From \(p^2=5q^2\), first \(p^2\), then (p), is proved divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Only after putting (p=5k) do we get \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
So divisibility of (q) is not immediate. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से पहले \(p^2\) और फिर (p) (5) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। चरण 2: (p=5k) रखने के बाद ही \(q^2=5k^2\) मिलेगा। चरण 3: इसलिए (q) की विभाज्यता तुरंत नहीं आती।
From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is immediately divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Then (p) is divisible by (5) and (p=5k) can be written.
Step 3
Exam Tip
Divisibility of (q) comes after substituting (p=5k), not immediately. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से तुरंत \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: फिर (p) (5) से विभाज्य और (p=5k) लिखा जा सकता है। चरण 3: (q) की विभाज्यता (p=5k) रखने के बाद आती है, तुरंत नहीं।
A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं था, इसलिए परिमेय मान्यता असंभव है/\(\frac{p}{q}\) was not in lowest form, so the rational assumption is impossible
Step 1
Concept
If both are divisible by (5), numerator and denominator have common factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
Such a situation cannot occur in lowest form.
Step 3
Exam Tip
Therefore the rational assumption is impossible and \(\sqrt{5}\) is irrational. चरण 1: दोनों (5) से विभाज्य हैं, इसलिए अंश और हर में (5) साझा गुणनखंड है। चरण 2: सरलतम रूप में ऐसी स्थिति नहीं हो सकती। चरण 3: इसलिए परिमेय मान्यता असंभव है और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है।
A. \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है क्योंकि परिमेय मानने पर (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं/\(\sqrt{5}\) is irrational because assuming rational makes both (p) and (q) divisible by (5)
This contradicts coprime condition, so \(\sqrt{5}\) is irrational. चरण 1: \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। चरण 3: यह सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है, इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है।
A. \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{5}\) is irrational
Step 1
Concept
In contradiction method, the opposite assumption is taken.
Step 2
Why this answer is correct
If the rational assumption becomes impossible, it is false.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(\sqrt{5}\) is proved irrational. चरण 1: विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। चरण 2: यदि परिमेय मान्यता असंभव निकले, तो वह गलत है। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय सिद्ध होता है।
A. \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{5}\) is irrational
Step 1
Concept
In contradiction, the opposite assumption is taken.
Step 2
Why this answer is correct
If the rational assumption becomes impossible, it is false.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(\sqrt{5}\) is proved irrational. चरण 1: विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। चरण 2: यदि परिमेय मान्यता असंभव निकले, तो वह गलत है। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय सिद्ध होता है।
C. \(p^2\) (5) से विभाज्य है/\(p^2\) is divisible by (5)
Step 1
Concept
In \(p^2=5q^2\), the right side has factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore \(p^2\) is divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
First write divisibility of the square, then conclude about (p). चरण 1: \(p^2=5q^2\) में दाईं ओर (5) गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 3: पहले वर्ग की विभाज्यता लिखें, फिर (p) के बारे में निष्कर्ष लें।
A. \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{5}\) is irrational
Step 1
Concept
Assuming rationality makes both (p) and (q) divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
This contradicts the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
Hence \(\sqrt{5}\) is irrational. चरण 1: परिमेय मानने पर (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 2: यह सहअभाज्य होने की शर्त के विरुद्ध है। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है।
C. \(m^2\) (5) से विभाज्य है/\(m^2\) is divisible by (5)
Step 1
Concept
In \(m^2=5n^2\), the right side has factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore \(m^2\) is divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
First write divisibility of the square, then conclude divisibility of (m). चरण 1: \(m^2=5n^2\) में दाईं ओर (5) गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए \(m^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 3: पहले वर्ग की विभाज्यता लिखें, फिर (m) की विभाज्यता निकालें।
A. (p) और (q) का साझा गुणनखंड (5) है/(p) and (q) have common factor (5)
Step 1
Concept
(p=5k) means (p) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(q=5r) means (q) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Common factor (5) contradicts the coprime condition. चरण 1: (p=5k) का अर्थ है (p) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (q=5r) का अर्थ है (q) भी (5) से विभाज्य है। चरण 3: दोनों में साझा गुणनखंड (5) होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है।
This is used to prove (q) is also divisible by (5). चरण 1: \(25k^2=5q^2\) के दोनों पक्षों को (5) से भाग दें। चरण 2: \(5k^2=q^2\), अर्थात \(q^2=5k^2\) मिलेगा। चरण 3: इससे (q) भी (5) से विभाज्य सिद्ध किया जाता है।
Having (5) in both (p) and (q) contradicts the coprime condition. चरण 1: \(q^2=5k^2\) से \(q^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: दोनों (p) और (q) में (5) आना सहअभाज्य शर्त से टकराता है।
This later shows that (q) is divisible by (5). चरण 1: \(25k^2=5q^2\) के दोनों ओर (5) से भाग करें। चरण 2: \(5k^2=q^2\), यानी \(q^2=5k^2\) मिलता है। चरण 3: इससे (q) के (5) से विभाज्य होने की बात आगे आती है।
If the square of an integer is divisible by (5), then the integer is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
This rule is used in the proof of \(\sqrt{5}\). चरण 1: (5) अभाज्य संख्या है। चरण 2: यदि किसी पूर्णांक का वर्ग (5) से विभाज्य है, तो वह पूर्णांक भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: यह नियम \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में उपयोग होता है।
This helps show that (b) is divisible by (5). चरण 1: \(25k^2=5b^2\) के दोनों ओर (5) से भाग करें। चरण 2: \(5k^2=b^2\), यानी \(b^2=5k^2\) मिलेगा। चरण 3: इससे (b) के (5) से विभाज्य होने की राह मिलती है।
A. \(a^2\) (5) से विभाज्य है/\(a^2\) is divisible by (5)
Step 1
Concept
The right side of the equation is \(5b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore the left side \(a^2\) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
First write divisibility of the square, then of the original number. चरण 1: समीकरण में दाईं ओर \(5b^2\) है। चरण 2: इसलिए बाईं ओर \(a^2\) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: पहले वर्ग की विभाज्यता लिखें, फिर मूल संख्या की।
If both are divisible by (5), then (5) is a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
Coprime numbers cannot have such a common factor.
