If 3x + 2y = p and 6x + 4y = 20 give infinitely many solutions, what is p?यदि 3x + 2y = p और 6x + 4y = 20 के अनंत समाधान हों, तो p का मान क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 1010
The governing condition for infinitely many solutions is that the two linear equations represent the same, coincident line. The left side of the second equation is exactly twice the left side of the first: 2(3x + 2y) = 6x + 4y. Therefore its constant term must also be twice the first constant: 2p = 20. Dividing by 2 gives p = 10, so option B is correct. If p were 5, the first equation multiplied by 2 would have constant 10, not 20. If p were 15 or 20, the coefficient ratios would no longer match the constant ratio, producing parallel distinct lines or a unique intersection rather than infinitely many solutions. Thus equality of all corresponding ratios is essential.अनंत समाधानों की मुख्य शर्त यह है कि दोनों रैखिक समीकरण एक ही, अर्थात् संपाती, रेखा को दर्शाएँ। दूसरे समीकरण का बायाँ पक्ष पहले समीकरण के बाएँ पक्ष का ठीक दोगुना है: 2(3x + 2y) = 6x + 4y। इसलिए स्थिर पद भी पहले स्थिर पद का दोगुना होना चाहिए। अतः 2p = 20 और दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर p = 10 मिलता है। इसलिए विकल्प B सही है। यदि p = 5 होता, तो पहले समीकरण को 2 से गुणा करने पर स्थिर पद 10 आता, 20 नहीं। p = 15 या 20 पर गुणांकों और स्थिर पदों का अनुपात समान नहीं रहेगा, इसलिए अनंत समाधान नहीं मिलेंगे।
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