100 results found for "all-real-solutions" in Class 10.
If (p(x)=x-2-2x-3), are all its zeroes real?
A. हाँ, क्योंकि (D=16)Yes, because (D=16)
यहाँ (D=(-2)2-4(1)(-3)=16) है, जो धनात्मक है। इसलिए दोनों शून्यक वास्तविक हैं। / Here (D=(-2)2-4(1)(-3)=16), which is positive. So both zeroes are real.
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Why can all alkalis be called bases, but all bases cannot be called alkalis?
A. क्योंकि घुलनशील क्षार ही अल्कली कहलाते हैंBecause only soluble bases are called alkalis
क्षार एक व्यापक समूह है। / Bases are a broad group.
जो क्षार जल में घुलते हैं उन्हें अल्कली कहा जाता है। / Bases that dissolve in water are called alkalis.
इसलिए सभी अल्कली क्षार हैं पर सभी क्षार अल्कली नहीं हैं। / Therefore all alkalis are bases, but all bases are not alkalis.
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All alkalis are bases but why are all bases not alkalis?
A. क्योंकि सभी क्षार जल में नहीं घुलतेBecause all bases do not dissolve in water
क्षारीय विलयन जल में घुलनशील क्षार है। / An alkali is a water-soluble base.
कई क्षार जल में अघुलनशील होते हैं। / Many bases are insoluble in water.
इसलिए हर क्षार क्षारीय विलयन नहीं होता। / Therefore every base is not an alkali.
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All alkalis are bases but all bases are not alkalis. What is the reason?
A. कुछ क्षार जल में अघुलनशील होते हैंSome bases are insoluble in water
क्षारीय विलयन जल में घुलनशील क्षार होता है। / An alkali is a base soluble in water.
कई क्षार जल में नहीं घुलते। / Many bases do not dissolve in water.
इसलिए हर क्षार को क्षारीय विलयन नहीं कहा जा सकता। / Therefore every base cannot be called an alkali.
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If (3x+ky=21) and (12x+20y=84) give infinitely many solutions, what is the value of (k)?
C. (5)
दूसरा समीकरण पहले का (4) गुना है, इसलिए (4k=20) और (k=5)। अनंत समाधान के लिए रेखाएं संपाती होनी चाहिए। / The second equation is (4) times the first, so (4k=20) and (k=5). For infinite solutions, the lines must be coincident.
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If (5x+4y=p) and (15x+12y=96) give infinitely many solutions, what is (p)?
C. (32)
अनंत समाधान के लिए दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना होना चाहिए। इसलिए (3p=96) और (p=32)। / For infinitely many solutions, the second equation must be (3) times the first. Therefore (3p=96) and (p=32).
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If (2x+ky=18) and (6x+12y=54) give infinitely many solutions, what is the value of (k)?
C. (4)
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है, इसलिए (3k=12) और (k=4)। अनंत समाधान के लिए रेखाएं संपाती होनी चाहिए। / The second equation is (3) times the first, so (3k=12) and (k=4). For infinite solutions, the lines must be coincident.
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If (4x+3y=p) and (8x+6y=42) give infinitely many solutions, what is (p)?
C. (21)
अनंत समाधान के लिए दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना होना चाहिए। इसलिए (2p=42) और (p=21)। / For infinitely many solutions, the second equation must be (2) times the first. Therefore (2p=42) and (p=21).
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If (x+ky=8) and (2x+6y=16) give infinitely many solutions, what is the value of (k)?
B. (3)
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है, इसलिए (2k=6) और (k=3)। अनंत समाधान के लिए रेखाएं संपाती होनी चाहिए। / The second equation is (2) times the first, so (2k=6) and (k=3). For infinite solutions, the lines must be coincident.
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If (3x+2y=p) and (6x+4y=20) give infinitely many solutions, what is (p)?
B. (10)
अनंत समाधान के लिए दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना होना चाहिए। इसलिए (2p=20) और (p=10)। / For infinitely many solutions, the second equation must be (2) times the first. Therefore (2p=20) and (p=10).
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In which condition does the graph of two lines show infinitely many solutions?
C. \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)
अनंत समाधान तब होते हैं जब दोनों रेखाएं एक ही रेखा हों। इसके लिए तीनों अनुपात बराबर होते हैं। / Infinite solutions occur when both lines are the same line. For this, all three ratios are equal.
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How many solutions will be obtained from the graphs of (2x-y=1) and (4x-2y=2)?
D. अनंतInfinite
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है, इसलिए रेखाएं संपाती हैं। संपाती रेखाओं में हर बिंदु समाधान होता है। / The second equation is (2) times the first, so the lines are coincident. In coincident lines, every point is a solution.
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How many solutions are there for (2x+5y=20) and (4x+10y=40)?
C. अनंत हलInfinitely many solutions
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए रेखाएँ संपाती हैं और उनके अनंत सामान्य बिंदु हैं। / The second equation is (2) times the first. Therefore the lines are coincident and have infinitely many common points.
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How many solutions are there for (x+3y=9) and (2x+6y=18)?
C. अनंतInfinitely many
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए दोनों रेखाएँ संपाती हैं और अनंत सामान्य बिंदु हैं। / The second equation is (2) times the first. Hence the lines are coincident and have infinitely many common points.
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When does graphical method give infinitely many solutions?
