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क्योंकि \(4^2<24<5^2\), इसलिए \(\sqrt{24}\) (4) और (5) के बीच है और (24) के बराबर नहीं है। वर्गमूल को मूल संख्या न मानें। / Since \(4^2<24<5^2\), \(\sqrt{24}\) is between (4) and (5) and is not equal to (24). Do not treat a square root as the original number.
D. इसमें हमेशा \(c\neq0\) होना चाहिए/It must always have \(c\neq0\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में (c) (0) भी हो सकता है। जरूरी शर्त केवल \(a\neq0\) है। / In a quadratic equation, (c) can also be (0). The necessary condition is only \(a\neq0\).
C. हर अपरिमेय संख्या पूर्णांक होती है/Every irrational number is an integer
Step 1
Concept
अपरिमेय संख्या पूर्णांक नहीं होती, क्योंकि पूर्णांक \(\frac{p}{q}\) रूप में लिखे जा सकते हैं। / Irrational numbers are not integers because integers can be written in the form \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर अपरिमेय संख्या को पूर्णांक कहना गलत है। / So saying every irrational number is an integer is false.
Step 3
Exam Tip
गलत कथन वाले प्रश्न में हर विकल्प को अलग-अलग जांचें। / In false-statement questions, check every option separately.
\(\sqrt{9+16}=5\) है जबकि \(\sqrt{9}+\sqrt{16}=7\) है। परीक्षा में मूल के अंदर के योग को अलग-अलग न तोड़ें। / \(\sqrt{9+16}=5\) while \(\sqrt{9}+\sqrt{16}=7\). In exams do not split addition inside a radical.
B. \(\sqrt{6}\) परिमेय है/\(\sqrt{6}\) is rational
Step 1
Concept
मान लें \(5-\sqrt{6}\) परिमेय है। / Suppose \(5-\sqrt{6}\) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
तब \(\sqrt{6}=5-\) वह परिमेय संख्या होगा इसलिए \(\sqrt{6}\) परिमेय मिल जाएगा। / Then \(\sqrt{6}=5-\) that rational number so \(\sqrt{6}\) would be rational.
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास विधि में उस निष्कर्ष को पकड़ें जो ज्ञात तथ्य से टकराता है। / In contradiction proofs identify the result that clashes with a known fact.
A. विभिन्न अपूर्ण वर्गों के मूल स्वतंत्र अपरिमेय भाग देते हैं/Roots of different non-perfect squares give independent irrational parts
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{6}\) अलग-अलग अपूर्ण वर्गों से जुड़े हैं। / \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{6}\) are linked to different non-perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
इनके अपरिमेय भाग सामान्य जोड़ से पूरी तरह नहीं कटते, इसलिए योग परिमेय नहीं बनता। / Their irrational parts do not cancel through ordinary addition, so the sum is not rational.
Step 3
Exam Tip
ऐसे दावों में गलत पहचान जैसे \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) से बचें। / Avoid false identities such as \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\).
गुणनफल धनात्मक होने पर दोनों चिन्ह समान होते हैं। योग धनात्मक होने से दोनों मूल धनात्मक होंगे। / A positive product means both signs are same. A positive sum means both roots are positive.
पहले विकल्प में योग \(-\frac{b}{a}=9\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}=20\) है। इसलिए दोनों धनात्मक हैं। / In the first option, the sum is \(-\frac{b}{a}=9\) and the product is \(\frac{c}{a}=20\). So both are positive.
B. जब उसका पृष्ठभूमि से अच्छा विरोध हो/When it contrasts well with background
Explanation
Simple Explanation
विरोध सकारात्मक आकार को पृष्ठभूमि से अलग करता है। परीक्षा में figure clarity को contrast से जोड़ें। / Contrast separates positive shape from background. Exam tip: connect figure clarity with contrast.
दोनों स्थानों का संतुलन रचना को स्पष्ट और व्यवस्थित बनाता है। परीक्षा में space balance को composition से जोड़ें। / Balance of both spaces makes composition clear and organized. Exam tip: connect space balance with composition.
