100 results found for "mutual-divisibility" in Class 10.
बाल्कन में राष्ट्रवादी दावों के बीच आपसी विरोध का मुख्य कारण क्या था?
What was the main reason for mutual conflict among nationalist claims in the Balkans?
#competing claims
#balkan question
#identity
A एक ही क्षेत्र पर कई समुदायों के ऐतिहासिक और जातीय दावे / Historical and ethnic claims of many communities over the same area
B सभी समुदायों का एक ही राजा स्वीकार करना / All communities accepting one king
C सभी सीमाओं का स्पष्ट और निर्विवाद होना / All borders being clear and undisputed
D विदेशी शक्तियों की पूर्ण निष्क्रियता / Complete inactivity of foreign powers
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Correct Answer
A. एक ही क्षेत्र पर कई समुदायों के ऐतिहासिक और जातीय दावे / Historical and ethnic claims of many communities over the same area
Step 1
Concept
कई समुदाय एक ही भूमि को अपनी पहचान से जोड़ते थे। / Many communities linked the same land with their identity.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए अलग अलग दावे एक दूसरे से टकराते थे। / Therefore different claims clashed with each other.
Step 3
Exam Tip
यही कारण बाल्कन प्रश्न को कठिन बनाता था। / This made the Balkan question difficult.
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किस विकल्प में \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (b) की विभाज्यता का सही आधार दिया गया है?
Which option gives the correct basis for divisibility of (b) in the proof for \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#b-divisibility
#proof-step
A (a=5k) रखने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b\) / Putting (a=5k) gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b\)
B (a=5k) रखने पर (b=5) / Putting (a=5k) gives (b=5)
C (a=5k) रखने पर (b=a) / Putting (a=5k) gives (b=a)
D (a=5k) रखने पर (b=0) / Putting (a=5k) gives (b=0)
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Correct Answer
A. (a=5k) रखने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b\) / Putting (a=5k) gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b\)
Step 1
Concept
(a=5k) को \(a^2=5b^2\) में रखने से \(25k^2=5b^2\) मिलता है। / Substituting (a=5k) in \(a^2=5b^2\) gives \(25k^2=5b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
सरल करने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b^2\) और \(5\mid b\)। / Simplifying gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b^2\) and \(5\mid b\).
Step 3
Exam Tip
यह अंतिम साझा गुणनखंड दिखाता है। / This shows the final common factor.
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(50) और (250) के बीच उन संख्याओं का योग कितना है जो (4) से विभाज्य हैं लेकिन (8) से विभाज्य नहीं हैं?
What is the sum of numbers between (50) and (250) that are divisible by (4) but not divisible by (8)?
#ap
#conditional-divisibility
#expert
A (3600)
B (3700)
C (3800)
D (3900)
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Explanation
Simple Explanation
संख्याएँ \(52,60,\ldots,244\) हैं और कुल (25) पद हैं। परीक्षा में शर्त को सही समान्तर श्रेणी में बदलें। / The numbers are \(52,60,\ldots,244\), and there are (25) terms. Exam tip: convert the condition into the correct AP.
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चार अंकों वाली उन सभी संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जो (37) से विभाज्य हैं।
Find the sum of all four-digit numbers divisible by (37).
#four digit numbers
#divisibility
#ap sum
A (1339659)
B (1338659)
C (1340659)
D (1341659)
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Correct Answer
A. (1339659)
Explanation
Simple Explanation
पहली संख्या (1036), अंतिम (9990) और कुल (243) पद हैं, इसलिए योग (1339659) है। पहला और अंतिम गुणज सावधानी से चुनें। / The first number is (1036), the last is (9990), and there are (243) terms, so the sum is (1339659). Choose the first and last multiples carefully.
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तीन अंकों वाली उन सभी संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जो (19) से विभाज्य हैं।
Find the sum of all three-digit numbers divisible by (19).
#three digit numbers
#divisibility
#ap sum
A (25897)
B (26032)
C (25764)
D (26166)
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Correct Answer
A. (25897)
Explanation
Simple Explanation
पहली संख्या (114), अंतिम (988) और कुल (47) पद हैं, इसलिए योग (25897) है। विभाज्यता वाले प्रश्नों में पहला और अंतिम मान सावधानी से चुनें। / The first number is (114), the last is (988), and there are (47) terms, so the sum is (25897). In divisibility questions, choose the first and last values carefully.
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(150) से (750) तक (17) से विभाज्य सभी संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
Find the sum of all numbers divisible by (17) from (150) to (750).
#multiples
#ap sum
#divisibility
A (16110)
B (16218)
C (16326)
D (16434)
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Correct Answer
B. (16218)
Explanation
Simple Explanation
संख्याएँ \(153,170,\ldots,748\) हैं और उनका योग (16218) है। सीमा के अंदर पहला और अंतिम गुणज सही चुनें। / The numbers are \(153,170,\ldots,748\), and their sum is (16218). Choose the first and last multiples within the limits correctly.
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तीन अंकों वाली उन सभी संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जो (17) से विभाज्य हैं।
Find the sum of all three-digit numbers divisible by (17).
#three digit numbers
#divisibility
#ap sum
A (28660)
B (28832)
C (28968)
D (29104)
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Correct Answer
B. (28832)
Explanation
Simple Explanation
पहली संख्या (102), अंतिम (986) और कुल (53) पद हैं, इसलिए योग (28832) है। विभाज्यता वाले प्रश्नों में पहला और अंतिम मान सावधानी से चुनें। / The first number is (102), the last is (986), and there are (53) terms, so the sum is (28832). In divisibility questions, choose the first and last values carefully.
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(200) से (800) तक (14) से विभाज्य सभी संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
Find the sum of all numbers divisible by (14) from (200) to (800).
#multiples
#ap sum
#divisibility
A (21462)
B (21588)
C (21630)
D (21672)
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Correct Answer
D. (21672)
Explanation
Simple Explanation
संख्याएँ \(210,224,\ldots,798\) हैं और उनका योग (21672) है। सीमा के अंदर पहला और अंतिम गुणज सही चुनें। / The numbers are \(210,224,\ldots,798\), and their sum is (21672). Choose the first and last multiples within the limits correctly.
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तीन अंकों वाली उन सभी संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जो (13) से विभाज्य हैं।
Find the sum of all three-digit numbers that are divisible by (13).
#three digit numbers
#divisibility
#ap
A (37440)
B (37674)
C (37830)
D (37596)
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Correct Answer
B. (37674)
Explanation
Simple Explanation
पहली संख्या (104), अंतिम (988) और कुल (69) पद हैं, इसलिए योग (37674) है। विभाज्यता वाले प्रश्नों में पहला और अंतिम मान सावधानी से चुनें। / The first number is (104), the last is (988), and there are (69) terms, so the sum is (37674). In divisibility questions, choose the first and last values carefully.
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(100) से (200) के बीच (5) से विभाज्य सभी संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
Find the sum of all numbers divisible by (5) between (100) and (200).
#divisibility
#between numbers
#ap sum
A (3150)
B (3200)
C (3250)
D (3300)
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Explanation
Simple Explanation
संख्याएँ \(105,110,\ldots,195\) हैं और (19) पदों का योग (2850) है। बीच का अर्थ अक्सर सिरों को शामिल नहीं करता। / The numbers are \(105,110,\ldots,195\), and the sum of (19) terms is (2850). The word between often excludes endpoints.
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(3) अंकों वाली उन संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जो (9) से विभाज्य हैं।
Find the sum of all (3)-digit numbers that are divisible by (9).
#three digit numbers
#divisibility
#ap sum
A (60984)
B (61020)
C (61110)
D (61200)
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Correct Answer
A. (60984)
Explanation
Simple Explanation
श्रेढ़ी \(108,117,\ldots,999\) है जिसमें (100) पद हैं, इसलिए योग (55350) नहीं बल्कि (55350) होगा। अंतिम पद और पदों की संख्या सावधानी से निकालें। / The AP is \(108,117,\ldots,999\) with (100) terms, so the sum is (55350), not (60984). Find the last term and number of terms carefully.
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दो अंकों की (4) से विभाज्य सभी धनात्मक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
Find the sum of all two-digit positive numbers divisible by (4).
#two_digit_numbers
#divisibility
#ap_sum
A (1158)
B (1168)
C (1178)
D (1188)
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Explanation
Simple Explanation
संख्याएँ \(12,16,\ldots,96\) हैं और (22) पद हैं, इसलिए योग (1188) है। दो अंकों की सीमा ध्यान से लगाएँ। / The numbers are \(12,16,\ldots,96\), and there are (22) terms, so the sum is (1188). Apply the two-digit limit carefully.
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(200) और (500) के बीच (16) से विभाज्य संख्याओं का योग कितना होगा?
What will be the sum of the numbers divisible by (16) between (200) and (500)?
#divisibility
#ap_sum
#range
A (6668)
B (6688)
C (6708)
D (6728)
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Explanation
Simple Explanation
संख्याएँ \(208,224,\ldots,496\) हैं और (19) पद हैं, इसलिए योग (6688) है। पदों की संख्या निकालना न भूलें। / The numbers are \(208,224,\ldots,496\), and there are (19) terms, so the sum is (6688). Do not forget to find the number of terms.
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(50) और (250) के बीच (15) से विभाज्य संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
Find the sum of the numbers divisible by (15) between (50) and (250).
#divisibility
#range
#ap_sum
A (1920)
B (1930)
C (1940)
D (1950)
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Explanation
Simple Explanation
संख्याएँ \(60,75,\ldots,240\) हैं और (13) पद हैं, इसलिए योग (1950) है। सीमा को देखकर सही श्रेणी बनाएँ। / The numbers are \(60,75,\ldots,240\), and there are (13) terms, so the sum is (1950). Make the correct sequence by checking the limits.
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(100) और (350) के बीच (14) से विभाज्य संख्याओं का योग कितना है?
What is the sum of the numbers divisible by (14) between (100) and (350)?
#divisibility
#ap_sum
#range
A (3808)
B (3818)
C (3828)
D (3838)
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Explanation
Simple Explanation
संख्याएँ \(112,126,\ldots,336\) हैं और (17) पद हैं, इसलिए योग (3808) है। पहले और अंतिम उपयुक्त गुणज ढूँढ़ें। / The numbers are \(112,126,\ldots,336\), and there are (17) terms, so the sum is (3808). Find the first and last suitable multiples.
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(120) और (300) के बीच (9) से विभाज्य संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
Find the sum of the numbers divisible by (9) between (120) and (300).
#divisibility
#range
#ap_sum
A (4210)
B (4220)
C (4230)
D (4240)
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Explanation
Simple Explanation
संख्याएँ \(126,135,\ldots,297\) हैं और (20) पद हैं, इसलिए योग (4230) है। सीमा वाले प्रश्न में पहला और अंतिम पद सावधानी से चुनें। / The numbers are \(126,135,\ldots,297\), and there are (20) terms, so the sum is (4230). In boundary questions, choose the first and last terms carefully.
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(200) और (400) के बीच (12) से विभाज्य संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
Find the sum of the numbers divisible by (12) between (200) and (400).