Step 3
Exam Tip
This creates the contradiction in the proof of \(\sqrt{5}\). चरण 1: दोनों (5) से विभाज्य हैं तो (5) साझा गुणनखंड है। चरण 2: सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता। चरण 3: \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यही विरोधाभास बनता है।
A. \(p^2\) (5) से विभाज्य है/\(p^2\) is divisible by (5)
Step 1
Concept
In \(p^2=5q^2\), the right side has factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore \(p^2\) is divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
This gives the next conclusion about (p) in the proof. चरण 1: \(p^2=5q^2\) में दाईं ओर (5) गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 3: प्रमाण में इसी से (p) के बारे में अगला निष्कर्ष लिया जाता है।
To conclude divisibility of the original number from the square, (5) must be prime.
Step 3
Exam Tip
Therefore (q) is said to be divisible by (5). चरण 1: \(q^2=5k^2\) से \(q^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: वर्ग से मूल संख्या की विभाज्यता निकालने के लिए (5) का अभाज्य होना जरूरी है। चरण 3: इसी कारण (q) (5) से विभाज्य कहा जाता है।
A. \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{5}\) is irrational
Step 1
Concept
In contradiction method, the opposite assumption is taken.
Step 2
Why this answer is correct
If the rational assumption is false, irrationality is proved.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(\sqrt{5}\) is irrational. चरण 1: विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। चरण 2: यदि परिमेय मान्यता गलत निकले, तो अपरिमेयता सिद्ध होती है। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है।
A. \(p^2\) (5) से विभाज्य है/\(p^2\) is divisible by (5)
Step 1
Concept
In \(p^2=5q^2\), \(p^2\) equals \(5q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
So \(p^2\) definitely has factor (5).
Step 3
Exam Tip
Divisibility of \(q^2\) comes in a later step. चरण 1: \(p^2=5q^2\) में \(p^2\) \(5q^2\) के बराबर है। चरण 2: इसलिए \(p^2\) में (5) का गुणनखंड निश्चित है। चरण 3: \(q^2\) की विभाज्यता बाद के चरण में आती है।
A. अतः \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है/Therefore \(\sqrt{5}\) is irrational
Step 1
Concept
The rational assumption makes both (a) and (b) divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
This contradicts the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
Therefore the conclusion is that \(\sqrt{5}\) is irrational. चरण 1: परिमेय मान्यता से (a) और (b) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 2: यह सहअभाज्य होने की शर्त से टकराता है। चरण 3: इसलिए निष्कर्ष है कि \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है।
A. यह सरलतम रूप नहीं हो सकता, क्योंकि इसे (5) से घटाया जा सकता है/It cannot be in lowest form because it can be reduced by (5)
Step 1
Concept
If (p=5m) and (q=5n), both numerator and denominator have common factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
So \(\frac{p}{q}=\frac{5m}{5n}=\frac{m}{n}\), meaning the fraction can be reduced.
Step 3
Exam Tip
This contradicts the lowest-form assumption, so \(\sqrt{5}\) is proved irrational. चरण 1: (p=5m) और (q=5n) होने पर अंश और हर दोनों में (5) साझा गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए \(\frac{p}{q}=\frac{5m}{5n}=\frac{m}{n}\) लिखा जा सकता है, यानी भिन्न घट सकती है। चरण 3: यह सरलतम रूप की मान्यता के विरुद्ध है, इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय सिद्ध होती है।
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हैं/Both (p) and (q) are divisible by (5)
Step 1
Concept
First (p) is proved divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
After substitution, (q) is also proved divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
After this, contradiction is written using common factor (5). चरण 1: प्रमाण में पहले (p) (5) से विभाज्य सिद्ध होता है। चरण 2: प्रतिस्थापन के बाद (q) भी (5) से विभाज्य सिद्ध होता है। चरण 3: इसके बाद दोनों में साझा गुणनखंड (5) से विरोधाभास लिखा जाता है।
A. (5) परिमेय है, पर उसका वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं/(5) is rational, but its square root need not be rational
Step 1
Concept
(5) is rational, but it is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
The square root of a non-perfect square need not be rational.
Step 3
Exam Tip
The proof of \(\sqrt{5}\) shows it is irrational. चरण 1: (5) परिमेय है, लेकिन पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: अपूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं। चरण 3: \(\sqrt{5}\) की सिद्धि दिखाती है कि यह अपरिमेय है।
A. \(p^2=5q^2\), (p=5k), \(25k^2=5q^2\), \(q^2=5k^2\)
Step 1
Concept
From \(p^2=5q^2\), (p=5k) is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
Substitution gives \(25k^2=5q^2\), then \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
Then (q) is proved divisible by (5). चरण 1: \(p^2=5q^2\) से (p=5k) मिलता है। चरण 2: रखने पर \(25k^2=5q^2\) और फिर \(q^2=5k^2\) मिलता है। चरण 3: तब (q) (5) से विभाज्य सिद्ध होता है।
B. (p) (5) से विभाज्य है क्योंकि \(\sqrt{5}\) धनात्मक है/(p) is divisible by (5) because \(\sqrt{5}\) is positive
Step 1
Concept
(p) being divisible by (5) can be a true conclusion.
Step 2
Why this answer is correct
But its reason is not the positivity of \(\sqrt{5}\).
Step 3
Exam Tip
The correct reason is \(p^2=5q^2\) and (5) being prime. चरण 1: (p) का (5) से विभाज्य होना सही निष्कर्ष हो सकता है। चरण 2: पर इसका कारण \(\sqrt{5}\) का धनात्मक होना नहीं है। चरण 3: सही कारण \(p^2=5q^2\) और (5) का अभाज्य होना है।
A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं थी/\(\frac{p}{q}\) was not in lowest form
Step 1
Concept
If both are divisible by (5), the fraction has common factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
Such a fraction can be reduced.
