100 results found for "next-integer" in Class 10.
A number multiplied by its next integer gives (552). What is the number?
A. (23)
यदि संख्या (x) है, तो (x(x+1)=552)। \(23\times24=552\), इसलिए संख्या (23) है। / If the number is (x), then (x(x+1)=552). Since \(23\times24=552\), the number is (23).
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A number multiplied by its next integer gives (210). What is the number?
A. (14)
यदि संख्या (x) है, तो (x(x+1)=210)। \(14\times15=210\), इसलिए संख्या (14) है। / If the number is (x), then (x(x+1)=210). Since \(14\times15=210\), the number is (14).
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A number multiplied by its next integer gives (56). What is the number?
B. (7)
संख्या (x) हो तो (x(x+1)=56) बनता है, जिससे (x=7) मिलता है। प्रश्न में अगले पूर्णांक का अर्थ (x+1) है। / If the number is (x), then (x(x+1)=56), giving (x=7). In the question, next integer means (x+1).
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B. (1)
संख्या (5q) के रूप में है। / The number has the form (5q).
अगली संख्या (5q+1) होगी, इसलिए शेषफल (1) है। / The next number is (5q+1), so the remainder is (1).
लगातार संख्याओं में शेषफल क्रम से बढ़ते हैं और फिर (0) पर लौटते हैं। / In consecutive numbers, remainders increase in order and then return to (0).
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A. (0)
संख्या को (4q+3) लिखें। / Write the number as (4q+3).
अगली संख्या (4q+4=4(q+1)+0) होगी। / The next number is (4q+4=4(q+1)+0).
सबसे बड़े शेषफल के बाद अगली संख्या पर शेषफल फिर (0) हो जाता है। / After the greatest remainder, the next number has remainder (0) again.
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On the number line, \( \sqrt{156} \) is closest to which integer?
B. (12)
\( \sqrt{156}\approx12.49 \), इसलिए यह (12) के थोड़ा अधिक निकट है। निकटतम पूर्णांक के लिए दूरी जाँचें। / \( \sqrt{156}\approx12.49 \), so it is slightly closer to (12). Check distance for the nearest integer.
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On the number line, \( \sqrt{132} \) is closest to which integer?
B. (11)
\( \sqrt{132}\approx11.49 \), इसलिए यह (11) के थोड़ा अधिक निकट है। निकटतम पूर्णांक के लिए दूरी जाँचें। / \( \sqrt{132}\approx11.49 \), so it is slightly closer to (11). Check distance for the nearest integer.
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If (m) is an integer and \(m<\sqrt{145}<m+1\), what is the value of (m)?
B. (12)
क्योंकि (144<145<169), इसलिए \(12<\sqrt{145}<13\)। पूर्ण वर्गों से (m) तुरंत मिलता है। / Since (144<145<169), \(12<\sqrt{145}<13\). Perfect squares give (m) quickly.
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On the number line, \( \sqrt{98} \) is closest to which integer?
C. (10)
\( \sqrt{98}\approx9.899 \), इसलिए यह (10) के सबसे निकट है। निकटतम पूर्णांक के लिए दूरी देखें। / \( \sqrt{98}\approx9.899 \), so it is closest to (10). Check distance for the nearest integer.
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On the number line, \( \sqrt{90} \) is closest to which integer?
B. (10)
\( \sqrt{90}\approx9.49 \) है जो (9) की तुलना में (10) के अधिक निकट है। निकटतम पूर्णांक के लिए दूरी जाँचें। / \( \sqrt{90}\approx9.49 \), which is closer to (10) than to (9). Check distance for the nearest integer.
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If (m) is an integer such that \(m<\sqrt{57}<m+1\), what is the value of (m)?
A. (7)
क्योंकि (49<57<64), इसलिए \(7<\sqrt{57}<8\)। अतः (m=7) होगा। / Since (49<57<64), \(7<\sqrt{57}<8\). Therefore (m=7).
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Which integer is closest to \( \sqrt{99} \) on the number line?
A. (10)
(99) संख्या (100) के बहुत निकट है, इसलिए \( \sqrt{99}\) लगभग (10) है। निकटतम पूर्ण वर्ग तेजी से उत्तर देता है। / (99) is very close to (100), so \( \sqrt{99}\) is about (10). The nearest perfect square gives a quick answer.
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On the number line, \(\sqrt{32}\) is closest to which integer?
C. (6)
\(\sqrt{32}\approx5.66\) है इसलिए यह (6) के अधिक पास है। निकटतम पूर्णांक के लिए दूरी की तुलना करें। / \(\sqrt{32}\approx5.66\), so it is closer to (6). Compare distances for the nearest integer.
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On the number line, \(\sqrt{45}\) will be closest to which integer?
C. (7)
\(\sqrt{45}\) लगभग (6.7) है इसलिए यह (7) के अधिक पास है। अनुमान में पास के पूर्ण वर्ग (36) और (49) उपयोगी हैं। / \(\sqrt{45}\) is about (6.7), so it is closer to (7). Nearby perfect squares (36) and (49) help in estimation.
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On the number line, \(\sqrt{20}\) is closest to which integer?
B. (4)
\(\sqrt{20}\) लगभग (4.47) है इसलिए यह (4) के अधिक पास है। \(\sqrt{20}\) को (4) और (5) के बीच रखकर दूरी सोचें। / \(\sqrt{20}\) is about (4.47), so it is closer to (4). Place \(\sqrt{20}\) between (4) and (5) and compare distances.
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Which integer is closest to \(\sqrt{18}\) on the number line?
B. (4)
\(\sqrt{18}\) लगभग (4.24) है इसलिए यह (4) के अधिक पास है। अनुमान के लिए पास के पूर्ण वर्ग (16) और (25) देखें। / \(\sqrt{18}\) is about (4.24), so it is closer to (4). For estimation, check nearby perfect squares (16) and (25).