#divisibility
#range
#ap_sum
A (5000)
B (5100)
C (5200)
D (5300)
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Explanation
Simple Explanation
संख्याएँ \(204,216,\ldots,396\) हैं और (17) पद हैं, इसलिए योग (5100) है। सीमा में पहला और अंतिम पद सावधानी से चुनें। / The numbers are \(204,216,\ldots,396\), and there are (17) terms, so the sum is (5100). Choose the first and last terms carefully in boundary questions.
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(100) से (250) के बीच (8) से विभाज्य संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
Find the sum of the numbers divisible by (8) between (100) and (250).
#divisibility
#range
#ap_sum
A (3192)
B (3292)
C (3392)
D (3492)
Explanation opens after your attempt
Explanation
Simple Explanation
संख्याएँ \(104,112,\ldots,248\) हैं और (19) पद हैं, इसलिए योग (3192) है। सीमा वाले प्रश्न में पहला और अंतिम पद सावधानी से चुनें। / The numbers are \(104,112,\ldots,248\), and there are (19) terms, so the sum is (3192). In boundary questions, choose the first and last terms carefully.
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(50) और (150) के बीच (7) से विभाज्य संख्याओं का योग कितना है?
What is the sum of the numbers divisible by (7) between (50) and (150)?
#divisibility
#ap_sum
#range
A (1372)
B (1407)
C (1442)
D (1477)
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Explanation
Simple Explanation
संख्याएँ \(56,63,\ldots,147\) हैं और (14) पद हैं, इसलिए योग (1407) है। बीच की सीमा में पहला और अंतिम पद सावधानी से चुनें। / The numbers are \(56,63,\ldots,147\), with (14) terms, so the sum is (1407). For numbers between limits, choose the first and last terms carefully.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(a^2=5b^2\) से (a=5k) लिखने के लिए बीच का सही निष्कर्ष कौन-सा है?
In the proof for \(\sqrt{5}\), what is the correct intermediate conclusion needed to write (a=5k) from \(a^2=5b^2\)?
#real-numbers
#root5
#intermediate-step
#divisibility
A (a=b)
B \(5\mid a\)
C (b=5)
D (a=25)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. \(5\mid a\)
Step 1
Concept
\(a^2=5b^2\) से \(5\mid a^2\) मिलता है। / From \(a^2=5b^2\), we get \(5\mid a^2\).
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य होने से \(5\mid a\) निष्कर्ष मिलता है। / Since (5) is prime, \(5\mid a\).
Step 3
Exam Tip
फिर (a=5k) लिखा जा सकता है। / Then (a=5k) can be written.
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यदि \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(p^2=3q^2\) है, तो \(p^2\) के (3) से विभाज्य होने का सरल कारण क्या है?
If \(p^2=3q^2\) in the proof for \(\sqrt{3}\), what is the simple reason that \(p^2\) is divisible by (3)?
#real-numbers
#root3
#equation-analysis
#divisibility
A क्योंकि (q=3) है / Because (q=3)
B क्योंकि (p=q) है / Because (p=q)
C क्योंकि दायाँ पक्ष (3) का गुणज है / Because the right side is a multiple of (3)
D क्योंकि (3) सम है / Because (3) is even
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Correct Answer
C. क्योंकि दायाँ पक्ष (3) का गुणज है / Because the right side is a multiple of (3)
Step 1
Concept
\(3q^2\) में (3) स्पष्ट गुणनखंड है। / In \(3q^2\), (3) is clearly a factor.
Step 2
Why this answer is correct
\(p^2\) उसी के बराबर है, इसलिए \(p^2\) भी (3) का गुणज है। / Since \(p^2\) equals it, \(p^2\) is also a multiple of (3).
Step 3
Exam Tip
इसके बाद अभाज्य नियम से \(3\mid p\) लिखें। / Then use the prime rule to write \(3\mid p\).
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यदि \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानने पर \(a^2=5b^2\) मिला, तो \(a^2\) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
If assuming \(\sqrt{5}\) rational gives \(a^2=5b^2\), which statement about \(a^2\) is correct?
#real-numbers
#root5
#equation-analysis
#divisibility
A \(a^2\) (5) से विभाज्य है / \(a^2\) is divisible by (5)
B \(a^2\) (2) से अवश्य विभाज्य है / \(a^2\) is necessarily divisible by (2)
C \(a^2=0\) है / \(a^2=0\)
D \(a^2=b^2\) है / \(a^2=b^2\)
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Correct Answer
A. \(a^2\) (5) से विभाज्य है / \(a^2\) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(a^2=5b^2\) में दायाँ पक्ष (5) का गुणज है। / In \(a^2=5b^2\), the right side is a multiple of (5).
Step 2
Why this answer is correct
बराबरी के कारण \(a^2\) भी (5) से विभाज्य होगा। / Since both sides are equal, \(a^2\) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
फिर अभाज्य नियम से \(5\mid a\) मिलता है। / Then the prime rule gives \(5\mid a\).
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यदि \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p\) मिला, तो (p=3k) लिखते समय (k) के बारे में क्या सही है?
If \(3\mid p\) is obtained from \(p^2=3q^2\), what is correct about (k) when writing (p=3k)?
#real-numbers
#root3
#helper-variable
#divisibility
A (k) कोई पूर्णांक है / (k) is some integer
B (k=q) अवश्य है / (k=q) necessarily
C (k=0) ही है / (k=0) only
D (k) अपरिमेय है / (k) is irrational
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (k) कोई पूर्णांक है / (k) is some integer
Step 1
Concept
\(3\mid p\) का अर्थ है कि (p) (3) का गुणज है। / \(3\mid p\) means (p) is a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (p=3k) लिखा जाता है, जहाँ (k) कोई पूर्णांक है। / Therefore (p=3k), where (k) is some integer.
Step 3
Exam Tip
(k) को बिना कारण (q) के बराबर न मानें। / Do not assume (k=q) without reason.
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यदि (r) एक अभाज्य संख्या है और \(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में माना जाए, तो \(p^2=rq^2\) से कौन-सा पहला सामान्य निष्कर्ष निकलेगा?
If (r) is a prime number and \(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\) is assumed in lowest form, what is the first general conclusion from \(p^2=rq^2\)?
#real-numbers
#general-proof
#prime-root
#divisibility
A (q=0)
B \(r\mid p\)
C (p=q)
D \(r\mid q\) तुरंत / \(r\mid q\) immediately
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. \(r\mid p\)
Step 1
Concept
\(p^2=rq^2\) से \(r\mid p^2\) मिलता है। / From \(p^2=rq^2\), we get \(r\mid p^2\).
Step 2
Why this answer is correct
(r) अभाज्य है, इसलिए \(r\mid p\) होगा। / Since (r) is prime, \(r\mid p\).
Step 3
Exam Tip
इसके बाद (p=rk) रखकर \(r\mid q\) दिखाया जाता है। / After this, put (p=rk) to show \(r\mid q\).
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यदि \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता में (p=3r) सिद्ध हो चुका है, तो आगे (q) पर निष्कर्ष निकालने के लिए कौन-सा कदम सही है?
If (p=3r) has been proved in the irrationality proof of \(\sqrt{3}\), which step is correct to conclude about (q)?
#real-numbers
#root3
#substitution
#q-divisibility
A (p=3r) को \(p^2=3q^2\) में रखकर \(q^2=3r^2\) पाना / Substitute (p=3r) in \(p^2=3q^2\) to get \(q^2=3r^2\)
B सीधे (q=p) लिखना / Directly write (q=p)
C सीधे (q=0) लिखना / Directly write (q=0)
D (3) को (2) से बदल देना / Replace (3) by (2)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p=3r) को \(p^2=3q^2\) में रखकर \(q^2=3r^2\) पाना / Substitute (p=3r) in \(p^2=3q^2\) to get \(q^2=3r^2\)
Step 1
Concept
(p=3r) को मूल समीकरण में रखना होगा। / Substitute (p=3r) in the original equation.
Step 2
Why this answer is correct
\(9r^2=3q^2\) से \(q^2=3r^2\) मिलता है, इसलिए \(3\mid q\)। / From \(9r^2=3q^2\), we get \(q^2=3r^2\), so \(3\mid q\).
Step 3
Exam Tip
बिना प्रतिस्थापन किए (q) पर निष्कर्ष न लिखें। / Do not conclude about (q) without substitution.
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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता में \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) लिखते समय कौन-सा तर्क सबसे मजबूत माना जाएगा?
In the irrationality proof of \(\sqrt{3}\), which reasoning is strongest while writing \(3\mid p\) from \(3\mid p^2\)?
#real-numbers
#root3
#prime-divisibility
#proof-detail
A क्योंकि (3) विषम है / Because (3) is odd
B क्योंकि (3) अभाज्य है और वर्ग में आया अभाज्य गुणनखंड आधार में भी आता है / Because (3) is prime and a prime factor in a square also appears in the base
C क्योंकि (p) हमेशा (3) होता है / Because (p) is always (3)
D क्योंकि (q) शून्य है / Because (q) is zero
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Correct Answer
B. क्योंकि (3) अभाज्य है और वर्ग में आया अभाज्य गुणनखंड आधार में भी आता है / Because (3) is prime and a prime factor in a square also appears in the base
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p\) निष्कर्ष सही है। / Since (3) is prime, \(3\mid p\) is a valid conclusion.
Step 3
Exam Tip
केवल विषम कहना पर्याप्त नहीं, अभाज्य होने का कारण लिखें। / Do not say only odd; mention primality for a complete proof.
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यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है, तो प्रमाण में (p) और (q) दोनों पर (3) की विभाज्यता दिखाने का मुख्य उद्देश्य क्या है?
If assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) gives \(p^2=3q^2\), what is the main purpose of showing divisibility by (3) for both (p) and (q) in the proof?
#real-numbers
#root3
#coprime
#contradiction
#expert
A सरलतम भिन्न की सहअभाज्यता से विरोधाभास दिखाना / To show a contradiction with coprimality of the lowest-form fraction
B यह सिद्ध करना कि (p=q) है / To prove that (p=q)
C यह सिद्ध करना कि \(\sqrt{3}\) पूर्णांक है / To prove that \(\sqrt{3}\) is an integer
D यह दिखाना कि (q=0) है / To show that (q=0)
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Correct Answer
A. सरलतम भिन्न की सहअभाज्यता से विरोधाभास दिखाना / To show a contradiction with coprimality of the lowest-form fraction
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में लिया जाता है। / Assuming \(\sqrt{3}\) rational, \(\frac{p}{q}\) is taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण से \(3\mid p\) और \(3\mid q\) मिलता है, यानी दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। / The proof gives \(3\mid p\) and \(3\mid q\), so (3) is a common factor of both.
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न में साझा गुणनखंड नहीं हो सकता, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय सिद्ध होती है। / A lowest-form fraction cannot have a common factor, so \(\sqrt{3}\) is proved irrational.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (a=3k) रखने के बाद \(b^2=3k^2\) मिलने से क्या साफ होता है?
In the proof for \(\sqrt{3}\), after putting (a=3k), what becomes clear from \(b^2=3k^2\)?
#real-numbers
#root3
#b-square
#divisibility
A \(b^2\) (3) से विभाज्य है / \(b^2\) is divisible by (3)
B \(b^2\) (2) से विभाज्य है / \(b^2\) is divisible by (2)
C (b=1) है / (b=1)
D (a=b) है / (a=b)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(b^2\) (3) से विभाज्य है / \(b^2\) is divisible by (3)
Step 1
Concept
\(b^2=3k^2\) में दायाँ पक्ष (3) का गुणज है। / In \(b^2=3k^2\), the right side is a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(b^2\) भी (3) से विभाज्य है। / Therefore \(b^2\) is divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
फिर \(3\mid b\) लेकर विरोधाभास पूरा करें। / Then use \(3\mid b\) to complete the contradiction.
