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Step 2

Why this answer is correct

भिन्न का वर्ग $\frac{p^2}{q^2}$ होता है। / The square of a fraction is $\frac{p^2}{q^2}$.

Step 3

Exam Tip

इसलिए सही समीकरण $3=\frac{p^2}{q^2}$ है। / Therefore the correct equation is $3=\frac{p^2}{q^2}$.

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Question Medium Mathematics Real Numbers Proof of irrationality of √2, √3, √5 Class 10 Level 17

एक विद्यार्थी ने $\sqrt{2}$ के प्रमाण में $q^2=2k^2$ से (q=2k) लिख दिया। सही टिप्पणी क्या है?

A student writes (q=2k) from $q^2=2k^2$ in the proof of $\sqrt{2}$. What is the correct comment?

Explanation opens after your attempt

$\frac{14}{350}=\frac{1}{25}$ नहीं, बल्कि $\frac{14}{350}=\frac{1}{25}$ ही होता है, इसलिए यह सांत है। यहाँ सावधानी से विकल्प जाँचें। / $\frac{14}{350}=\frac{1}{25}$, so it actually terminates.

Step 2

Why this answer is correct

बाकी दिए गए सभी विकल्प भी सरलतम रूप में केवल (2) और (5) वाले हर देते हैं। इसलिए कोई भी असांत आवर्ती नहीं है। / The other listed fractions also reduce to denominators containing only (2) and (5). Therefore none of them is non-terminating recurring.

Step 3

Exam Tip

यदि प्रश्न में ऐसा विकल्प माँगा जाए और न मिले, तो गणना दोबारा जाँचें। / If a requested option does not appear, recheck every simplification carefully.

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Question Easy Mathematics Real Numbers Decimal expansion of rational numbers Class 10 Level 20

एक विद्यार्थी ने $\frac{15}{60}$ को असमाप्त आवर्ती कहा क्योंकि (60) में (3) है। सही निष्कर्ष क्या है?

A student says $\frac{15}{60}$ is non-terminating recurring because (60) contains (3). What is the correct conclusion?

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Correct Answer

A. यह समाप्त दशमलव देगाIt will give a terminating decimal

Step 1

Concept

$\frac{15}{60}=\frac{1}{4}$ है। / $\frac{15}{60}=\frac{1}{4}$.

Step 2

Why this answer is correct

सरल रूप में भाजक $4=2^2$ है, इसलिए दशमलव समाप्त होगा। / The reduced denominator is $4=2^2$, so the decimal terminates.

Step 3

Exam Tip

मूल भाजक नहीं, सरल रूप का भाजक निर्णायक होता है। / The reduced denominator, not the original one, decides the type.

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Question Easy Mathematics Real Numbers Decimal expansion of rational numbers Class 10 Level 19

एक विद्यार्थी कहता है कि $\frac{3}{50}$ का दशमलव आवर्ती होगा क्योंकि (3), (50) से पूरी तरह भाग नहीं होता। सही निष्कर्ष क्या है?

A student says $\frac{3}{50}$ will be recurring because (3) is not exactly divisible by (50). What is the correct conclusion?

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Correct Answer

A. दशमलव समाप्त होगाThe decimal will terminate

Step 1

Concept

$50=2\times5^2$ है। / $50=2\times5^2$.

Step 2

Why this answer is correct

भाजक में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए $\frac{3}{50}$ समाप्त दशमलव देगा। / The denominator has only (2) and (5), so $\frac{3}{50}$ gives a terminating decimal.

Step 3

Exam Tip

भाग जाने की सोच से नहीं, भाजक के गुणनखंडों से निर्णय लें। / Decide by prime factors of the denominator, not by a rough divisibility idea.

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Question Expert Mathematics Real Numbers Proof of irrationality of √2, √3, √5 Class 10 Level 18

यदि कोई छात्र $\sqrt{3}\approx1.732$ लिखकर उसे अपरिमेय सिद्ध मान लेता है, तो मुख्य कमी क्या है?

If a student writes $\sqrt{3}\approx1.732$ and treats it as proof of irrationality, what is the main weakness?

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Correct Answer

A. दशमलव अनुमान पूर्ण प्रमाण नहीं होताA decimal approximation is not a complete proof

Step 1

Concept

(1.732) केवल निकट मान है, पूरा मान नहीं। / (1.732) is only an approximate value, not the full value.