Step 3
Exam Tip
Therefore it cannot be in lowest form, which is the contradiction. चरण 1: दोनों (5) से विभाज्य होने पर भिन्न में (5) साझा गुणनखंड है। चरण 2: ऐसी भिन्न को घटाया जा सकता है। चरण 3: इसलिए यह सरलतम रूप में नहीं हो सकती, जो विरोधाभास है।
A. अभाज्य गुणनखंड वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है/If a prime factor divides a square, it also divides the original number
Step 1
Concept
Both (3) and (5) are prime.
Step 2
Why this answer is correct
When these factors appear in \(p^2\), they also appear in (p).
Step 3
Exam Tip
This idea finally gives a common factor in numerator and denominator. चरण 1: (3) और (5) दोनों अभाज्य हैं। चरण 2: \(p^2\) में ये गुणनखंड आने पर (p) में भी आते हैं। चरण 3: इसी विचार से अंत में अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलता है।
A. \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2), \(\sqrt{5}\) में साझा गुणनखंड (5) मिलता है/\(\sqrt{2}\) gives common factor (2), while \(\sqrt{5}\) gives common factor (5)
Step 1
Concept
In \(\sqrt{2}\), \(a^2=2b^2\) makes (2) the key factor.
Step 2
Why this answer is correct
In \(\sqrt{5}\), \(p^2=5q^2\) makes (5) the key factor.
Step 3
Exam Tip
The number inside the root decides the proof factor. चरण 1: \(\sqrt{2}\) में \(a^2=2b^2\) से (2) मुख्य गुणनखंड बनता है। चरण 2: \(\sqrt{5}\) में \(p^2=5q^2\) से (5) मुख्य गुणनखंड बनता है। चरण 3: मूल के अंदर की संख्या प्रमाण का गुणनखंड तय करती है।
A. परिमेय मानने पर सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं/Assuming rational makes both numerator and denominator of the lowest-form fraction divisible by (5)
Step 1
Concept
Assume \(\sqrt{5}\) rational and write it in lowest-form fraction.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both numerator and denominator divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
This contradicts the coprime condition, so \(\sqrt{5}\) is irrational. चरण 1: \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न में लिखते हैं। चरण 2: प्रमाण से अंश और हर दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 3: यह सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है, इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है।
A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं/(p) and (q) are coprime
Step 1
Concept
(p=5k) and (q=5r) show factor (5) in both (p) and (q).
Step 2
Why this answer is correct
So they cannot be coprime.
Step 3
Exam Tip
This breaks the initial lowest-form condition. चरण 1: (p=5k) और (q=5r) से (p) और (q) दोनों में (5) गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए वे सहअभाज्य नहीं हो सकते। चरण 3: यह आरंभिक सरलतम रूप की शर्त को तोड़ता है।
A. केवल \(p^2=5q^2\) लिखकर रुक जाना/Stopping after only writing \(p^2=5q^2\)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) is only a middle step.
Step 2
Why this answer is correct
After this, both (p) and (q) must be shown divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Without contradiction and final conclusion, the proof is incomplete. चरण 1: \(p^2=5q^2\) केवल मध्य चरण है। चरण 2: इसके बाद (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाने होते हैं। चरण 3: विरोधाभास और अंतिम निष्कर्ष के बिना प्रमाण पूरा नहीं होता।
Therefore (p=5k) is valid. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य होने के कारण (p) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: इसलिए (p=5k) लिखना वैध है।
If (p=5k) and (q=5r), both numerator and denominator share (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{5k}{5r}\) can be reduced to \(\frac{k}{r}\).
Step 3
Exam Tip
This shows the fraction was not in lowest form. चरण 1: (p=5k) और (q=5r) होने पर अंश और हर दोनों में (5) साझा है। चरण 2: \(\frac{5k}{5r}\) को घटाकर \(\frac{k}{r}\) लिखा जा सकता है। चरण 3: इससे साफ होता है कि भिन्न सरलतम रूप में नहीं थी।
C. (p=5k) से \(p^2=5k^2\)/From (p=5k), \(p^2=5k^2\)
Step 1
Concept
The square of (p=5k) is ((5k)2).
Step 2
Why this answer is correct
((5k)2=25k-2), so writing \(5k^2\) is wrong.
Step 3
Exam Tip
Never forget to square the coefficient. चरण 1: (p=5k) का वर्ग ((5k)2) होगा। चरण 2: ((5k)2=25k-2), इसलिए \(5k^2\) लिखना गलत है। चरण 3: गुणांक का वर्ग करना कभी न भूलें।
B. (n) भी (5) से विभाज्य है दिखाना/To show (n) is also divisible by (5)
Step 1
Concept
(m=5k) shows factor (5) in (m).
Step 2
Why this answer is correct
Substituting it in \(m^2=5n^2\) gives \(n^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
Then (n) is also proved divisible by (5), giving contradiction. चरण 1: (m=5k) से (m) में (5) का गुणनखंड मिल चुका है। चरण 2: इसे \(m^2=5n^2\) में रखने पर \(n^2=5k^2\) मिलेगा। चरण 3: तब (n) भी (5) से विभाज्य सिद्ध होकर विरोधाभास बनेगा।
A. परिमेय संख्या का वर्गमूल तभी परिमेय होना जरूरी है जब वह उपयुक्त पूर्ण वर्ग रूप में हो/The square root of a rational number is necessarily rational only when it is in a suitable perfect-square form
Step 1
Concept
(5) is rational, but it is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
If it is not a perfect square, its square root need not be rational.
Step 3
Exam Tip
The proof of \(\sqrt{5}\) shows it is actually irrational. चरण 1: (5) परिमेय है, लेकिन पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: पूर्ण वर्ग न होने से उसका वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं। चरण 3: \(\sqrt{5}\) की सिद्धि बताती है कि वह वास्तव में अपरिमेय है।
A. यह परिणाम असंभव है क्योंकि भिन्न घट सकती है/This result is impossible because the fraction can be reduced
Step 1
Concept
(p=5k) and (q=5r) mean both have common factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
Such a fraction can be reduced by (5).
