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B. नहीं, बड़ा संबंध संक्रमणीयता तोड़ सकता है/No, a larger relation may break transitivity
Step 1
Concept
\(R\subseteq S\) से केवल इतना पता चलता है कि (S) में (R) के सभी युग्म हैं। / \(R\subseteq S\) only tells us that all pairs of (R) are in (S).
Step 2
Why this answer is correct
(S) में नए युग्म जुड़कर ऐसी श्रृंखला बना सकते हैं जिसके लिए अंतिम युग्म मौजूद न हो। / New pairs in (S) may create a chain whose required final pair is missing.
Step 3
Exam Tip
उपसमुच्चय की जानकारी से संक्रमणीयता अपने आप तय नहीं होती। / Subset information alone does not guarantee transitivity.
पहचान जोड़ियां केवल ((a,a)) जैसी कमी भरती हैं। / Identity pairs only fill self-pair gaps like ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि गुम जोड़ी ((1,3)) जैसी हो, तो \(\Delta\) उसे नहीं जोड़ेगा। जैसे ({(1,2),(2,3)}) में ((1,3)) अब भी नहीं आएगा। / If the missing pair is like ((1,3)), \(\Delta\) will not add it. For example, ({(1,2),(2,3)}) still lacks ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
हर कमी समान तत्व वाली नहीं होती। / Not every missing pair is a self-pair.
अलग-अलग संबंधों में बनी श्रृंखलाएं संघ में मिलकर नई जरूरत बना सकती हैं। / Chains from different relations may combine inside the union.
Step 2
Why this answer is correct
हो सकता है ((a,b)) एक संबंध से आए और ((b,c)) दूसरे से, पर ((a,c)) संघ में न हो। / It is possible that ((a,b)) comes from one relation and ((b,c)) from another, but ((a,c)) is not in the union.
Step 3
Exam Tip
संघ के लिए हमेशा अलग से जांच जरूरी है। / The union must be checked separately.
दो अलग संक्रामी संबंधों का संघ नई श्रृंखला बना सकता है। / The union of two transitive relations can create a new chain.
Step 2
Why this answer is correct
उदाहरण के लिए \(R=\{(1,2)\}\) और \(S=\{(2,3)\}\) दोनों संक्रामी हैं, पर संघ में ((1,3)) नहीं है। / For example, \(R=\{(1,2)\}\) and \(S=\{(2,3)\}\) are both transitive, but their union lacks ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
संघ के लिए संक्रामीता अलग से जाँचें। / Always check transitivity of a union separately.
छोटे संबंध (R) में (S) की जरूरी सीधी जोड़ी हट सकती है। / The smaller relation (R) may lose a required direct pair from (S).
Step 2
Why this answer is correct
जैसे \(S=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}\) संक्रमण है, पर \(R=\{(1,2),(2,3)\}\) संक्रमण नहीं है। / For example, \(S=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}\) is transitive, but \(R=\{(1,2),(2,3)\}\) is not.
Step 3
Exam Tip
उपसंबंध की जांच अलग से करनी पड़ती है। / A subrelation must be checked separately.
(S) में अतिरिक्त जोड़ियां आने से नई श्रृंखलाएं बन सकती हैं। / Extra pairs in (S) can create new chains.
Step 2
Why this answer is correct
यदि उन नई श्रृंखलाओं की जरूरी सीधी जोड़ी (S) में न हो, तो (S) संक्रमण नहीं रहेगा। / If the required direct pair for a new chain is missing in (S), then (S) is not transitive.
Step 3
Exam Tip
उपसमुच्चय होने से गुण अपने-आप बड़े संबंध में नहीं जाता। / A property does not automatically pass from a subset relation to a larger relation.
संघ में युग्म अलग-अलग सम्बन्धों से आ सकते हैं। / In a union, the two pairs may come from different relations.
Step 2
Why this answer is correct
उदाहरण के लिए \(R=\{(1,2)\}\) और \(S=\{(2,3)\}\) दोनों अलग-अलग संक्रामी हैं, पर \(R \cup S\) में ((1,2)) और ((2,3)) हैं, जबकि ((1,3)) नहीं है। / For example, \(R=\{(1,2)\}\) and \(S=\{(2,3)\}\) are individually transitive, but \(R \cup S\) has ((1,2)) and ((2,3)) without ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
संघ को प्रतिच्छेद जैसा सुरक्षित नियम न मानें। / Do not treat union like intersection for transitivity.
((1,3)) और ((3,2)) में बीच का तत्व (3) समान है। / The common middle element in ((1,3)) and ((3,2)) is (3).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामीता के लिए ((1,2)) जरूरी है। / Transitivity requires ((1,2)).
Step 3
Exam Tip
पहले युग्म का पहला और दूसरे युग्म का दूसरा तत्व लेकर जरूरी युग्म बनता है। / The required pair is formed from the first element of the first pair and the second element of the second pair.
परावर्तकता में सभी ((a,a)) युग्म चाहिए। / Reflexivity requires all ((a,a)) pairs.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामीता में ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) चाहिए। ये अलग शर्तें हैं। / Transitivity requires ((a,c)) whenever ((a,b)) and ((b,c)) are present. These are different conditions.
Step 3
Exam Tip
परावर्तक देखकर संक्रामी मान लेना परीक्षा में सामान्य गलती है। / Assuming transitivity from reflexivity is a common exam mistake.
सममितता और संक्रामीता अलग गुण हैं। / Symmetry and transitivity are different properties.