Step 2

Why this answer is correct

अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए परिमेय मानकर सहअभाज्यता का विरोधाभास दिखाना पड़ता है। / To prove irrationality, we must assume rationality and show a contradiction with coprimality.

Step 3

Exam Tip

परीक्षा में अनुमान नहीं, तार्किक प्रमाण लिखें। / In exams, write a logical proof, not an approximation.

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Question Expert Mathematics Real Numbers Proof of irrationality of √2, √3, √5 Class 10 Level 17

यदि कोई छात्र $\sqrt{5}$ को परिमेय सिद्ध करने के लिए केवल $\sqrt{5}\approx2.236$ लिखता है, तो यह तर्क क्यों अधूरा है?

If a student writes only $\sqrt{5}\approx2.236$ to prove rationality or irrationality, why is this argument incomplete?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. दशमलव का सीमित अनुमान प्रमाण नहीं होताA finite decimal approximation is not a proof

Step 1

Concept

(2.236) केवल अनुमानित मान है, पूरा मान नहीं। / (2.236) is only an approximate value, not the full value.

Step 2

Why this answer is correct

अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए परिमेय मानकर विरोधाभास दिखाना पड़ता है। / To prove irrationality, we must assume rationality and show a contradiction.

Step 3

Exam Tip

परीक्षा में दशमलव अनुमान को प्रमाण की जगह न लिखें। / In exams, do not write a decimal approximation in place of proof.

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Question Expert Mathematics Real Numbers Proof of irrationality of √2, √3, √5 Class 10 Level 16

यदि कोई छात्र $\sqrt{5}=\frac{5}{1}$ लिखता है, तो सबसे सही सुधार क्या है?

If a student writes $\sqrt{5}=\frac{5}{1}$, what is the most correct correction?

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Correct Answer

A. $\frac{5}{1}$ का मान (5) है, $\sqrt{5}$ नहीं$\frac{5}{1}$ equals (5), not $\sqrt{5}$

Step 1

Concept

$\frac{5}{1}=5$ होता है। / $\frac{5}{1}=5$.

Step 2

Why this answer is correct

$\sqrt{5}$ वह संख्या है जिसका वर्ग (5) हो, इसलिए वह (5) नहीं है। / $\sqrt{5}$ is the number whose square is (5), so it is not (5).

Step 3

Exam Tip

संख्या और उसके वर्गमूल में फर्क समझना जरूरी है। / Distinguish a number from its square root.

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Question Hard Mathematics Real Numbers Proof of irrationality of √2, √3, √5 Class 10 Level 18

यदि $\sqrt{2}$ का प्रमाण लिखते समय छात्र $q\neq0$ नहीं लिखता, तो क्या कमी रह जाती है?

If a student does not write $q\neq0$ while proving $\sqrt{2}$ irrational, what is missing?

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Correct Answer

A. परिमेय संख्या के रूप की आवश्यक शर्त अधूरी रह जाती हैThe necessary condition of the rational form is incomplete

Step 1

Concept

$\frac{p}{q}$ तभी मान्य है जब $q\neq0$ हो। / $\frac{p}{q}$ is valid only when $q\neq0$.

Step 2

Why this answer is correct

परिमेय रूप लिखते समय यह शर्त जरूरी है। / This condition is necessary when writing the rational form.

Step 3

Exam Tip

छोटी शर्तें भी प्रमाण को पूर्ण बनाती हैं। / Small conditions make the proof complete.

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Question Hard Mathematics Real Numbers Proof of irrationality of √2, √3, √5 Class 10 Level 18

यदि किसी छात्र ने लिखा कि $\sqrt{5}$ परिमेय है क्योंकि (5) पूर्ण संख्या है, तो सही सुधार क्या होगा?

If a student writes that $\sqrt{5}$ is rational because (5) is a whole number, what is the correct correction?

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Correct Answer

A. पूर्ण संख्या का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होताThe square root of a whole number is not always rational

Step 1

Concept

(5) पूर्ण संख्या है, लेकिन उसका वर्गमूल पूर्ण वर्ग न होने पर परिमेय नहीं होता। / (5) is a whole number, but its square root need not be rational unless it is a perfect square.

Step 2

Why this answer is correct

(5) किसी पूर्ण संख्या का वर्ग नहीं है, इसलिए $\sqrt{5}$ परिमेय नहीं माना जा सकता। / Since (5) is not the square of an integer, $\sqrt{5}$ is not rational.

Step 3

Exam Tip

परीक्षा में संख्या और उसके वर्गमूल को अलग-अलग पहचानें। / In exams, distinguish a number from its square root.