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Which statement shows that \(\sqrt{2}\) cannot be an integer?
A. ऐसा कोई पूर्णांक नहीं है जिसका वर्ग (2) होThere is no integer whose square is (2)
पूर्णांकों के वर्ग (0,1,4,9) जैसे होते हैं। / Squares of integers are like (0,1,4,9).
कोई पूर्णांक ऐसा नहीं जिसका वर्ग (2) हो। / No integer has square (2).
फिर भी अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए परिमेय रूप वाला पूरा प्रमाण चाहिए। / Still, to prove irrationality, the full rational-form proof is needed.
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A. (14.5)
\( \sqrt{2}\approx1.414 \), इसलिए \( \frac{a}{10} \) को (1.414) और (1.5) के बीच होना चाहिए। (a=14.5) से (1.45) मिलता है। / \( \sqrt{2}\approx1.414 \), so \( \frac{a}{10} \) must be between (1.414) and (1.5). (a=14.5) gives (1.45).
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Which integer lies between \( \sqrt{20} \) and \( \sqrt{27} \) on the number line?
A. (5)
\( \sqrt{20}\approx4.47\) और \( \sqrt{27}\approx5.19\), इसलिए (5) बीच में है। पूर्ण वर्गों से सीमा पहचानें। / \( \sqrt{20}\approx4.47\) and \( \sqrt{27}\approx5.19\), so (5) lies between them. Use perfect squares to identify bounds.
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On the number line, \(\frac{8}{4}\) is equal to which integer?
A. (2)
\(\frac{8}{4}=2\), इसलिए यह (2) पर स्थित है। सरल भिन्न को पूर्णांक में बदलकर बिंदु पहचानें। / \(\frac{8}{4}=2\), so it is located at (2). Convert a simple fraction into an integer to identify the point.
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While showing \(\frac{7}{5}\) on the number line, after which integer will it appear?
A. (1)
\(\frac{7}{5}=1.4\) है, इसलिए यह (1) के बाद और (2) से पहले आता है। अपूर्ण भिन्न को मिश्रित रूप में सोचें। / \(\frac{7}{5}=1.4\), so it comes after (1) and before (2). Think of an improper fraction in mixed form.
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The product of two consecutive positive odd integers is (483). What is the larger integer?
B. (23)
संख्याएँ (x) और (x+2) हैं। (x(x+2)=483) से (x=21) मिलता है इसलिए बड़ी संख्या (23) है। / The integers are (x) and (x+2). From (x(x+2)=483), (x=21), so the larger integer is (23).
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The product of two consecutive positive even integers is (360). What is the smaller integer?
B. (18)
संख्याएँ (x) और (x+2) मानें। (x(x+2)=360) से \(x^2+2x-360=0\) और (x=18) मिलता है। / Let the integers be (x) and (x+2). From (x(x+2)=360), \(x^2+2x-360=0\), so (x=18).
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The sum of squares of two consecutive positive integers is (841). What is the smaller integer?
C. (20)
छोटा पूर्णांक (x) हो तो (x-2+(x+1)2=841), जिससे (x=20) मिलता है। लगातार संख्याओं को (x) और (x+1) लिखें। / If the smaller integer is (x), then (x-2+(x+1)2=841), giving (x=20). Write consecutive numbers as (x) and (x+1).
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The product of two consecutive positive even integers is (288). What is the larger integer?
A. (18)
यदि छोटा सम पूर्णांक (x) है, तो (x(x+2)=288)। (x=16) होने से बड़ा पूर्णांक (18) है। / If the smaller even integer is (x), then (x(x+2)=288). Since (x=16), the larger integer is (18).
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The product of two consecutive positive odd integers is (399). What is the smaller integer?
A. (19)
यदि छोटा विषम पूर्णांक (x) है, तो (x(x+2)=399)। \(19\times21=399\), इसलिए छोटा पूर्णांक (19) है। / If the smaller odd integer is (x), then (x(x+2)=399). Since \(19\times21=399\), the smaller integer is (19).
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The product of two consecutive positive integers is (306). What is the larger integer?
A. (18)
यदि छोटा पूर्णांक (x) है, तो (x(x+1)=306)। (x=17) होने पर बड़ा पूर्णांक (18) है। / If the smaller integer is (x), then (x(x+1)=306). When (x=17), the larger integer is (18).
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The sum of squares of two consecutive positive integers is (365). What is the smaller integer?
C. (13)
छोटा पूर्णांक (x) हो तो (x-2+(x+1)2=365), जिससे (x=13) मिलता है। लगातार पूर्णांकों को (x) और (x+1) लिखें। / If the smaller integer is (x), then (x-2+(x+1)2=365), giving (x=13). Write consecutive integers as (x) and (x+1).
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The product of two consecutive positive even integers is (168). What is the larger integer?
A. (14)
यदि छोटा सम पूर्णांक (x) है, तो (x(x+2)=168)। (x=12) होने से बड़ा पूर्णांक (14) है। / If the smaller even integer is (x), then (x(x+2)=168). Since (x=12), the larger integer is (14).
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The product of two consecutive positive odd integers is (195). What is the smaller integer?
A. (13)
यदि छोटा विषम पूर्णांक (x) है, तो (x(x+2)=195)। (x=13) सही है क्योंकि \(13\times15=195\)। / If the smaller odd integer is (x), then (x(x+2)=195). (x=13) is correct because \(13\times15=195\).
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The product of two consecutive positive integers is (156). What is the larger integer?
A. (13)
यदि छोटा पूर्णांक (x) है, तो (x(x+1)=156)। (x=12) मिलने पर बड़ा पूर्णांक (13) है। / If the smaller integer is (x), then (x(x+1)=156). When (x=12), the larger integer is (13).