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यदि \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता में \(a^2=3b^2\) मिला, तो \(a^2\) को (3) का गुणज कहना क्यों सही है?
If \(a^2=3b^2\) is obtained in proving \(\sqrt{3}\) irrational, why is it correct to say \(a^2\) is a multiple of (3)?
#real-numbers
#root3
#equation-analysis
#divisibility
A क्योंकि दायाँ पक्ष (3) और \(b^2\) का गुणनफल है / Because the right side is the product of (3) and \(b^2\)
B क्योंकि (b=3) है / Because (b=3)
C क्योंकि (a=b) है / Because (a=b)
D क्योंकि (3) पूर्ण वर्ग है / Because (3) is a perfect square
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि दायाँ पक्ष (3) और \(b^2\) का गुणनफल है / Because the right side is the product of (3) and \(b^2\)
Step 1
Concept
\(3b^2\) में (3) स्पष्ट गुणनखंड है। / In \(3b^2\), (3) is clearly a factor.
Step 2
Why this answer is correct
\(a^2\) इसी के बराबर है, इसलिए \(a^2\) भी (3) का गुणज है। / Since \(a^2\) equals this, \(a^2\) is also a multiple of (3).
Step 3
Exam Tip
फिर अभाज्य नियम से (a) की विभाज्यता मिलती है। / Then the prime rule gives divisibility of (a).
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किस विकल्प में \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (q) पर पहुँचने की सही दलील है?
Which option gives the correct reasoning to reach (q) in the proof for \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#q-divisibility
#proof
A (p=3k) रखने से \(q^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid q\) / Putting (p=3k) gives \(q^2=3k^2\), so \(3\mid q\)
B (p=3k) रखने से (q=3) / Putting (p=3k) gives (q=3)
C (p=3k) रखने से (q=p) / Putting (p=3k) gives (q=p)
D (p=3k) रखने से (q) सम है / Putting (p=3k) gives (q) even
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p=3k) रखने से \(q^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid q\) / Putting (p=3k) gives \(q^2=3k^2\), so \(3\mid q\)
Step 1
Concept
(p=3k) को \(p^2=3q^2\) में रखें। / Substitute (p=3k) in \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
सरल करने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है, जिससे \(3\mid q^2\) और \(3\mid q\) मिलता है। / Simplifying gives \(q^2=3k^2\), so \(3\mid q^2\) and \(3\mid q\).
Step 3
Exam Tip
यही दूसरा विभाज्यता कदम है। / This is the second divisibility step.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में कौन-सा कथन (5) के अभाज्य होने का सही उपयोग है?
Which statement correctly uses the primality of (5) in the proof for \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#prime-property
#divisibility
A यदि \(5\mid x^2\), तो \(5\mid x\) / If \(5\mid x^2\), then \(5\mid x\)
B यदि \(5\mid x\), तो (x=1) / If \(5\mid x\), then (x=1)
C यदि \(5\mid x^2\), तो (x=25) / If \(5\mid x^2\), then (x=25)
D यदि \(5\mid x\), तो (x) विषम नहीं है / If \(5\mid x\), then (x) is not odd
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यदि \(5\mid x^2\), तो \(5\mid x\) / If \(5\mid x^2\), then \(5\mid x\)
Step 1
Concept
(5) अभाज्य संख्या है। / (5) is a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
अभाज्य संख्या किसी वर्ग को भाग दे तो वह मूल संख्या को भी भाग देती है। / If a prime number divides a square, it also divides the original number.
Step 3
Exam Tip
इसी नियम से (x) और बाद में (y) की विभाज्यता मिलती है। / This rule gives the divisibility of (x) and later (y).
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(b^2=3m^2\) मिलने पर (b) के बारे में क्या निष्कर्ष सही है?
In the proof for \(\sqrt{3}\), after getting \(b^2=3m^2\), what conclusion about (b) is correct?
#real-numbers
#root3
#final-step
#divisibility
A (b) (3) से विभाज्य है / (b) is divisible by (3)
B (b) (2) से विभाज्य है / (b) is divisible by (2)
C (b=0) है / (b=0)
D (b) पूर्ण वर्ग है / (b) is a perfect square
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (b) (3) से विभाज्य है / (b) is divisible by (3)
Step 1
Concept
\(b^2=3m^2\) से \(3\mid b^2\) मिलता है। / From \(b^2=3m^2\), we get \(3\mid b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अभाज्य है, इसलिए \(3\mid b\) होगा। / Since (3) is prime, \(3\mid b\).
Step 3
Exam Tip
यह (a) और (b) दोनों में (3) साझा दिखाता है। / This shows (3) common to both (a) and (b).
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(3\mid a^2\) से \(3\mid a\) निष्कर्ष निकालना किस सिद्धांत पर आधारित है?
In the proof for \(\sqrt{3}\), the conclusion \(3\mid a\) from \(3\mid a^2\) is based on which principle?
#real-numbers
#root3
#prime-factor
#divisibility
A अभाज्य गुणनखंड का सिद्धांत / Principle of prime factor
B सम संख्या का सिद्धांत / Principle of even number
C दशमलव विस्तार का सिद्धांत / Principle of decimal expansion
D त्रिभुज का सिद्धांत / Principle of triangle
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. अभाज्य गुणनखंड का सिद्धांत / Principle of prime factor
Step 1
Concept
(3) एक अभाज्य संख्या है। / (3) is a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
यदि कोई अभाज्य संख्या किसी वर्ग को भाग देती है, तो वह मूल संख्या को भी भाग देती है। / If a prime number divides a square, it also divides the original number.
Step 3
Exam Tip
यही सिद्धांत \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में मुख्य भूमिका निभाता है। / This principle plays the main role in the proof for \(\sqrt{3}\).
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में कौन-सा कथन सही नहीं है?
Which statement is not correct in the proof for \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#error-analysis
#divisibility
A \(5\mid p^2\) से (p=5q) अवश्य होगा / From \(5\mid p^2\), necessarily (p=5q)
B \(5\mid p^2\) से \(5\mid p\) होगा / From \(5\mid p^2\), \(5\mid p\)
C (p=5k) लिखा जा सकता है / (p=5k) can be written
D अंत में \(5\mid q\) भी मिलेगा / Finally \(5\mid q\) will also be obtained
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(5\mid p^2\) से (p=5q) अवश्य होगा / From \(5\mid p^2\), necessarily (p=5q)
Step 1
Concept
\(5\mid p^2\) से केवल \(5\mid p\) मिलता है। / From \(5\mid p^2\), we only get \(5\mid p\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p=5k) लिखा जाता है, (p=5q) जरूरी नहीं। / This allows (p=5k), not necessarily (p=5q).
Step 3
Exam Tip
चर बदलते समय मन से संबंध न बना दें। / Do not create an unsupported relation between variables.
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यदि \(3\mid p\), तो (p) को किस रूप में लिखना उचित है?
If \(3\mid p\), in which form is it proper to write (p)?
#real-numbers
#divisibility
#root3
#multiple-form
A (p=3k), जहाँ (k) पूर्णांक है / (p=3k), where (k) is an integer
B (p=k+3), जहाँ (k) पूर्णांक है / (p=k+3), where (k) is an integer
C \(p=\frac{3}{k}\)
D \(p=3+k^2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p=3k), जहाँ (k) पूर्णांक है / (p=3k), where (k) is an integer
Step 1
Concept
\(3\mid p\) का अर्थ है कि (p) (3) का गुणज है। / \(3\mid p\) means (p) is a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (p=3k) लिखा जाता है, जहाँ (k) पूर्णांक है। / So we write (p=3k), where (k) is an integer.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता को गुणज के रूप में बदलना प्रमाण में मदद करता है। / Converting divisibility into a multiple form helps in the proof.
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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता में \(p^2=3q^2\) से \(p^2\) किस कारण (3) से विभाज्य है?
In the irrationality proof of \(\sqrt{3}\), why is \(p^2\) divisible by (3) from \(p^2=3q^2\)?
#real-numbers
#root3
#equation
#divisibility
A क्योंकि दाएँ पक्ष में (3) गुणक के रूप में है / Because (3) appears as a factor on the right side
B क्योंकि (q) हमेशा (3) है / Because (q) is always (3)
C क्योंकि (p) हमेशा (q) है / Because (p) is always (q)
D क्योंकि (3) सम है / Because (3) is even
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि दाएँ पक्ष में (3) गुणक के रूप में है / Because (3) appears as a factor on the right side
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) में दायाँ पक्ष (3) का गुणज है। / In \(p^2=3q^2\), the right side is a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
बराबरी के कारण \(p^2\) भी (3) का गुणज होगा। / Since both sides are equal, \(p^2\) is also a multiple of (3).
Step 3
Exam Tip
पहले वर्ग की विभाज्यता समझें, फिर मूल संख्या की। / Understand divisibility of the square first, then of the original number.
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किस विकल्प में \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (p=3r) लिखने का सही आधार है?
Which option gives the correct basis for writing (p=3r) in the proof for \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#proof-basis
#divisibility
A \(3\mid p\) सिद्ध हो चुका है / \(3\mid p\) has been proved
B (p) सम सिद्ध हो चुका है / (p) has been proved even
C (p=q) सिद्ध हो चुका है / (p=q) has been proved
D (q=3) सिद्ध हो चुका है / (q=3) has been proved
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(3\mid p\) सिद्ध हो चुका है / \(3\mid p\) has been proved
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\).
Step 2
Why this answer is correct
अभाज्य नियम से \(3\mid p\), इसलिए (p=3r) लिखा जा सकता है। / By the prime rule, \(3\mid p\), so (p=3r) can be written.
Step 3
Exam Tip
कोई रूप लिखने से पहले उसका कारण जरूर दें। / Give the reason before writing such a form.
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\(\sqrt{3}\) को \(\frac{p}{q}\) मानकर वर्ग करने पर \(p^2=3q^2\) मिला। इससे (p) के बारे में सही निष्कर्ष कौन-सा है?
After assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) and squaring, \(p^2=3q^2\) is obtained. What is the correct conclusion about (p)?
#real-numbers
#root3
#divisibility
#proof-step
A (p) (3) से विभाज्य है / (p) is divisible by (3)
B (p) (2) से विभाज्य है / (p) is divisible by (2)
C (p) शून्य है / (p) is zero
D (p) (q) के बराबर है / (p) equals (q)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) (3) से विभाज्य है / (p) is divisible by (3)
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p\) होगा। / Since (3) is prime, \(3\mid p\).
Step 3
Exam Tip
यहाँ समपन नहीं, बल्कि (3) से विभाज्यता मुख्य है। / Here divisibility by (3), not evenness, is the main point.
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यदि \(5\mid x^2\) है, तो \(5\mid x\) क्यों माना जाता है?
If \(5\mid x^2\), why is \(5\mid x\) concluded?
