A. क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है, जबकि वे सहअभाज्य माने गए थे/Because both have common factor (2), while they were assumed coprime
Step 1
Concept
An even number is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
If both are even, (2) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
Coprime numbers cannot have such a common factor. चरण 1: सम संख्या (2) से विभाज्य होती है। चरण 2: दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता।
A. क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है/Because both have (2) as a common factor
Step 1
Concept
An even number is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
If both (p) and (q) are even, both have (2) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
Coprime numbers have no common factor except (1). चरण 1: सम संख्या (2) से विभाज्य होती है। चरण 2: यदि (p) और (q) दोनों सम हैं, तो दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होता।
A. दोनों अभाज्य संख्याएं हैं/Both are prime numbers
Step 1
Concept
(3) and (5) are prime numbers.
Step 2
Why this answer is correct
If a prime factor divides a square, it also divides the original number.
Step 3
Exam Tip
This property creates the common-factor contradiction. चरण 1: (3) और (5) अभाज्य संख्याएं हैं। चरण 2: अभाज्य गुणनखंड अगर किसी वर्ग को विभाजित करे, तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है। चरण 3: इसी गुण से साझा गुणनखंड वाला विरोधाभास बनता है।
A. \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में/In the proof of \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{2}\), we get \(p^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
This makes both (p) and (q) even.
Step 3
Exam Tip
The common factor (2) creates the contradiction. चरण 1: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में समीकरण \(p^2=2q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं। चरण 3: (2) वाला साझा गुणनखंड ही विरोधाभास बनाता है।
A. क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा/Because both will have (2) as a common factor
Step 1
Concept
An even number is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
If both (p) and (q) are even, both have (2) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
Coprime numbers do not have a common factor other than (1). चरण 1: सम संख्या (2) से विभाज्य होती है। चरण 2: यदि (p) और (q) दोनों सम हैं, तो दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: सहअभाज्य संख्याओं में साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होता।
Having no common prime factor means their only common factor is 1.
Step 2
Why this answer is correct
Such numbers are called co-prime numbers.
Step 3
Exam Tip
Prime factorisation helps identify co-primality quickly. चरण 1: समान अभाज्य गुणनखंड न होने का अर्थ है कि उनका सामान्य गुणनखंड केवल 1 है। चरण 2: ऐसी संख्याएं सह-अभाज्य कहलाती हैं। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन से सह-अभाज्यता जल्दी पहचान सकते हैं।
A. अभाज्य गुणनखंडन क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है/Prime factorisation is unique except for order
Step 1
Concept
The theorem tells us that prime factorisation is fixed.
Step 2
Why this answer is correct
The order of factors may change but the prime factors remain the same.
Step 3
Exam Tip
In exams, do not treat changed order as a new factorisation. चरण 1: मूल प्रमेय अभाज्य गुणनखंडन की निश्चितता बताता है। चरण 2: गुणनखंडों का क्रम बदल सकता है पर अभाज्य गुणनखंड वही रहते हैं। चरण 3: परीक्षा में क्रम बदलने को नया गुणनखंडन न मानें।
A. यह क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है/It is unique except for order
Step 1
Concept
The theorem says prime factorisation is unique.
Step 2
Why this answer is correct
The order of factors may change, but the prime factors remain the same.
Step 3
Exam Tip
Understand uniqueness separately from order. चरण 1: प्रमेय बताता है कि अभाज्य गुणनखंडन अद्वितीय होता है। चरण 2: गुणनखंडों का क्रम बदल सकता है, पर अभाज्य गुणनखंड वही रहते हैं। चरण 3: अद्वितीयता को क्रम से अलग समझें।
A. अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में/As a product of prime numbers
Step 1
Concept
This theorem is connected with prime factorisation.
Step 2
Why this answer is correct
Every positive integer greater than 1 can be written as a product of prime numbers.
Step 3
Exam Tip
In exams, remember it through prime factorisation. चरण 1: यह प्रमेय अभाज्य गुणनखंडन से जुड़ा है। चरण 2: 1 से बड़ी हर धनात्मक पूर्ण संख्या अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखी जा सकती है। चरण 3: परीक्षा में इस विचार को अभाज्य गुणनखंडन से जोड़कर याद रखें।
A. अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में/As a product of prime numbers
Step 1
Concept
This theorem is about prime factorisation.
Step 2
Why this answer is correct
Every composite number can be written as a product of prime numbers.
Step 3
Exam Tip
In exams, remember this theorem through factorisation. चरण 1: यह प्रमेय अभाज्य गुणनखंडों के बारे में है। चरण 2: हर संयुक्त संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। चरण 3: परीक्षा में इस प्रमेय को गुणनखंडन से जोड़कर याद रखें।
A. क्योंकि 11 से भाग देने पर शेषफल 0 से 10 तक चक्र में आते हैं/Because division by 11 gives remainders from 0 to 10 in a cycle
Step 1
Concept
On division by 11, possible remainders are from 0 to 10.
Step 2
Why this answer is correct
Eleven consecutive integers cover all these remainders once.
Step 3
Exam Tip
The number with remainder 0 is divisible by 11. चरण 1: 11 से भाग देने पर संभावित शेषफल 0 से 10 तक होते हैं। चरण 2: ग्यारह लगातार पूर्णांकों में ये सभी शेषफल एक बार आते हैं। चरण 3: जिस संख्या का शेषफल 0 है, वही 11 से विभाज्य होगी।
A. क्योंकि 7 से भाग देने पर शेषफल 0 से 6 तक चक्र में आते हैं/Because division by 7 gives remainders from 0 to 6 in a cycle
Step 1
Concept
The possible remainders on division by 7 are 0, 1, 2, 3, 4, 5, and 6.
Step 2
Why this answer is correct
Seven consecutive integers cover all these remainders once.
Step 3
Exam Tip
The number with remainder 0 is divisible by 7. चरण 1: 7 से भाग देने पर संभावित शेषफल 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 हैं। चरण 2: सात लगातार पूर्णांकों में ये सभी शेषफल एक बार आते हैं। चरण 3: जिस संख्या का शेषफल 0 है, वही 7 से विभाज्य होगी।
Remember the form (2q) for identifying even numbers. चरण 1: (n=2q) का अर्थ है कि (n), (2) से पूरी तरह विभाजित होता है। चरण 2: (2) से विभाजित होने वाली संख्या सम संख्या होती है। चरण 3: सम संख्या पहचानने के लिए (2q) रूप याद रखें।
The form (2q) is very useful for identifying even numbers. चरण 1: (n=2q) का अर्थ है (n) (2) से पूरी तरह विभाजित है। चरण 2: इसलिए (n) सम संख्या है। चरण 3: सम संख्या पहचानने के लिए (2q) रूप बहुत उपयोगी है।
When divided by (2), the remainder can only be (0) or (1).
Step 2
Why this answer is correct
Even numbers leave (0), while odd numbers leave (1).
Step 3
Exam Tip
Write an odd number as (2q+1). चरण 1: (2) से भाग देने पर शेषफल (0) या (1) ही हो सकता है। चरण 2: सम संख्या में शेषफल (0) और विषम संख्या में शेषफल (1) होता है। चरण 3: विषम संख्या को (2q+1) रूप में लिखें।
