Search Class 10 Questions

A. (a=5k) रखने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b\)/Putting (a=5k) gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b\)

A. \(q^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है/\(q^2\) is divisible by (3) and (3) is prime

B. (p) (3) से विभाज्य है/(p) is divisible by (3)

A. क्योंकि \(q^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है/Because \(q^2\) is divisible by (3) and (3) is prime

A. \(p^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है/\(p^2\) is divisible by (3) and (3) is prime

A. (q) (3) से विभाज्य है/(q) is divisible by (3)

A. \(q^2=3k^2\)

B. (p) (3) से विभाज्य है क्योंकि \(p^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है/(p) is divisible by (3) because \(p^2\) is divisible by (3) and (3) is prime

A. यदि अभाज्य संख्या किसी वर्ग को विभाजित करे, तो वह मूल संख्या को भी विभाजित करती है/If a prime divides a square, it divides the original number

A. (b) (3) से विभाज्य है/(b) is divisible by (3)

A. (q) (3) से विभाज्य है/(q) is divisible by (3)

B. (3)

A. (a) (3) से विभाज्य है/(a) is divisible by (3)

A. (a) (3) से विभाज्य है/(a) is divisible by (3)

A. \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में/In the proof of \(\sqrt{3}\)

A. (p=3k), जहां (k) पूर्णांक है/(p=3k), where (k) is an integer

A. (p) भी (3) से विभाज्य है/(p) is also divisible by (3)

A. \(p^2\) (3) से विभाज्य है/\(p^2\) is divisible by (3)

A. वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए, पर दाईं ओर एक अतिरिक्त (3) आता है/In a square, the exponent of (3) should be even, but the right side adds one extra (3)

A. (p) (3) से विभाज्य है/(p) is divisible by (3)

A. (q) को भी (3) से विभाज्य दिखाना/To show (q) is also divisible by (3)

A. वर्ग करने के बाद \(p^2=3q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (3) मिलता है/After squaring, \(p^2=3q^2\) is formed and common factor (3) is found

A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, जो सहअभाज्य होने से विरोधाभास है/Both (p) and (q) are divisible by (3), which contradicts being coprime

A. अभाज्य गुणनखंड वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है/If a prime factor divides a square, it also divides the original number

A. यह सरलतम रूप में नहीं रह सकती/It cannot remain in lowest form

C. (p=3k) से \(p^2=3k^2\)/From (p=3k), \(p^2=3k^2\)

B. \(p^2=3q^2\) से सीधे (q) (3) से विभाज्य लिखना/Directly writing (q) is divisible by (3) from \(p^2=3q^2\)

A. दोनों ओर वर्ग करने पर \(3=\frac{p^2}{q^2}\) मिलेगा/Squaring both sides gives \(3=\frac{p^2}{q^2}\)

A. (\gcd(p,q)) कम से कम (3) है/(\gcd(p,q)) is at least (3)

A. \(9k^2=3q^2\)

A. \(9k^2=3q^2\), इसलिए \(q^2=3k^2\), अतः (q) (3) से विभाज्य है/\(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\), hence (q) is divisible by (3)

A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, जो सहअभाज्य होने के विरुद्ध है/Both (p) and (q) are divisible by (3), which contradicts being coprime

A. पूर्णांक/Integer

A. परिमेय मान्यता असंभव है/The rational assumption is impossible

A. (\gcd(p,q)=1)

A. \(\sqrt{2}\) में समता का तर्क मुख्य है, जबकि \(\sqrt{3}\) में (3) के अभाज्य गुणनखंड का तर्क मुख्य है/Evenness is central in \(\sqrt{2}\), while prime factor (3) is central in \(\sqrt{3}\)

A. यह सरलतम रूप में नहीं हो सकती/It cannot be in lowest form

A. \(p^2=3q^2\) से सीधे (p=3q) लिखना/Directly writing (p=3q) from \(p^2=3q^2\)

A. दोनों ओर वर्ग करने पर \(3=\frac{p^2}{q^2}\) मिलेगा/Squaring both sides gives \(3=\frac{p^2}{q^2}\)

A. \(p^2=3q^2\), (p=3k), \(9k^2=3q^2\), \(q^2=3k^2\)

A. क्योंकि \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में माना गया था, पर (3) साझा गुणनखंड मिल गया/Because \(\frac{p}{q}\) was assumed in lowest form, but common factor (3) was found

A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं हो सकती/\(\frac{p}{q}\) cannot be in lowest form

A. अभाज्य गुणनखंड वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है/If a prime factor divides a square, it also divides the original number

A. यह सरलतम रूप में नहीं है/It is not in lowest form

D. (p=3k) से \(p^2=3k^2\)/From (p=3k), \(p^2=3k^2\)

A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, यह सहअभाज्य होने से विरोधाभास है/Both (p) and (q) are divisible by (3), which contradicts being coprime