B. जब रेखाएँ एक ही रेखा होंWhen lines are the same line
एक ही रेखा के सभी बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। इसलिए अनंत हल मिलते हैं। / All points on the same line satisfy both equations. Therefore, there are infinitely many solutions.
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If both lines on a graph form exactly the same line, how many solutions will there be?
B. अनंत हलInfinitely many solutions
एक ही रेखा के सभी बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। इसलिए अनंत हल मिलते हैं। / All points on the same line satisfy both equations. Therefore, there are infinitely many solutions.
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In which situation does graphical method give infinitely many solutions?
B. जब रेखाएँ एक ही रेखा होंWhen lines are the same line
एक ही रेखा के सभी बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। इसलिए अनंत हल मिलते हैं। / All points on the same line satisfy both equations. Therefore, there are infinitely many solutions.
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If both lines appear exactly at the same place on the graph, how many solutions will there be?
B. अनंत हलInfinitely many solutions
संपाती रेखाओं के अनंत सामान्य बिंदु होते हैं। इसलिए ऐसे समीकरण युग्म के अनंत हल होते हैं। / Coincident lines have infinitely many common points. Therefore, such a pair of equations has infinitely many solutions.
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If two lines coincide on the graph, how many solutions will the pair have?
A. अनंत हलInfinitely many solutions
संपाती रेखाओं के सभी बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। परीक्षा में इसे संगत और आश्रित स्थिति कहें। / Every point on coincident lines satisfies both equations. In exams, call this a consistent and dependent case.
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What are the real solutions of \(x^4-25x^2+144=0\)?
A. \(x=\pm3,\pm4\)
\(y^2-25y+144=0\) से (y=9,16), इसलिए \(x^2=9,16\) और \(x=\pm3,\pm4\) हैं। परीक्षा में वापस (x) के मान निकालना न भूलें। / From \(y^2-25y+144=0\), (y=9,16), so \(x^2=9,16\) and \(x=\pm3,\pm4\). In exams, do not forget to return to (x).
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What are the real solutions of \(x^4-20x^2+64=0\)?
B. \(x=\pm4,\pm2\)
\(y^2-20y+64=0\) से (y=4,16), इसलिए \(x^2=4,16\) और \(x=\pm2,\pm4\) हैं। परीक्षा में वापस (x) के मान निकालना न भूलें। / From \(y^2-20y+64=0\), (y=4,16), so \(x^2=4,16\) and \(x=\pm2,\pm4\). In exams, do not forget to return to (x).
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What are the real solutions of \(x^4-17x^2+16=0\)?
A. \(x=\pm1,\pm4\)
\(y^2-17y+16=0\) से (y=1,16), इसलिए \(x^2=1,16\) और \(x=\pm1,\pm4\) हैं। परीक्षा में वापस (x) के मान निकालना न भूलें। / From \(y^2-17y+16=0\), (y=1,16), so \(x^2=1,16\) and \(x=\pm1,\pm4\). In exams, do not forget to return to (x).
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What are the real solutions of \(x^4-13x^2+36=0\)?
A. \(x=\pm2,\pm3\)
\(y^2-13y+36=0\) से (y=4,9), इसलिए \(x^2=4,9\) और \(x=\pm2,\pm3\) हैं। परीक्षा में वापस (x) के मान निकालना न भूलें। / From \(y^2-13y+36=0\), (y=4,9), so \(x^2=4,9\) and \(x=\pm2,\pm3\). In exams, do not forget to return to (x).
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What are the real solutions of \(x^4-10x^2+9=0\)?
A. \(x=\pm1,\pm3\)
\(y^2-10y+9=0\) से (y=1,9), इसलिए \(x^2=1,9\) और \(x=\pm1,\pm3\) हैं। परीक्षा में वापस (x) के मान निकालना न भूलें। / From \(y^2-10y+9=0\), (y=1,9), so \(x^2=1,9\) and \(x=\pm1,\pm3\). In exams, do not forget to return to (x).
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What are the real solutions of \(x^4-5x^2+4=0\)?
A. \(x=\pm1,\pm2\)
\(y^2-5y+4=0\) से (y=1,4), इसलिए \(x^2=1,4\) और \(x=\pm1,\pm2\) हैं। परीक्षा में वापस (x) के मान निकालना न भूलें। / From \(y^2-5y+4=0\), (y=1,4), so \(x^2=1,4\) and \(x=\pm1,\pm2\). In exams, do not forget to return to (x).
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What type of numbers can all points between (1) and (2) represent on the number line?
A. वास्तविक संख्याएँreal numbers
संख्या रेखा का प्रत्येक बिंदु एक वास्तविक संख्या दिखाता है। (1) और (2) के बीच परिमेय और अपरिमेय दोनों हो सकते हैं। / Every point on the number line represents a real number. Between (1) and (2), both rational and irrational numbers can occur.
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All rational and irrational numbers together form which set?
A. वास्तविक संख्याएँReal numbers
वास्तविक संख्याओं में परिमेय और अपरिमेय दोनों शामिल होते हैं। संख्या रेखा पर इन्हीं का स्थान होता है। / Real numbers include both rational and irrational numbers. These are placed on the number line.
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Which conclusion is correct for all three numbers \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
A. तीनों अपरिमेय संख्याएँ हैंAll three are irrational numbers
(2,3,5) पूर्ण वर्ग नहीं हैं और अभाज्य संख्याएँ हैं। / (2,3,5) are prime numbers and not perfect squares.