Step 3
Exam Tip
Hence this is an impossible result for the lowest-form assumption. चरण 1: (p=5k) और (q=5r) का अर्थ है कि दोनों में (5) साझा है। चरण 2: ऐसी भिन्न को (5) से घटाया जा सकता है। चरण 3: इसलिए यह सरलतम रूप की मान्यता के लिए असंभव परिणाम है।
A. वर्ग समीकरण से मूल समीकरण गलत तरीके से निकालना/Incorrectly taking a root-level equation from a squared equation
Step 1
Concept
(p=5q) does not directly follow from \(p^2=5q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct conclusion is that \(p^2\) is divisible by (5), then (p) is divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Do not hastily derive a root-level equation from a squared equation. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से सीधे (p=5q) नहीं मिलता। चरण 2: सही निष्कर्ष है कि \(p^2\) (5) से विभाज्य है और फिर (p) (5) से विभाज्य है। चरण 3: वर्ग समीकरण से जल्दबाजी में मूल समीकरण न निकालें।
A. वर्ग करने के बाद \(p^2=5q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (5) मिलता है/After squaring, \(p^2=5q^2\) is formed and common factor (5) is found
Step 1
Concept
Assuming \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) and squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
This (5) becomes a common factor in both (p) and (q).
Step 3
Exam Tip
This identifies the proof of \(\sqrt{5}\). चरण 1: \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) मानकर वर्ग करने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। चरण 2: इसी (5) से (p) और (q) दोनों में साझा गुणनखंड मिलता है। चरण 3: यही \(\sqrt{5}\) के प्रमाण की पहचान है।
Therefore this goes against (\gcd(p,q)=1). चरण 1: (\gcd(p,q)=1) का अर्थ है कि (p) और (q) सहअभाज्य हैं। चरण 2: (p=5m) और (q=5n) होने पर (5) उनका साझा गुणनखंड है। चरण 3: इसलिए यह (\gcd(p,q)=1) के विरुद्ध है।
A. \(p^2=5q^2\) से (p=5k), फिर (q=5r), इसलिए सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास/From \(p^2=5q^2\), (p=5k), then (q=5r), so contradiction with coprime condition
Step 1
Concept
From \(p^2=5q^2\), (p) is divisible by (5), so (p=5k).
Step 2
Why this answer is correct
Substitution gives (q) also divisible by (5), so (q=5r).
Step 3
Exam Tip
Common factor (5) contradicts the coprime condition. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य है और (p=5k)। चरण 2: रखने पर (q) भी (5) से विभाज्य मिलता है, यानी (q=5r)। चरण 3: दोनों में (5) साझा होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है।
A. ताकि दोनों में (5) साझा गुणनखंड मिलने पर स्पष्ट विरोधाभास बने/So that finding common factor (5) in both gives a clear contradiction
Step 1
Concept
A rational number is written as a lowest-form fraction, so (p) and (q) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
This gives a clear contradiction to the coprime condition. चरण 1: परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है, इसलिए (p) और (q) सहअभाज्य होते हैं। चरण 2: प्रमाण में दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 3: यही सहअभाज्य शर्त से स्पष्ट विरोधाभास देता है।
Now both (p) and (q) have common factor (5). चरण 1: \(q^2=5k^2\) से \(q^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: अब (p) और (q) दोनों में (5) साझा गुणनखंड मिल जाता है।
If a square is divisible by a prime, the original number is also divisible by that prime.
Step 3
Exam Tip
So (5) being prime is the main basis here. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: किसी अभाज्य संख्या से वर्ग विभाज्य हो, तो मूल संख्या भी उससे विभाज्य होती है। चरण 3: इसलिए (5) का अभाज्य होना यहां मुख्य आधार है।
A. (p=5k) से \(p^2=5k^2\) लिखना/Writing \(p^2=5k^2\) from (p=5k)
Step 1
Concept
Squaring (p=5k) gives ((5k)2).
Step 2
Why this answer is correct
The correct value is \(25k^2\), not \(5k^2\).
Step 3
Exam Tip
Forgetting to square the coefficient can be a major proof error. चरण 1: (p=5k) का वर्ग करने पर ((5k)2) मिलता है। चरण 2: सही मान \(25k^2\) है, \(5k^2\) नहीं। चरण 3: गुणांक का वर्ग भूलना प्रमाण में बड़ी गलती बन सकता है।
A. \(p^2=5q^2\) से सीधे (q) (5) से विभाज्य है कहना/Saying directly from \(p^2=5q^2\) that (q) is divisible by (5)
Step 1
Concept
From \(p^2=5q^2\), first \(p^2\) and then (p) are proved divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Only after substituting (p=5k) do we get \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
So directly concluding about (q) is an order mistake. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से पहले \(p^2\) और फिर (p) (5) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। चरण 2: (p=5k) रखने के बाद ही \(q^2=5k^2\) मिलता है। चरण 3: इसलिए सीधे (q) के बारे में निष्कर्ष लेना क्रम की गलती है।
A. (q) भी (5) से विभाज्य है यह दिखाना/To show that (q) is also divisible by (5)
Step 1
Concept
(p=5k) shows that (p) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Substituting it in \(p^2=5q^2\) gives \(q^2=5k^2\), so (q) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
A common factor (5) in both creates the contradiction. चरण 1: (p=5k) से (p) के (5) से विभाज्य होने की बात मिलती है। चरण 2: इसे \(p^2=5q^2\) में रखने से \(q^2=5k^2\) मिलता है, जिससे (q) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: दोनों में (5) साझा गुणनखंड मिलना ही विरोधाभास बनाता है।
A. अभाज्य गुणनखंड वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है/If a prime factor divides a square, it also divides the original number
Step 1
Concept
In \(\sqrt{3}\), the prime factor is (3), and in \(\sqrt{5}\), the prime factor is (5).
Step 2
Why this answer is correct
When \(p^2\) is divisible by that prime, (p) is also divisible by the same prime.