#real-numbers
#root5
#prime-factor
#divisibility
A क्योंकि (5) अभाज्य संख्या है / Because (5) is a prime number
B क्योंकि (5) सम संख्या है / Because (5) is an even number
C क्योंकि हर संख्या (5) से विभाज्य है / Because every number is divisible by (5)
D क्योंकि \(x^2=x\) होता है / Because \(x^2=x\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (5) अभाज्य संख्या है / Because (5) is a prime number
Step 1
Concept
किसी वर्ग में अभाज्य गुणनखंड आए तो वह मूल संख्या में भी होता है। / If a prime factor appears in a square, it appears in the original number too.
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य है, इसलिए \(5\mid x^2\) से \(5\mid x\) मिलता है। / Since (5) is prime, \(5\mid x^2\) implies \(5\mid x\).
Step 3
Exam Tip
यह नियम \(\sqrt{5}\) के प्रमाण का मुख्य आधार है। / This rule is the main base of the proof for \(\sqrt{5}\).
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यदि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में मानकर \(p^2=2q^2\) मिलता है, तो (p) के सम होने का सबसे सटीक कारण क्या है?
If \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) is assumed in lowest form and \(p^2=2q^2\) is obtained, what is the most precise reason that (p) is even?
#real-numbers
#irrationality
#root2
#prime-divisibility
A \(p^2\) (2) से विभाज्य है और (2) अभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (2) and (2) is prime
B (q) हमेशा सम होता है / (q) is always even
C हर वर्ग संख्या सम होती है / Every square number is even
D (p) और (q) बराबर हैं / (p) and (q) are equal
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(p^2\) (2) से विभाज्य है और (2) अभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (2) and (2) is prime
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) से \(2\mid p^2\) मिलता है। / From \(p^2=2q^2\), we get \(2\mid p^2\).
Step 2
Why this answer is correct
(2) अभाज्य है, इसलिए \(2\mid p\) होगा। / Since (2) is prime, \(2\mid p\).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रमाण में अभाज्य गुणनखंड का नियम साफ लिखना चाहिए। / In such proofs, state the prime-factor rule clearly.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(5\mid b^2\) से \(5\mid b\) क्यों निष्कर्षित किया जाता है?
Why is \(5\mid b\) concluded from \(5\mid b^2\) in the proof for \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#prime-divisibility
#proof-writing
#hard
A क्योंकि (5) अभाज्य संख्या है / Because (5) is a prime number
B क्योंकि (b) हमेशा (5) होता है / Because (b) is always (5)
C क्योंकि हर वर्ग संख्या (5) से विभाज्य होती है / Because every square number is divisible by (5)
D क्योंकि \(b^2=b\) होता है / Because \(b^2=b\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (5) अभाज्य संख्या है / Because (5) is a prime number
Step 1
Concept
अभाज्य संख्या का गुणनखंड यदि किसी वर्ग में है, तो मूल संख्या में भी होगा। / If a prime number is a factor of a square, it is also a factor of the original number.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(5\mid b^2\) से \(5\mid b\) मिलता है। / Therefore \(5\mid b^2\) gives \(5\mid b\).
Step 3
Exam Tip
इसे बिना कारण लिखने के बजाय अभाज्य होने का कारण जोड़ें। / Instead of writing it without reason, mention that (5) is prime.
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कौन-सा कथन \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (q) पर अंतिम निष्कर्ष देता है?
Which statement gives the final conclusion about (q) in the proof for \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#final-step
#divisibility
#hard
A \(q^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid q\) / \(q^2=3k^2\), so \(3\mid q\)
B \(q^2=3k^2\), इसलिए (q=1) / \(q^2=3k^2\), so (q=1)
C \(q^2=3k^2\), इसलिए (q) सम है / \(q^2=3k^2\), so (q) is even
D \(q^2=3k^2\), इसलिए (q) ऋणात्मक है / \(q^2=3k^2\), so (q) is negative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(q^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid q\) / \(q^2=3k^2\), so \(3\mid q\)
Step 1
Concept
\(q^2=3k^2\) बताता है कि \(q^2\) (3) से विभाज्य है। / \(q^2=3k^2\) shows that \(q^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य है। / Since (3) is prime, (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
यही (p) और (q) में साझा गुणनखंड दिखाता है। / This shows the common factor in (p) and (q).
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में कौन-सा गुण सीधे (2) के अभाज्य होने से जुड़ा है?
Which property in the proof of \(\sqrt{2}\) is directly connected with (2) being prime?
#real-numbers
#root2
#prime-property
#divisibility
#hard
A यदि \(2\mid p^2\), तो \(2\mid p\) / If \(2\mid p^2\), then \(2\mid p\)
B यदि \(2\mid p\), तो (p=1) / If \(2\mid p\), then (p=1)
C यदि \(p^2=2q^2\), तो (q=0) / If \(p^2=2q^2\), then (q=0)
D यदि (p) सम है, तो (p) अभाज्य है / If (p) is even, then (p) is prime
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यदि \(2\mid p^2\), तो \(2\mid p\) / If \(2\mid p^2\), then \(2\mid p\)
Step 1
Concept
(2) अभाज्य संख्या है। / (2) is a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
अभाज्य गुणनखंड यदि \(p^2\) को भाग देता है, तो वह (p) को भी भाग देता है। / If a prime factor divides \(p^2\), it must divide (p).
Step 3
Exam Tip
इस नियम को लिखना प्रमाण को तार्किक बनाता है। / Writing this rule makes the proof logical.
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यदि \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(p^2=3q^2\) है, तो (p) को किस रूप में लिखना सही होगा?
If \(p^2=3q^2\) in the proof for \(\sqrt{3}\), in what form should (p) be correctly written?
#real-numbers
#root3
#divisibility
#proof-step
#hard
A (p=3k)
B (p=2k)
C (p=k+3)
D \(p=\frac{k}{3}\)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(3\mid p\), और (p=3k) लिखा जा सकता है। / Therefore \(3\mid p\), so (p=3k) can be written.
Step 3
Exam Tip
किस अभाज्य से भाग जा रहा है, उसी के अनुसार रूप लिखें। / Write the form according to the prime divisor involved.
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यदि (r) अभाज्य है और \(r\mid x^2\), तो \(\sqrt{r}\) की अपरिमेयता सिद्ध करने में कौन-सा निष्कर्ष लिया जाता है?
If (r) is prime and \(r\mid x^2\), what conclusion is used in proving the irrationality of \(\sqrt{r}\)?
#real-numbers
#general-proof
#prime-divisibility
#irrationality
#hard
A \(r\mid x\)
B \(x\mid r\)
C \(r^2\mid x\)
D (x) अवश्य (1) है / (x) must be (1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(r\mid x\)
Step 1
Concept
अभाज्य गुणनखंड वर्ग में तभी आता है जब आधार में भी आता है। / A prime factor appears in a square only if it appears in the base.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(r\mid x^2\) से \(r\mid x\) लिया जाता है। / Therefore \(r\mid x^2\) implies \(r\mid x\).
Step 3
Exam Tip
यही सामान्य नियम (2,3,5) तीनों के प्रमाण में काम आता है। / This general rule works for the proofs of (2,3,5).
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यदि \(a^2\) (5) से विभाज्य है, तो (a) के बारे में कौन-सा निष्कर्ष \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में सही है?
If \(a^2\) is divisible by (5), what conclusion about (a) is correct in the proof for \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#prime-factor
#root5
#divisibility
#hard
A (a) (5) से विभाज्य है / (a) is divisible by (5)
B (a) (10) से विभाज्य है / (a) is divisible by (10)
C (a) अवश्य सम है / (a) must be even
D (a) अवश्य अभाज्य है / (a) must be prime
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (a) (5) से विभाज्य है / (a) is divisible by (5)
Step 1
Concept
(5) अभाज्य संख्या है। / (5) is a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(5\mid a^2\), तो \(5\mid a\) होगा, क्योंकि वर्ग में आने वाला अभाज्य गुणनखंड आधार में भी होता है। / If \(5\mid a^2\), then \(5\mid a\), because a prime factor in a square must occur in the base.
Step 3
Exam Tip
यही नियम \(\sqrt{5}\) के प्रमाण की रीढ़ है। / This rule is the backbone of the proof for \(\sqrt{5}\).
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यदि \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\) और (a,b) सहअभाज्य हैं, तो \(a^2=5b^2\) से पहले कौन-सा निष्कर्ष सही है?
If \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\) and (a,b) are coprime, what is the first correct conclusion from \(a^2=5b^2\)?
#real-numbers
#irrationality
#root5
#divisibility
#hard
A \(5\mid a^2\) इसलिए \(5\mid a\) / \(5\mid a^2\), so \(5\mid a\)
B \(5\mid b^2\) इसलिए \(5\mid a\) / \(5\mid b^2\), so \(5\mid a\)
C (a) और (b) दोनों विषम हैं / (a) and (b) are both odd
D (a) और (b) दोनों अभाज्य हैं / (a) and (b) are both prime
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(5\mid a^2\) इसलिए \(5\mid a\) / \(5\mid a^2\), so \(5\mid a\)
Step 1
Concept
समीकरण \(a^2=5b^2\) बताता है कि \(a^2\) (5) से विभाज्य है। / The equation \(a^2=5b^2\) shows that \(a^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य है, इसलिए (a) भी (5) से विभाज्य होगा। / Since (5) is prime, (a) must also be divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में जल्दबाजी न करें, पहले (a) पर निष्कर्ष लिखें फिर (b) पर। / In the proof, write the conclusion about (a) first and then move to (b).
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किस कथन का उपयोग \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में सबसे आवश्यक है?
Which statement is most essential in proving the irrationality of \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#irrationality
#root3
#prime-divisibility
#hard
A यदि (3) किसी अभाज्य (p) को भाग दे तो वह \(p^2\) को भी भाग देगा / If (3) divides a prime (p), it also divides \(p^2\)
B यदि (3) किसी \(p^2\) को भाग दे तो (3) (p) को भी भाग देगा / If (3) divides \(p^2\), then (3) divides (p)
C हर वर्ग संख्या (3) से विभाज्य होती है / Every square number is divisible by (3)
D हर विषम संख्या का वर्ग (3) से विभाज्य होता है / The square of every odd number is divisible by (3)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. यदि (3) किसी \(p^2\) को भाग दे तो (3) (p) को भी भाग देगा / If (3) divides \(p^2\), then (3) divides (p)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) gives \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) निष्कर्ष निकालना जरूरी है। / The key step is using \(3\mid p^2\Rightarrow 3\mid p\).
Step 3
Exam Tip
अभाज्य संख्या वाली इस बात को साफ लिखना अच्छे अंक दिलाता है। / Writing this prime-number property clearly helps in scoring well.
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यदि (r) अभाज्य है और \(r\mid x^2\), तो \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में इसका उपयोग कैसे होता है?
If (r) is prime and \(r\mid x^2\), how is it used in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\)?
#prime divisibility
#irrationality proof
#hard
#class 10
A \(r\mid x\) निष्कर्ष निकालने में / To conclude \(r\mid x\)
B \(x\mid r\) निष्कर्ष निकालने में / To conclude \(x\mid r\)
C \(x=r^2\) निष्कर्ष निकालने में / To conclude \(x=r^2\)
D (x=0) निष्कर्ष निकालने में / To conclude (x=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(r\mid x\) निष्कर्ष निकालने में / To conclude \(r\mid x\)
Step 1
Concept
अभाज्य संख्या किसी वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करती है। / If a prime divides a square, it also divides the original number.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{3}\) में यह (3) के लिए और \(\sqrt{5}\) में (5) के लिए उपयोग होता है। / In \(\sqrt{3}\), this is used for (3); in \(\sqrt{5}\), it is used for (5).