Step 2
Why this answer is correct
उदाहरण के लिए ({(1,2),(2,1)}) सममित है, लेकिन ((1,1)) और ((2,2)) न होने से संक्रामी नहीं है। / For example, ({(1,2),(2,1)}) is symmetric, but it is not transitive because ((1,1)) and ((2,2)) are missing.
Step 3
Exam Tip
संबंधों के गुणों को अलग-अलग जाँचना चाहिए। / Always check each property separately.
((1,2)) और ((2,4)) जुड़े हुए हैं क्योंकि बीच वाला तत्व (2) समान है। / ((1,2)) and ((2,4)) are connected because the middle element (2) is common.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामी होने के लिए ((1,4)) होना चाहिए। / Transitivity requires ((1,4)).
Step 3
Exam Tip
जोड़ने वाले युग्म में पहले युग्म का पहला तत्व और दूसरे युग्म का दूसरा तत्व रखें। / The required pair uses the first element of the first pair and the second element of the second pair.
यह संबंध \(a^2=b^2\) के समान है। / This relation is equivalent to \(a^2=b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a^2=b^2\) और \(b^2=c^2\), तो \(a^2=c^2\), इसलिए (aRc)। / If \(a^2=b^2\) and \(b^2=c^2\), then \(a^2=c^2\), so (aRc).
Step 3
Exam Tip
बराबर या विपरीत चिन्ह वाले संबंध को वर्ग बराबरी से समझना आसान है। / A relation of equal or opposite sign is easier to understand through equality of squares.
(5R(-4)) सत्य है क्योंकि (5+(-4)=1\ge 0)। ((-4)R5) भी सत्य है क्योंकि ((-4)+5=1\ge 0)। / ((-1)R2) is true because \(-1+2=1\ge 0\). Also (2R(-1)) is true because (2+(-1)=1\ge 0).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए (5R5) तो सत्य है, इसलिए यह प्रतिवाद नहीं है; सही प्रतिवाद लें: ((-1)R2) और (2R(-1)) से ((-1)R(-1)) चाहिए, पर \(-2\ge 0\) असत्य है। / Transitivity would require ((-1)R(-1)), but (-1+(-1)=-2), which is not at least (0).
Step 3
Exam Tip
विकल्प देखते समय ऐसी श्रृंखला चुनें जहाँ तीसरी जोड़ी सच में असफल हो। / Choose a chain where the required third pair truly fails.
((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) मौजूद है। ((1,4)) और ((4,2)) से ((1,2)) मौजूद है। / ((1,2)) and ((2,4)) require ((1,4)), which is present. ((1,4)) and ((4,2)) require ((1,2)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,4)) और ((4,2)) से ((2,2)), तथा ((4,2)) और ((2,4)) से ((4,4)) मौजूद हैं। / ((2,4)) and ((4,2)) require ((2,2)), and ((4,2)) and ((2,4)) require ((4,4)); both are present.
Step 3
Exam Tip
दोतरफा जोड़ियाँ हों तो बनने वाली स्वयंजोड़ियाँ जरूर देखें। / When reverse links appear, check the self-pairs they force.
यदि ((a,b)) संबंध में है, तो (a) और (b) दोनों अभाज्य हैं। यदि ((b,c)) भी संबंध में है, तो (b) और (c) दोनों अभाज्य हैं। / If ((a,b)) is in the relation, then both (a) and (b) are prime. If ((b,c)) is also in the relation, then both (b) and (c) are prime.
Step 2
Why this answer is correct
इससे (a) और (c) दोनों अभाज्य होंगे, इसलिए ((a,c)) संबंध में होगा। / Hence (a) and (c) are both prime, so ((a,c)) is in the relation.
Step 3
Exam Tip
किसी समान गुण पर बने पूर्ण समूह संबंध को गुण की निरंतरता से जाँचें। / For a relation built on a shared property, check whether the property passes to the first and third elements.
A. ((1,4)) और ((4,5)) हैं पर ((1,5)) नहीं है/((1,4)) and ((4,5)) are present but ((1,5)) is absent
Step 1
Concept
((1,4)) संबंध में है क्योंकि \(1\le 4\) और (4-1=3)। ((4,5)) भी संबंध में है। / ((1,4)) is in the relation because \(1\le 4\) and (4-1=3). ((4,5)) is also in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
((1,5)) के लिए (5-1=4), जो सीमा (3) से अधिक है। इसलिए ((1,5)) संबंध में नहीं है। / For ((1,5)), (5-1=4), which is greater than the bound (3). So ((1,5)) is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
सीमा वाले संबंध में दो वैध कदम मिलकर अवैध लंबा कदम बना सकते हैं। / In bounded relations, two valid steps can form an invalid longer step.
A. (4R3) और (3R2) हैं पर (4R2) नहीं है/(4R3) and (3R2) hold but (4R2) does not
Step 1
Concept
\(|4|\le |3|+1\), इसलिए (4R3) सत्य है। \(|3|\le |2|+1\), इसलिए (3R2) सत्य है। / \(|4|\le |3|+1\), so (4R3) is true. Also \(|3|\le |2|+1\), so (3R2) is true.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन \(|4|\le |2|+1\) असत्य है, इसलिए (4R2) नहीं है। / But \(|4|\le |2|+1\) is false, so (4R2) does not hold.
Step 3
Exam Tip
ढील वाली परम मान असमानता में प्रतिवाद से जाँच करना सही रहता है। / For relaxed absolute value inequalities, a counterexample is a good test.