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The product of two consecutive positive integers is (380). What is the larger integer?
C. (20)
संख्याएँ (x) और (x+1) होंगी। (x(x+1)=380) से (x=19), इसलिए बड़ा पूर्णांक (20) है। / The numbers are (x) and (x+1). From (x(x+1)=380), (x=19), so the larger integer is (20).
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The product of two consecutive positive integers is (306). What is the smaller integer?
B. (17)
छोटा पूर्णांक (x) हो तो (x(x+1)=306), जिससे (x=17) मिलता है। लगातार पूर्णांकों को (x) और (x+1) लिखें। / If the smaller integer is (x), then (x(x+1)=306), giving (x=17). Write consecutive integers as (x) and (x+1).
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The product of two consecutive positive integers is (210). What is the larger integer?
C. (15)
संख्याएँ (x) और (x+1) मानें, तब (x(x+1)=210) से (x=14) है। इसलिए बड़ा पूर्णांक (15) है। / Let the numbers be (x) and (x+1), then (x(x+1)=210) gives (x=14). So the larger integer is (15).
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The product of two consecutive positive integers is (182). What is the smaller integer?
B. (13)
छोटा पूर्णांक (x) हो तो (x(x+1)=182), जिससे (x=13) मिलता है। लगातार पूर्णांकों को (x) और (x+1) लिखना सही तरीका है। / If the smaller integer is (x), then (x(x+1)=182), which gives (x=13). Writing consecutive integers as (x) and (x+1) is the correct method.
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The product of two consecutive positive integers is (132). What is the larger integer?
C. (12)
मान लें संख्याएँ (x) और (x+1) हैं, तब (x(x+1)=132) से (x=11) है। इसलिए बड़ा पूर्णांक (12) है। / Let the numbers be (x) and (x+1), then (x(x+1)=132) gives (x=11). So the larger integer is (12).
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The product of two consecutive positive integers is (72). What is the smaller integer?
B. (8)
मान लें छोटा पूर्णांक (x) है, तब (x(x+1)=72) से (x=8) मिलता है। परीक्षा में लगातार संख्याओं को (x) और (x+1) लिखें। / Let the smaller integer be (x), then (x(x+1)=72) gives (x=8). In exams, write consecutive numbers as (x) and (x+1).
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If the roots of (x-2-(2a+7)x+(a+3)(a+4)=0) are in consecutive integer form, which are they?
B. (a+3) और (a+4)(a+3) and (a+4)
जड़ों का योग (2a+7) और गुणनफल ((a+3)(a+4)) है। ये (a+3) और (a+4) से मिलते हैं। / The sum of roots is (2a+7) and the product is ((a+3)(a+4)). These match (a+3) and (a+4).
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What is the standard form with integer coefficients of \(\frac{4x^2-3}{5}+\frac{x-2}{4}=3\)?
A. \(16x^2+5x-74=0\)
पूरे समीकरण को (20) से गुणा करने पर \(16x^2-12+5x-10=60\) मिलता है। इसलिए \(16x^2+5x-82=0\) नहीं बल्कि \(16x^2+5x-82=0\) मिलेगा। / Multiplying the whole equation by (20) gives \(16x^2-12+5x-10=60\). Therefore the standard form is \(16x^2+5x-82=0\).
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What is the standard form with integer coefficients of \(\frac{3x^2+2}{4}-\frac{x-5}{3}=6\)?
A. \(9x^2-4x-42=0\)
पूरे समीकरण को (12) से गुणा करने पर \(9x^2+6-4x+20=72\) मिलता है। इसलिए मानक रूप \(9x^2-4x-46=0\) नहीं बल्कि \(9x^2-4x-46=0\) होगा। / Multiplying the whole equation by (12) gives \(9x^2+6-4x+20=72\). Therefore the standard form is \(9x^2-4x-46=0\).
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What is the standard form with integer coefficients of (\frac{(x+1)2}{2}+\frac{(x-3)2}{3}=10)?
A. \(5x^2-6x-39=0\)
पूरे समीकरण को (6) से गुणा करने पर (3(x+1)2+2(x-3)2=60) मिलता है। सरल करने पर \(5x^2-6x-39=0\) सही रूप है। / Multiplying the whole equation by (6) gives (3(x+1)2+2(x-3)2=60). Simplifying gives the correct form \(5x^2-6x-39=0\).
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What is the standard form with integer coefficients of \(\frac{2x^2-1}{5}+\frac{x+3}{2}=7\)?
A. \(4x^2+5x-59=0\)
पूरे समीकरण को (10) से गुणा करने पर \(4x^2-2+5x+15=70\) मिलता है। इसलिए \(4x^2+5x-57=0\) नहीं बल्कि \(4x^2+5x-57=0\) मिलेगा। / Multiplying the whole equation by (10) gives \(4x^2-2+5x+15=70\). Therefore the standard form is \(4x^2+5x-57=0\).
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Write \(\frac{x^2+1}{3}-\frac{x-2}{2}=5\) in standard form with integer coefficients.
A. \(2x^2-3x-22=0\)
पूरे समीकरण को (6) से गुणा करने पर \(2x^2+2-3x+6=30\) मिलता है। इसलिए मानक रूप \(2x^2-3x-22=0\) है। / Multiplying the whole equation by (6) gives \(2x^2+2-3x+6=30\). Therefore the standard form is \(2x^2-3x-22=0\).
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Write \(\frac{x^2-3}{2}+\frac{x-1}{3}=4\) in standard form with integer coefficients.