इनके वर्गमूल को परिमेय मानने पर सहअभाज्य अंश और हर में साझा गुणनखंड आता है। / Assuming their square roots rational creates a common factor in the coprime numerator and denominator.
इसलिए \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) तीनों अपरिमेय हैं। / Therefore \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) are all irrational.
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What was the importance of all-party participation in the protest against the Simon Commission?
A. इसने भारतीय प्रतिनिधित्व की मांग को व्यापक बनायाIt made the demand for Indian representation broad
साइमन आयोग में भारतीय सदस्य न होने से व्यापक विरोध हुआ। इसे संवैधानिक आत्मसम्मान के प्रश्न से जोड़ें। / The absence of Indian members in the Simon Commission caused wide protest. Link it with the issue of constitutional self-respect.
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What new dimension did the All India Kisan Sabha give to peasant movements?
A. किसान प्रश्नों को अखिल भारतीय मंच मिलाPeasant issues received an all-India platform
अखिल भारतीय किसान सभा ने किसान मांगों को राष्ट्रीय स्तर पर संगठित किया। इसे वर्गीय किसान राजनीति के विकास से जोड़ें। / The All India Kisan Sabha organized peasant demands at the national level. Link it with the development of class-based peasant politics.
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What was the historical importance of founding the All India Kisan Sabha?
A. इसने किसान राजनीति को व्यापक राष्ट्रीय मंच दियाIt gave peasant politics a broad national platform
अखिल भारतीय किसान सभा ने किसान मुद्दों को राष्ट्रीय स्तर पर संगठित किया। स्वामी सहजानंद सरस्वती को इससे याद रखें। / The All India Kisan Sabha organized peasant issues at the national level. Remember Swami Sahajanand Saraswati with it.
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How did All India Kisan Sabha link peasant movements with national politics?
D. इसने किसानों की मांगों को संगठित राष्ट्रीय मंच दियाIt gave peasants' demands an organised national platform
ऑल इंडिया किसान सभा 1936 में बनी और किसान मुद्दों को व्यापक मंच मिला। परीक्षा में स्वामी सहजानंद सरस्वती याद रखें। / All India Kisan Sabha was formed in 1936 and gave peasant issues a wider platform. Exam tip: remember Swami Sahajanand Saraswati.
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How did All India Kisan Sabha give national direction to peasant movements?
A. इसने किसानों की मांगों को संगठित मंच दियाIt gave peasants' demands an organised platform
ऑल इंडिया किसान सभा ने किसान मुद्दों को राष्ट्रीय राजनीति से जोड़ा। परीक्षा में 1936 और स्वामी सहजानंद सरस्वती याद रखें। / All India Kisan Sabha linked peasant issues with national politics. Exam tip: remember 1936 and Swami Sahajanand Saraswati.
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How did All India Kisan Sabha strengthen peasant movements at national level?
A. इसने किसानों की मांगों को संगठित मंच दियाIt gave peasants' demands an organised platform
ऑल इंडिया किसान सभा ने किसान मुद्दों को राष्ट्रीय राजनीति से जोड़ा। परीक्षा में 1936 और किसान संगठन याद रखें। / All India Kisan Sabha linked peasant issues with national politics. Exam tip: remember 1936 and peasant organisations.
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In which year was the All India Kisan Sabha founded?
C. 1936
ऑल इंडिया किसान सभा 1936 में बनी थी। परीक्षा में किसान आंदोलनों और किसान संगठनों को साथ याद रखें। / The All India Kisan Sabha was founded in 1936. Exam tip: remember peasant movements with peasant organisations.
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All India Kisan Sabha was related to demands of which group?
D. किसानPeasants
ऑल इंडिया किसान सभा किसानों की मांगों को संगठित करने से जुड़ी थी। परीक्षा में किसान संगठनों का महत्व याद रखें। / All India Kisan Sabha was linked with organising peasants' demands. Exam tip: remember the importance of peasant organisations.
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How did All India Kisan Sabha broaden the agenda of the freedom movement?
A. किसानों की आर्थिक मांगों को राष्ट्रीय राजनीति से जोड़ाIt linked peasants' economic demands with national politics
किसान सभा ने भूमि और लगान जैसे मुद्दों को राष्ट्रीय विमर्श में लाया। परीक्षा में किसान संगठनों का महत्व याद रखें। / Kisan Sabha brought issues like land and revenue into national debate. Exam tip: remember importance of peasant organisations.
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What condition of national politics is shown by all party opposition to the Simon Commission?
A. भारतीय प्रतिनिधित्व के प्रश्न पर व्यापक असंतोषWide discontent over the question of Indian representation
भारतीयों ने भारतीय सदस्य न होने को अपमान माना। परीक्षा में साइमन वापस जाओ याद रखें। / Indians considered the absence of Indian members an insult. Exam tip is to remember Simon Go Back.
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Why was the attempt at all India representation in early Congress sessions important?
A. इससे अलग-अलग प्रांतों की राजनीतिक आवाज एक मंच पर आईIt brought political voices of different provinces to one platform
कांग्रेस ने राष्ट्रीय राजनीतिक मंच तैयार किया। परीक्षा में 1885 को संगठित राष्ट्रवाद की शुरुआत से जोड़ें। / Congress prepared a national political platform. Exam tip is to link 1885 with the rise of organized nationalism.