A. नहीं, क्योंकि ((1,3)) और ((3,5)) हैं पर ((1,5)) नहीं है/No, because ((1,3)) and ((3,5)) are present but ((1,5)) is not
Step 1
Concept
(|1-3|=2), इसलिए ((1,3)) संबंध में है। (|3-5|=2), इसलिए ((3,5)) भी संबंध में है। / (|1-3|=2), so ((1,3)) is in the relation. Also (|3-5|=2), so ((3,5)) is in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,5)) चाहिए, पर (|1-5|=4)। / Transitivity requires ((1,5)), but (|1-5|=4).
Step 3
Exam Tip
समान दूरी वाला संबंध जरूरी नहीं कि संक्रामक हो। / A fixed-distance relation need not be transitive.
किसी समुच्चय पर संबंध (R) संक्रामक है। यदि \((x,y) \in R\), \((y,z) \in R\), \((z,u) \in R\), और \((u,v) \in R\), तो कौन-सी जोड़ी निश्चित रूप से (R) में होगी?
((x,y)) और ((y,z)) से ((x,z)) मिलेगा। / From ((x,y)) and ((y,z)), we get ((x,z)).
Step 2
Why this answer is correct
फिर ((x,z)) और ((z,u)) से ((x,u)), तथा ((x,u)) और ((u,v)) से ((x,v)) मिलेगा। / Then ((x,z)) and ((z,u)) give ((x,u)), and ((x,u)) with ((u,v)) gives ((x,v)).
Step 3
Exam Tip
लंबी श्रृंखला में संक्रामकता को क्रम से लगाएँ। / In a long chain, apply transitivity step by step.
((2,5)) संबंध में है क्योंकि (2+5=7), और ((5,2)) भी संबंध में है क्योंकि (5+2=7)। / ((2,5)) is in the relation because (2+5=7), and ((5,2)) is also in the relation because (5+2=7).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((2,2)) चाहिए, पर (2+2=4), इसलिए यह संबंध में नहीं है। / Transitivity requires ((2,2)), but (2+2=4), so it is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
स्थिर योग वाले संबंधों में उल्टी जोड़ियों से प्रतिवाद जल्दी मिलता है। / In constant-sum relations, reverse pairs often give a quick counterexample.
संबंध में तुलना \(a^4\), \(b^4\), और \(c^4\) के बीच है। / The relation compares \(a^4\), \(b^4\), and \(c^4\).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a^4\le b^4\) और \(b^4\le c^4\), तो सामान्य क्रम से \(a^4\le c^4\)। / If \(a^4\le b^4\) and \(b^4\le c^4\), then by the usual order \(a^4\le c^4\).
Step 3
Exam Tip
घात का मान चाहे कैसे बने, तुलना वाले मान पर क्रम का नियम लगाएँ। / Whatever the power value is, apply the order rule to the compared values.
(1R3) सत्य है क्योंकि \(3=3\cdot 1\), और (3R9) सत्य है क्योंकि \(9=3\cdot 3\)। / (1R3) is true because \(3=3\cdot 1\), and (3R9) is true because \(9=3\cdot 3\).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए (1R9) चाहिए, पर \(9\ne 3\cdot 1\)। / Transitivity would require (1R9), but \(9\ne 3\cdot 1\).
Step 3
Exam Tip
किसी नियम को दो बार लगाने से वही नियम सीधे लागू हो, यह जरूरी नहीं। / Applying a rule twice does not necessarily make the direct rule true.
((1,4)) और ((4,5)) संबंध में हैं, इसलिए ((1,5)) चाहिए। / ((1,4)) and ((4,5)) are in the relation, so ((1,5)) is required.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,5)) से भी ((1,5)) चाहिए, पर यह अनुपस्थित है। / ((1,2)) and ((2,5)) also require ((1,5)), but it is missing.
Step 3
Exam Tip
जब एक ही जोड़ी दो अलग श्रृंखलाओं से मांग में आए, वह संक्रामक पूर्ति के लिए बहुत महत्वपूर्ण होती है। / When the same pair is demanded by two chains, it is important for transitive closure.
संक्रामकता में केवल ऐसी जोड़ियाँ देखी जाती हैं जहाँ पहली जोड़ी का दूसरा तत्व और दूसरी जोड़ी का पहला तत्व समान हो। / In transitivity, check only pairs where the second element of the first pair matches the first element of the next pair.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ ((1,2)) और ((2,5)) से ((1,5)) चाहिए, जो मौजूद है। ((3,4)) के बाद (4) से शुरू कोई जोड़ी नहीं है। / Here ((1,2)) and ((2,5)) require ((1,5)), which is present. After ((3,4)), no pair starts with (4).
Step 3
Exam Tip
हर अनुपस्थित स्वयंजोड़ी को गलती न मानें, केवल जरूरी श्रृंखला देखें। / Do not treat every missing self-pair as an error; check only required chains.
A. नहीं, क्योंकि ((1,2)) और ((2,1)) हैं पर ((1,1)) नहीं है/No, because ((1,2)) and ((2,1)) are present but ((1,1)) is not
Step 1
Concept
\(1\ne 2\), इसलिए ((1,2)) संबंध में है और \(2\ne 1\), इसलिए ((2,1)) भी संबंध में है। / Since \(1\ne 2\), ((1,2)) is in the relation, and since \(2\ne 1\), ((2,1)) is also in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,1)) चाहिए, पर \(1\ne 1\) असत्य है। / Transitivity requires ((1,1)), but \(1\ne 1\) is false.
Step 3
Exam Tip
बराबर न होना संबंध संक्रामक नहीं होता, इसे प्रतिवाद से याद रखें। / The not-equal relation is not transitive; remember it through a counterexample.