B. काली आकृति और उसके चारों ओर सफेद खाली क्षेत्र/A black figure and white empty area around it
Explanation
Simple Explanation
मुख्य आकृति सकारात्मक और आसपास खाली क्षेत्र ऋणात्मक आकार बनाता है। परीक्षा में figure ground relation याद रखें। / Main figure becomes positive and surrounding empty area becomes negative shape. Exam tip: remember figure-ground relation.
A. मुख्य वस्तु वाला भाग/The area occupied by the main object
Explanation
Simple Explanation
सकारात्मक स्थान वह क्षेत्र है जहां मुख्य विषय होता है। परीक्षा में subject area को positive space लिखें। / Positive space is the area where the main subject is placed. Exam tip: write subject area as positive space.
(816=8[12+15d]) से (d=6) मिलता है। दिए गए योग को \(\frac{n}{2}\) से बाँटकर जल्दी हल करें। / From (816=8[12+15d]), (d=6). Divide the given sum by \(\frac{n}{2}\) to solve faster.
धनात्मक (d) का अर्थ हर बार जोड़ना है। इसलिए पद सामान्यतः बढ़ते जाते हैं। / Positive (d) means adding each time. Therefore, the terms generally keep increasing.
समान जड़ों के लिए \(p^2-256=0\), इसलिए \(p=\pm16\)। समान जड़ \(-\frac{p}{2}\) धनात्मक होनी चाहिए, अतः (p=-16)। / For equal roots, \(p^2-256=0\), so \(p=\pm16\). The equal root \(-\frac{p}{2}\) must be positive, hence (p=-16).
योग (6) धनात्मक है और दोनों धनात्मक जड़ों के लिए (c>0) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(36-4c\ge0\), इसलिए \(0<c\le9\)। / The sum (6) is positive and (c>0) is needed for both positive roots. For real roots, \(36-4c\ge0\), so \(0<c\le9\).
समान जड़ों के लिए \(p^2-144=0\), इसलिए \(p=\pm12\)। समान जड़ \(-\frac{p}{2}\) धनात्मक होनी चाहिए, अतः (p=-12)। / For equal roots, \(p^2-144=0\), so \(p=\pm12\). The equal root \(-\frac{p}{2}\) must be positive, hence (p=-12).
योग (5) धनात्मक है और दोनों जड़ों के लिए गुणनफल (c>0) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(25-4c\ge0\), इसलिए \(0<c\le\frac{25}{4}\)। / The sum (5) is positive and product (c>0) is needed for both roots. For real roots, \(25-4c\ge0\), so \(0<c\le\frac{25}{4}\).
समान जड़ों के लिए \(p^2-64=0\), इसलिए \(p=\pm8\)। जड़ \(-\frac{p}{2}\) धनात्मक होनी चाहिए, अतः (p=-8)। / For equal roots, \(p^2-64=0\), so \(p=\pm8\). The root \(-\frac{p}{2}\) must be positive, hence (p=-8).
समान जड़ों के लिए \(s^2-36=0\), इसलिए \(s=\pm6\)। समान जड़ \(\frac{s}{2}\) है, जो धनात्मक होने पर (s=6) देता है। / For equal roots, \(s^2-36=0\), so \(s=\pm6\). The equal root is \(\frac{s}{2}\), which is positive when (s=6).
समान मूलों के लिए \(p^2-144=0\) से \(p=\pm12\) मिलता है। धनात्मक समान मूल के लिए \(-\frac{p}{2}>0\), इसलिए (p=-12)। / For equal roots, \(p^2-144=0\) gives \(p=\pm12\). For equal positive roots, \(-\frac{p}{2}>0\), so (p=-12).
समान मूलों के लिए \(p^2-100=0\) से \(p=\pm10\) मिलता है। धनात्मक समान मूल के लिए \(-\frac{p}{2}>0\), इसलिए (p=-10)। / For equal roots, \(p^2-100=0\) gives \(p=\pm10\). For equal positive roots, \(-\frac{p}{2}>0\), so (p=-10).