A. \(3x^2+2x-29=0\)
पूरे समीकरण को (6) से गुणा करने पर \(3x^2-9+2x-2=24\) मिलता है। इसलिए \(3x^2+2x-35=0\) नहीं बल्कि सही रूप \(3x^2+2x-35=0\) होगा। / Multiplying the whole equation by (6) gives \(3x^2-9+2x-2=24\). Thus the standard form is \(3x^2+2x-35=0\).
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What is the form with integer coefficients for \(\frac{3}{4}x^2-\frac{1}{2}x+2=0\)?
A. \(3x^2-2x+8=0\)
हर हटाने के लिए पूरे समीकरण को (4) से गुणा करें। इससे \(3x^2-2x+8=0\) मिलता है। / Multiply the whole equation by (4) to remove the denominators. This gives \(3x^2-2x+8=0\).
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A. \(2x^2+2x-144=0\)
पूर्णांक (x) और (x+1) होंगे, इसलिए (x-2+(x+1)2=145)। सरल करने पर \(2x^2+2x-144=0\) मिलता है। / The integers are (x) and (x+1), so (x-2+(x+1)2=145). Simplifying gives \(2x^2+2x-144=0\).
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What is the form with integer coefficients for \(\frac{2}{5}x^2+\frac{1}{5}x-2=0\)?
A. \(2x^2+x-10=0\)
हर (5) हटाने के लिए पूरे समीकरण को (5) से गुणा करें। इससे \(2x^2+x-10=0\) मिलता है। / Multiply the whole equation by (5) to remove denominator (5). This gives \(2x^2+x-10=0\).
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A. \(2x^2+2x-84=0\)
पूर्णांक (x) और (x+1) होंगे, इसलिए (x-2+(x+1)2=85)। सरल करने पर \(2x^2+2x-84=0\) मिलता है। / The integers are (x) and (x+1), so (x-2+(x+1)2=85). Simplifying gives \(2x^2+2x-84=0\).
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What is the form with integer coefficients for \(\frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}x+1=0\)?
A. \(x^2-2x+3=0\)
हर (3) हटाने के लिए पूरे समीकरण को (3) से गुणा करें। इससे \(x^2-2x+3=0\) मिलता है। / Multiply the whole equation by (3) to remove the denominator (3). This gives \(x^2-2x+3=0\).
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A. (x(x+1)=30)
लगातार अगला पूर्णांक (x+1) होगा। गुणनफल (30) है इसलिए (x(x+1)=30) बनेगा। / The next consecutive integer is (x+1). Since the product is (30), the equation is (x(x+1)=30).
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If (m) is a positive integer and \(\sqrt{m}\) is rational, which conclusion about (m) is correct?
A. (m) पूर्ण वर्ग है(m) is a perfect square
धनात्मक पूर्णांक का परिमेय वर्गमूल तभी पूर्णांक होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। परीक्षा में पूर्ण वर्ग पहचानना जरूरी है। / The rational square root of a positive integer is an integer only when it is a perfect square. In exams identifying perfect squares is important.
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If \(\sqrt{m}\) is irrational and (m) is a positive integer, which conclusion about (m) is correct?
A. (m) पूर्ण वर्ग नहीं है(m) is not a perfect square
पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है, इसलिए अपरिमेय वर्गमूल के लिए (m) पूर्ण वर्ग नहीं होगा। परीक्षा में पूर्ण वर्ग पहचानना जरूरी है। / The square root of a perfect square is an integer, so for an irrational square root (m) is not a perfect square. In exams identifying perfect squares is important.
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If \(\sqrt{m}\) is rational and (m) is a positive integer, what is true about (m)?
B. (m) पूर्ण वर्ग है(m) is a perfect square
धनात्मक पूर्णांक (m) के लिए \(\sqrt{m}\) परिमेय तभी होगा जब (m) पूर्ण वर्ग हो। परीक्षा में पूर्ण वर्ग पहचानना जरूरी है। / For a positive integer (m), \(\sqrt{m}\) is rational only when (m) is a perfect square. Identifying perfect squares is important in exams.
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If \(\sqrt{m}=a\), where (a) is rational and (m) is a positive integer, what is necessary for (m)?
A. (m) पूर्ण वर्ग होना चाहिए(m) must be a perfect square
धनात्मक पूर्णांक की वर्गमूल परिमेय तभी होती है जब वह पूर्ण वर्ग हो। यह जड़ों की प्रकृति का मुख्य नियम है। / The square root of a positive integer is rational only when it is a perfect square. This is the key rule for roots.
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If (n) is a positive integer and \(\sqrt{n}\) is irrational, when will \(\sqrt{4n}\) be rational?
A. कभी नहींNever
\(\sqrt{4n}=2\sqrt{n}\) है। गैर शून्य परिमेय से अपरिमेय को गुणा करने पर संख्या अपरिमेय रहती है। / \(\sqrt{4n}=2\sqrt{n}\). Multiplying an irrational number by a non zero rational keeps it irrational.
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If \(\sqrt{k}\) is irrational and (k) is a positive integer, which (k) can be correct?
A. (k=123)
(123) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \(\sqrt{123}\) अपरिमेय है। पूर्ण वर्गों की जड़ परिमेय होती है। / (123) is not a perfect square so \(\sqrt{123}\) is irrational. Roots of perfect squares are rational.
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If \(\sqrt{m}\) is rational and (m) is a positive integer, which (m) can be correct?
A. (m=400)
\(400=20^2\) पूर्ण वर्ग है इसलिए \(\sqrt{400}\) परिमेय है। बाकी विकल्प पूर्ण वर्ग नहीं हैं। / \(400=20^2\) is a perfect square so \(\sqrt{400}\) is rational. The other options are not perfect squares.
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Which statement is correct for \(\sqrt{a}\) when (a) is a positive integer?