यदि ((a,b)) संबंध में है, तो (a) और (b) दोनों (5) से छोटे हैं। यदि ((b,c)) भी संबंध में है, तो (b) और (c) दोनों (5) से छोटे हैं। / If ((a,b)) is in the relation, then both (a) and (b) are less than (5). If ((b,c)) is also in the relation, then both (b) and (c) are less than (5).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (a) और (c) दोनों (5) से छोटे होंगे, इसलिए ((a,c)) संबंध में है। / Hence (a) and (c) are both less than (5), so ((a,c)) is in the relation.
Step 3
Exam Tip
गुण पर बने संबंध में पहला और तीसरा तत्व उस गुण को रखते हैं या नहीं, यह देखें। / For property-based relations, check whether the first and third elements keep the property.
((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) चाहिए, जो मौजूद है। / ((1,2)) and ((2,4)) require ((1,4)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,4)) और ((4,4)) से ((2,4)) चाहिए, जो मौजूद है; ((1,4)) और ((4,4)) से ((1,4)) भी मौजूद है। / ((2,4)) and ((4,4)) require ((2,4)), which is present; ((1,4)) and ((4,4)) require ((1,4)), also present.
Step 3
Exam Tip
स्वयंजोड़ी के साथ बनने वाली श्रृंखलाओं को भी न छोड़ें। / Do not skip chains involving self-pairs.
A. नहीं, क्योंकि ((1,3)) और ((3,5)) हैं पर ((1,5)) नहीं है/No, because ((1,3)) and ((3,5)) are present but ((1,5)) is not
Step 1
Concept
((1,3)) संबंध में है क्योंकि \(1\le 3\) और (3-1=2)। ((3,5)) भी संबंध में है। / ((1,3)) is in the relation because \(1\le 3\) and (3-1=2). ((3,5)) is also in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
((1,5)) के लिए (5-1=4), जो सीमा से बाहर है, इसलिए यह संबंध में नहीं है। / For ((1,5)), (5-1=4), which exceeds the limit, so it is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
दो छोटी छलाँगें मिलकर बड़ी छलाँग बना सकती हैं, इसलिए सीमा वाली शर्त जाँचें। / Two small jumps can form a larger jump, so check bounded conditions carefully.
((1,3)) और ((3,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो मौजूद है। ((3,1)) और ((1,3)) से ((3,3)) चाहिए, वह भी मौजूद है। / From ((1,3)) and ((3,1)), ((1,1)) is required, and it is present. From ((3,1)) and ((1,3)), ((3,3)) is required, and it is also present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,4)) के बाद (4) से शुरू होने वाली कोई जोड़ी नहीं है, इसलिए नई जरूरत नहीं बनती। / After ((2,4)), there is no pair starting with (4), so no new requirement arises.
Step 3
Exam Tip
हर अनुपस्थित स्वयंजोड़ी संक्रामकता की कमी नहीं होती। / Every missing self-pair is not a transitivity failure.
A. नहीं, क्योंकि ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है/No, because ((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is not
Step 1
Concept
(|1-2|=1), इसलिए ((1,2)) संबंध में है। (|2-3|=1), इसलिए ((2,3)) भी संबंध में है। / (|1-2|=1), so ((1,2)) is in the relation. Also (|2-3|=1), so ((2,3)) is in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
(|1-3|=2), इसलिए ((1,3)) संबंध में नहीं है। / (|1-3|=2), so ((1,3)) is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
दूरी की सीमा वाली शर्तें अक्सर संक्रामकता तोड़ती हैं। / Bounded distance conditions often break transitivity.
A. हाँ, क्योंकि \(|a|\ge |b|\) और \(|b|\ge |c|\) से \(|a|\ge |c|\) मिलता है/Yes, because \(|a|\ge |b|\) and \(|b|\ge |c|\) imply \(|a|\ge |c|\)
Step 1
Concept
संबंध में संख्याओं के परम मानों की तुलना हो रही है। / The relation compares absolute values of numbers.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(|a|\ge |b|\) और \(|b|\ge |c|\), तो सामान्य क्रम से \(|a|\ge |c|\), इसलिए (aRc)। / If \(|a|\ge |b|\) and \(|b|\ge |c|\), then by the usual order \(|a|\ge |c|\), so (aRc).
Step 3
Exam Tip
परम मान को अलग मात्रा मानकर क्रम नियम लगाएँ। / Treat absolute value as the compared quantity and apply the order rule.
A. क्योंकि समान सम-विषम प्रकृति आगे भी समान रहती है/Because same parity remains same through the chain
Step 1
Concept
(a+b) सम होने का अर्थ है कि (a) और (b) की सम-विषम प्रकृति समान है। / (a+b) being even means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
(b+c) सम हो तो (b) और (c) की प्रकृति भी समान है, इसलिए (a) और (c) की प्रकृति समान होगी। अतः (a+c) सम होगा। / If (b+c) is even, then (b) and (c) have the same parity, so (a) and (c) have the same parity. Hence (a+c) is even.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में संख्या की सम-विषम प्रकृति से सोचें। / For such questions, think using parity.
A. (5R4) और (4R3) हैं पर (5R3) नहीं है/(5R4) and (4R3) hold but (5R3) does not
Step 1
Concept
(5<4+2), इसलिए (5R4) सत्य है और (4<3+2), इसलिए (4R3) सत्य है।
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए (5R3) चाहिए, पर (5<3+2) असत्य है। / Transitivity would require (5R3), but (5<3+2) is false.
