो असंभव है/\(\sqrt{2}=-\frac{p}{q}\), so \(\sqrt{2}\) would be rational which is impossible
Step 1
Concept
Since \(-\frac{p}{q}\) is rational, this would make \(\sqrt{2}\) rational which is false. In exams recognize the contradiction method.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}=-\frac{p}{q}\), इसलिए \(\sqrt{2}\) परिमेय होगा जो असंभव है / \(\sqrt{2}=-\frac{p}{q}\), so \(\sqrt{2}\) would be rational which is impossible. Since \(-\frac{p}{q}\) is rational, this would make \(\sqrt{2}\) rational which is false. In exams recognize the contradiction method.
Step 3
Exam Tip
क्योंकि \(-\frac{p}{q}\) परिमेय है, इससे \(\sqrt{2}\) परिमेय मानना पड़ेगा जो गलत है। परीक्षा में विरोधाभास विधि को पहचानें।
Here \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so the difference is \(3\sqrt{2}\), irrational; no listed expression is rational, so this item must be checked carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(\sqrt{50}-\sqrt{8}\). Here \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so the difference is \(3\sqrt{2}\), irrational; no listed expression is rational, so this item must be checked carefully.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए अंतर \(3\sqrt{2}\) अपरिमेय है; सही परिमेय विकल्प नहीं दिखता, अतः ध्यान दें कि \(\sqrt{7}\sqrt{14}=7\sqrt{2}\) भी अपरिमेय है।
A. गुणनफल परिमेय या अपरिमेय दोनों हो सकता है/The product can be rational or irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\) is rational but \(\sqrt{5}\times\sqrt{2}=\sqrt{10}\) is irrational. So it depends on the case.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. गुणनफल परिमेय या अपरिमेय दोनों हो सकता है / The product can be rational or irrational. \(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\) is rational but \(\sqrt{5}\times\sqrt{2}=\sqrt{10}\) is irrational. So it depends on the case.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\) परिमेय है पर \(\sqrt{5}\times\sqrt{2}=\sqrt{10}\) अपरिमेय है। इसलिए स्थिति पर निर्भर करता है।
A. योग परिमेय या अपरिमेय दोनों हो सकता है/The sum can be rational or irrational
Step 1
Concept
(\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) is rational but \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational. So there is no single fixed rule.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. योग परिमेय या अपरिमेय दोनों हो सकता है / The sum can be rational or irrational. (\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) is rational but \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational. So there is no single fixed rule.
Step 3
Exam Tip
(\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) परिमेय है पर \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) अपरिमेय है। इसलिए एक ही स्थायी नियम नहीं है।
\(\sqrt{12}\times\sqrt{3}=\sqrt{36}=6\). The product of two irrational numbers is not always irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{12}\times\sqrt{3}\). \(\sqrt{12}\times\sqrt{3}=\sqrt{36}=6\). The product of two irrational numbers is not always irrational.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{12}\times\sqrt{3}=\sqrt{36}=6\) है। दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय नहीं होता।
\(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\), and \(\sqrt{12}\) are all irrational. Remove options with perfect squares and rational numbers.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \({\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{12}}\). \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\), and \(\sqrt{12}\) are all irrational. Remove options with perfect squares and rational numbers.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{12}\) सभी अपरिमेय हैं। पूर्ण वर्ग और परिमेय संख्या वाले विकल्प हटाएँ।
All numbers in the first set can be written in \(\frac{p}{q}\) form. The other sets contain an irrational number.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \({2,-5,0.4,\frac{7}{8}}\). All numbers in the first set can be written in \(\frac{p}{q}\) form. The other sets contain an irrational number.