समान मूलों के लिए \(p^2-64=0\) से \(p=\pm8\) मिलता है। धनात्मक समान मूल के लिए \(-\frac{p}{2}>0\), इसलिए (p=-8)। / For equal roots, \(p^2-64=0\) gives \(p=\pm8\). For equal positive roots, \(-\frac{p}{2}>0\), so (p=-8).
(x-2-12x+36=(x-6)2), इसलिए दोनों मूल (6) हैं। दोनों मूल बराबर और धनात्मक हैं। / (x-2-12x+36=(x-6)2), so both roots are (6). Both roots are equal and positive.
समान मूलों के लिए \(k^2=196\) और समान मूल \(-\frac{k}{2}\) होगा। धनात्मक मूल के लिए (k=-14) सही है। / For equal roots, \(k^2=196\), and the equal root is \(-\frac{k}{2}\). For a positive root, (k=-14) is correct.
B. राष्ट्रवाद एकता दे सकता है, पर संकीर्ण रूप में संघर्ष भी पैदा कर सकता है/Nationalism can create unity, but in a narrow form it can also create conflict
Step 1
Concept
राष्ट्रवाद लोगों को साझा पहचान और एकता दे सकता है। / Nationalism can give people shared identity and unity.
Step 2
Why this answer is correct
पर जब यह संकीर्ण या आक्रामक हो जाए तो संघर्ष बढ़ा सकता है। / But when it becomes narrow or aggressive, it can increase conflict.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में दोनों पक्षों को संतुलित रूप से समझें। / Understand both sides in a balanced way for exams.
वाक्य गलत तब होगा जब तीनों पद समांतर श्रेणी में हों। (2(3m-2)=(m+1)+(6m-8)) से (m=2). / The statement becomes false when the three terms form an arithmetic progression. From (2(3m-2)=(m+1)+(6m-8)), (m=2).
(D<0) होने पर वास्तविक मूल नहीं होते हैं। दो वास्तविक और भिन्न मूल (D>0) पर मिलते हैं। / When (D<0), real roots do not exist. Two real and distinct roots occur when (D>0).
द्विघात समीकरण में (D=0) होने पर दोनों मूल समान होते हैं। यह मूलों की प्रकृति का सीधा नियम है। / In a quadratic equation, (D=0) means both roots are equal. This is a direct rule of nature of roots.
A. क्योंकि \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में माना गया था, पर (3) साझा गुणनखंड मिल गया/Because \(\frac{p}{q}\) was assumed in lowest form, but common factor (3) was found
Step 1
Concept
परिमेय मान्यता में \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लिया गया था। / In the rational assumption, \(\frac{p}{q}\) was taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
(p=3k) और (q=3r) बताता है कि (p) और (q) दोनों में (3) साझा है। / (p=3k) and (q=3r) show common factor (3) in both.
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम रूप से विरोधाभास है, इसलिए परिमेय मान्यता गलत है। / This contradicts lowest form, so the rational assumption is false.
A. कथन गलत है क्योंकि वे राजनीतिक राष्ट्रवाद से भी गहराई से जुड़ी थीं/The statement is wrong because they were deeply linked with political nationalism
Step 1
Concept
मैरिएन और जर्मेनिया धार्मिक देवी नहीं बल्कि राष्ट्रीय प्रतीक थीं। / Marianne and Germania were not religious goddesses but national symbols.
Step 2
Why this answer is correct
उनका संबंध गणराज्य एकता और स्वतंत्रता से था। / They were linked with republic unity and liberty.
Step 3
Exam Tip
इसलिए उन्हें केवल धार्मिक अर्थ में समझना गलत है। / So understanding them only in a religious sense is wrong.