Step 3
Exam Tip
असमानता में जुड़ी नियत संख्या हो तो प्रतिवाद से जाँच करना सुरक्षित रहता है। / For inequalities with a fixed added number, a counterexample is a safe test.
A. क्योंकि (a-b) और (b-c) के विभाज्य होने से (a-c) भी विभाज्य होता है/Because if (a-b) and (b-c) are divisible, then (a-c) is also divisible
Step 1
Concept
यदि (a-b) और (b-c) दोनों (7) से विभाज्य हैं, तो उनका योग ((a-b)+(b-c)=a-c) भी (7) से विभाज्य होगा। / If (a-b) and (b-c) are both divisible by (7), then their sum ((a-b)+(b-c)=a-c) is also divisible by (7).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRc) सत्य होगा। / Hence (aRc) holds.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता वाले संबंधों में अंतरों का योग सबसे तेज जाँच देता है। / For divisibility relations, adding differences gives the fastest check.
((1,4)) और ((4,3)) संबंध में हैं। / ((1,4)) and ((4,3)) are in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,3)) होना चाहिए, लेकिन यह संबंध में नहीं है। / Transitivity requires ((1,3)), but it is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
यदि एक छूटी हुई जोड़ी कई श्रृंखलाओं से बनती हो, तो उसे पहचानना बहुत उपयोगी होता है। / If one missing pair is forced by many chains, identifying it is very useful.
((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो मौजूद है। ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए, जो भी मौजूद है। / From ((1,2)) and ((2,1)), ((1,1)) is required and present. From ((2,1)) and ((1,2)), ((2,2)) is required and also present.
Step 2
Why this answer is correct
स्वयंजोड़ियों के साथ बनने वाली बाकी जरूरी जोड़ियाँ पहले से दी गई हैं। / Other required pairs involving self-pairs are already given.
Step 3
Exam Tip
छोटी तालिका बनाकर जाँचने से ऐसी जोड़ियाँ छूटती नहीं हैं। / Making a small table helps avoid missing such pairs.
A. हर दो-चरण वाली जरूरी जोड़ी पहले से मौजूद है/Every required two-step pair is already present
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)), ((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) मिलना चाहिए। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), and ((2,3)) and ((3,4)) require ((2,4)).
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) भी चाहिए। ये सभी जोड़ियाँ मौजूद हैं। / ((1,3)) and ((3,4)) also require ((1,4)). All these pairs are present.
Step 3
Exam Tip
बिना स्वयंजोड़ियों वाला संबंध भी संक्रामक हो सकता है। / A relation without self-pairs can still be transitive.
A. ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है/((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is absent
Step 1
Concept
(1+2=3) विषम है, इसलिए ((1,2)) संबंध में है। (2+3=5) विषम है, इसलिए ((2,3)) भी संबंध में है। / (1+2=3) is odd, so ((1,2)) is in the relation. Also (2+3=5) is odd, so ((2,3)) is in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) के लिए (1+3=4), जो सम है, इसलिए ((1,3)) संबंध में नहीं है। / For ((1,3)), (1+3=4), which is even, so ((1,3)) is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
प्रतिवाद में दोनों पहली जोड़ियाँ सच और तीसरी जरूरी जोड़ी गलत होनी चाहिए। / In a counterexample, the first two pairs must be true and the required third pair must fail.
\(a \equiv b \pmod{5}\) का अर्थ है कि (a-b) संख्या (5) से विभाज्य है। / \(a \equiv b \pmod{5}\) means (a-b) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(b-c) भी (5) से विभाज्य हो, तो (a-c=(a-b)+(b-c)) भी (5) से विभाज्य होगा। / If (b-c) is also divisible by (5), then (a-c=(a-b)+(b-c)) is divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
सर्वांगसमता वाले संबंध में अंतरों का योग याद रखें। / For congruence relations, remember the sum of differences.
A. क्योंकि ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है/Because ((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is absent
Step 1
Concept
दी गई जोड़ियों में ((1,2)) और ((2,3)) दोनों हैं। / The given pairs include both ((1,2)) and ((2,3)).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,3)) भी होना चाहिए, पर वह नहीं दिया गया है। / Transitivity requires ((1,3)), but it is not given.
Step 3
Exam Tip
सभी स्वयंजोड़ियाँ होने पर भी बीच की श्रृंखला की कमी संबंध को असंक्रामक बना सकती है। / Even with all self-pairs present, a missing chain pair can make the relation non-transitive.
C. नहीं, क्योंकि (3R2.5) और (2.5R2) हैं पर (3R2) नहीं है/No, because (3R2.5) and (2.5R2) hold but (3R2) does not
Step 1
Concept
(3<2.5+1), इसलिए (3R2.5) सत्य है। (2.5<2+1), इसलिए (2.5R2) भी सत्य है।
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए (3R2) चाहिए, पर (3<2+1) असत्य है। / Transitivity would require (3R2), but (3<2+1) is false.
Step 3
Exam Tip
असमानता में नियत संख्या जुड़ी हो तो प्रतिवाद से जाँच करना अधिक सुरक्षित है। / When a fixed number is added in an inequality relation, using a counterexample is safer.
A. हाँ, क्योंकि \(|a|\le |b|\) और \(|b|\le |c|\) से \(|a|\le |c|\) मिलता है/Yes, because \(|a|\le |b|\) and \(|b|\le |c|\) imply \(|a|\le |c|\)
Step 1
Concept
यहाँ तुलना वास्तविक संख्याओं की नहीं, उनके परम मानों की हो रही है। / The comparison is between absolute values, not directly between the numbers.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(|a|\le |b|\) और \(|b|\le |c|\), तो सामान्य क्रम से \(|a|\le |c|\)। / If \(|a|\le |b|\) and \(|b|\le |c|\), then by the usual order \(|a|\le |c|\).