Step 3
Exam Tip
पहले समूह की सभी संख्याएँ \(\frac{p}{q}\) रूप में लिखी जा सकती हैं। बाकी समूहों में अपरिमेय संख्या है।
\(\sqrt{2}\times\sqrt{5}=\sqrt{10}\), which is irrational. Multiplying equal roots can often give a rational number.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}\times\sqrt{5}\). \(\sqrt{2}\times\sqrt{5}=\sqrt{10}\), which is irrational. Multiplying equal roots can often give a rational number.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\times\sqrt{5}=\sqrt{10}\) है जो अपरिमेय है। समान जड़ों का गुणन अक्सर परिमेय दे सकता है।
A. इनमें परिमेय और अपरिमेय दोनों शामिल हैं/They include both rational and irrational numbers
Step 1
Concept
Real numbers form the large set of rational and irrational numbers. They can be represented on the number line.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. इनमें परिमेय और अपरिमेय दोनों शामिल हैं / They include both rational and irrational numbers. Real numbers form the large set of rational and irrational numbers. They can be represented on the number line.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक संख्याएँ परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का बड़ा समुच्चय हैं। संख्या रेखा पर इन्हें दर्शाया जा सकता है।
Integers and terminating decimals are rational. Options containing irrational roots or \(\pi\) are not only rational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (4), (-2), (0.75). Integers and terminating decimals are rational. Options containing irrational roots or \(\pi\) are not only rational.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक और सांत दशमलव परिमेय होते हैं। जिन विकल्पों में अपरिमेय जड़ या \(\pi\) है वे केवल परिमेय नहीं हैं।
\(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) is rational but \(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\) is irrational. So it is not always one type.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. हमेशा निश्चित नहीं / Not always fixed. \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) is rational but \(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\) is irrational. So it is not always one type.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) परिमेय है लेकिन \(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\) अपरिमेय है। इसलिए हमेशा एक जैसा नहीं होता।
(\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) is rational but \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational. So there is no fixed always rule.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. हमेशा निश्चित नहीं / Not always fixed. (\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) is rational but \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational. So there is no fixed always rule.
Step 3
Exam Tip
(\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) परिमेय है लेकिन \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) अपरिमेय है। इसलिए हमेशा एक जैसा नियम नहीं है।
Real numbers include both rational and irrational numbers. These are placed on the number line.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वास्तविक संख्याएँ / Real numbers. Real numbers include both rational and irrational numbers. These are placed on the number line.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक संख्याओं में परिमेय और अपरिमेय दोनों शामिल होते हैं। संख्या रेखा पर इन्हीं का स्थान होता है।
B. \(\sqrt{18}\) और \(\sqrt{2}\)/\(\sqrt{18}\) and \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{18}\) and \(\sqrt{2}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}=3\) which is rational.
Step 3
Exam Tip
In quotients check whether the ratio inside the radical becomes a perfect square. चरण 1: \(\sqrt{18}\) और \(\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: \(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}=3\) परिमेय है। चरण 3: भाग में मूल के अंदर अनुपात पूर्ण वर्ग बन रहा है या नहीं यह देखें।
\(\sqrt{5}\times\sqrt{20}=\sqrt{100}=10\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Check whether the product inside the square root becomes a perfect square. चरण 1: दोनों संख्याएँ अलग-अलग अपरिमेय हैं। चरण 2: \(\sqrt{5}\times\sqrt{20}=\sqrt{100}=10\), जो परिमेय है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में गुणन के बाद मूल के अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग बन रही है या नहीं, यह देखें।
After factoring out HCF (90), (r) and (s) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
LCM (=90rs=6930), so (rs=77).
Step 3
Exam Tip
In such questions, first divide the LCM by the HCF. चरण 1: महत्तम समापवर्तक (90) बाहर निकालने पर (r) और (s) सहाभाज्य होते हैं। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य (90rs=6930), इसलिए (rs=77) है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले लघुत्तम समापवर्त्य को महत्तम समापवर्तक से भाग दें।
After taking out HCF (84), (r) and (s) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
LCM (=84rs=5460), so (rs=65).
Step 3
Exam Tip
First divide the LCM by the HCF. चरण 1: महत्तम समापवर्तक (84) बाहर निकालने पर (r) और (s) सहाभाज्य होते हैं। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य (84rs=5460), इसलिए (rs=65) है। चरण 3: पहले लघुत्तम समापवर्त्य को महत्तम समापवर्तक से भाग दें।