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A. इसने किसानों की आर्थिक मांगों को संगठित राष्ट्रीय मंच दियाIt gave peasants' economic demands an organised national platform
किसान सभा ने किसान मुद्दों को राष्ट्रीय राजनीति से जोड़ा। परीक्षा में किसान संगठनों की भूमिका याद रखें। / Kisan Sabha linked peasant issues with national politics. Exam tip: remember the role of peasant organisations.
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What was the importance of the formation of All India Kisan Sabha in the freedom movement?
B. इसने किसानों की समस्याओं को संगठित राष्ट्रीय मंच दियाIt gave peasants' problems an organised national platform
ऑल इंडिया किसान सभा ने किसान प्रश्न को राष्ट्रीय राजनीति से जोड़ा। परीक्षा में किसान संगठनों की भूमिका याद रखें। / All India Kisan Sabha linked peasant issues with national politics. Exam tip: remember the role of peasant organisations.
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Why did the All Parties Conference become important after the Simon Commission protest?
A. भारतीय दलों ने संवैधानिक विकल्प तैयार करने का प्रयास कियाIndian parties tried to prepare a constitutional alternative
ऑल पार्टीज कॉन्फ्रेंस से नेहरू रिपोर्ट की पृष्ठभूमि बनी। परीक्षा में 1928 की संवैधानिक राजनीति याद रखें। / The All Parties Conference created the background for the Nehru Report. Exam tip is to remember the constitutional politics of 1928.
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What was the significance of the all-India hartal against the Rowlatt Act?
A. इसने एक कानून के खिलाफ व्यापक राष्ट्रीय एकता दिखाईIt showed broad national unity against one law
हड़ताल अनेक स्थानों पर हुई। / The hartal took place in many places.
इससे अलग-अलग क्षेत्रों की जनता एक मुद्दे पर जुड़ी। / People from different regions united on one issue.
इसलिए यह राष्ट्रीय एकता और जनविरोध का संकेत थी। / It showed national unity and mass protest.
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At which points will the solutions of \(x^2-25=0\) be found on the number line?
C. (-5) और (5)(-5) and (5)
\(x^2=25\) से \(x=\pm5\) मिलता है। परीक्षा में वर्ग लेने पर दोनों चिह्नों के हल मिलते हैं। / From \(x^2=25\), \(x=\pm5\). In exams, squaring gives solutions with both signs.
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What is the maximum number of real solutions possible for \(2x^2+7x+3=0\)?
B. (2)
द्विघात समीकरण के अधिकतम (2) वास्तविक हल हो सकते हैं। घात से अधिकतम हलों का संकेत मिलता है। / A quadratic equation can have at most (2) real solutions. The degree indicates the maximum number of solutions.
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What is the maximum number of real solutions possible for \(x^2+3x+2=0\)?
B. (2)
द्विघात समीकरण के अधिकतम (2) वास्तविक हल हो सकते हैं। आसान प्रश्न में घात से अधिकतम हल का संकेत मिलता है। / A quadratic equation can have at most (2) real solutions. In easy questions, degree indicates the maximum possible solutions.
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Which option has all rational coefficients and zeroes \(6+\sqrt{11}\) and \(6-\sqrt{11}\)?
A. \(x^2-12x+25\)
योग (12) और गुणनफल (36-11=25) है, इसलिए बहुपद \(x^2-12x+25\) है। परीक्षा में मानक रूप ठीक से लिखें। / The sum is (12) and the product is (36-11=25), so the polynomial is \(x^2-12x+25\). In exams write the standard form correctly.
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While writing the final line in all three proofs, which sentence is the safest?
A. यह हमारी परिमेय मान्यता के विरुद्ध है, अतः दी गई संख्या अपरिमेय हैThis contradicts our rational assumption, hence the given number is irrational
तीनों प्रमाणों में परिमेय मान्यता से शुरुआत होती है। / All three proofs start with a rational assumption.
अंत में सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास मिलता है। / At the end, a contradiction is obtained from the coprime condition.
इसलिए अंतिम पंक्ति में विरोधाभास और अपरिमेयता दोनों साफ लिखें। / Therefore the final line should clearly state contradiction and irrationality.
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Which option is the safest way to write the final conclusion in all three proofs?
A. यह हमारी परिमेय मान्यता के विपरीत है, अतः दी गई संख्या अपरिमेय हैThis contradicts our rational assumption, hence the given number is irrational
तीनों सिद्धियों में परिमेय मान्यता से शुरुआत होती है। / All three proofs begin with the rational assumption.
अंत में सहअभाज्य शर्त के विरुद्ध साझा गुणनखंड मिलता है। / At the end, a common factor contradicts the coprime condition.
इसलिए अंतिम पंक्ति में विरोधाभास और अपरिमेयता दोनों साफ लिखें। / Therefore the final line should clearly state both contradiction and irrationality.
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Which option gives the correct common structure of all three proofs?
A. परिमेय मानना, सरलतम भिन्न लिखना, वर्ग करना, साझा गुणनखंड से विरोधाभास लेनाAssume rational, write lowest-form fraction, square, take contradiction from common factor
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) के प्रमाण विरोधाभास विधि से होते हैं। / The proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) use contradiction.