A. \(p^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है/\(p^2\) is divisible by (3) and (3) is prime

A. दोनों में अभाज्य गुणनखंड से वर्ग और मूल संख्या की विभाज्यता जोड़ी जाती है/In both, a prime factor connects divisibility of the square and the original number

B. (q=3r)

B. \(\sqrt{3}\)

A. (p) और (q) में (3) साझा गुणनखंड है/(p) and (q) have common factor (3)

A. पहले (p) को (3) से विभाज्य सिद्ध कर (p=3k) रखना पड़ता है/First (p) must be proved divisible by (3) and (p=3k) must be substituted

A. \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहां (p) और (q) सहअभाज्य हैं तथा \(q\neq 0\)/\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where (p) and (q) are coprime and \(q\neq 0\)

A. उनके सहअभाज्य होने से/Their being coprime

C. \(9k^2=3q^2\)

B. \(p^2=3q^2\)

A. क्योंकि सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं/Because both numerator and denominator of the lowest-form fraction are found divisible by (3)

A. \(p^2=3q^2\), (p=3k), \(9k^2=3q^2\), \(q^2=3k^2\)

A. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{3}\) is irrational

A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं रह सकता/\(\frac{p}{q}\) cannot remain in lowest form

C. \(9k^2\)

A. दोनों ओर वर्ग नहीं किया गया/Both sides were not squared

A. परिमेय मानने पर अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं/Assuming rational makes both numerator and denominator divisible by (3)

A. \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलता है, जबकि \(\sqrt{3}\) में साझा गुणनखंड (3) मिलता है/In \(\sqrt{2}\), common factor (2) is found, while in \(\sqrt{3}\), common factor (3) is found

A. क्योंकि पहले (p) के (3) से विभाज्य होने को सिद्ध कर (p=3k) रखना पड़ता है/Because first (p) must be proved divisible by (3) and (p=3k) must be substituted

A. परिमेय मानें, \(p^2=3q^2\) पाएं, (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य दिखाएं/Assume rational, get \(p^2=3q^2\), show both (p) and (q) divisible by (3)

C. (p) और (q) सहअभाज्य हैं/(p) and (q) are coprime

A. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है क्योंकि परिमेय मानने पर (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं/\(\sqrt{3}\) is irrational because assuming rational makes both (p) and (q) divisible by (3)

A. साझा गुणनखंड मिलने पर स्पष्ट विरोधाभास बनता है/A clear contradiction is formed when a common factor is found

A. केवल \(p^2=3q^2\) लिखकर रुक जाना/Stopping after only writing \(p^2=3q^2\)

B. \(\sqrt{3}\)

A. दोनों में अभाज्य गुणनखंड का नियम प्रयोग होता है/Both use the prime factor divisibility rule

A. दोनों ओर वर्ग करना/Squaring both sides

A. (p) और (q) में (3) साझा गुणनखंड है/(p) and (q) have (3) as a common factor

A. क्योंकि \(a^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है/Because \(a^2\) is divisible by (3) and (3) is prime

A. \(\sqrt{3}\) परिमेय है/\(\sqrt{3}\) is rational

A. यदि \(p^2\) (3) से विभाज्य है, तो (p) (3) से विभाज्य है/If \(p^2\) is divisible by (3), then (p) is divisible by (3)

B. दोनों (3) से विभाज्य हैं/Both are divisible by (3)

A. \(b^2=3t^2\)

A. जब (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य मिलें/When both (a) and (b) are found divisible by (3)

A. परिमेय मानकर उसी अभाज्य गुणनखंड को अंश और हर दोनों में दिखाना/Assume rational and show the same prime factor in both numerator and denominator

A. अतः \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational

D. \(p^2=3q^2\) से (p=3q)/From \(p^2=3q^2\), (p=3q)

B. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं/Both (p) and (q) are divisible by (3)

C. \(\frac{p^2}{q^2}\)

B. मान लें \(\sqrt{3}\) परिमेय है/Assume \(\sqrt{3}\) is rational

C. (3)

A. \(q^2=3k^2\)

B. (p=3k)

C. \(q\neq 0\)

A. परिमेय मानने पर अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य हो जाते हैं/Assuming rational makes both numerator and denominator divisible by (3)

A. (3) पूर्ण वर्ग है/(3) is a perfect square

A. \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में/In the proof of irrationality of \(\sqrt{3}\)

A. दोनों में (3) साझा गुणनखंड है/Both have (3) as a common factor

A. मान लें \(\sqrt{3}\) परिमेय है/Assume \(\sqrt{3}\) is rational

A. \(b^2=3k^2\)

A. आरंभिक मान्यता गलत है/The initial assumption is false

A. \(\frac{a^2}{b^2}\)

A. (a=3b)

A. सहअभाज्य होने की शर्त/The condition of being coprime