Step 3
Exam Tip
इससे अंश और हर दोनों में साझा गुणनखंड मिलता है। / This gives a common factor in numerator and denominator.
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में \(q^2=3k^2\) मिलने के बाद (q=3r) लिखने का आधार क्या है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), what is the basis for writing (q=3r) after getting \(q^2=3k^2\)?
#sqrt3 proof
#q divisibility
#hard
#class 10
A \(q^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है / \(q^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
B (q=3) पहले से है / (q=3) already
C (k=q) है / (k=q)
D (q) शून्य है / (q) is zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(q^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है / \(q^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
Step 1
Concept
\(q^2=3k^2\) से \(q^2\) (3) से विभाज्य है। / From \(q^2=3k^2\), \(q^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य होगा। / Since (3) is prime, (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
इसीलिए (q=3r) लिखा जाता है। / Therefore (q=3r) is written.
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\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) लिखा गया। \(p^2=3q^2\) से (p) के बारे में सही तर्क कौन सा है?
Assume \(\sqrt{3}\) is rational and write \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\). What is the correct reasoning about (p) from \(p^2=3q^2\)?
#sqrt3 proof
#prime divisibility
#hard
#class 10
A (p) (2) से विभाज्य है / (p) is divisible by (2)
B (p) (3) से विभाज्य है / (p) is divisible by (3)
C (p=q)
D (p=1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. (p) (3) से विभाज्य है / (p) is divisible by (3)
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य है। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (3) से विभाज्य होगा। / Since (3) is prime, (p) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
वर्ग से मूल संख्या पर जाने के लिए अभाज्य नियम लगाएं। / Use the prime rule to move from square to original number.
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में \(q^2=3k^2\) मिलने के बाद (q=3r) क्यों लिखा जा सकता है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), after getting \(q^2=3k^2\), why can (q=3r) be written?
#sqrt3 proof
#q divisibility
#hard
#class 10
A क्योंकि \(q^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है / Because \(q^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
B क्योंकि (q=3) है / Because (q=3)
C क्योंकि (k=q) है / Because (k=q)
D क्योंकि (q) शून्य है / Because (q) is zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि \(q^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है / Because \(q^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
Step 1
Concept
\(q^2=3k^2\) से \(q^2\) (3) से विभाज्य है। / From \(q^2=3k^2\), \(q^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अभाज्य होने से (q) भी (3) से विभाज्य होगा। / Since (3) is prime, (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (q=3r) लिखना सही है। / Therefore writing (q=3r) is correct.
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यदि (r) अभाज्य है और \(r\mid x^2\), तो \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) की सिद्धियों में इसका सही उपयोग क्या है?
If (r) is prime and \(r\mid x^2\), what is its correct use in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\)?
#prime divisibility
#irrationality proof
#hard
#class 10
A \(r\mid x\) निष्कर्ष निकालना / To conclude \(r\mid x\)
B \(x\mid r\) निष्कर्ष निकालना / To conclude \(x\mid r\)
C (x=r) निष्कर्ष निकालना / To conclude (x=r)
D (x=0) निष्कर्ष निकालना / To conclude (x=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(r\mid x\) निष्कर्ष निकालना / To conclude \(r\mid x\)
Step 1
Concept
अभाज्य संख्या यदि किसी वर्ग को विभाजित करती है, तो वह मूल संख्या को भी विभाजित करती है। / If a prime divides a square, it also divides the original number.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{3}\) में यह नियम (3) के लिए और \(\sqrt{5}\) में (5) के लिए लगता है। / In \(\sqrt{3}\), this rule is used for (3), and in \(\sqrt{5}\), for (5).
Step 3
Exam Tip
इसी से अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलता है। / This helps get a common factor in numerator and denominator.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(p^2=3q^2\) से (p=3k) लिखने का उचित आधार क्या है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), what is the proper basis for writing (p=3k) from \(p^2=3q^2\)?
#sqrt3 proof
#prime divisibility
#hard
#class 10
A \(p^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
B \(q^2\) (3) से विभाज्य है / \(q^2\) is divisible by (3)
C (p) और (q) बराबर हैं / (p) and (q) are equal
D \(\sqrt{3}\) धनात्मक है / \(\sqrt{3}\) is positive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(p^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य है। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अभाज्य संख्या है, इसलिए \(p^2\) के (3) से विभाज्य होने पर (p) भी (3) से विभाज्य होगा। / Since (3) is prime, if \(p^2\) is divisible by (3), then (p) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
तब (p=3k) लिखना सही है। / Then writing (p=3k) is valid.
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यदि (r) अभाज्य है और (r) किसी पूर्णांक (x) के वर्ग \(x^2\) को विभाजित करता है, तो सही निष्कर्ष कौन सा है?
If (r) is prime and divides the square \(x^2\) of an integer (x), what is the correct conclusion?
#prime divisibility
#proof rule
#class 10
A (r), (x) को भी विभाजित करता है / (r) also divides (x)
B (x), (r) को विभाजित करता है / (x) divides (r)
C \(x=r^2\)
D (r=x+1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (r), (x) को भी विभाजित करता है / (r) also divides (x)
Step 1
Concept
वर्ग में अभाज्य गुणनखंड जोड़े के रूप में आते हैं। / Prime factors in a square occur in pairs.
Step 2
Why this answer is correct
यदि अभाज्य संख्या \(x^2\) को विभाजित करे, तो वह (x) को भी विभाजित करती है। / If a prime divides \(x^2\), it also divides (x).
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में यह नियम जरूरी है। / This rule is essential in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\).
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (p=5k) रखने पर \(p^2=5q^2\) से \(q^2\) का कौन सा रूप मिलेगा?
In the proof of \(\sqrt{5}\), after putting (p=5k), what form of \(q^2\) follows from \(p^2=5q^2\)?
#sqrt5 proof
#substitution
#q divisibility
#class 10
A \(q^2=5k^2\)
B \(q^2=25k^2\)
C \(q^2=k^2\)
D \(q^2=10k^2\)
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Correct Answer
A. \(q^2=5k^2\)
Step 1
Concept
(p=5k) रखने पर \(p^2=25k^2\) होगा। / If (p=5k), then \(p^2=25k^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(25k^2=5q^2\) से \(q^2=5k^2\) मिलता है। / From \(25k^2=5q^2\), we get \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
इसी से (q) के (5) से विभाज्य होने का निष्कर्ष आता है। / This leads to the conclusion that (q) is divisible by (5).
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यदि \(\sqrt{5}=\frac{m}{n}\) और \(m^2=5n^2\) है, तो \(m^2\) के बारे में पहला सही निष्कर्ष क्या होगा?
If \(\sqrt{5}=\frac{m}{n}\) and \(m^2=5n^2\), what is the first correct conclusion about \(m^2\)?
#sqrt5 proof
#divisibility
#class 10
A \(m^2\) (2) से विभाज्य है / \(m^2\) is divisible by (2)
B \(m^2\) (3) से विभाज्य है / \(m^2\) is divisible by (3)
C \(m^2\) (5) से विभाज्य है / \(m^2\) is divisible by (5)
D \(m^2\) शून्य है / \(m^2\) is zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. \(m^2\) (5) से विभाज्य है / \(m^2\) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(m^2=5n^2\) में दाईं ओर (5) गुणनखंड है। / In \(m^2=5n^2\), the right side has factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(m^2\) (5) से विभाज्य है। / Therefore \(m^2\) is divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
पहले वर्ग की विभाज्यता लिखें, फिर (m) की विभाज्यता निकालें। / First write divisibility of the square, then conclude divisibility of (m).
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यदि \(\sqrt{3}\) की सिद्धि में \(q^2=3k^2\) मिल जाए, तो (q) के लिए सही निष्कर्ष कौन सा है?
If \(q^2=3k^2\) is obtained in the proof of \(\sqrt{3}\), what is the correct conclusion for (q)?
#sqrt3 proof
#q divisibility
#class 10
A (q) (3) से विभाज्य है / (q) is divisible by (3)
B (q) (2) से विभाज्य है / (q) is divisible by (2)
C (q=3)
D \(q=k^2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (q) (3) से विभाज्य है / (q) is divisible by (3)
Step 1
Concept
\(q^2=3k^2\) से \(q^2\) (3) से विभाज्य है। / From \(q^2=3k^2\), \(q^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य होगा। / Since (3) is prime, (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
यही (p) और (q) में साझा गुणनखंड दिखाता है। / This shows a common factor in (p) and (q).
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\(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में (5) के अभाज्य होने का उपयोग कहां होता है?
Where is the fact that (5) is prime used in the proof of irrationality of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#prime number
#divisibility
#class 10
A \(p^2\) (5) से विभाज्य होने पर (p) (5) से विभाज्य कहने में / In saying (p) is divisible by (5) when \(p^2\) is divisible by (5)
B (q=0) मानने में / In assuming (q=0)
C \(\sqrt{5}=5\) लिखने में / In writing \(\sqrt{5}=5\)
D (p=q) सिद्ध करने में / In proving (p=q)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(p^2\) (5) से विभाज्य होने पर (p) (5) से विभाज्य कहने में / In saying (p) is divisible by (5) when \(p^2\) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (5) से विभाज्य होगा। / Since (5) is prime, (p) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
अभाज्य संख्या वाला नियम प्रमाण की रीढ़ है। / The prime-number rule is the backbone of the proof.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (p=3k) रखने के बाद \(9k^2=3q^2\) मिला। इससे \(q^2\) का सही रूप कौन सा है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), after putting (p=3k), \(9k^2=3q^2\) is obtained. What is the correct form of \(q^2\)?
#sqrt3 proof
#simplification
#divisibility
#class 10
A \(q^2=3k^2\)
B \(q^2=9k^2\)
C \(q^2=k^2\)
D \(q^2=6k^2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(q^2=3k^2\)
Step 1
Concept
\(9k^2=3q^2\) के दोनों पक्षों को (3) से भाग दें। / Divide both sides of \(9k^2=3q^2\) by (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(3k^2=q^2\), अर्थात \(q^2=3k^2\) मिलेगा। / We get \(3k^2=q^2\), that is \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
इसी से (q) के (3) से विभाज्य होने का रास्ता बनता है। / This leads to (q) being divisible by (3).
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यदि \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में माना जाए और \(p^2=5q^2\) मिले, तो (p) को किस रूप में लिखना उचित है?
If \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) is assumed in lowest form and \(p^2=5q^2\) is obtained, in which form should (p) be written?
#sqrt5 proof
#divisibility
#proof step
#class 10
A (p=2k)
B (p=3k)
C (p=5k)
D (p=qk)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य है, इसलिए (p) (5) से विभाज्य है। / Since (5) is prime, (p) is divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता मिलने पर (p=5k) लिखें, जहां (k) पूर्णांक है। / After divisibility, write (p=5k), where (k) is an integer.
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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय \(p^2=3q^2\) मिला। यहां (p) के लिए सही कारण सहित निष्कर्ष कौन सा है?
While proving the irrationality of \(\sqrt{3}\), \(p^2=3q^2\) is obtained. Which conclusion about (p) with reason is correct?