A. यदि (a) पूर्ण वर्ग नहीं है तो \(\sqrt{a}\) अपरिमेय हैIf (a) is not a perfect square then \(\sqrt{a}\) is irrational
धनात्मक पूर्णांक की वर्गमूल परिमेय तभी होती है जब संख्या पूर्ण वर्ग हो। इसलिए पूर्ण वर्ग न हो तो जड़ अपरिमेय होगी। / The square root of a positive integer is rational only when the number is a perfect square. So a non perfect square gives an irrational root.
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If \(\sqrt{k}\) is irrational and (k) is a positive integer, what is correct about (k)?
A. (k) पूर्ण वर्ग नहीं है(k) is not a perfect square
धनात्मक पूर्णांक पूर्ण वर्ग न हो तो उसकी वर्गमूल अपरिमेय होती है। इसलिए (k) पूर्ण वर्ग नहीं होगा। / If a positive integer is not a perfect square its square root is irrational. So (k) is not a perfect square.
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If (m) is a positive integer and \(\sqrt{m}\) is rational, what must (m) be?
A. पूर्ण वर्गPerfect square
धनात्मक पूर्णांक की वर्गमूल परिमेय तभी होती है जब वह पूर्ण वर्ग हो। इस नियम को सीधे लागू करें। / The square root of a positive integer is rational only when it is a perfect square. Apply this rule directly.
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If \(2+\sqrt{m}\) is irrational and (m) is a positive integer, which (m) can be correct?
A. (18)
(18) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \(\sqrt{18}\) अपरिमेय है। बाकी विकल्पों की जड़ परिमेय है। / (18) is not a perfect square so \(\sqrt{18}\) is irrational. The roots of the other options are rational.
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If \(\sqrt{n}\) is rational and (n) is a positive integer, what is correct about (n)?
A. (n) पूर्ण वर्ग है(n) is a perfect square
धनात्मक पूर्णांक की वर्गमूल परिमेय तभी होती है जब संख्या पूर्ण वर्ग हो। यह सीधा परीक्षा नियम है। / The square root of a positive integer is rational only when the number is a perfect square. This is a direct exam rule.
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If (n) is a positive integer and \(\sqrt{n}\) is irrational then what can be said about (n)?
A. (n) पूर्ण वर्ग नहीं है(n) is not a perfect square
धनात्मक पूर्णांक की वर्गमूल अपरिमेय तब होती है जब वह पूर्ण वर्ग नहीं होता। यह सरल नियम याद रखें। / The square root of a positive integer is irrational when it is not a perfect square. Remember this simple rule.
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For a positive integer (n), if \(\sqrt{n}\) is rational then what can be said about (n)?
A. (n) पूर्ण वर्ग है(n) is a perfect square
धनात्मक पूर्णांक की वर्गमूल परिमेय तभी होती है जब संख्या पूर्ण वर्ग हो। यह MCQ में सीधा नियम है। / The square root of a positive integer is rational only when the number is a perfect square. This is a direct MCQ rule.
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A. (3773)
सरलतम हर से \(7^3\) और (11) हटने चाहिए इसलिए \(n=7^3\cdot 11=3773\) होगा। न्यूनतम मान में (2) और (5) को काटना जरूरी नहीं है। / The factors \(7^3\) and (11) must be removed from the reduced denominator, so \(n=7^3\cdot 11=3773\). For the least value, do not cancel (2) and (5).
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C. (2601)
सांत दशमलव के लिए \(3^2\) और \(17^2\) पूरी तरह कटने चाहिए इसलिए (n=2601) होगा। न्यूनतम मान में केवल (2) और (5) के अलावा गुणनखंड काटें। / For termination, \(3^2\) and \(17^2\) must cancel completely, so (n=2601). For the least value, cancel only the factors other than (2) and (5).
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C. (441)
सांत दशमलव के लिए \(3^2\) और \(7^2\) पूरी तरह कटने चाहिए इसलिए (n=441) होगा। न्यूनतम मान में केवल (2) और (5) के अलावा गुणनखंड काटें। / For termination, \(3^2\) and \(7^2\) must cancel completely, so (n=441). For the least value, cancel only the factors other than (2) and (5).
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C. (1053)
सांत दशमलव के लिए \(3^4\) और (13) पूरी तरह कटने चाहिए, इसलिए \(n=3^4\cdot 13=1053\)। न्यूनतम मान में केवल अनचाहे अभाज्य गुणनखंड काटें। / For a terminating decimal, \(3^4\) and (13) must cancel completely, so \(n=3^4\cdot 13=1053\). For the least value, cancel only the unwanted prime factors.
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C. (297)
सांत दशमलव के लिए सरलतम हर में केवल (2) और (5) रहने चाहिए। / For a terminating decimal, the reduced denominator must contain only (2) and (5).
हर में \(3^3\) और (11) हटाने होंगे, इसलिए \(n=3^3\cdot 11=297\) न्यूनतम है। / The factors \(3^3\) and (11) must be cancelled, so the least (n) is \(3^3\cdot 11=297\).
सबसे छोटा मान पूछे तो केवल अनचाहे अभाज्य गुणनखंड काटिए। / For the smallest value, cancel only the unwanted prime factors.
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C. (63)
सांत दशमलव के लिए सरलतम हर में केवल (2) और (5) बचने चाहिए। / For a terminating decimal, the reduced denominator must contain only (2) and (5).
हर में \(3^2\) और (7) अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड हैं, इसलिए (n) में \(3^2\cdot 7=63\) अवश्य होना चाहिए। / The denominator has extra prime factors \(3^2\) and (7), so (n) must contain \(3^2\cdot 7=63\).
सबसे छोटा मान पूछे जाने पर केवल अनचाहे अभाज्य गुणनखंडों को काटिए। / When the smallest value is asked, cancel only the unwanted prime factors.