Step 3
Exam Tip
परम मान वाले संबंध में भी वही क्रम नियम लागू होता है। / For absolute value relations, the same order rule applies to the compared quantities.
((p,q)) और ((q,r)) से ((p,r)) मिलेगा। / From ((p,q)) and ((q,r)), we get ((p,r)).
Step 2
Why this answer is correct
अब ((p,r)) और ((r,s)) से ((p,s)) मिलेगा। / Now from ((p,r)) and ((r,s)), we get ((p,s)).
Step 3
Exam Tip
लंबी श्रृंखला में संक्रामकता को एक-एक करके लगाएँ, सीधे उल्टी जोड़ी न मानें। / In a long chain, apply transitivity step by step and do not assume reverse pairs.
A. नहीं, क्योंकि (1R2) और (2R4) हैं पर (1R4) नहीं है/No, because (1R2) and (2R4) hold but (1R4) does not
Step 1
Concept
\(2=2\cdot 1\), इसलिए (1R2)। \(4=2\cdot 2\), इसलिए (2R4)। / \(2=2\cdot 1\), so (1R2). Also \(4=2\cdot 2\), so (2R4).
Step 2
Why this answer is correct
यदि संबंध संक्रामक होता, तो (1R4) होना चाहिए था, पर \(4\ne 2\cdot 1\)। / If the relation were transitive, (1R4) would hold, but \(4\ne 2\cdot 1\).
Step 3
Exam Tip
गुणा आधारित संबंधों में दो कदम मिलाकर नियम बदल सकता है, इसलिए सीधी जोड़ी जरूर जाँचें। / In multiplication-based relations, two steps may change the rule, so check the direct pair.
A. नहीं, क्योंकि ((1,5)) और ((5,1)) हैं पर ((1,1)) नहीं है/No, because ((1,5)) and ((5,1)) are present but ((1,1)) is absent
Step 1
Concept
(1+5=6), इसलिए ((1,5)) संबंध में है और (5+1=6), इसलिए ((5,1)) भी संबंध में है। / Since (1+5=6), ((1,5)) is in the relation, and since (5+1=6), ((5,1)) is also in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,1)) चाहिए, लेकिन (1+1=2), इसलिए यह संबंध में नहीं है। / Transitivity requires ((1,1)), but (1+1=2), so it is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
सममित दिखने वाला संबंध भी संक्रामक हो, यह जरूरी नहीं। / A relation that looks symmetric need not be transitive.
A. नहीं, क्योंकि ((1,2)) और ((2,3)) हैं लेकिन ((1,3)) नहीं है/No, because ((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is not
Step 1
Concept
((1,2)) संबंध में है क्योंकि (1+1=2)। ((2,3)) भी संबंध में है क्योंकि (2+1=3)। / ((1,2)) is in the relation because (1+1=2). ((2,3)) is also in the relation because (2+1=3).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए, लेकिन (1+1=3) सत्य नहीं है। / Transitivity requires ((1,3)), but (1+1=3) is false.
Step 3
Exam Tip
लगातार अगली संख्या वाला संबंध सामान्यतः संक्रामक नहीं होता। / A next-number relation is generally not transitive.
A. क्योंकि (a) और (b) की समान सम-विषम प्रकृति तथा (b) और (c) की समान सम-विषम प्रकृति से (a) और (c) की समान सम-विषम प्रकृति मिलती है/Because same parity of (a,b) and same parity of (b,c) imply same parity of (a,c)
Step 1
Concept
(a+b) सम होने का अर्थ है कि (a) और (b) दोनों सम-विषम दृष्टि से समान हैं। / (a+b) being even means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
(b+c) सम होने पर (b) और (c) भी समान प्रकार के हैं, इसलिए (a) और (c) भी समान प्रकार के होंगे। तब (a+c) सम होगा। / (b+c) being even means (b) and (c) have the same parity, so (a) and (c) also have the same parity. Hence (a+c) is even.
Step 3
Exam Tip
सम-विषम संबंधों में समान प्रकृति को जोड़कर सोचें। / For parity relations, think in terms of same or different parity.
((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो मौजूद है। / From ((1,2)) and ((2,1)), ((1,1)) is required, and it is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए, वह भी मौजूद है। स्वयंजोड़ियों से कोई नई कमी नहीं आती। / From ((2,1)) and ((1,2)), ((2,2)) is required, and it is also present. Self-pairs create no missing requirement.
Step 3
Exam Tip
छोटे संबंधों में हर संभव लगातार जोड़ी को व्यवस्थित रूप से देखें। / For small relations, check each possible chain systematically.
A. नहीं, क्योंकि ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है/No, because ((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is not
Step 1
Concept
(|1-2|=1), इसलिए \((1,2) \in R\)। (|2-3|=1), इसलिए \((2,3) \in R\)। / Since (|1-2|=1), \((1,2) \in R\). Since (|2-3|=1), \((2,3) \in R\).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए, लेकिन (|1-3|=2), इसलिए यह संबंध में नहीं है। / Transitivity would require ((1,3)), but (|1-3|=2), so it is not in (R).
Step 3
Exam Tip
केवल पास-पास होना संक्रामकता की गारंटी नहीं देता। / Being consecutive does not guarantee transitivity.