#sqrt3 proof
#prime divisibility
#real numbers
#class 10
A (p) (2) से विभाज्य है क्योंकि \(p^2\) वर्ग है / (p) is divisible by (2) because \(p^2\) is a square
B (p) (3) से विभाज्य है क्योंकि \(p^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है / (p) is divisible by (3) because \(p^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
C (p=q) क्योंकि दोनों वर्ग हैं / (p=q) because both are squares
D (p) (5) से विभाज्य है क्योंकि (3) अभाज्य है / (p) is divisible by (5) because (3) is prime
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. (p) (3) से विभाज्य है क्योंकि \(p^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है / (p) is divisible by (3) because \(p^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य है। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (3) से विभाज्य होगा। / Since (3) is prime, (p) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
अभाज्य गुणनखंड वाले नियम को सही संख्या पर लगाएं। / Apply the prime factor rule to the correct number.
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में \(p^2=3q^2\) से (p) (3) से विभाज्य है। यह किस नियम पर आधारित है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), from \(p^2=3q^2\), (p) is divisible by (3). This is based on which rule?
#sqrt3 proof
#prime divisibility rule
#class 10
A यदि अभाज्य संख्या किसी वर्ग को विभाजित करे, तो वह मूल संख्या को भी विभाजित करती है / If a prime divides a square, it divides the original number
B यदि संख्या धनात्मक हो, तो वह पूर्ण वर्ग है / If a number is positive, it is a perfect square
C हर भिन्न परिमेय नहीं होती / Every fraction is not rational
D हर वर्गमूल पूर्णांक होता है / Every square root is an integer
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Correct Answer
A. यदि अभाज्य संख्या किसी वर्ग को विभाजित करे, तो वह मूल संख्या को भी विभाजित करती है / If a prime divides a square, it divides the original number
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य है। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अभाज्य है और अभाज्य विभाज्यता का नियम लागू होता है। / (3) is prime, so the prime divisibility rule applies.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (p) भी (3) से विभाज्य होगा। / Therefore (p) is also divisible by (3).
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कौन सा कथन \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (b) के बारे में अंतिम निष्कर्ष को सही बताता है?
Which statement correctly tells the final conclusion about (b) in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#b divisibility
#class 10
A (b) (3) से विभाज्य है / (b) is divisible by (3)
B (b) (2) से विभाज्य है / (b) is divisible by (2)
C (b=1) है / (b=1)
D (b) शून्य है / (b) is zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (b) (3) से विभाज्य है / (b) is divisible by (3)
Step 1
Concept
(a=3k) रखने के बाद \(b^2=3k^2\) मिलता है। / After substituting (a=3k), we get \(b^2=3k^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(b^2\) (3) से विभाज्य है। / Hence \(b^2\) is divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
अभाज्य नियम से (b) भी (3) से विभाज्य होगा। / By the prime rule, (b) is also divisible by (3).
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यदि (r) अभाज्य है और \(r\mid x^2\), तो अपरिमेयता के प्रमाणों में कौन सा नियम प्रयोग किया जाता है?
If (r) is prime and \(r\mid x^2\), which rule is used in irrationality proofs?
#prime divisibility
#proof rule
#class 10
A \(r\mid x\)
B \(x\mid r\)
C \(x=r^2\)
D (r=x+1)
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Correct Answer
A. \(r\mid x\)
Step 1
Concept
अभाज्य गुणनखंड वर्ग में जोड़े के रूप में आते हैं। / Prime factors in a square occur in pairs.
Step 2
Why this answer is correct
यदि अभाज्य (r), \(x^2\) को विभाजित करता है, तो (x) को भी विभाजित करेगा। / If prime (r) divides \(x^2\), then it also divides (x).
Step 3
Exam Tip
यही नियम \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में काम आता है। / This rule is used in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\).
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यदि \(\sqrt{5}=\frac{m}{n}\) मानकर वर्ग करने पर \(m^2=5n^2\) मिला, तो (m) के लिए सही अगला रूप कौन सा है?
If assuming \(\sqrt{5}=\frac{m}{n}\) and squaring gives \(m^2=5n^2\), what is the correct next form for (m)?
#sqrt5 proof
#prime divisibility
#class 10
A (m=2k)
B (m=3k)
C (m=5k)
D (m=n)
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Step 1
Concept
\(m^2=5n^2\) से \(m^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(m^2=5n^2\), \(m^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य है, इसलिए (m) भी (5) से विभाज्य होगा। / Since (5) is prime, (m) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (m=5k) लिखना सही अगला कदम है। / Therefore (m=5k) is the correct next step.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यदि \(q^2=5k^2\) मिल जाए, तो अगला सही निष्कर्ष कौन सा है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), if \(q^2=5k^2\) is obtained, what is the next correct conclusion?
#sqrt5 proof
#divisibility
#contradiction
#class 10
A (q) (5) से विभाज्य है / (q) is divisible by (5)
B (q) (2) से विभाज्य है / (q) is divisible by (2)
C (q=k) है / (q=k)
D (q) परिमेय नहीं है / (q) is not rational
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Correct Answer
A. (q) (5) से विभाज्य है / (q) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(q^2=5k^2\) से \(q^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(q^2=5k^2\), \(q^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (5) से विभाज्य होगा। / Since (5) is prime, (q) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
दोनों (p) और (q) में (5) आना सहअभाज्य शर्त से टकराता है। / Having (5) in both (p) and (q) contradicts the coprime condition.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यदि \(q^2=3k^2\) हो, तो (q) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), if \(q^2=3k^2\), what is the correct conclusion about (q)?
#sqrt3 proof
#prime divisibility
#class 10
A (q) (3) से विभाज्य है / (q) is divisible by (3)
B (q) (2) से विभाज्य है / (q) is divisible by (2)
C (q=3) है / (q=3)
D (q) शून्य है / (q) is zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (q) (3) से विभाज्य है / (q) is divisible by (3)
Step 1
Concept
\(q^2=3k^2\) से \(q^2\) (3) से विभाज्य है। / From \(q^2=3k^2\), \(q^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य होगा। / Since (3) is prime, (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
इसी से (p) और (q) में साझा गुणनखंड दिखता है। / This shows a common factor in (p) and (q).
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में \(p^2=5q^2\) के बाद (p) के लिए सही रूप कौन सा है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), after \(p^2=5q^2\), what is the correct form for (p)?
#sqrt5 proof
#divisibility form
#class 10
A (p=5k)
B (p=2k)
C (p=q)
D (p=k+1)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (p) भी (5) से विभाज्य है और (p=5k) लिखा जाता है। / So (p) is also divisible by (5) and is written as (p=5k).
Step 3
Exam Tip
संख्या के अनुसार सही गुणनखंड चुनें। / Choose the correct factor according to the number.
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यदि \(p^2\) (5) से विभाज्य है, तो (p) के बारे में कौन सा निष्कर्ष लिया जाता है?
If \(p^2\) is divisible by (5), what conclusion is taken about (p)?
#prime divisibility
#sqrt5
#class 10
A (p) (2) से विभाज्य है / (p) is divisible by (2)
B (p) (3) से विभाज्य है / (p) is divisible by (3)
C (p) (5) से विभाज्य है / (p) is divisible by (5)
D (p=1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. (p) (5) से विभाज्य है / (p) is divisible by (5)
Step 1
Concept
(5) अभाज्य संख्या है। / (5) is a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
यदि किसी पूर्णांक का वर्ग (5) से विभाज्य है, तो वह पूर्णांक भी (5) से विभाज्य होगा। / If the square of an integer is divisible by (5), then the integer is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
यह नियम \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में उपयोग होता है। / This rule is used in the proof of \(\sqrt{5}\).
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यदि \(p^2=3q^2\), तो \(p^2\) किससे विभाज्य है?
If \(p^2=3q^2\), by what is \(p^2\) divisible?
#sqrt3 proof
#divisibility
#class 10
A (2)
B (3)
C (5)
D (9) ही / Only (9)
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Step 1
Concept
समीकरण के दाईं ओर \(3q^2\) है। / The right side of the equation is \(3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(p^2\) में (3) गुणनखंड है और वह (3) से विभाज्य है। / So \(p^2\) has factor (3) and is divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में दाईं ओर का गुणनखंड पहचानें। / In such questions, identify the factor on the right side.
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यदि \(p^2\) (2) से विभाज्य है, तो (p) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
If \(p^2\) is divisible by (2), what is the correct conclusion about (p)?
#even square
#divisibility
#sqrt2
#class 10
A (p) (2) से विभाज्य है / (p) is divisible by (2)
B (p) (3) से विभाज्य है / (p) is divisible by (3)
C (p=1)
D (p) विषम है / (p) is odd
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Correct Answer
A. (p) (2) से विभाज्य है / (p) is divisible by (2)
Step 1
Concept
यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम है, तो वह पूर्णांक भी सम होता है। / If the square of an integer is even, the integer itself is even.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(p^2\) (2) से विभाज्य होने पर (p) भी (2) से विभाज्य होगा। / So if \(p^2\) is divisible by (2), then (p) is also divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में यही मुख्य नियम है। / This is the key rule in the proof of \(\sqrt{2}\).
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (a=3k) लिखने का आधार क्या है?
What is the basis for writing (a=3k) in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#divisibility form
#class 10
A (a) (3) से विभाज्य है / (a) is divisible by (3)
B (a) (2) से विभाज्य है / (a) is divisible by (2)
C (a=3) है / (a=3)
D (a) अपरिमेय है / (a) is irrational
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Correct Answer
A. (a) (3) से विभाज्य है / (a) is divisible by (3)
Step 1
Concept
\(a^2=3b^2\) से (a) (3) से विभाज्य मिलता है। / From \(a^2=3b^2\), (a) is found divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(3) से विभाज्य संख्या को (3k) के रूप में लिखा जाता है। / A number divisible by (3) is written as (3k).
Step 3
Exam Tip
यह रूप आगे (b) की विभाज्यता दिखाने में मदद करता है। / This form helps show divisibility of (b) later.
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यदि \(a^2=5b^2\), तो (a) को किस रूप में लिखा जा सकता है?
If \(a^2=5b^2\), in which form can (a) be written?
#sqrt5 proof
#divisibility
#class 10
A (a=5k), जहां (k) पूर्णांक है / (a=5k), where (k) is an integer
B (a=2k), जहां (k) पूर्णांक है / (a=2k), where (k) is an integer
C (a=k+5)
D \(a=\frac{1}{5k}\)
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Correct Answer
A. (a=5k), जहां (k) पूर्णांक है / (a=5k), where (k) is an integer
Step 1
Concept
\(a^2=5b^2\) से \(a^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(a^2=5b^2\), \(a^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (a) भी (5) से विभाज्य है और (a=5k) लिखा जा सकता है। / Therefore (a) is also divisible by (5), so (a=5k).
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता मिलने पर संख्या को उसी गुणनखंड के रूप में लिखें। / After divisibility, write the number using that factor.
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यदि \(a^2=3b^2\), तो \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (a) के बारे में क्या निष्कर्ष लिया जाता है?