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A. \(r\leq 8\) और \(s\leq 8\)\(r\leq 8\) and \(s\leq 8\)
\(10^8=2^8\cdot 5^8\) है। / \(10^8=2^8\cdot 5^8\).
हर \(2^r5^s\) को \(10^8\) का भाजक होना चाहिए, इसलिए \(r\leq 8\) और \(s\leq 8\)। / The denominator \(2^r5^s\) must divide \(10^8\), so \(r\leq 8\) and \(s\leq 8\).
हर को \(10^k\) में बदलते समय भाजक की शर्त याद रखें। / When converting to denominator \(10^k\), remember the divisor condition.
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If (n) is an odd integer, then \(n^2\) is odd. This fact is especially useful in which proof?
A. \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयताIrrationality of \(\sqrt{2}\)
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2\) सम मिलता है। / In the proof for \(\sqrt{2}\), \(p^2\) is found even.
यदि (p) विषम होता, तो \(p^2\) विषम होता; इसलिए (p) सम है। / If (p) were odd, \(p^2\) would be odd; so (p) is even.
यही सम-विषम विचार फिर (q) के लिए भी उपयोग होता है। / The same parity idea is then used for (q).
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A. दो बारTwice
पहले \(p^2\) सम होने से (p) सम सिद्ध होता है। / First \(p^2\) even proves (p) even.
फिर \(q^2\) सम होने से (q) सम सिद्ध होता है। / Then \(q^2\) even proves (q) even.
इसलिए यह नियम प्रमाण में दो बार महत्वपूर्ण रूप से आता है। / Therefore this fact is used twice in an important way.
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Which statement is correct if (n) is an odd integer?
A. \(n^2\) विषम होगा\(n^2\) will be odd
विषम पूर्णांक को (2k+1) लिखा जा सकता है। / An odd integer can be written as (2k+1).
उसका वर्ग \(4k^2+4k+1\) बनता है, जो विषम है। / Its square becomes \(4k^2+4k+1\), which is odd.
यह तथ्य \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2\) सम होने से (p) सम बताने में मदद करता है। / This fact helps prove that if \(p^2\) is even, then (p) is even in the \(\sqrt{2}\) proof.
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If (r) is prime and divides the square \(x^2\) of an integer (x), what is the correct conclusion?
A. (r), (x) को भी विभाजित करता है(r) also divides (x)
वर्ग में अभाज्य गुणनखंड जोड़े के रूप में आते हैं। / Prime factors in a square occur in pairs.
यदि अभाज्य संख्या \(x^2\) को विभाजित करे, तो वह (x) को भी विभाजित करती है। / If a prime divides \(x^2\), it also divides (x).
\(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में यह नियम जरूरी है। / This rule is essential in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\).
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If \(\sqrt{n}\) is rational and (n) is a positive integer then what is true about (n)?
C. (n) पूर्ण वर्ग है(n) is a perfect square
धनात्मक पूर्णांक का वर्गमूल परिमेय तभी होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। / The square root of a positive integer is rational only when the integer is a perfect square.
जैसे \(\sqrt{25}=5\) परिमेय है। / For example \(\sqrt{25}=5\).
अभाज्य संख्या का वर्गमूल सामान्यतः अपरिमेय होता है। / The square root of a prime number is usually irrational.
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If \(x=\sqrt{a}\) is irrational and (a<50) is a positive integer, which (a) is not suitable?
C. (36)
\(\sqrt{a}\) अपरिमेय तभी होगा जब (a) पूर्ण वर्ग न हो। / \(\sqrt{a}\) is irrational only when (a) is not a perfect square.
(36) पूर्ण वर्ग है और \(\sqrt{36}=6\), इसलिए यह उपयुक्त नहीं है। / (36) is a perfect square and \(\sqrt{36}=6\), so it is not suitable.
विकल्पों में पूर्ण वर्ग को तुरंत पहचानें। / Quickly identify perfect squares among the options.
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B. यह हमेशा अपरिमेय हैIt is always irrational
(m) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{m}\) अपरिमेय है। / Since (m) is not a perfect square, \(\sqrt{m}\) is irrational.
(4) परिमेय है, और अपरिमेय में परिमेय जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय होता है। / (4) is rational, and adding it to an irrational number gives an irrational number.
पूर्ण वर्ग न होने की जानकारी को सीधे वर्गमूल की प्रकृति से जोड़ें। / Connect the non-perfect-square condition directly with the nature of the square root.
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If \(2+\sqrt{n}\) is irrational and (n) is a positive integer, which (n) is suitable?
D. (40)
(2) परिमेय है। इसलिए \(2+\sqrt{n}\) अपरिमेय तभी होगा जब \(\sqrt{n}\) अपरिमेय हो। / (2) is rational. So \(2+\sqrt{n}\) is irrational when \(\sqrt{n}\) is irrational.
(40) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{40}\) अपरिमेय है। / (40) is not a perfect square, so \(\sqrt{40}\) is irrational.
दिए गए पूर्णांकों में पूर्ण वर्गों को पहले हटाएँ। / First eliminate perfect squares from the given integers.
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If \(\sqrt{n}\) is rational when (n) is a positive integer, what is the correct decision for (n=72)?
B. \(\sqrt{72}\) अपरिमेय है क्योंकि (72) पूर्ण वर्ग नहीं है\(\sqrt{72}\) is irrational because (72) is not a perfect square
धनात्मक पूर्णांक का वर्गमूल परिमेय तभी होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। / The square root of a positive integer is rational only when the integer is a perfect square.
(72) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{72}\) अपरिमेय है। / (72) is not a perfect square, so \(\sqrt{72}\) is irrational.