Step 3
Exam Tip
This idea later shows a common factor in (p) and (q), creating contradiction. चरण 1: \(\sqrt{3}\) में (3) और \(\sqrt{5}\) में (5) अभाज्य गुणनखंड हैं। चरण 2: जब \(p^2\) इनसे विभाज्य होता है, तो (p) भी उसी अभाज्य संख्या से विभाज्य होता है। चरण 3: यही विचार आगे (p) और (q) में साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास बनाता है।
A. आगे (q) को भी (5) से विभाज्य दिखाना/To later show (q) is also divisible by (5)
Step 1
Concept
From \(p^2=5q^2\), (p) is found divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Substituting (p=5k) gives \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
This proves (q) is divisible by (5). चरण 1: \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य मिलता है। चरण 2: (p=5k) रखने से \(q^2=5k^2\) मिलता है। चरण 3: इससे (q) के (5) से विभाज्य होने का प्रमाण बनता है।
By the prime rule, (q) is said to be divisible by (5). चरण 1: (p=5k) रखने के बाद \(q^2=5k^2\) मिलता है। चरण 2: इससे \(q^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 3: अभाज्य नियम से (q) (5) से विभाज्य कहा जाता है।
A. परिमेय संख्या का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होता/The square root of a rational number is not always rational
Step 1
Concept
(5) is rational but not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
The square root of a non-perfect square need not be rational, and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Check a number and its square root separately. चरण 1: (5) परिमेय है लेकिन पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: अपूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: संख्या और उसके वर्गमूल का प्रकार अलग-अलग जांचें।
A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं था/\(\frac{p}{q}\) was not in lowest form
Step 1
Concept
If both are divisible by (5), numerator and denominator share (5).
Step 2
Why this answer is correct
Such a fraction can be reduced further.
Step 3
Exam Tip
This contradicts the assumption of lowest form. चरण 1: दोनों (5) से विभाज्य हों तो अंश और हर में (5) साझा है। चरण 2: ऐसी भिन्न को और सरल किया जा सकता है। चरण 3: यह सरलतम रूप मानने के विरुद्ध है।
A. दोनों में अभाज्य गुणनखंड से वर्ग और मूल संख्या की विभाज्यता जोड़ी जाती है/In both, a prime factor connects divisibility of the square and the original number
Step 1
Concept
In \(\sqrt{3}\), (3) is prime, and in \(\sqrt{5}\), (5) is prime.
Step 2
Why this answer is correct
In both, if the square is divisible by the prime, the original number is also divisible by it.
Step 3
Exam Tip
This common logic moves the proof forward. चरण 1: \(\sqrt{3}\) में (3) और \(\sqrt{5}\) में (5) अभाज्य हैं। चरण 2: दोनों में यदि वर्ग अभाज्य से विभाज्य है, तो मूल संख्या भी विभाज्य होगी। चरण 3: यही साझा तर्क प्रमाण को आगे बढ़ाता है।
A. \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलता है, \(\sqrt{5}\) में साझा गुणनखंड (5) मिलता है/In \(\sqrt{2}\), common factor (2) is found; in \(\sqrt{5}\), common factor (5) is found
Step 1
Concept
In \(\sqrt{2}\)'s proof, factor (2) comes from \(p^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
In \(\sqrt{5}\)'s proof, factor (5) comes from \(p^2=5q^2\).
Step 3
Exam Tip
The number under the root becomes the key factor. चरण 1: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2=2q^2\) से गुणनखंड (2) आता है। चरण 2: \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(p^2=5q^2\) से गुणनखंड (5) आता है। चरण 3: मूल के अंदर की संख्या मुख्य गुणनखंड बनती है।
D. \(p^2=5q^2\) से (p=5q) सीधे मिलेगा/From \(p^2=5q^2\), we directly get (p=5q)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) tells us divisibility of \(p^2\).
Step 2
Why this answer is correct
By the prime rule, (p) is divisible by (5), but (p=5q) does not follow directly.
Step 3
Exam Tip
In exams, writing (p=5k) is correct. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) की विभाज्यता पता चलती है। चरण 2: अभाज्य नियम से (p) (5) से विभाज्य है, लेकिन सीधे (p=5q) नहीं मिलता। चरण 3: परीक्षा में (p=5k) लिखना सही है।
A. परिमेय मानना, \(p^2=5q^2\) पाना, (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाना/Assume rational, get \(p^2=5q^2\), show both (p) and (q) divisible by (5)
Step 1
Concept
The proof starts with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
Squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 3
Exam Tip
Then common factor (5) in both gives the contradiction. चरण 1: प्रमाण परिमेय मान्यता से शुरू होता है। चरण 2: वर्ग करने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। चरण 3: फिर दोनों में (5) साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास बनाया जाता है।
A. यदि अभाज्य संख्या किसी वर्ग को विभाजित करे, तो मूल संख्या को भी विभाजित करती है/If a prime divides a square, it divides the original number
Step 1
Concept
From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, (p) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Hence (p=5k) is written. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: इसी कारण (p=5k) लिखा जाता है।
A. केवल \(p^2=5q^2\) लिखकर रुक जाना/Stopping after only writing \(p^2=5q^2\)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) is a middle step of the proof.
Step 2
Why this answer is correct
After this, both (p) and (q) must be shown divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
The proof is incomplete without contradiction and conclusion. चरण 1: \(p^2=5q^2\) प्रमाण का मध्य चरण है। चरण 2: इसके बाद (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाने होते हैं। चरण 3: विरोधाभास और निष्कर्ष लिखे बिना प्रमाण पूरा नहीं होता।
A. \(q^2\) (5) से विभाज्य है, इसलिए (q) (5) से विभाज्य है/\(q^2\) is divisible by (5), so (q) is divisible by (5)
Step 1
Concept
From \(q^2=5k^2\), \(q^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, (q) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
This shows a common factor in (p) and (q). चरण 1: \(q^2=5k^2\) से \(q^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: यही (p) और (q) में साझा गुणनखंड दिखाता है।
This leads to the conclusion that (q) is divisible by (5). चरण 1: (p=5k) रखने पर \(p^2=25k^2\) होगा। चरण 2: \(25k^2=5q^2\) से \(q^2=5k^2\) मिलता है। चरण 3: इसी से (q) के (5) से विभाज्य होने का निष्कर्ष आता है।
A. यदि \(p^2\) (5) से विभाज्य है, तो (p) (5) से विभाज्य है/If \(p^2\) is divisible by (5), then (p) is divisible by (5)
Step 1
Concept
(5) is a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
If a prime divides a square, it also divides the original number.