If \(a^2=3b^2\), what conclusion about (a) is taken in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#prime divisibility
#class 10
A (a) (3) से विभाज्य है / (a) is divisible by (3)
B (a) (2) से विभाज्य है / (a) is divisible by (2)
C (a=1) है / (a=1)
D (a) शून्य है / (a) is zero
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Correct Answer
A. (a) (3) से विभाज्य है / (a) is divisible by (3)
Step 1
Concept
\(a^2=3b^2\) से \(a^2\) (3) से विभाज्य है। / From \(a^2=3b^2\), \(a^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अभाज्य है, इसलिए (a) भी (3) से विभाज्य होगा। / Since (3) is prime, (a) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
वर्ग से मूल संख्या पर आने वाला यह नियम याद रखें। / Remember this rule from square to original number.
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यदि \(a^2=2b^2\), तो \(a^2\) किस संख्या से निश्चित रूप से विभाज्य है?
If \(a^2=2b^2\), by which number is \(a^2\) definitely divisible?
#divisibility
#sqrt2 proof
#class 10
A (2)
B (3)
C (5)
D (7)
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Step 1
Concept
समीकरण में दाईं ओर \(2b^2\) है। / The right side of the equation is \(2b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(a^2\) में (2) गुणनखंड है और वह (2) से विभाज्य है। / So \(a^2\) has factor (2) and is divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
गुणनखंड देखकर विभाज्यता का निष्कर्ष लें। / Use the factor to decide divisibility.
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किस प्रमाण में (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं?
In which proof are both (p) and (q) found divisible by (5)?
#sqrt5 proof
#divisibility
#class 10
A \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में / In the proof of \(\sqrt{5}\)
B \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में / In the proof of \(\sqrt{2}\)
C \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में / In the proof of \(\sqrt{3}\)
D \(\sqrt{25}\) के प्रमाण में / In the proof of \(\sqrt{25}\)
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Correct Answer
A. \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में / In the proof of \(\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(p^2=5q^2\) मिलता है। / In the proof of \(\sqrt{5}\), we get \(p^2=5q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। / This proves both (p) and (q) are divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
साझा गुणनखंड (5) सहअभाज्य शर्त को तोड़ता है। / The common factor (5) breaks the coprime condition.
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किस प्रमाण में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं?
In which proof are both (p) and (q) found divisible by (3)?
#sqrt3 proof
#divisibility
#class 10
A \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में / In the proof of \(\sqrt{3}\)
B \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में / In the proof of \(\sqrt{2}\)
C \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में / In the proof of \(\sqrt{5}\)
D \(\sqrt{9}\) के प्रमाण में / In the proof of \(\sqrt{9}\)
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Correct Answer
A. \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में / In the proof of \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(p^2=3q^2\) मिलता है। / In the proof of \(\sqrt{3}\), we get \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। / This proves both (p) and (q) are divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
संख्या के नीचे जो अभाज्य है, वही साझा गुणनखंड बनता है। / The prime under the root becomes the common factor.
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यदि \(p^2\) (5) से विभाज्य है, तो (p) के बारे में क्या सही है?
If \(p^2\) is divisible by (5), what is true about (p)?
#prime divisibility
#sqrt5
#class 10
A (p) भी (5) से विभाज्य है / (p) is also divisible by (5)
B (p) (2) से विभाज्य है / (p) is divisible by (2)
C (p) (3) से विभाज्य है / (p) is divisible by (3)
D (p) (5) से विभाज्य नहीं है / (p) is not divisible by (5)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) भी (5) से विभाज्य है / (p) is also divisible by (5)
Step 1
Concept
(5) अभाज्य संख्या है। / (5) is a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
किसी पूर्णांक का वर्ग (5) से विभाज्य हो तो पूर्णांक भी (5) से विभाज्य होता है। / If the square of an integer is divisible by (5), then the integer is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
इसी नियम से प्रमाण आगे बढ़ता है। / This rule moves the proof forward.
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समीकरण \(p^2=5q^2\) से कौन सा निष्कर्ष निकलता है?
What conclusion follows from the equation \(p^2=5q^2\)?
#divisibility by 5
#sqrt5 proof
#class 10
A \(p^2\) (5) से विभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (5)
B \(p^2\) (3) से विभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (3)
C \(p^2\) (2) से विभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (2)
D \(p^2\) विषम नहीं है / \(p^2\) is not odd
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(p^2\) (5) से विभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) में दाईं ओर (5) गुणनखंड है। / In \(p^2=5q^2\), the right side has factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(p^2\) (5) से विभाज्य है। / Therefore \(p^2\) is divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में इसी से (p) के बारे में अगला निष्कर्ष लिया जाता है। / This gives the next conclusion about (p) in the proof.
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यदि (p) (3) से विभाज्य है, तो (p) को किस रूप में लिखा जा सकता है?
If (p) is divisible by (3), in which form can (p) be written?
#divisibility form
#sqrt3 proof
#class 10
A (p=3k), जहां (k) पूर्णांक है / (p=3k), where (k) is an integer
B (p=2k)
C (p=k+3)
D \(p=\frac{3}{k}\)
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Correct Answer
A. (p=3k), जहां (k) पूर्णांक है / (p=3k), where (k) is an integer
Step 1
Concept
(3) से विभाज्य संख्या में (3) गुणनखंड होता है। / A number divisible by (3) has (3) as a factor.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (p=3k) लिखा जा सकता है। / So it can be written as (p=3k).
Step 3
Exam Tip
ऐसे रूप में लिखने से अगले चरण में (q) के लिए भी वही बात मिलती है। / This form helps prove the same thing for (q) in the next step.
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यदि \(p^2\) (3) से विभाज्य है, तो (p) के बारे में क्या सही है?
If \(p^2\) is divisible by (3), what is true about (p)?
#prime divisibility
#sqrt3
#class 10
A (p) भी (3) से विभाज्य है / (p) is also divisible by (3)
B (p) (2) से विभाज्य है / (p) is divisible by (2)
C (p) (5) से विभाज्य है / (p) is divisible by (5)
D (p) (3) से विभाज्य नहीं है / (p) is not divisible by (3)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) भी (3) से विभाज्य है / (p) is also divisible by (3)
Step 1
Concept
(3) अभाज्य संख्या है। / (3) is a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
यदि किसी पूर्णांक का वर्ग (3) से विभाज्य है, तो वह पूर्णांक भी (3) से विभाज्य होगा। / If the square of an integer is divisible by (3), then the integer is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
यह नियम \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में मुख्य कदम है। / This rule is the main step in the proof of \(\sqrt{3}\).
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समीकरण \(p^2=3q^2\) से \(p^2\) के बारे में क्या पता चलता है?
From the equation \(p^2=3q^2\), what do we know about \(p^2\)?
#divisibility by 3
#sqrt3 proof
#class 10
A \(p^2\) (3) से विभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (3)
B \(p^2\) (2) से विभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (2)
C \(p^2\) (5) से विभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (5)
D \(p^2\) (7) से विभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (7)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(p^2\) (3) से विभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (3)
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) में दाईं ओर (3) गुणनखंड है। / In \(p^2=3q^2\), the right side has factor (3).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(p^2\) (3) से विभाज्य है। / So \(p^2\) is divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
जिस अभाज्य संख्या से वर्ग विभाज्य हो, मूल संख्या भी उससे विभाज्य होती है। / If a square is divisible by a prime, the original number is also divisible by that prime.
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कौन-सी सबसे छोटी संख्या (121), (144) और (250) से पूरी तरह विभाजित होगी?
What is the smallest number exactly divisible by (121), (144), and (250)?
#real-numbers
#lcm
#divisibility
A (217800)
B (1089000)
C (1452000)
D (2178000)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. (2178000)
Step 1
Concept
सबसे छोटी समान विभाज्य संख्या लघुत्तम समापवर्त्य होती है। / The smallest number exactly divisible by all is the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(121=11^2\), \(144=2^4\times3^2\), \(250=2\times5^3\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times3^2\times5^3\times11^2=2178000\) है। / \(121=11^2\), \(144=2^4\times3^2\), and \(250=2\times5^3\), so LCM \(=2^4\times3^2\times5^3\times11^2=2178000\).
Step 3
Exam Tip
बड़ी घातों का गुणन सावधानी से करें। / Multiply the highest powers carefully.
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कौन-सी सबसे छोटी संख्या (81), (96) और (125) से पूरी तरह विभाजित होगी?
What is the smallest number exactly divisible by (81), (96), and (125)?
#real-numbers
#lcm
#divisibility
A (81000)
B (108000)
C (162000)
D (324000)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (81000)
Step 1
Concept
सबसे छोटी समान विभाज्य संख्या लघुत्तम समापवर्त्य होती है। / The smallest number exactly divisible by all is the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(81=3^4\), \(96=2^5\times3\), \(125=5^3\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times3^4\times5^3=324000\) है। / \(81=3^4\), \(96=2^5\times3\), and \(125=5^3\), so LCM \(=2^5\times3^4\times5^3=324000\).
Step 3
Exam Tip
बड़ी घातों का गुणन सावधानी से करें। / Multiply the highest powers carefully.
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कौन-सी सबसे छोटी संख्या (64), (72) और (125) से पूरी तरह विभाजित होगी?
What is the smallest number exactly divisible by (64), (72), and (125)?
#real-numbers
#lcm
#divisibility
A (36000)
B (72000)
C (9000)
D (18000)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. (72000)
Step 1
Concept
सबसे छोटी समान विभाज्य संख्या लघुत्तम समापवर्त्य होती है। / The smallest number exactly divisible by all is the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(64=2^6\), \(72=2^3\times3^2\), \(125=5^3\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^6\times3^2\times5^3=72000\) है। / \(64=2^6\), \(72=2^3\times3^2\), and \(125=5^3\), so LCM \(=2^6\times3^2\times5^3=72000\).
Step 3
Exam Tip
बड़ी घातों को सही रखने से उत्तर सही आता है। / Keeping the highest powers correctly gives the right answer.
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कौन-सी सबसे छोटी संख्या (36), (100) और (150) से पूरी तरह विभाजित होगी?
Which is the smallest number exactly divisible by (36), (100), and (150)?
#real-numbers
#lcm
#divisibility
A (900)
B (1200)
C (1800)
D (3600)
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Step 1
Concept
ऐसी सबसे छोटी संख्या तीनों संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य होगी। / Such a smallest number is the LCM of the three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(36=2^2\times3^2\), \(100=2^2\times5^2\), \(150=2\times3\times5^2\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^2\times3^2\times5^2=900\) है। / \(36=2^2\times3^2\), \(100=2^2\times5^2\), and \(150=2\times3\times5^2\), so LCM \(=2^2\times3^2\times5^2=900\).
Step 3
Exam Tip
हर अभाज्य की सबसे बड़ी घात लें। / Take the highest power of each prime.
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कौन-सी सबसे छोटी संख्या (36), (100) और (150) से पूरी तरह विभाजित हो जाएगी?
What is the smallest number exactly divisible by (36), (100), and (150)?
#real-numbers
#lcm
#divisibility
A (900)
B (1800)
C (2700)
D (3600)
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Step 1
Concept
सबसे छोटी समान विभाज्य संख्या लघुत्तम समापवर्त्य होती है। / The smallest number divisible by all is the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(36=2^2\times3^2\), \(100=2^2\times5^2\), \(150=2\times3\times5^2\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^2\times3^2\times5^2=900\) है। / \(36=2^2\times3^2\), \(100=2^2\times5^2\), and \(150=2\times3\times5^2\), so LCM \(=2^2\times3^2\times5^2=900\).