सम संख्या होना वर्गमूल को परिमेय नहीं बनाता। / Being even does not make a square root rational.
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If \(\frac{5}{\sqrt{k}}\) is irrational and (k) is a positive integer, which (k) is possible?
D. (18)
यदि (k) पूर्ण वर्ग हो, तो \(\sqrt{k}\) परिमेय होगा और भिन्न परिमेय बन जाएगी। / If (k) is a perfect square, then \(\sqrt{k}\) is rational and the fraction becomes rational.
(18) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{18}\) अपरिमेय है और \(\frac{5}{\sqrt{18}}\) भी अपरिमेय रहेगा। / (18) is not a perfect square, so \(\sqrt{18}\) is irrational and \(\frac{5}{\sqrt{18}}\) remains irrational.
ऐसे प्रश्नों में पहले (k) के पूर्ण वर्ग होने की जाँच करें। / In such questions, first check whether (k) is a perfect square.
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If \(\sqrt{p}\) is rational and (p) is a positive integer, what must (p) be?
A. पूर्ण वर्गPerfect square
धनात्मक पूर्णांक का परिमेय वर्गमूल तभी मिलता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। / A positive integer has a rational square root only when it is a perfect square.
जैसे (16) का वर्गमूल (4) है, पर (18) का वर्गमूल अपरिमेय है। / For example, \(\sqrt{16}=4\), but \(\sqrt{18}\) is irrational.
वर्गमूल की प्रकृति जानने के लिए पूर्ण वर्ग जाँचें। / Check perfect squares to decide the nature of a square root.
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If \(\sqrt{n}\) is irrational and (n) is a positive integer, what is true about (n)?
B. (n) पूर्ण वर्ग नहीं है(n) is not a perfect square
किसी पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है। / The square root of a perfect square is an integer.
यदि (n) पूर्ण वर्ग नहीं है, तो \(\sqrt{n}\) अपरिमेय होता है। / If (n) is not a perfect square, then \(\sqrt{n}\) is irrational.
केवल सम या अभाज्य देखकर निर्णय न लें; पूर्ण वर्ग की जाँच करें। / Do not judge only by evenness or primality; check whether it is a perfect square.
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If \(\sqrt{m}\) is rational and (m) is a positive integer, which statement about (m) is correct?
A. (m) पूर्ण वर्ग है(m) is a perfect square
किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्गमूल परिमेय तभी होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। / The square root of a positive integer is rational only when the integer is a perfect square.
जैसे (25) पूर्ण वर्ग है और \(\sqrt{25}=5\) परिमेय है। / For example, (25) is a perfect square and \(\sqrt{25}=5\) is rational.
वर्गमूल वाले प्रश्नों में पूर्ण वर्ग की पहचान सबसे पहले करें। / In square-root questions, identify perfect squares first.
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If \(N=2^3 \times 3^4\), why will \(\sqrt{N}\) not be an integer?
A. क्योंकि (2) की घात सम नहीं हैBecause the exponent of (2) is not even
वर्गमूल पूर्ण संख्या तभी होता है जब सभी अभाज्य घातें सम हों। / A square root is an integer only when all prime exponents are even.
\(2^3 \times 3^4\) में (2) की घात (3) है, जो विषम है। / In \(2^3 \times 3^4\), the exponent of (2) is (3), which is odd.
वर्गमूल के प्रश्न में हर घात की समता जांचें। / In square-root questions, check the evenness of each exponent.
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If \(N=2^5 \times 3\), why will \(\sqrt{N}\) not be an integer?
A. क्योंकि सभी घातें सम नहीं हैंBecause all exponents are not even
किसी संख्या का वर्गमूल पूर्ण संख्या तभी होता है जब सभी अभाज्य घातें सम हों। / The square root of a number is an integer only when all prime exponents are even.
\(2^5 \times 3\) में घात (5) और (1) हैं, दोनों विषम हैं। / In \(2^5 \times 3\), the exponents are (5) and (1), both odd.
वर्गमूल से जुड़े प्रश्नों में घातों की समता सबसे पहले देखें। / For square-root questions, check evenness of exponents first.
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A. अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप मेंAs a product of prime numbers
यह प्रमेय अभाज्य गुणनखंडन से जुड़ा है। / This theorem is connected with prime factorisation.
1 से बड़ी हर धनात्मक पूर्ण संख्या अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखी जा सकती है। / Every positive integer greater than 1 can be written as a product of prime numbers.
परीक्षा में इस विचार को अभाज्य गुणनखंडन से जोड़कर याद रखें। / In exams, remember it through prime factorisation.
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A. 1
(n) की जगह शेषफल 6 रखें। / Replace (n) by its remainder 6.
\(n^2+n+1\) का शेषफल \(6^2+6+1=43\) से मिलेगा। / The remainder of \(n^2+n+1\) comes from \(6^2+6+1=43\).
43 को 7 से भाग देने पर शेषफल 1 है। / Dividing 43 by 7 gives remainder 1.
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When an integer is divided by 11, what remainders can its square have?
A. केवल 0, 1, 3, 4, 5 और 9Only 0, 1, 3, 4, 5 and 9
11 से भाग देने पर शेषफल 0 से 10 तक हो सकते हैं। / On division by 11, remainders can be from 0 to 10.
इनके वर्गों के अलग-अलग शेषफल 0, 1, 3, 4, 5 और 9 मिलते हैं। / Their distinct square remainders are 0, 1, 3, 4, 5, and 9.
वर्ग वाले प्रश्नों में सभी संभावित शेषफलों की छोटी सूची बनाना उपयोगी है। / In square-remainder questions, making a short list of possible remainders is useful.
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Which statement is correct when an integer is divided by 32?