Step 3
Exam Tip
This rule is applied to (p) in the proof of \(\sqrt{5}\). चरण 1: (5) अभाज्य संख्या है। चरण 2: अभाज्य संख्या यदि किसी वर्ग को विभाजित करे, तो मूल संख्या को भी विभाजित करती है। चरण 3: यह नियम \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (p) पर लगाया जाता है।
\(p^2=5q^2\) usually comes from the proof of \(\sqrt{5}\).
Step 3
Exam Tip
To identify the proof, look at the factor in the equation. चरण 1: समीकरण में मुख्य गुणनखंड (5) है। चरण 2: \(p^2=5q^2\) सामान्य रूप से \(\sqrt{5}\) के प्रमाण से आता है। चरण 3: प्रमाण पहचानने के लिए समीकरण में गुणनखंड देखें।
A. (5) परिमेय है, पर उसका वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं/(5) is rational, but its square root need not be rational
Step 1
Concept
(5) is rational but not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
Since it is not a perfect square, \(\sqrt{5}\) is not rational.
Step 3
Exam Tip
Check a number and its square root separately. चरण 1: (5) परिमेय संख्या है लेकिन पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: पूर्ण वर्ग न होने के कारण \(\sqrt{5}\) परिमेय नहीं होता। चरण 3: संख्या और उसके वर्गमूल के प्रकार को अलग-अलग जांचें।
A. क्योंकि इससे (q) भी (5) से विभाज्य सिद्ध होता है/Because it proves (q) is also divisible by (5)
Step 1
Concept
From \(q^2=5k^2\), \(q^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
By the prime rule, (q) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Then (p) and (q) both have common factor (5). चरण 1: \(q^2=5k^2\) से \(q^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: अभाज्य नियम से (q) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: तब (p) और (q) दोनों में (5) साझा गुणनखंड मिलता है।
A. \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य है/From \(p^2=5q^2\), (p) is divisible by (5)
Step 1
Concept
From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, (p) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
This is the basis for writing (p=5k). चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (5) से विभाज्य है। चरण 3: यही आगे (p=5k) लिखने का आधार है।
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हैं, इसलिए वे सहअभाज्य नहीं हो सकते/Both (p) and (q) are divisible by (5), so they cannot be coprime
Step 1
Concept
In the proof, both (p) and (q) are found divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
This means their common factor is (5).
Step 3
Exam Tip
This breaks the condition of being coprime. चरण 1: प्रमाण में (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 2: इसका अर्थ है कि उनका साझा गुणनखंड (5) है। चरण 3: यह सहअभाज्य होने की शर्त को तोड़ता है।
A. (p) और (q) का महत्तम समापवर्तक (1) है/The greatest common divisor of (p) and (q) is (1)
Step 1
Concept
In lowest form, a fraction cannot be reduced further.
Step 2
Why this answer is correct
This means the greatest common divisor of (p) and (q) is (1).
Step 3
Exam Tip
Later finding (5) in both contradicts this. चरण 1: सरलतम रूप में भिन्न को और घटाया नहीं जा सकता। चरण 2: इसका अर्थ है कि (p) और (q) का महत्तम समापवर्तक (1) है। चरण 3: बाद में दोनों में (5) मिलना इसी बात से विरोधाभास बनाता है।
A. (p=5k) रखकर \(q^2=5k^2\) मिलने के बाद/After substituting (p=5k) and getting \(q^2=5k^2\)
Step 1
Concept
First, from \(p^2=5q^2\), (p) is found divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Then substituting (p=5k) gives \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
Then (q) is concluded divisible by (5). चरण 1: पहले \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य मिलता है। चरण 2: फिर (p=5k) रखने पर \(q^2=5k^2\) मिलता है। चरण 3: तब (q) के (5) से विभाज्य होने का निष्कर्ष आता है।
A. \(\frac{p}{q}\) के सरलतम रूप में होने से/\(\frac{p}{q}\) being in lowest form
Step 1
Concept
In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
If both are divisible by (5), common factor (5) exists.
Step 3
Exam Tip
This contradicts lowest form. चरण 1: सरलतम रूप में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। चरण 2: दोनों (5) से विभाज्य हों तो साझा गुणनखंड (5) मिल जाता है। चरण 3: यह सरलतम रूप से विरोधाभास बनाता है।
D. \(p^2=5q^2\) से सीधे (p=5q)/From \(p^2=5q^2\), directly (p=5q)
Step 1
Concept
From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
This gives (p) divisible by (5), but not directly (p=5q).
Step 3
Exam Tip
The correct form is (p=5k). चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: इससे (p) (5) से विभाज्य है, लेकिन सीधे (p=5q) नहीं मिलता। चरण 3: सही रूप (p=5k) है।
A. \(p^2\) (5) से विभाज्य होने पर (p) (5) से विभाज्य कहने में/In saying (p) is divisible by (5) when \(p^2\) is divisible by (5)
Step 1
Concept
From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, (p) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
The prime-number rule is the backbone of the proof. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: अभाज्य संख्या वाला नियम प्रमाण की रीढ़ है।
After divisibility, write (p=5k), where (k) is an integer. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (p) (5) से विभाज्य है। चरण 3: विभाज्यता मिलने पर (p=5k) लिखें, जहां (k) पूर्णांक है।
A. किसी परिमेय संख्या का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होता/The square root of a rational number is not always rational
Step 1
Concept
(5) is rational, but it is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
The square root of a non-perfect square need not be rational, and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Check a number and its square root separately. चरण 1: (5) परिमेय है, लेकिन वह पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: पूर्ण वर्ग न होने पर उसका वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: संख्या और उसके वर्गमूल के प्रकार को अलग-अलग जांचें।
A. \(p^2=5q^2\), (p=5k), \(25k^2=5q^2\), \(q^2=5k^2\)
Step 1
Concept
From \(p^2=5q^2\), (p) is divisible by (5), so (p=5k).