A. क्योंकि (A) के हर दो तत्वों की जोड़ी संबंध में होती है/Because every ordered pair of elements of (A) is in the relation
Step 1
Concept
यदि \((a,b) \in A\times A\) और \((b,c) \in A\times A\), तो \(a,c \in A\) हैं। / If \((a,b) \in A\times A\) and \((b,c) \in A\times A\), then \(a,c \in A\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,c)) भी \(A\times A\) में होगा। / Hence ((a,c)) is also in \(A\times A\).
Step 3
Exam Tip
सार्वत्रिक संबंध में कोई आवश्यक जोड़ी छूटती नहीं, इसलिए संक्रामकता पूरी रहती है। / In a universal relation, no required ordered pair is missing.
A. क्योंकि ((1,1)) और ((2,2)) दोनों अनुपस्थित हैं/Because both ((1,1)) and ((2,2)) are absent
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,1)) से संक्रामकता के लिए ((1,1)) चाहिए। / From ((1,2)) and ((2,1)), transitivity requires ((1,1)).
Step 2
Why this answer is correct
इसी तरह ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए। दोनों नहीं हैं, इसलिए संबंध संक्रामक नहीं है। / Similarly, ((2,1)) and ((1,2)) require ((2,2)). Both are missing, so the relation is not transitive.
Step 3
Exam Tip
उल्टी जोड़ियों से स्वयंजोड़ियों की जरूरत बनती है, इसे परीक्षा में न छोड़ें। / Reverse pairs can create the need for self-pairs, so do not ignore them.
A. क्योंकि (a<b) और (b<c) से (a<c) मिलता है/Because (a<b) and (b<c) imply (a<c)
Step 1
Concept
संक्रामकता में दो लगातार संबंधों से पहला और तीसरा तत्व जुड़ना चाहिए। / Transitivity means two connected relations must imply a direct relation between the first and third elements.
Step 2
Why this answer is correct
वास्तविक संख्याओं में यदि (a<b) और (b<c), तो निश्चित रूप से (a<c)। / For real numbers, (a<b) and (b<c) definitely imply (a<c).
Step 3
Exam Tip
असमानता वाले प्रश्नों में संख्या रेखा की दिशा याद रखें। / In inequality questions, remember the direction on the number line.
A. \(R^{-1}\) हमेशा संक्रमणीय होता है/\(R^{-1}\) is always transitive
Step 1
Concept
यदि \((a,b)\in R^{-1}\) और \((b,c)\in R^{-1}\), तो \((b,a)\in R\) और \((c,b)\in R\)। / If \((a,b)\in R^{-1}\) and \((b,c)\in R^{-1}\), then \((b,a)\in R\) and \((c,b)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
(R) संक्रमणीय है, इसलिए \((c,a)\in R\), अतः \((a,c)\in R^{-1}\)। / Since (R) is transitive, \((c,a)\in R\), so \((a,c)\in R^{-1}\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम संबंध में क्रम उलटता है, पर संक्रमणीयता बनी रहती है। / In the inverse relation, order reverses, but transitivity is preserved.
C. क्योंकि ((3,2)) और ((2,3)) हैं पर ((3,3)) नहीं है/Because ((3,2)) and ((2,3)) are present but ((3,3)) is absent
Step 1
Concept
\((3,2)\in R\) और \((2,3)\in R\) को जोड़ सकते हैं। / \((3,2)\in R\) and \((2,3)\in R\) can be chained.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमणीयता के लिए \((3,3)\in R\) चाहिए, पर यह सूची में नहीं है। / Transitivity requires \((3,3)\in R\), but it is not listed.
Step 3
Exam Tip
गलत विकल्पों में अक्सर ऐसा युग्म गायब बताया जाता है जो वास्तव में मौजूद होता है। / Wrong options often claim a pair is missing even though it is actually present.
A. नहीं, उदाहरण (a=5,b=3,c=1) से शर्त टूटती है/No, the example (a=5,b=3,c=1) breaks the condition
Step 1
Concept
जांचें कि \(5\le3+2\) और \(3\le1+2\) दोनों सत्य हैं। / Check that \(5\le3+2\) and \(3\le1+2\) are both true.
Step 2
Why this answer is correct
पर \(5\le1+2\) असत्य है, इसलिए ((5,1)) संबंध में नहीं होगा। / But \(5\le1+2\) is false, so ((5,1)) is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
बदली हुई असमानता में केवल \(\le\) देखकर निर्णय न लें, प्रतिउदाहरण खोजें। / For modified inequalities, do not decide only by seeing \(\le\); look for a counterexample.
((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) चाहिए। / ((1,3)) and ((3,4)) require ((1,4)).
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,4)) से भी ((1,4)) चाहिए। यह युग्म सूची में नहीं है। / ((1,2)) and ((2,4)) also require ((1,4)), and it is missing.
Step 3
Exam Tip
जब एक ही गायब युग्म कई श्रृंखलाओं से आए, तो वह निश्चित रूप से जरूरी होता है। / If the same missing pair is forced by multiple chains, it is definitely needed.
A. यह हमेशा संक्रमणीय नहीं होता/It is not always transitive
Step 1
Concept
संघ में युग्म अलग-अलग संबंधों से आ सकते हैं। / In a union, pairs may come from different relations.
Step 2
Why this answer is correct
उदाहरण में \(R=\{(1,2)\}\) और \(S=\{(2,3)\}\) दोनों अलग से संक्रमणीय हैं, पर \(R\cup S\) में ((1,3)) नहीं है। / For example, \(R=\{(1,2)\}\) and \(S=\{(2,3)\}\) are individually transitive, but \(R\cup S\) lacks ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
संघ के लिए हमेशा अलग से श्रृंखला जांचें। / Always test chains separately for union.