B. शेषफल 0 से 31 तक हो सकता हैThe remainder can be from 0 to 31
यूक्लिड प्रमेय में \(0\le r<b\) होता है। / In Euclid’s lemma, \(0\le r<b\).
यहाँ (b=32), इसलिए शेषफल 0 से 31 तक हो सकता है। / Here (b=32), so the remainder can be from 0 to 31.
शेषफलों की सूची में 0 शामिल करें और 32 शामिल न करें। / Include 0 in the list of remainders and do not include 32.
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Which is the correct list of all possible forms of a positive integer when divided by 17?
A. \(17q,17q+1,\ldots,17q+16\)
17 से भाग देने पर शेषफल 0 से 16 तक हो सकता है। / On division by 17, remainders can be from 0 to 16.
इसलिए सभी रूप (17q) से (17q+16) तक होंगे। / Therefore, all forms are from (17q) to (17q+16).
पूरी सूची में शून्य शेषफल शामिल करें, लेकिन 17 शामिल न करें। / Include zero remainder, but do not include 17.
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A. 1
(n) की जगह शेषफल 5 रखें। / Replace (n) by its remainder 5.
\(n^2+n+1\) का शेषफल \(5^2+5+1=31\) से मिलेगा। / The remainder of \(n^2+n+1\) comes from \(5^2+5+1=31\).
31 को 6 से भाग देने पर शेषफल 1 है। / Dividing 31 by 6 gives remainder 1.
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When an integer is divided by 9, what remainders can its square have?
A. केवल 0, 1, 4 और 7Only 0, 1, 4 and 7
9 से भाग देने पर शेषफल 0 से 8 तक हो सकते हैं। / On division by 9, remainders can be from 0 to 8.
इनके वर्गों के शेषफल 0, 1, 4, 0, 7, 7, 0, 4, 1 मिलते हैं। / Their square remainders are 0, 1, 4, 0, 7, 7, 0, 4, and 1.
इसलिए वर्ग का शेषफल केवल 0, 1, 4 या 7 हो सकता है। / So the square remainder can only be 0, 1, 4, or 7.
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Which statement is correct when an integer is divided by 25?
B. शेषफल 0 से 24 तक हो सकता हैThe remainder can be from 0 to 24
यूक्लिड प्रमेय में \(0\le r<b\) होता है। / In Euclid’s lemma, \(0\le r<b\).
यहाँ (b=25), इसलिए शेषफल 0 से 24 तक हो सकता है। / Here (b=25), so the remainder can be from 0 to 24.
शेषफलों की सूची में 0 शामिल करें और 25 शामिल न करें। / Include 0 in the list of remainders and do not include 25.
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Which is the correct list of all possible forms of a positive integer when divided by 13?
A. \(13q,13q+1,\ldots,13q+12\)
13 से भाग देने पर शेषफल 0 से 12 तक हो सकता है। / On division by 13, remainders can be from 0 to 12.
इसलिए सभी रूप (13q) से (13q+12) तक होंगे। / Therefore, all forms are from (13q) to (13q+12).
पूरी सूची में शून्य शेषफल शामिल करें, लेकिन 13 शामिल न करें। / Include zero remainder, but do not include 13.
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B. 1
(n) की जगह शेषफल 4 रखें। / Replace (n) by its remainder 4.
\(n^2+n+1\) का शेषफल \(4^2+4+1=21\) से मिलेगा। / The remainder of \(n^2+n+1\) comes from \(4^2+4+1=21\).
21 को 5 से भाग देने पर शेषफल 1 है। / Dividing 21 by 5 gives remainder 1.
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When an integer is divided by 7, what remainders can its square have?
A. केवल 0, 1, 2 और 4Only 0, 1, 2 and 4
7 से भाग देने पर शेषफल 0 से 6 तक हो सकते हैं। / On division by 7, remainders can be from 0 to 6.
इनके वर्गों के शेषफल क्रमशः 0, 1, 4, 2, 2, 4, 1 मिलते हैं। / Their square remainders are 0, 1, 4, 2, 2, 4, and 1.
इसलिए वर्ग का शेषफल केवल 0, 1, 2 या 4 हो सकता है। / So the square remainder can only be 0, 1, 2, or 4.
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Which statement is correct when an integer is divided by 18?
B. शेषफल 0 से 17 तक हो सकता हैThe remainder can be from 0 to 17
यूक्लिड प्रमेय में \(0\le r<b\) होता है। / In Euclid’s lemma, \(0\le r<b\).
यहाँ (b=18), इसलिए शेषफल 0 से 17 तक हो सकता है। / Here (b=18), so the remainder can be from 0 to 17.
शेषफल की सूची में 0 शामिल करें और भाजक को शामिल न करें। / Include 0 in the list of remainders and do not include the divisor.
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Which is the correct list of all possible forms of a positive integer when divided by 11?
A. \(11q,11q+1,\ldots,11q+10\)
11 से भाग देने पर शेषफल 0 से 10 तक हो सकता है। / On division by 11, remainders can be from 0 to 10.
इसलिए सभी रूप (11q) से (11q+10) तक होंगे। / Therefore, all forms are from (11q) to (11q+10).
पूरी सूची में शेषफल 0 शामिल करें, लेकिन 11 शामिल न करें। / Include remainder 0, but do not include 11.
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A. 1
(n) की जगह शेषफल 3 रखें। / Replace (n) by its remainder 3.
\(n^2+n+1\) का शेषफल \(3^2+3+1=13\) से मिलेगा, और 13 का 4 से शेषफल 1 है। / The remainder of \(n^2+n+1\) comes from \(3^2+3+1=13\), and 13 leaves remainder 1 when divided by 4.
बहुपद जैसे व्यंजकों में शेषफल रखने से हल सीधा हो जाता है। / In polynomial-like expressions, substituting the remainder makes the solution direct.
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