Step 2
Why this answer is correct
Substitution gives \(25k^2=5q^2\), then \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
This proves (q) is also divisible by (5). चरण 1: \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य है, इसलिए (p=5k)। चरण 2: रखने पर \(25k^2=5q^2\) और फिर \(q^2=5k^2\) मिलता है। चरण 3: इससे (q) भी (5) से विभाज्य सिद्ध होता है।
A. (q) को भी (5) से विभाज्य दिखाना/To show (q) is also divisible by (5)
Step 1
Concept
First (p) is found to have factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
Substituting (p=5k) in the equation gives \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
This proves (q) is also divisible by (5). चरण 1: पहले (p) में (5) का गुणनखंड मिला। चरण 2: (p=5k) को समीकरण में रखने से \(q^2=5k^2\) मिलता है। चरण 3: इससे (q) भी (5) से विभाज्य सिद्ध होता है।
A. दोनों में अभाज्य गुणनखंड का नियम प्रयोग होता है/Both use the prime factor divisibility rule
Step 1
Concept
In \(\sqrt{3}\), (3) is prime; in \(\sqrt{5}\), (5) is prime.
Step 2
Why this answer is correct
Both proofs use divisibility from square to original number.
Step 3
Exam Tip
This is their main common logic. चरण 1: \(\sqrt{3}\) में (3) और \(\sqrt{5}\) में (5) अभाज्य हैं। चरण 2: दोनों प्रमाणों में वर्ग से मूल संख्या पर विभाज्यता लाने का नियम उपयोग होता है। चरण 3: यही दोनों का मुख्य समान तर्क है।
A. \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलता है, \(\sqrt{5}\) में साझा गुणनखंड (5) मिलता है/In \(\sqrt{2}\), common factor (2) is found; in \(\sqrt{5}\), common factor (5) is found
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{2}\), (2) is the key factor.
Step 2
Why this answer is correct
In the proof of \(\sqrt{5}\), (5) is the key factor.
Step 3
Exam Tip
Pay attention to the number under the root in each proof. चरण 1: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में संख्या (2) मुख्य गुणनखंड बनती है। चरण 2: \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में संख्या (5) मुख्य गुणनखंड बनती है। चरण 3: अलग-अलग प्रमाणों में मूल के अंदर की संख्या पर ध्यान दें।
A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं था/\(\frac{p}{q}\) was not in lowest form
Step 1
Concept
If both are divisible by (5), the fraction has common factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
Such a fraction can be reduced further.
Step 3
Exam Tip
This contradicts the assumption of lowest form. चरण 1: दोनों (5) से विभाज्य होने पर भिन्न में साझा गुणनखंड (5) है। चरण 2: ऐसी भिन्न को और सरल किया जा सकता है। चरण 3: यह सरलतम रूप मानने के विरुद्ध है।
B. \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य है/From \(p^2=5q^2\), (p) is divisible by (5)
Step 1
Concept
From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, (p) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Directly writing (p=5q) is not correct. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: सीधे (p=5q) लिखना सही नहीं है।
A. मानें \(\sqrt{5}\) परिमेय है, \(p^2=5q^2\) पाएं, (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाएं/Assume \(\sqrt{5}\) rational, get \(p^2=5q^2\), show both (p) and (q) divisible by (5)
Step 1
Concept
The proof starts with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
Squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 3
Exam Tip
Finally, a common factor (5) in both gives the contradiction. चरण 1: प्रमाण परिमेय मान्यता से शुरू होता है। चरण 2: वर्ग करने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। चरण 3: अंत में दोनों में (5) साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास बनाया जाता है।
A. इससे \(p^2\) (5) से विभाज्य होने पर (p) (5) से विभाज्य मिलता है/It lets us conclude that if \(p^2\) is divisible by (5), then (p) is divisible by (5)
Step 1
Concept
If a prime factor divides a square, it also divides the original number.
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, \(p^2\) divisible by (5) implies (p) divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
This is the main logic of the proof. चरण 1: अभाज्य संख्या का गुणनखंड वर्ग में आने पर मूल संख्या में भी आता है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए \(p^2\) (5) से विभाज्य होने पर (p) (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: यही प्रमाण का मुख्य तर्क है।
A. \(n^2\) (5) से विभाज्य है, इसलिए (n) (5) से विभाज्य है/\(n^2\) is divisible by (5), so (n) is divisible by (5)
Step 1
Concept
In \(n^2=5k^2\), the right side has factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
So \(n^2\) is divisible by (5), and by the prime rule (n) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Apply the correct rule from square to original number. चरण 1: \(n^2=5k^2\) में दाईं ओर (5) गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए \(n^2\) (5) से विभाज्य है और अभाज्य नियम से (n) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: वर्ग से मूल संख्या पर सही नियम लगाएं।
Writing ((5k)2) as \(5k^2\) is a mistake. चरण 1: (m=5k) रखने पर \(m^2=25k^2\) होगा। चरण 2: इसलिए \(m^2=5n^2\) में \(25k^2=5n^2\) मिलेगा। चरण 3: ((5k)2) को \(5k^2\) लिखना गलती है।
Therefore (m=5k) is the correct next step. चरण 1: \(m^2=5n^2\) से \(m^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (m) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: इसलिए (m=5k) लिखना सही अगला कदम है।
A. परिमेय मानकर उसी अभाज्य गुणनखंड को अंश और हर दोनों में दिखाना/Assume rational and show the same prime factor in both numerator and denominator
Step 1
Concept
Factor (3) works in \(\sqrt{3}\) and factor (5) works in \(\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
The rational assumption makes that same factor appear in both numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
This common factor contradicts lowest form. चरण 1: \(\sqrt{3}\) में गुणनखंड (3) और \(\sqrt{5}\) में गुणनखंड (5) काम करता है। चरण 2: परिमेय मान्यता से वही गुणनखंड अंश और हर दोनों में आ जाता है। चरण 3: यही साझा गुणनखंड सरलतम रूप से विरोध करता है।
At the beginning, (p) and (q) were assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
If both are divisible by (5), then (5) becomes a common factor.