A. \(R\cap S\) संक्रमणीय होगा/\(R\cap S\) will be transitive
Step 1
Concept
यदि ((a,b)) और ((b,c)), दोनों \(R\cap S\) में हैं, तो वे (R) और (S) दोनों में हैं। / If ((a,b)) and ((b,c)) are in \(R\cap S\), then they are in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
(R) और (S) के संक्रमणीय होने से ((a,c)) दोनों में होगा, इसलिए \(R\cap S\) में भी होगा। / Since (R) and (S) are transitive, ((a,c)) is in both, hence in \(R\cap S\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिच्छेद के प्रश्न में दोनों संबंधों की शर्त साथ-साथ लगाएं। / For intersection questions, apply both relation conditions together.
A. नहीं, क्योंकि ((1,4)) और ((4,1)) हैं पर ((1,1)) नहीं है/No, because ((1,4)) and ((4,1)) are present but ((1,1)) is not
Step 1
Concept
(a+b=5) से ((1,4)) और ((4,1)) दोनों संबंध में हैं। / Since (a+b=5), both ((1,4)) and ((4,1)) are in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमणीयता के लिए इनसे ((1,1)) चाहिए, पर \(1+1\ne5\), इसलिए यह संबंध में नहीं है। / Transitivity would require ((1,1)), but \(1+1\ne5\), so it is absent.
Step 3
Exam Tip
सममित होना संक्रमणीय होने की गारंटी नहीं देता। / Symmetry does not guarantee transitivity.
A. क्योंकि \(a\le b\) और \(b\le c\) से \(a\le c\) मिलता है/Because \(a\le b\) and \(b\le c\) imply \(a\le c\)
Step 1
Concept
संक्रमणीयता में यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\) हों तो \((a,c)\in R\) होना चाहिए। / For transitivity, if \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\), then \((a,c)\in R\) must hold.
Step 2
Why this answer is correct
यहां \(a\le b\) और \(b\le c\) से सीधे \(a\le c\) मिलता है। / Here \(a\le b\) and \(b\le c\) directly imply \(a\le c\).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में असमानता वाले संबंधों में पहले क्रम की श्रृंखला बनाकर जांचें। / In exams, check inequality relations by forming a chain.
((2,3)) और ((3,5)) से ((2,5)) चाहिए। / ((2,3)) and ((3,5)) require ((2,5)).
Step 2
Why this answer is correct
((3,5)) और ((5,2)) से ((3,2)), तथा ((5,2)) और ((2,3)) से ((5,3)) चाहिए। / ((3,5)) and ((5,2)) require ((3,2)), and ((5,2)) with ((2,3)) requires ((5,3)).
Step 3
Exam Tip
चक्र में पहली परत की जोड़ियां बाद में समान जोड़ियां भी बना सकती हैं। / In a cycle, first-layer pairs may later create self-pairs too.
(ab>0) का अर्थ है (a) और (b) का चिह्न समान है और दोनों शून्य नहीं हैं। / (ab>0) means (a) and (b) have the same sign and both are non-zero.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) और (b) का चिह्न समान है तथा (b) और (c) का चिह्न समान है, तो (a) और (c) का चिह्न भी समान होगा। / If (a) and (b) have the same sign, and (b) and (c) have the same sign, then (a) and (c) also have the same sign.
Step 3
Exam Tip
गुणनफल के चिह्न वाले संबंधों में चिह्न की श्रृंखला देखें। / In product-sign relations, track the sign chain.
\(R\cap S\) में केवल वे समान जोड़ियां रहेंगी जो (R) में भी हैं। / \(R\cap S\) contains only those self-pairs that are also in (R).
Step 2
Why this answer is correct
केवल समान जोड़ियों वाला कोई भी संबंध संक्रमण होता है, क्योंकि उनसे वही जोड़ी दोबारा चाहिए। / Any relation containing only self-pairs is transitive, because it only requires the same pair again.
Step 3
Exam Tip
प्रतिच्छेद में बची जोड़ियों की प्रकृति पहचानें। / Identify the nature of pairs left after intersection.
\(\Delta\) की समान जोड़ियां किसी जोड़ी को उसी रूप में आगे बढ़ाती हैं। / Self-pairs in \(\Delta\) only carry a pair forward as itself.
Step 2
Why this answer is correct
(R) में पहले से संक्रमण है, इसलिए (R) की श्रृंखलाएं पूरी हैं। \(\Delta\) जोड़ने से कोई नई गुम सीधी जोड़ी नहीं बनती। / Chains already inside (R) are complete because (R) is transitive. Adding \(\Delta\) creates no missing direct pair.
Step 3
Exam Tip
पहचान संबंध जोड़ने पर संक्रमण सुरक्षित रहता है। / Adding the identity relation preserves transitivity.
\(a\le 2b\) और \(b\le 2c\) से केवल \(a\le 4c\) मिलता है। / From \(a\le 2b\) and \(b\le 2c\), we only get \(a\le 4c\).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमण के लिए \(a\le 2c\) चाहिए, जो जरूरी नहीं है। उदाहरण (a=4), (b=2), (c=1) लें; \(4\le4\), \(2\le2\), पर \(4\le2\) गलत है। / Transitivity requires \(a\le 2c\), which need not hold. Take (a=4), (b=2), (c=1); \(4\le4\), \(2\le2\), but \(4\le2\) is false.
Step 3
Exam Tip
गुणा वाले संबंधों में सीमा बदल सकती है। / In multiplier-based relations, the bound may change.