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Question Hard Mathematics Real Numbers Proof of irrationality of √2, √3, √5 Class 10 Level 17

यदि कोई विद्यार्थी $\sqrt{3}=\frac{p}{q}$ से सीधे $3=\frac{p}{q}$ लिखता है, तो सही सुधार क्या है?

If a student writes $3=\frac{p}{q}$ directly from $\sqrt{3}=\frac{p}{q}$, what is the correct correction?

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Correct Answer

A. दोनों ओर वर्ग करने पर $3=\frac{p^2}{q^2}$ मिलेगाSquaring both sides gives $3=\frac{p^2}{q^2}$

Step 1

Concept

$\sqrt{3}$ से (3) पाने के लिए दोनों ओर वर्ग करना जरूरी है। / To get (3) from $\sqrt{3}$, both sides must be squared.

Step 2

Why this answer is correct

भिन्न का वर्ग $\frac{p^2}{q^2}$ होता है। / The square of a fraction is $\frac{p^2}{q^2}$.

Step 3

Exam Tip

इसलिए सही रूप $3=\frac{p^2}{q^2}$ है। / So the correct form is $3=\frac{p^2}{q^2}$.

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Question Medium Mathematics Real Numbers Proof of irrationality of √2, √3, √5 Class 10 Level 18

एक विद्यार्थी कहता है कि $\sqrt{5}$ परिमेय है क्योंकि (5) परिमेय है। सही सुधार क्या है?

A student says $\sqrt{5}$ is rational because (5) is rational. What is the correct correction?

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Correct Answer

A. परिमेय संख्या का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होताThe square root of a rational number is not always rational

Step 1

Concept

(5) परिमेय है लेकिन पूर्ण वर्ग नहीं है। / (5) is rational but not a perfect square.

Step 2

Why this answer is correct

अपूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं और $\sqrt{5}$ अपरिमेय है। / The square root of a non-perfect square need not be rational, and $\sqrt{5}$ is irrational.

Step 3

Exam Tip

संख्या और उसके वर्गमूल का प्रकार अलग-अलग जांचें। / Check a number and its square root separately.

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Question Medium Mathematics Real Numbers Proof of irrationality of √2, √3, √5 Class 10 Level 17

एक विद्यार्थी ने लिखा $\sqrt{3}=\frac{p}{q}$, इसलिए $3=\frac{p}{q}$। गलती क्या है?

A student writes $\sqrt{3}=\frac{p}{q}$, so $3=\frac{p}{q}$. What is the mistake?

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Correct Answer

A. दोनों ओर वर्ग नहीं किया गयाBoth sides were not squared

Step 1

Concept

$\sqrt{3}$ से (3) पाने के लिए दोनों ओर वर्ग करना होता है। / To get (3) from $\sqrt{3}$, both sides must be squared.

Step 2

Why this answer is correct

सही रूप $3=\frac{p^2}{q^2}$ होगा, $3=\frac{p}{q}$ नहीं। / The correct form is $3=\frac{p^2}{q^2}$, not $3=\frac{p}{q}$.

Step 3

Exam Tip

वर्गमूल हटाते समय दोनों ओर वर्ग अवश्य करें। / Always square both sides to remove a square root.

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एक विद्यार्थी पहले महीने (70) पेज पढ़ता है और हर अगले महीने (28) पेज अधिक पढ़ता है। किस महीने वह (434) पेज पढ़ेगा?

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एक विद्यार्थी पहले महीने (55) पेज पढ़ता है और हर अगले महीने (25) पेज अधिक पढ़ता है। किस महीने वह (355) पेज पढ़ेगा?

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एक विद्यार्थी पहले महीने (40) पेज पढ़ता है और हर अगले महीने (20) पेज अधिक पढ़ता है। किस महीने वह (300) पेज पढ़ेगा?

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Concept

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Why this answer is correct

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एक विद्यार्थी पहले दिन (64) प्रश्न हल करता है और प्रतिदिन (15) प्रश्न अधिक हल करता है। किस दिन वह (514) प्रश्न हल करेगा?

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एक छात्र (x^-2-2(k-3)x+k^-2=0) के लिए (D=36) लिखता है। सही (D) क्या है?

एक छात्र (x^-2-2(k-2)x+k^-2=0) के लिए (D=16) लिखता है। सही (D) क्या है?

एक छात्र (x^-2-2(k+1)x+k^-2=0) में (D=4) लिखता है। सही (D) क्या है?