पहले परिमेय मानकर सरलतम भिन्न लिखते हैं और वर्ग करते हैं। / First assume rationality, write a lowest-form fraction, and square.
अंत में साझा गुणनखंड से विरोधाभास मिलता है। / Finally, a common factor gives contradiction.
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Which option tells the main purpose of squaring in all three proofs?
A. वर्गमूल हटाकर \(p^2=nq^2\) जैसा समीकरण पानाTo remove the square root and get an equation like \(p^2=nq^2\)
\(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) में वर्गमूल हटाने के लिए वर्ग करते हैं। / In \(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\), we square to remove the square root.
इससे \(p^2=nq^2\) जैसा समीकरण मिलता है। / This gives an equation like \(p^2=nq^2\).
यही समीकरण आगे विभाज्यता और विरोधाभास देता है। / This equation gives divisibility and contradiction later.
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Which option shows a wrong idea in all three proofs?
A. वर्गमूल को उसके अंदर की संख्या के बराबर मान लेनाTreating the square root as equal to the number inside it
\(\sqrt{2}=2\), \(\sqrt{3}=3\), या \(\sqrt{5}=5\) लिखना गलत है। / Writing \(\sqrt{2}=2\), \(\sqrt{3}=3\), or \(\sqrt{5}=5\) is wrong.
सही विधि में परिमेय मानकर भिन्न रूप लिया जाता है और वर्ग किया जाता है। / The correct method assumes rationality, writes a fraction, and squares.
वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर न मानें। / Do not treat a square root as equal to the number inside.
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Why are (p) and (q) taken as coprime in all three proofs?
A. क्योंकि परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता हैBecause a rational number is written as a fraction in lowest form
परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखी जाती है। / A rational number is written as \(\frac{p}{q}\).
प्रमाण में इसे सरलतम रूप में लेते हैं, इसलिए (p) और (q) सहअभाज्य होते हैं। / In the proof, it is taken in lowest form, so (p) and (q) are coprime.
बाद में साझा गुणनखंड मिलने से यही शर्त टूटती है। / Later, a common factor breaks this condition.
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Which option is a wrong method in all three proofs?
A. वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर मान लेनाTaking the square root equal to the number under it
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) को क्रमशः (2), (3), और (5) के बराबर मानना गलत है। / Treating \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) as (2), (3), and (5) is wrong.
सही विधि में परिमेय मानकर भिन्न रूप लेते हैं और वर्ग करते हैं। / The correct method assumes rationality, writes a fraction, and squares.
वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर न लिखें। / Do not write a square root equal to the number under it.
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Which option gives all distinct prime factors of 223092870 correctly?
A. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 और 232, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 and 23
\(223092870=9699690\times23\) लिखें। / Write \(223092870=9699690\times23\).
\(9699690=2\times3\times5\times7\times11\times13\times17\times19\)। / \(9699690=2\times3\times5\times7\times11\times13\times17\times19\).
इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 और 23 हैं। / Therefore, the distinct prime factors are 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, and 23.
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Which option gives all distinct prime factors of 9699690 correctly?
A. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 और 192, 3, 5, 7, 11, 13, 17 and 19
\(9699690=510510\times19\) लिखें। / Write \(9699690=510510\times19\).
\(510510=2\times3\times5\times7\times11\times13\times17\)। / \(510510=2\times3\times5\times7\times11\times13\times17\).
इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 और 19 हैं। / Therefore, the distinct prime factors are 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, and 19.
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Which option gives all distinct prime factors of 510510 correctly?
A. 2, 3, 5, 7, 11, 13 और 172, 3, 5, 7, 11, 13 and 17
\(510510=30030\times17\) लिखें। / Write \(510510=30030\times17\).
\(30030=2\times3\times5\times7\times11\times13\)। / \(30030=2\times3\times5\times7\times11\times13\).
इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड 2, 3, 5, 7, 11, 13 और 17 हैं। / Therefore, the distinct prime factors are 2, 3, 5, 7, 11, 13, and 17.
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Which option gives all distinct prime factors of 45045 correctly?
A. 3, 5, 7, 11 और 133, 5, 7, 11 and 13
\(45045=3465\times13\) लिखें। / Write \(45045=3465\times13\).
\(3465=3^2\times5\times7\times11\)। / \(3465=3^2\times5\times7\times11\).
अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड 3, 5, 7, 11 और 13 हैं। / The distinct prime factors are 3, 5, 7, 11, and 13.
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Which option gives all distinct prime factors of 30030 correctly?
A. 2, 3, 5, 7, 11 और 132, 3, 5, 7, 11 and 13
\(30030=2310\times13\) लिखें। / Write \(30030=2310\times13\).
\(2310=2\times3\times5\times7\times11\)। / \(2310=2\times3\times5\times7\times11\).
इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड 2, 3, 5, 7, 11 और 13 हैं। / Therefore, the distinct prime factors are 2, 3, 5, 7, 11, and 13.
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Which option gives all distinct prime factors of 2310 correctly?
A. 2, 3, 5, 7 और 112, 3, 5, 7 and 11
\(2310=231\times10\) लिखें। / Write \(2310=231\times10\).
\(231=3\times7\times11\) और \(10=2\times5\)। / \(231=3\times7\times11\) and \(10=2\times5\).
अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड 2, 3, 5, 7 और 11 हैं। / The distinct prime factors are 2, 3, 5, 7, and 11.
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Which is the correct list of all possible forms of a positive integer when divided by 17?
A. \(17q,17q+1,\ldots,17q+16\)
17 से भाग देने पर शेषफल 0 से 16 तक हो सकता है। / On division by 17, remainders can be from 0 to 16.
इसलिए सभी रूप (17q) से (17q+16) तक होंगे। / Therefore, all forms are from (17q) to (17q+16).
पूरी सूची में शून्य शेषफल शामिल करें, लेकिन 17 शामिल न करें। / Include zero remainder, but do not include 17.
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Which is the correct list of all possible forms of a positive integer when divided by 13?
A. \(13q,13q+1,\ldots,13q+12\)
13 से भाग देने पर शेषफल 0 से 12 तक हो सकता है। / On division by 13, remainders can be from 0 to 12.
इसलिए सभी रूप (13q) से (13q+12) तक होंगे। / Therefore, all forms are from (13q) to (13q+12).
पूरी सूची में शून्य शेषफल शामिल करें, लेकिन 13 शामिल न करें। / Include zero remainder, but do not include 13.
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Which is the correct list of all possible forms of a positive integer when divided by 11?
A. \(11q,11q+1,\ldots,11q+10\)
11 से भाग देने पर शेषफल 0 से 10 तक हो सकता है। / On division by 11, remainders can be from 0 to 10.
इसलिए सभी रूप (11q) से (11q+10) तक होंगे। / Therefore, all forms are from (11q) to (11q+10).
पूरी सूची में शेषफल 0 शामिल करें, लेकिन 11 शामिल न करें। / Include remainder 0, but do not include 11.
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Which is the correct list of all possible forms of a positive integer when divided by 9?
A. \(9q,9q+1,\ldots,9q+8\)
9 से भाग देने पर शेषफल 0 से 8 तक हो सकता है। / On division by 9, possible remainders are from 0 to 8.
इसलिए सभी रूप (9q) से (9q+8) तक होंगे। / Therefore, all forms are from (9q) to (9q+8).
पूरी सूची में 0 शेषफल रखें और 9 शेषफल न रखें। / Include remainder 0 and do not include remainder 9.
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Which is the correct list of all possible forms of a positive integer when divided by 6?
A. (6q,6q+1,6q+2,6q+3,6q+4,6q+5)
6 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2, 3, 4, 5 हो सकते हैं। / On division by 6, possible remainders are 0, 1, 2, 3, 4, and 5.
इसलिए रूप (6q) से (6q+5) तक होंगे। / So the forms are from (6q) to (6q+5).
पूरी सूची में शेषफल 0 शामिल करें और 6 शामिल न करें। / Include remainder 0 and do not include 6 in the complete list.
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If \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\), how many solutions will there be in graphical method?
B. ठीक (1) हलExactly (1) solution
असमान गुणांक अनुपात से रेखाएँ एक बिंदु पर कटती हैं। इसलिए युग्म संगत और स्वतंत्र होता है। / Unequal coefficient ratios make the lines intersect at one point. Therefore the pair is consistent and independent.
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For the lines (y=3) and (y=11), how many solutions will there be?
B. कोई हल नहींNo solution
दोनों क्षैतिज रेखाएँ अलग-अलग स्तरों पर हैं। वे समांतर हैं, इसलिए कोई सामान्य बिंदु नहीं है। / Both horizontal lines are at different levels. They are parallel, so there is no common point.
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If two lines are distinct and parallel, how many solutions will there be?
A. कोई हल नहींNo solution
अलग-अलग समांतर रेखाओं का कोई सामान्य बिंदु नहीं होता। इसलिए ऐसे युग्म का कोई हल नहीं होता। / Distinct parallel lines have no common point. Therefore, such a pair has no solution.
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For the lines (y=2) and (y=9), how many solutions will there be?
B. कोई हल नहींNo solution
दोनों क्षैतिज रेखाएँ अलग-अलग स्तरों पर हैं। वे समांतर हैं इसलिए कोई सामान्य बिंदु नहीं है। / Both horizontal lines are at different levels. They are parallel, so there is no common point.
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If two lines on a graph do not cut each other and remain distinct, how many solutions will there be?
A. कोई हल नहींNo solution
अलग-अलग समांतर रेखाओं का कोई सामान्य बिंदु नहीं होता। इसलिए ऐसे युग्म का कोई हल नहीं होता। / Distinct parallel lines have no common point. Therefore, such a pair has no solution.
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If two lines meet at exactly one point on the graph, how many solutions are there?
A. (1) अद्वितीय हल(1) unique solution
एक प्रतिच्छेद बिंदु होने पर समीकरणों का एक ही हल होता है। याद रखें, कटती हुई रेखाएँ संगत और स्वतंत्र होती हैं। / One intersection point means the equations have exactly one solution. Remember, intersecting lines are consistent and independent.
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A. शून्यZero
आलेख (x)-अक्ष से नहीं मिलता इसलिए कोई वास्तविक हल नहीं है। टिप: (p(x)=0) ग्राफ पर (x)-अक्ष कटान है। / The graph does not meet the (x)-axis, so there is no real solution. Tip: (p(x)=0) means an (x)-axis intersection on the graph.
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If (p(x)=x-2-2x+5), what is the reason its zeroes are not real?