B. आकृति पृष्ठभूमि द्विअर्थता/Figure-ground ambiguity
Explanation
Simple Explanation
आकृति पृष्ठभूमि द्विअर्थता में दोनों क्षेत्र अर्थ देते हैं। परीक्षा में दोहरी पढ़त को पहचानें। / In figure-ground ambiguity both areas give meaning. Exam tip: identify dual reading.
A. दर्शक दोनों अर्थों को पढ़ सकता है/Viewer may read both meanings
Explanation
Simple Explanation
figure ground ambiguity दो अर्थ बना सकती है। परीक्षा में dual reading पहचानें। / Figure-ground ambiguity can create two meanings. Exam tip: identify dual reading.
D. राजनीतिक जागरूकता और राष्ट्रीय चेतना का बढ़ना/Growth of political awareness and national consciousness
Explanation
Simple Explanation
शिक्षा ने कई लोगों को अधिकार और स्वतंत्रता के विचारों से परिचित कराया। परीक्षा में शिक्षा और राष्ट्रवाद साथ याद रखें। / Education introduced many people to ideas of rights and freedom. For exams remember education with nationalism.
A. राजनीतिक प्रशिक्षण और सार्वजनिक बहस की परंपरा विकसित हुई/Political training and tradition of public debate developed
Explanation
Simple Explanation
उदारवादियों ने राष्ट्रीय मुद्दों को संगठित भाषा दी। परीक्षा में योगदान और सीमा दोनों याद रखें। / Moderates gave organised language to national issues. Exam tip: remember both contribution and limitation.
A. उसने राजनीतिक प्रशिक्षण और सार्वजनिक बहस की परंपरा विकसित की/It developed political training and tradition of public debate
Explanation
Simple Explanation
उदारवादियों ने राष्ट्रीय मुद्दों को संगठित और संवैधानिक भाषा दी। परीक्षा में उनकी सीमा के साथ योगदान भी याद रखें। / Moderates gave organised and constitutional language to national issues. Exam tip: remember their contribution along with limitations.
पहली (n) विषम संख्याओं का योग \(n^2\) होता है इसलिए \(60^2=3600\)। परीक्षा में यह परिणाम सीधे याद रखें। / The sum of the first (n) odd numbers is \(n^2\), so \(60^2=3600\). Exam tip: remember this result directly.
पहली (n) सम संख्याओं का योग (n(n+1)) होता है इसलिए (n=25)। परीक्षा में इसे समान्तर श्रेणी \(2,4,6,\ldots\) भी मान सकते हैं। / The sum of the first (n) even numbers is (n(n+1)), so (n=25). Exam tip: you can also treat it as the AP \(2,4,6,\ldots\).
(S_n=\frac{n}{2}(309-9n)) धनात्मक होने पर अधिकतम (n=34) है। परीक्षा में असमानता हल करके पूर्णांक सीमा लें। / (S_n=\frac{n}{2}(309-9n)) is positive up to (n=34). Exam tip: solve the inequality and then take the integer limit.
(S_n=\frac{n}{2}(247-7n)) धनात्मक होने पर अधिकतम (n=35) है। परीक्षा में असमानता हल करके पूर्णांक सीमा लें। / (S_n=\frac{n}{2}(247-7n)) is positive up to (n=35). Exam tip: solve the inequality and then take the integer limit.
(\frac{n}{2}[50-4(n-1)]=105) से (n=7) मिलता है। घटती श्रेढ़ी में भी (n) धनात्मक पूर्णांक होता है। / From (\frac{n}{2}[50-4(n-1)]=105), (n=7). Even in a decreasing AP, (n) must be a positive integer.
श्रेढ़ी \(4,8,\ldots,48\) है जिसमें (12) पद हैं और योग (312) है। अंतिम स्वीकार्य गुणज पहचानना जरूरी है। / The AP is \(4,8,\ldots,48\) with (12) terms, and the sum is (312). Identifying the last allowed multiple is important.
पहली (n) सम संख्याओं का योग (n(n+1)) होता है, इसलिए \(40\times41=1640\)। इसे सम संख्या वाले प्रश्नों में याद रखें। / The sum of the first (n) even numbers is (n(n+1)), so \(40\times41=1640\). Remember it for even-number AP questions.