Step 3
Exam Tip
विकल्प चुनने से पहले अंतिम गुणन अवश्य जाँचें। / Always verify the final multiplication before choosing an option.
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कौन-सी सबसे छोटी संख्या (54), (72) और (90) से पूरी तरह विभाजित हो जाती है?
What is the smallest number exactly divisible by (54), (72), and (90)?
#real-numbers
#lcm
#divisibility
A (540)
B (720)
C (900)
D (1080)
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Step 1
Concept
सबसे छोटी समान विभाज्य संख्या लघुत्तम समापवर्त्य होती है। / The smallest number exactly divisible by all given numbers is their LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(54=2\times3^3\), \(72=2^3\times3^2\), \(90=2\times3^2\times5\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^3\times3^3\times5=1080\) है। / \(54=2\times3^3\), \(72=2^3\times3^2\), and \(90=2\times3^2\times5\), so LCM \(=2^3\times3^3\times5=1080\).
Step 3
Exam Tip
बड़ी घातों को ध्यान से चुनें। / Choose the highest powers carefully.
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कौन-सी सबसे छोटी संख्या (25), (40) और (64) से पूरी तरह विभाजित हो जाएगी?
What is the smallest number exactly divisible by (25), (40), and (64)?
#real-numbers
#lcm
#divisibility
A (1600)
B (3200)
C (6400)
D (800)
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Step 1
Concept
सबसे छोटी समान विभाज्य संख्या लघुत्तम समापवर्त्य होती है। / The smallest number divisible by all is the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(25=5^2\), \(40=2^3\times5\), \(64=2^6\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^6\times5^2=1600\) है। / \(25=5^2\), \(40=2^3\times5\), and \(64=2^6\), so LCM \(=2^6\times5^2=1600\).
Step 3
Exam Tip
(64) के कारण \(2^6\) लेना न भूलें। / Do not miss \(2^6\) because of (64).
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कौन-सी सबसे छोटी संख्या (27), (45) और (63) से पूरी तरह विभाजित होगी?
What is the smallest number exactly divisible by (27), (45), and (63)?
#real-numbers
#lcm
#divisibility
A (945)
B (2835)
C (315)
D (567)
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Step 1
Concept
सबसे छोटी समान विभाज्य संख्या लघुत्तम समापवर्त्य होती है। / The smallest common divisible number is the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(27=3^3\), \(45=3^2\times5\), \(63=3^2\times7\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(3^3\times5\times7=945\) है। / \(27=3^3\), \(45=3^2\times5\), and \(63=3^2\times7\), so LCM \(=3^3\times5\times7=945\).
Step 3
Exam Tip
विकल्पों में गणना के बाद ही चुनें, क्योंकि बड़े विकल्प भ्रमित कर सकते हैं। / Calculate before choosing, because larger options can mislead.
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कौन-सी सबसे छोटी संख्या (32), (48) और (80) से पूरी तरह विभाजित हो जाती है?
What is the smallest number exactly divisible by (32), (48), and (80)?
#real-numbers
#lcm
#divisibility
A (240)
B (320)
C (480)
D (960)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
सबसे छोटी समान विभाज्य संख्या के लिए लघुत्तम समापवर्त्य निकालते हैं। / The smallest number divisible by all given numbers is their LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(32=2^5\), \(48=2^4\times3\), \(80=2^4\times5\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times3\times5=480\) है। / \(32=2^5\), \(48=2^4\times3\), and \(80=2^4\times5\), so LCM \(=2^5\times3\times5=480\).
Step 3
Exam Tip
हर अभाज्य की सबसे बड़ी घात लेना न भूलें। / Do not forget the highest power of each prime.
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निम्न में से किस संख्या को \(2^3\times3^2\times5\) और \(2^2\times3^4\times7\) दोनों से विभाजित किया जा सकता है?
Which of the following numbers is divisible by both \(2^3\times3^2\times5\) and \(2^2\times3^4\times7\)?
#real-numbers
#lcm
#divisibility-test
A \(2^3\times3^4\times5\times7\)
B \(2^2\times3^2\)
C \(2^3\times3^2\times7\)
D \(2^2\times3^4\times5\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(2^3\times3^4\times5\times7\)
Step 1
Concept
जो संख्या दोनों से विभाजित हो, वह उनके लघुत्तम समापवर्त्य की गुणज होनी चाहिए। / A number divisible by both must be a multiple of their LCM.
Step 2
Why this answer is correct
लघुत्तम समापवर्त्य में \(2^3\), \(3^4\), (5) और (7) आएँगे। / The LCM contains \(2^3\), \(3^4\), (5), and (7).
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता जाँचते समय हर अभाज्य की पर्याप्त घात होनी चाहिए। / For divisibility, every required prime power must be present.
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वह सबसे छोटी संख्या कौन-सी है जो (24), (36) और (54) से पूरी तरह विभाजित हो जाती है?
What is the smallest number exactly divisible by (24), (36), and (54)?
#real-numbers
#lcm
#divisibility
A (216)
B (324)
C (432)
D (648)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
ऐसी सबसे छोटी संख्या उन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य होती है। / The smallest number divisible by all given numbers is their LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(24=2^3\times3\), \(36=2^2\times3^2\), \(54=2\times3^3\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^3\times3^3=216\) है। / \(24=2^3\times3\), \(36=2^2\times3^2\), and \(54=2\times3^3\), so LCM \(=2^3\times3^3=216\).
Step 3
Exam Tip
सबसे छोटी विभाज्य संख्या के प्रश्न में लघुत्तम समापवर्त्य निकालें। / For the smallest exactly divisible number, find the LCM.
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किस सबसे छोटी संख्या में (45), (54) और (72) से भाग देने पर प्रत्येक बार शेषफल (0) आएगा?
What is the smallest number which leaves remainder (0) when divided by (45), (54), and (72)?
#lcm
#divisibility
#prime factorisation
A (540)
B (720)
C (1080)
D (1620)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
सबसे छोटी ऐसी संख्या इन तीनों का लघुत्तम समापवर्त्य होगी। / The smallest such number is the LCM of the three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(45=3^2\times 5\), \(54=2\times 3^3\), और \(72=2^3\times 3^2\)। लघुत्तम समापवर्त्य \(2^3\times 3^3\times 5=1080\) है। / \(45=3^2\times 5\), \(54=2\times 3^3\), and \(72=2^3\times 3^2\). The LCM is \(2^3\times 3^3\times 5=1080\).
Step 3
Exam Tip
शेषफल (0) का अर्थ है संख्या सभी से पूरी तरह विभाजित हो। / Remainder (0) means exact divisibility by all numbers.
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ऐसी सबसे छोटी संख्या कौन सी है जो (36), (48) और (60) से पूरी तरह विभाजित हो और (1000) से बड़ी हो?
What is the smallest number greater than (1000) that is exactly divisible by (36), (48), and (60)?
#lcm word problem
#divisibility
#prime factorisation
A (1080)
B (1200)
C (1440)
D (1800)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
पहले (36), (48), और (60) का लघुत्तम समापवर्त्य निकालें। / First find the LCM of (36), (48), and (60).
Step 2
Why this answer is correct
\(36=2^2\times 3^2\), \(48=2^4\times 3\), \(60=2^2\times 3\times 5\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times 3^2\times 5=720\) है। (1000) से बड़ा सबसे छोटा गुणज (1440) है। / \(36=2^2\times 3^2\), \(48=2^4\times 3\), \(60=2^2\times 3\times 5\), so the LCM is \(2^4\times 3^2\times 5=720\). The smallest multiple greater than (1000) is (1440).
Step 3
Exam Tip
पहले लघुत्तम समापवर्त्य, फिर सीमा के अनुसार उसका गुणज लें। / Find the LCM first, then choose its multiple according to the limit.
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यदि किसी संख्या का अभाज्य गुणनखंडन \(2^4 \times 3^3\) है, तो वह किससे अवश्य विभाज्य होगी?
If a number has prime factorisation \(2^4 \times 3^3\), by which number must it be divisible?
#real-numbers
#divisibility
#prime-factorisation
A 72
B 96
C 108
D 144
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
भाजक की अभाज्य घातें दी गई संख्या की घातों से अधिक नहीं होनी चाहिए। / A divisor's prime exponents must not exceed the given number's exponents.
Step 2
Why this answer is correct
\(144=2^4 \times 3^2\), जो \(2^4 \times 3^3\) में पूरा मौजूद है। / \(144=2^4 \times 3^2\), which is fully contained in \(2^4 \times 3^3\).
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता में हर अभाज्य की घात अलग-अलग मिलाएं। / For divisibility, match each prime exponent separately.
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यदि किसी संख्या का अभाज्य गुणनखंडन \(2^3 \times 3^2\) है, तो वह किससे अवश्य विभाज्य होगी?
If a number has prime factorisation \(2^3 \times 3^2\), by which number must it be divisible?
#real-numbers
#divisibility
#prime-factorisation
A 54
B 72
C 96
D 108
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
किसी भाजक के लिए उसकी अभाज्य घातें उपलब्ध घातों से अधिक नहीं होनी चाहिए। / For a divisor, its prime exponents must not exceed the available exponents.
Step 2
Why this answer is correct
\(72=2^3 \times 3^2\), जो पूरी तरह दी गई संख्या में मौजूद है। / \(72=2^3 \times 3^2\), which is fully present in the given number.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता जांचने में हर अभाज्य की घात अलग से मिलाएं। / To test divisibility, match each prime exponent separately.
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यदि किसी संख्या का अभाज्य गुणनखंडन \(2^4 \times 3^2\) है, तो वह किससे अवश्य विभाज्य होगी?
If a number has prime factorisation \(2^4 \times 3^2\), by which number must it be divisible?
#real-numbers
#divisibility
#prime-factorisation
A 18
B 48
C 72
D 96
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
भाजक के अभाज्य गुणनखंड उपलब्ध घातों से अधिक नहीं होने चाहिए। / A divisor must not need prime exponents greater than those available.
Step 2
Why this answer is correct
\(72=2^3 \times 3^2\), जो \(2^4 \times 3^2\) में पूरी तरह मौजूद है। / \(72=2^3 \times 3^2\), which is fully present in \(2^4 \times 3^2\).
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता में हर अभाज्य की घात अलग-अलग मिलाएं। / For divisibility, match the exponent of each prime separately.
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यदि किसी संख्या का अभाज्य गुणनखंडन \(3^2 \times 5^3\) है, तो वह संख्या किससे अवश्य विभाज्य होगी?
If a number has prime factorisation \(3^2 \times 5^3\), by which number must it be divisible?
#real-numbers
#prime-factorisation
#divisibility
#expert
A (45)
B (54)
C (250)
D (3750)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
कोई संख्या तभी अवश्य विभाज्य होगी जब उसके अभाज्य गुणनखंड उपलब्ध घातों से अधिक न हों। / A divisor must not require prime exponents higher than those available.
Step 2
Why this answer is correct
\(45=3^2 \times 5\), जो \(3^2 \times 5^3\) में पूरा मौजूद है। / \(45=3^2 \times 5\), which is fully contained in \(3^2 \times 5^3\).
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता जांचते समय घातों की तुलना करें। / Compare exponents to test divisibility.
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