A. (D<0)
यहाँ (D=4-20=-16), जो ऋणात्मक है। ऋणात्मक विविक्तकर का अर्थ वास्तविक शून्यक नहीं होते। / Here (D=4-20=-16), which is negative. A negative discriminant means there are no real zeroes.
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Which number is not a real number?
A. \(\sqrt{-4}\)
कक्षा 10 के वास्तविक संख्याओं में ऋणात्मक संख्या की वर्गमूल वास्तविक नहीं मानी जाती। ध्यान दें \(\sqrt{7}\) वास्तविक अपरिमेय है। / In Class 10 real numbers the square root of a negative number is not real. Note that \(\sqrt{7}\) is real irrational.
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What is the condition on (k) for real roots of (4x-2-4(k+1)x+\(k^2+2k\)=0)?
A. सभी वास्तविक (k)All real (k)
यहाँ (D=16(k+1)2-16\(k^2+2k\)=16) है। इसलिए (D>0) हर वास्तविक (k) के लिए है। / Here (D=16(k+1)2-16\(k^2+2k\)=16). Thus (D>0) for every real (k).
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What is correct about the real roots of (x-2+2x+\(p^2+2\)=0)?
A. कभी वास्तविक मूल नहीं होंगेIt will never have real roots
यहाँ (D=4-4\(p^2+2\)=-4\(p^2+1\)<0) है। इसलिए किसी भी वास्तविक (p) के लिए वास्तविक मूल नहीं होंगे। / Here (D=4-4\(p^2+2\)=-4\(p^2+1\)<0). So there are no real roots for any real (p).
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C. \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\sqrt{\frac{1}{4}}\) जैसे अनेक बिंदुMany points like \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\sqrt{\frac{1}{4}}\)
(0) और (1) के बीच परिमेय और अपरिमेय दोनों प्रकार की अनंत संख्याएं होती हैं। किसी भी दो वास्तविक संख्याओं के बीच और संख्याएं मिलती हैं। / Between (0) and (1), there are infinitely many rational and irrational numbers. Between any two real numbers, more numbers can be found.
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If (u) and (v) are real numbers, which law of exponents is correct?
A. (,(uv)^n=u^nv^n,)
सही नियम ((uv)^n=u^nv^n) है। परीक्षा में product की power को हर factor पर अलग-अलग लगाएं। / The correct rule is ((uv)^n=u^nv^n). In exams, apply the power of a product to each factor separately.
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A. कथन और कारण दोनों सही हैंBoth assertion and reason are correct
यहाँ (D=32-4(1)(7)=-19) है। (D<0) होने से कथन सही है। / Here (D=32-4(1)(7)=-19). Since (D<0), the assertion is correct.
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Which statement is correct about \(\sqrt{a^2}\), where (a) is a real number?
A. \(\sqrt{a^2}=|a|\)
मुख्य वर्गमूल हमेशा अऋणात्मक होता है, इसलिए \(\sqrt{a^2}=|a|\) है। परीक्षा में (a) ऋणात्मक होने की संभावना न भूलें। / The principal square root is always non-negative, so \(\sqrt{a^2}=|a|\). In exams do not forget the possibility of negative (a).
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Which option is not a real number?
A. \(\sqrt{-9}\)
\(\sqrt{-9}\) वास्तविक संख्या नहीं है, जबकि बाकी सभी वास्तविक हैं। परीक्षा में ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल वास्तविक संख्या पद्धति में नहीं लेते। / \(\sqrt{-9}\) is not a real number, while the others are real. In exams do not take the square root of a negative number in the real number system.
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Which option gives a number that is real but not rational?
C. \(\sqrt{45}\)
\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), जो वास्तविक और अपरिमेय है। परीक्षा में ऋणात्मक वर्गमूल को वास्तविक संख्या न मानें। / \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), which is real and irrational. In exams do not treat the square root of a negative number as real.
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If \(x^2+2x+5=0\), which statement about the roots in the real number system is correct?
C. कोई वास्तविक मूल नहीं हैThere are no real roots
विविक्तकर (4-20=-16) ऋणात्मक है, इसलिए वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में ऋणात्मक विविक्तकर को वास्तविक शून्यक नहीं मानें। / The discriminant is (4-20=-16), which is negative, so there are no real roots. In exams do not treat a negative discriminant as real zeroes.
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B. (x) अपरिमेय है(x) is irrational
यदि (x) परिमेय होता तो \(\sqrt{2}+x\) अपरिमेय होता। इसलिए (x) अपरिमेय होना चाहिए; परीक्षा में परिमेय और अपरिमेय के योग का नियम याद रखें। / If (x) were rational then \(\sqrt{2}+x\) would be irrational. So (x) must be irrational; remember the sum rule for rational and irrational numbers.
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Under which condition will the zeroes of \(x^2+bx+c\) be real but not rational?
A. \(b^2-4c\) धनात्मक अपूर्ण वर्ग हो\(b^2-4c\) is positive and not a perfect square
वास्तविक शून्यकों के लिए विविक्तकर धनात्मक चाहिए और अपरिमेय शून्यकों के लिए वह पूर्ण वर्ग नहीं होना चाहिए। परिमेय गुणांकों वाले द्विघात में यही मुख्य जाँच है। / For real zeroes, the discriminant must be positive, and for irrational zeroes it must not be a perfect square. This is the key check for quadratics with rational coefficients.