यह श्रेढ़ी \(7,14,\ldots,140\) है जिसमें (20) पद हैं और योग (1470) है। अंतिम पद से (n) निकालना आसान तरीका है। / The AP is \(7,14,\ldots,140\) with (20) terms, and its sum is (1470). Finding (n) from the last term is an easy method.
पहली (n) विषम संख्याओं का योग \(n^2\) होता है, इसलिए \(25^2=625\)। यह परिणाम तेज गणना में उपयोगी है। / The sum of the first (n) odd numbers is \(n^2\), so \(25^2=625\). This result is useful for quick calculation.
संख्याएँ \(12,16,\ldots,96\) हैं और (22) पद हैं, इसलिए योग (1188) है। दो अंकों की सीमा ध्यान से लगाएँ। / The numbers are \(12,16,\ldots,96\), and there are (22) terms, so the sum is (1188). Apply the two-digit limit carefully.
गुणज (6) से (96) तक हैं और (16) पद हैं, इसलिए योग (816) है। सीमा वाले प्रश्न में अंतिम पद पहले तय करें। / The multiples are from (6) to (96), and there are (16) terms, so the sum is (816). In boundary questions, decide the last term first.
(41n<5000) में सबसे बड़ा (n=121) है। अंतिम पद \(41\times121=4961\) होगा। / In (41n<5000), the greatest (n=121). The last term will be \(41\times121=4961\).
(37n<3600) में सबसे बड़ा (n=97) है। अंतिम पद \(37\times97=3589\) होगा। / In (37n<3600), the greatest (n=97). The last term will be \(37\times97=3589\).
(29n<2500) में सबसे बड़ा (n=86) है। अंतिम पद \(29\times86=2494\) होगा। / In (29n<2500), the greatest (n=86). The last term will be \(29\times86=2494\).
(23n<2000) में सबसे बड़ा (n=86) है। अंतिम पद \(23\times86=1978\) होगा। / In (23n<2000), the greatest (n=86). The last term will be \(23\times86=1978\).
(19n<1500) में सबसे बड़ा (n=78) है। अंतिम पद \(19\times78=1482\) होगा। / In (19n<1500), the greatest (n=78). The last term will be \(19\times78=1482\).
(13n<600) में सबसे बड़ा (n=46) है इसलिए पद \(13\times46=598\)। सीमा से कम सबसे बड़ा पूर्णांक लें। / In (13n<600), the greatest (n=46) so the term is \(13\times46=598\). Take the greatest integer below the limit.
(11n<500) में सबसे बड़ा (n=45) है इसलिए पद \(11\times45=495\)। सीमा से कम सबसे बड़ा पूर्णांक लें। / In (11n<500), the greatest (n=45), so the term is \(11\times45=495\). Take the greatest integer below the limit.
\(9,18,27,\ldots\) में (9n<200), इसलिए सबसे बड़ा (n=22) और पद (198) है। गुणजों में सीमा से कम सबसे बड़ा पूर्णांक लें। / In \(9,18,27,\ldots\), (9n<200), so the greatest (n=22) and the term is (198). For multiples, take the largest integer below the limit.
शून्यक (t) और (4t) मानें, तो \(4t^2=36\) से (t=3) है। योग (15) है, इसलिए (k=15)। / Let the zeroes be (t) and (4t), then \(4t^2=36\) gives (t=3). The sum is (15), so (k=15).
शून्यक (t) और (2t) मानें, तो \(2t^2=16\) से \(t=2\sqrt{2}\) है। योग \(6\sqrt{2}\) है, इसलिए \(-k=6\sqrt{2}\) और \(k=-6\sqrt{2}\)। / Let the zeroes be (t) and (2t), then \(2t^2=16\) gives \(t=2\sqrt{2}\). The sum is \(6\sqrt{2}\), so \(-k=6\sqrt{2}\) and \(k=-6\sqrt{2}\).