Step 3
Exam Tip
So this goes against their being coprime. चरण 1: (p) और (q) को शुरुआत में सहअभाज्य माना गया था। चरण 2: दोनों (5) से विभाज्य होने पर (5) साझा गुणनखंड बन जाता है। चरण 3: इसलिए यह सहअभाज्य होने के विरुद्ध है।
So (p) is also divisible by (5) and is written as (p=5k).
Step 3
Exam Tip
Choose the correct factor according to the number. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: इसलिए (p) भी (5) से विभाज्य है और (p=5k) लिखा जाता है। चरण 3: संख्या के अनुसार सही गुणनखंड चुनें।
A. वे सहअभाज्य नहीं रहेंगे/They will not remain coprime
Step 1
Concept
If both are divisible by (5), then (5) is a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
Coprime numbers should not have a common factor other than (1).
Step 3
Exam Tip
So this situation goes against being coprime. चरण 1: दोनों (5) से विभाज्य हैं तो (5) साझा गुणनखंड है। चरण 2: सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। चरण 3: इसलिए यह स्थिति सहअभाज्य होने के विरुद्ध है।
A. यह दिखाना कि (q) भी (5) से विभाज्य है/To show that (q) is also divisible by (5)
Step 1
Concept
First, (p) is found divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Substituting (p=5k) gives divisibility by (5) for (q) too.
Step 3
Exam Tip
A common factor in both creates the contradiction. चरण 1: पहले (p) (5) से विभाज्य मिलता है। चरण 2: (p=5k) को समीकरण में रखने पर (q) के लिए भी (5) से विभाज्यता मिलती है। चरण 3: दोनों में साझा गुणनखंड मिलना विरोधाभास है।
A square and square root cancel each other. चरण 1: \(\sqrt{5}\) का वर्ग (5) होता है। चरण 2: इसलिए बाईं ओर (\(\sqrt{5}\)2=5) मिलेगा। चरण 3: वर्ग और वर्गमूल एक-दूसरे को हटाते हैं।
C. \(\sqrt{5}=5\) मान लेते हैं/We take \(\sqrt{5}=5\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{5}=5\) is false because \(5^2=25\).
Step 2
Why this answer is correct
In the correct proof, \(\sqrt{5}\) is assumed rational and a contradiction is obtained.
Step 3
Exam Tip
Do not treat a square root as equal to the number under it. चरण 1: \(\sqrt{5}=5\) गलत है क्योंकि \(5^2=25\) होता है। चरण 2: सही प्रमाण में \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानकर विरोधाभास निकाला जाता है। चरण 3: वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर न मानें।
B. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं/Both (p) and (q) are found divisible by (5)
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{5}\), \(p^2=5q^2\) makes (p) divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Then (q) is also found divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Having common factor (5) contradicts the coprime condition. चरण 1: \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य मिलता है। चरण 2: फिर (q) भी (5) से विभाज्य मिलता है। चरण 3: दोनों में (5) साझा गुणनखंड होना सहअभाज्य शर्त से टकराता है।
Do this algebraic step carefully in the proof of \(\sqrt{5}\). चरण 1: (p=5k) को वर्ग करें। चरण 2: ((5k)2=25k-2), इसलिए \(p^2=25k^2\)। चरण 3: \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यह बीजगणितीय चरण बहुत ध्यान से करें।
Multiplying both sides by \(q^2\) gives \(p^2=5q^2\).
Step 3
Exam Tip
Always write the denominator-clearing step carefully. चरण 1: दोनों ओर वर्ग करने पर \(5=\frac{p^2}{q^2}\) मिलेगा। चरण 2: दोनों ओर \(q^2\) से गुणा करने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। चरण 3: हर हटाने का चरण हमेशा ध्यान से लिखें।
A. परिमेय मानने पर अंश और हर दोनों (5) से विभाज्य हो जाते हैं/Assuming rational makes both numerator and denominator divisible by (5)
Step 1
Concept
We assume \(\sqrt{5}\) rational and write it in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows numerator and denominator both divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
This contradicts lowest form, so \(\sqrt{5}\) is irrational. चरण 1: \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न में लिखते हैं। चरण 2: प्रमाण से अंश और हर दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 3: यह सरलतम रूप के विरुद्ध है, इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है।
In the correct proof, \(\sqrt{5}\) is assumed rational and a contradiction is obtained.
Step 3
Exam Tip
Do not treat a square root as equal to the number under it. चरण 1: \(\sqrt{5}=5\) गलत है क्योंकि \(5^2=25\) होता है। चरण 2: सही प्रमाण में \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानकर विरोधाभास निकाला जाता है। चरण 3: वर्गमूल को मूल संख्या के बराबर न मानें।
It leads to common factor (5) in both numbers. चरण 1: \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानने पर \(a^2=5b^2\) मिलता है। चरण 2: यहां (5) अभाज्य गुणनखंड मुख्य है। चरण 3: इसी से दोनों संख्याओं में (5) साझा गुणनखंड मिलता है।
A. क्योंकि (a) और (b) सरलतम रूप में सहअभाज्य माने गए थे/Because (a) and (b) were assumed coprime in lowest form
Step 1
Concept
(a=5k) and (b=5l) mean both are divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
But (a) and (b) were assumed coprime at the beginning.
Step 3
Exam Tip
Hence this result gives a contradiction. चरण 1: (a=5k) और (b=5l) का मतलब दोनों (5) से विभाज्य हैं। चरण 2: लेकिन शुरुआत में (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे। चरण 3: इसलिए यह परिणाम विरोधाभास देता है।