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Which polynomial has rational coefficients and both zeroes irrational real?
A. \(x^2-8x+3\)
\(x^2-8x+3\) के लिए (D=64-12=52), जो धनात्मक अपूर्ण वर्ग है। बाकी विकल्पों में शून्यक समान परिमेय, अवास्तविक या परिमेय हैं। / For \(x^2-8x+3\), (D=64-12=52), positive and not a perfect square. The other options give equal rational, non-real, or rational zeroes.
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For which value of (k) will \(x^2-6x+k\) have real and irrational zeroes?
C. (k=10)
यहाँ (D=36-4k) है। (k=10) पर (D=-4) नहीं बल्कि (D=36-40=-4), इसलिए यह सही नहीं है। / Here (D=36-4k). For (k=10), (D=36-40=-4), so this is not correct.
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Which polynomial has real zeroes but not rational zeroes?
C. \(x^2-8\)
\(x^2-8=0\) से \(x=\pm2\sqrt{2}\), जो अपरिमेय वास्तविक हैं। पूर्ण वर्ग और धनात्मकता दोनों जाँचें। / From \(x^2-8=0\), \(x=\pm2\sqrt{2}\), which are irrational real. Check both perfect-square status and positivity.
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For which value of (k) will the zeroes of \(x^2-2x+k\) be real and irrational?
C. (k=-1)
यहाँ (D=4-4k) है। (k=-1) पर (D=8), जो धनात्मक पूर्ण वर्ग नहीं है। / Here (D=4-4k). For (k=-1), (D=8), which is positive and not a perfect square.
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If the zeroes of (p(x)=x-2-k) are irrational real, which condition on (k) is correct?
B. (k) धनात्मक हो लेकिन पूर्ण वर्ग न हो(k) is positive but not a perfect square
शून्यक \(x=\pm\sqrt{k}\) हैं। ये अपरिमेय वास्तविक तभी होंगे जब (k>0) और (k) पूर्ण वर्ग न हो। / The zeroes are \(x=\pm\sqrt{k}\). They are irrational real when (k>0) and (k) is not a perfect square.
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If (p(x)=x-2-2), which statement about its real zeroes is correct?
B. दोनों अपरिमेय हैंBoth are irrational
शून्यक \(x=\pm\sqrt{2}\) हैं और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। परीक्षा में वर्गमूल वाले शून्यकों को सरल करके जाँचें। / The zeroes are \(x=\pm\sqrt{2}\), and \(\sqrt{2}\) is irrational. In exams, simplify square-root zeroes before deciding the type.
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If a number is not rational but is real, what is it called?
A. अपरिमेय संख्याIrrational number
वास्तविक संख्या जो परिमेय नहीं होती वह अपरिमेय कहलाती है। इसे दशमलव से भी पहचाना जा सकता है। / A real number that is not rational is called irrational. It can also be identified through its decimal form.
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Which option is real but irrational?
A. \(\sqrt{41}\)
\(\sqrt{41}\) वास्तविक है और (41) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए यह अपरिमेय है। / \(\sqrt{41}\) is real and (41) is not a perfect square. So it is irrational.
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Which option is not a whole number but is a real number?
A. (-3)
(-3) वास्तविक संख्या है लेकिन पूर्ण संख्या नहीं है। पूर्ण संख्याएँ (0) से शुरू होती हैं। / (-3) is a real number but not a whole number. Whole numbers start from (0).
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Which option is both real and irrational?
A. \(-\sqrt{18}\)
\(\sqrt{18}\) अपरिमेय है और उसका ऋण भी वास्तविक अपरिमेय है। ऋण चिह्न परिमेयता नहीं बदलता। / \(\sqrt{18}\) is irrational and its negative is also real irrational. A negative sign does not change rationality.
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Which option is real but not rational?
A. \(\sqrt{23}\)
\(\sqrt{23}\) वास्तविक है लेकिन अपरिमेय है क्योंकि (23) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए यह परिमेय नहीं है। / \(\sqrt{23}\) is real but irrational because (23) is not a perfect square. So it is not rational.
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Which statement about real numbers is correct?
A. इनमें परिमेय और अपरिमेय दोनों शामिल हैंThey include both rational and irrational numbers
वास्तविक संख्याएँ परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का बड़ा समुच्चय हैं। संख्या रेखा पर इन्हें दर्शाया जा सकता है। / Real numbers form the large set of rational and irrational numbers. They can be represented on the number line.
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Which option shows only real numbers?
A. (-3), (0), \(\sqrt{2}\)
ऋणात्मक जड़ वाले विकल्प वास्तविक नहीं हैं। (-3), (0) और \(\sqrt{2}\) सभी वास्तविक हैं। / Options with square roots of negatives are not real. (-3), (0), and \(\sqrt{2}\) are all real.
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C. अनंत हलInfinitely many solutions
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है। इसलिए दोनों शर्तें एक ही जानकारी देती हैं और अनंत हल होते हैं। / The second equation is (3) times the first. Therefore, both conditions give the same information and have infinitely many solutions.
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If (11x+7y=59) and (33x+21y=n) have infinitely many solutions, what is (n)?
C. (177)
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना होना चाहिए। इसलिए (n=177) होगा। / The second equation must be (3) times the first. Therefore, (n=177).
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