शून्यक (t) और (3t) मानें, तो \(3t^2=9\) से \(t=\sqrt{3}\) है। योग \(4\sqrt{3}\) है इसलिए \(k=-4\sqrt{3}\)। / Let the zeroes be (t) and (3t), so \(3t^2=9\) gives \(t=\sqrt{3}\). The sum is \(4\sqrt{3}\), hence \(k=-4\sqrt{3}\).
समीकरण \(x^2=11x+60\) है। \(x^2-11x-60=0\) से धनात्मक हल (x=15) है। / The equation is \(x^2=11x+60\). From \(x^2-11x-60=0\), the positive root is (x=15).
समीकरण \(x-\frac{1}{x}=\frac{15}{4}\) है। इससे \(4x^2-15x-4=0\) और धनात्मक हल (x=4) है। / The equation is \(x-\frac{1}{x}=\frac{15}{4}\). This gives \(4x^2-15x-4=0\), so the positive root is (x=4).
समीकरण \(x^2+9x=400\) है। \(x^2+9x-400=0\) से धनात्मक हल (x=16) है। / The equation is \(x^2+9x=400\). From \(x^2+9x-400=0\), the positive root is (x=16).
संख्या (x) हो तो (x(x+7)=330)। \(x^2+7x-330=0\) से धनात्मक हल (x=15) है। / Let the number be (x). Then (x(x+7)=330), and \(x^2+7x-330=0\) gives the positive root (x=15).
संख्याएँ (x) और (x+2) हैं। (x(x+2)=483) से (x=21) मिलता है इसलिए बड़ी संख्या (23) है। / The integers are (x) and (x+2). From (x(x+2)=483), (x=21), so the larger integer is (23).
संख्याएँ (x) और (x+2) मानें। (x(x+2)=360) से \(x^2+2x-360=0\) और (x=18) मिलता है। / Let the integers be (x) and (x+2). From (x(x+2)=360), \(x^2+2x-360=0\), so (x=18).
समीकरण \(x-\frac{1}{x}=\frac{3}{2}\) है। इससे \(2x^2-3x-2=0\) और (x=2) मिलता है। / The equation is \(x-\frac{1}{x}=\frac{3}{2}\). It gives \(2x^2-3x-2=0\) and (x=2).
यदि एक संख्या (x) है तो दूसरी (19-x) है। (x(19-x)=84) से (7) और (12) मिलते हैं। / If one number is (x), the other is (19-x). From (x(19-x)=84), we get (7) and (12).
समीकरण \(x^2+5x=84\) है। इससे (x=7) या (x=-12) मिलता है और उत्तर (7) है। / The equation is \(x^2+5x=84\). It gives (x=7) or (x=-12), so the answer is (7).
समीकरण \(x^2=3x+28\) है। इससे (x=7) या (x=-4) मिलता है और धनात्मक उत्तर (7) है। / The equation is \(x^2=3x+28\). It gives (x=7) or (x=-4), so the positive answer is (7).
समीकरण \(x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}\) से \(2x^2-5x+2=0\) बनता है। हल (x=2) या \(x=\frac{1}{2}\) हैं। / The equation \(x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}\) gives \(2x^2-5x+2=0\). The solutions are (x=2) or \(x=\frac{1}{2}\).
संख्या (x) हो, तो \(x^2+x=156\)। इससे \(x^2+x-156=0\), इसलिए धनात्मक मूल (12) है। / Let the number be (x), then \(x^2+x=156\). This gives \(x^2+x-156=0\), so the positive root is (12).
भिन्न \(\frac{x}{x+4}\) हो, तो \(\frac{x}{x+4}+\frac{x+4}{x}=\frac{41}{20}\)। इससे (x=5), इसलिए भिन्न \(\frac{5}{9}\) है। / Let the fraction be \(\frac{x}{x+4}\), then \(\frac{x}{x+4}+\frac{x+4}{x}=\frac{41}{20}\). This gives (x=5), so the fraction is \(\frac{5}{9}\).
